Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THIÊN QUANG

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tậntình của TS Trương Minh Tuyên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành tới thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy côtrong khoa Toán - Tin đã tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho tôi.Đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã dạy bảo và động viên tôihoàn thành tốt các nhiệm vụ trong cả quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền cùngcác đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất chotôi trong suốt thời gian qua

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 3

1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 10

1.2.1 Ánh xạ không giãn 10

1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 14

1.2.3 Toán tử đơn điệu 16

Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22

2.2 Phương pháp lai chiếu 31

2.3 Một số ví dụ minh họa 35

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., i tích vô hướng trên H

k.k chuẩn trên H

R+ tập các số thực không âm

G(A) đồ thị của toán tử A

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A−1 toán tử ngược của toán tử A

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trườnghợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khácrỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci}i∈I củakhông gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I là tập chỉ số bất kỳ.Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khácnhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F (Ti),với F (Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti, i = 1, 2, , N ,thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp

cổ điển nổi tiếng Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa,Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử dụng các siêuphẳng cắt

Năm 2008, các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đã đưa ramột số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phươngpháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìmmột điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gianHilbert Ở đây, họ đã xây dựng một điều kiện mới (điều kiện NST (I)) mô

tả mối liên hệ giữa hai họ ánh xạ không giãn Thông qua điều kiện này thìbài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (có thểhữu hạn hay vô hạn) được đưa về bài toán tìm điểm bất động chung củamột họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kếtquả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R trong tài liệu[6] Ngoài ra, trong luận văn chúng tôi cũng xây dựng hai ví dụ số đơn giản

được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họathêm cho các phương pháp lặp Nội dung chính của luận văn được trình bàytrong hai chương.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn tập trung trình bày và làm rõ một số đặctrưng cơ bản của không gian Hilbert thực (các đẳng thức và bất đẳng thức

cơ bản, phép chiếu mêtric, định lý tách các tập lồi, tính đóng yếu của mộttập con lồi đóng), ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán

tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chungcủa một họ ánh xạ không giãn

Nội dung chính của chương này là trình bày lại các kết quả của các tácgiả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đã đưa ra một số phương pháplai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp kếthợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìm một điểm bất độngchung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert cùng với cácứng dụng của chúng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm hai mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặctrưng cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một sốkết quả về ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơnđiệu Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1]

và [2]

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được

kí hiệu là h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,với mọi x, y, z ∈ H

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi

x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2)

= λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2

Ta được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với

x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện

|hx, yi| = kxk.kyk,tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụthuộc tuyến tính

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tínhchất của tích vô hướng, ta có

0 < kx − λyk2 = λ2kyk2 − 2λhx, yi + kxk2,với mọi λ ∈ R Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộctuyến tính Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = hx, yi

kyk2 , thì bất đẳng thức trên trởthành

|hx, yi| < kxk.kyk,điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính.Mệnh đề được chứng minh

Nhắc lại rằng, dãy {xn} trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụyếu về phần tử x ∈ H, nếu

lim

n→∞hxn, yi = hx, yi,

với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

|hen, yi|2 < kyk2 < ∞

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về

Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee,tức là nếu {xn} ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện

xn * x và kxnk → kxk, thì xn → x, khi n → ∞

Chứng minh Ta có

kxn− xk2 = kxnk2 − 2hxn, xi + kxk2

→ 0, n → ∞

Suy ra xn → x, khi n → ∞ Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbertthực H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

u∈Ckx − uk Khi đó, tồn tại {un} ⊂ C saocho kx − unk −→ d, n −→ ∞ Từ đó ta có

Suy ra u = v Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk = infu∈Ckx − uk

Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử

PCx ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C

Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếumêtric từ H lên C là

hx − PCx, PCx − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C (1.3)Chứng minh Giả sử PC là phép chiếu mêtric Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C

và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PCx ∈ C Do đó, từ định nghĩa của phépchiếu mêtric, suy ra

kx − PCxk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PCxk2,với mọi t ∈ (0, 1)

Bất đẳng thức trên tương đương với

kx − PCxk2 ≤ kx − PCxk2 − 2thx − PCx, y − PCxi + t2ky − PCxk2,với mọi t ∈ (0, 1) Từ đó, ta có

hx − PCx, PCx − yi ≥ −t

2ky − PCxk2,

với mọi t ∈ (0, 1) Cho t → 0+, ta nhận được

Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và

PC là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có

kPCx − PCyk2 ≤ hx − y, PCx − PCyi

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có

hx − PCx, PCy − PCxi ≤ 0,

hy − PCy, PCx − PCyi ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.8 Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H

và x /∈ C Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v 6= 0 sao cho

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2

Chứng minh Vì x /∈ C, nên v = x − PCx 6= 0 Từ Mệnh đề 1.7, ta có

hv, y − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Suy ra

hv, y − x + x − PCxi ≤ 0,với mọi y ∈ C Điều này tương đương với

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2,với mọi y ∈ C Do đó

sup

y∈C

hv, yi ≤ hv, xi − kvk2.Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1 Mệnh đề 1.8 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước vớimột điểm không thuộc nó

Mệnh đề 1.9 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert

H, thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Giả sử C không là tập đóng yếu Khi đó, tồn tại dãy {xn}trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x /∈ C Vì C là tập lồi và đóng, nên theođịnh lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và

ε = kvk2/2 trong chứng minh của Mệnh đề 1.8) sao cho

hy, zi < hy, xi − ε,với mọi z ∈ C Đặc biệt

hy, xni < hy, xi − ε,với mọi n Cho n → ∞, ta nhận được

hy, xi ≤ hy, xi − ε,điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu

Chú ý 1.2 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.

Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.10 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đốiyếu

1.2 Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không

gian Hilbert

1.2.1 Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khônggian Hilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ khônggiãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

F (T ) là một tập lồi và đóng trong H

Chứng minh Giả sử F (T ) 6= ∅

Trước hết, ta chỉ ra F (T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ khônggiãn nên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong F (T ) thỏamãn xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ F (T ), nên

kT xn− xnk = 0,với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được

kT x − xk = 0, tức là x ∈ F (T ) Do đó, F (T ) là tập đóng

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F (T ) Giả sử x, y ∈ F (T ), tức là T x = x

và T y = y Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ F (T ) Thật vậy,nếu x = y, thì z = x = y ∈ F (T ) Giả sử x 6= y, khi đó ta có

kT z − xk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = λkx − yk (1.4)Đặt a = T z − x và b = y − T z, thì ta nhận được ka + bk = kak + kbk, điềunày tương đương với

kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2

= λkT z − xk2+ k(1 − λ)(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2

= λkT z − T xk2+ (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2

≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2

= kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F (T ) Vậy F (T ) là một tập lồi

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H.Cải tiến điều kiện của Nakajo cùng các cộng sự trong tài liệu [3], Takahashi,Takeuchi và Kubota [6] đã đưa ra điều kiện sau:

Cho {Tn} và T là hai họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, sao cho

F (T ) =

∞

\

n=1

F (Tn) 6= ∅, ở đây F (Tn) là tập các điểm bất động của Tn và

F (T ) là tập điểm bất động chung của họ T Khi đó, họ {Tn} được gọi là thỏamãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , nếu với mỗi dãy bị chặn {zn} ⊂ C,thỏa mãn

Tnx = (1 − βn)x + βnT x, với mọi x ∈ C

Khi đó, {Tn} thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T

Chứng minh Thật vậy, dễ thấy {Tn} là một họ ánh xạ không giãn từ C vàochính nó Giả sử {zn} là một dãy bị chặn bất kỳ trong C thỏa mãn điềukiện

lim

n→∞kzn− Tnznk = 0

Khi đó, từ định nghĩa của ánh xạ Tn, ta có

Khi đó, {Tn} thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T = {T, S}

Chứng minh Với mọi x, y ∈ C, ta có

kTnx − Tnyk = k(1 − βn)Sx + βnT x − (1 − βn)Sy + βnT yk

≤ (1 − βn)kSx − Syk + βnkT x − T yk

≤ kx − yk

Suy ra {Tn} là một họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó

Giả sử {zn} là một dãy bị chặn bất kỳ thỏa mãn

Từ Mệnh đề 1.2, ta có

kzn− uk2 ≤ (kzn− Tnznk + kTnzn− uk)2

= kzn− Tnznk(kzn− Tnznk + 2kTnzn− uk)k(1 − βn)(Szn − u) + βn(T zn− u)k2

i) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

ii) T (s + t) = T (s)T (t) với mọi s, t ≥ 0;

iii) kT (s)x − T (s)yk ≤ kx − yk với mọi s ≥ 0 và x, y ∈ C;

iv) với mỗi x ∈ C, s 7→ T (s)x là ánh xạ liên tục theo biến s trên [0, ∞).

Ví dụ 1.3 Họ T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} xác định bởi T (s)x = e−sx vớimọi s ≥ 0 và mọi x ∈ R là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R và

F (T ) = {0}

Ví dụ 1.4 Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một họ ánh xạ từ R3 vào R3được xác định bởi

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 và với mọi s ≥ 0 Khi đó, T = {T (s) : 0 ≤

s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 và F (T ) = {(0, 0, a) :

Dưới đây ta chỉ ra họ T thỏa mãn điều kiện iii) Với mọi s ≥ 0 và mọi

Suy ra T thỏa mãn điều kiện iii)

Mệnh đề 1.14 [3, 4] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng củakhông gian Hilbert H Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh

xạ không giãn trên C với F (T ) 6= ∅ Cho {tn} là một dãy các số thực với

0 < tn < ∞ thỏa mãn limn→∞tn = ∞ Với mỗi n ∈ N, xác định ánh xạ Tn

Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H được gọi là một toán

tử đơn điệu nếu

hu − v, x − yi ≥ 0 (1.6)với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y)

Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị

G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trênH.

Ví dụ 1.5 Toán tử A(x) = x3 với x ∈ R là đơn điệu cực đại trên R

Thật vậy, hiển nhiên A là một toán tử đơn điệu trên R Ta sẽ chỉ ra đồthị của A không là tập con thực sự của bất kỳ một toán tử đơn điệu nàokhác trên R Giả sử tồn tại một toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thịcủa B chứa thực sự đồ thị của A Khi đó, tồn tại phần tử x0 ∈ R sao cho(x0, m) ∈ G(B), nhưng (x0, m) /∈ G(A) Như vậy sẽ xảy ra hai trường hợphoặc A(x0) > m hoặc A(x0) < m

Trường hợp 1: A(x0) > m

Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1) = m Khi

đó, x1 < x0 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x1, x0) sao cho

n = A(x2) ∈ (m, A(x0)) Từ (x0, m) ∈ G(B) và (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B),suy ra

(x0− x2)(m − A(x2)) ≥ 0

Vì x0 > x2, nên A(x2) ≤ m, điều này mâu thuẫn với A(x2) ∈ (m, A(x0)).Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0) > m

Trường hợp 2: A(x0) < m

Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1) = m Khi

đó, x1 > x0 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x0, x1) sao cho

n = A(x2) ∈ (A(x0), m) Từ (x0, m) ∈ G(B) và (x2, A(x2)) ∈ G(A) ⊂ G(B),suy ra

Thật vậy, rõ ràng A là một toán tử đơn điệu, nhưng đồ thị của A là tậpcon thực sự của đồ thị của toán tử đơn điệu B(x) = x3 với mọi x ∈ R.Chú ý 1.4 Toán tử đơn điệu A : H −→ 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉkhi R(I + λA) = H với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của I + λA.

Từ chú ý trên ta có một ví dụ khác dưới đây về toán tử đơn điệu cực đại:

Ví dụ 1.7 Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn, tức là

kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ H Khi đó A = I − T là một toán tửđơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H

Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có

hA(x) − A(y), x − yi = kx − yk2 − kT x − T yk2 ≥ 0,suy ra A là một toán tử đơn điệu

Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xétphương trình

λA(x) + x = y (1.7)Phương trình trên tương đương với

x = 1

1 + λ(λT x + y). (1.8)Xét ánh xạ f : H −→ H bởi

f (x) = 1

1 + λ(λT x + y),với mọi x ∈ H Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là λ

1 + λ ∈ (0, 1) Do đó,theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm.Suy ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm

Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại