Năm 2003, Nakajo và Takahashi [3] đã chứng minh định lý dưới đây: Định lý 2.8. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F(T) 6= ∅. Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn} như sau
yn = αnxn+ (1−αn)T xn, Cn = {z ∈ C : kyn−zk ≤ kxn −zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x−xni ≥ 0}, xn+1 =PCn∩Qnx1, n ≥ 1, (2.10)
trong đó {αn} là dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a <1. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về PF(T)x1, khi n → ∞.
Ngoài ra, Nakajo và Takahashi [3] cũng đã chứng minh định lý dưới đây cho bài toán tìm điểm bất động chung của một nửa nhóm ánh xạ không giãn.
Định lý 2.9. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho T = {T(s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C sao cho F(T) 6= ∅. Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn} như sau
yn = αnxn+ (1−αn) 1 λn Rλn 0 T(s)xnds, Cn = {z ∈ C : kyn −zk ≤ kxn −zk}, Qn ={z ∈ C : hxn −z, x−xni ≥ 0}, xn+1 =PCn∩Qnx1, n ≥ 1, (2.11)
trong đó {αn} là dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < 1 và {λn} là dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện λn → ∞. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về PF(T)x1, khi n → ∞.
Sử dụng Định lý 2.1, Takahashi, Takeuchi và Kubota đã đưa ra một tổng quát của các Định lý 2.8 và Định lý 2.9, như sau:
Định lý 2.10. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Cho {Tn} và T là hai họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó sao cho ∩∞n=1F(Tn) = F(T ) 6= ∅ và cho x0 ∈ H. Giả sử {Tn} thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T. Đặt C1 = C, u1 = PC1x0 và xác định dãy {un} trong C như sau:
yn = αnun+ (1−αn)Tnun, Cn ={z ∈ C : kyn−zk ≤ kun−zk}, Qn = {z ∈C : hx0 −un, un−zi ≥ 0}, un+1 = PCn∩Qnx0, n∈ N, (2.12)
trong đó 0 ≤ αn ≤ a < 1 với mọi n ∈ N. Khi đó, dãy {un} hội tụ mạnh về z0 = PF(T)x0.
Chứng minh. Ta biểu diễn lại các tập Cn và Qn ở dạng dưới đây:
Cn = C ∩ {z ∈ H : hun−yn, zi ≥ 1
Qn = C ∩ {z ∈ H : hun−x0, zi ≥ hun −x0, uni}.
Vì C là tập lồi, đóng và
{z ∈H : hun−yn, zi ≥ 1
2(kunk2 − kynk2)}, {z ∈H : hun−x0, zi ≥ hun−x0, uni}
là các nửa không gian đóng của H, nên Cn và Qn là các tập lồi và đóng. Lấy u ∈F(T). Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có
kyn−uk = kαnun+ (1−αn)Tnun−uk
≤ αnkyn −uk+ (1−αn)kTnun−Tnuk ≤ αnkyn −uk+ (1−αn)kun−uk
= kyn−uk.
Suy ra u ∈ Cn với mọi n ≥ 1. Do đó, ta nhận được F(T) ⊂ Cn với mọi
n ≥ 1.
Tiếp theo, ta chỉ ra F(T ) ⊂ Qn với mọi n bằng quy nạp. Thật vậy, từ
u1 = PCx0, ta có
hx0 −u1, u1−yi ≥ 0,
với mọi y ∈ C, suy ra Q1 = C. Do đó F(T) ⊂ Q1.
Giả sử F(T )⊂ Qk với k ≥ 1 nào đó. Từ uk+1 =PCk∩Qkx0, ta có
hx0 −uk+1, uk+1−yi ≥ 0,
với mọi y ∈ Ck∩Qk.
Do F(T) ⊂ Ck∩Qk, nên ta nhận được
hx0 −uk+1, uk+1−ui ≥ 0,
với mọiu ∈ F(T). Suy ra,F(T ) ⊂ Qk+1. Như vậy, ta nhận đượcF(T ) ⊂ Qn
với mọi n ≥ 1.
Tóm lại, ta có F(T ) ⊂ Cn ∩Qn với mọi n ≥ 1 và do đó dãy {un} hoàn toàn xác định.
Vì F(T ) ⊂ Qn và từ định nghĩa của Qn, ta có
hx0 −un, un−ui ≥ 0, (2.13) với mọi u∈ F(T ).
Từ un+1 =PCn∩Qnx0 ∈ Qn, ta cũng có
hx0 −un, un−un+1i ≥ 0. (2.14) Mặt khác, un+1 = PCn∩Qnx0 ∈Cn, nên từ định nghĩa của Cn, ta nhận được
kyn−un+1k ≤ kun−un+1k.
Từ cách xác định của yn, ta có
kyn−unk = (1−αn)kTnun−unk.
Tương tự như chứng minh của Định lý 2.2, ta nhận được
kTnun−unk ≤ 1
1−αnkyn−unk ≤ 2
1−akun−un+1k. (2.15) Từ (2.13)-(2.15) và Định lý 2.1, suy ra dãy{un}hội tụ mạnh vềz0 = PF(T)x0. Định lý được chứng minh.
Tương tự như Định lý 2.7, ta cũng có kết quả dưới đây cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.11. Cho H là một không gian Hilbert thực và cho A : H −→2H
là một toán tử đơn điệu cực đại. Với u1 = x0 ∈ H và C1 = H, xác định dãy {un} như sau: yn = αnun+ (1−αn)JλAnun, Cn ={z ∈ C : kyn−zk ≤ kun−zk}, Qn = {z ∈C : hx0 −un, un−zi ≥ 0}, un+1 = PCn∩Qnx0, n∈ N, (2.16)
trong đó 0 ≤ αn ≤ a < 1, 0 < λn < ∞ với mọi n ∈ N và λn → ∞. Khi đó, dãy {un} hội tụ mạnh về z0 = PA−10x0.
Nhận xét 2.1. Từ Nhận xét 1.1, ta có thể thấy rằng Định lý 2.11 vẫn còn đúng cho trường hợp dãy {λn} thỏa mãn điều kiện infn{λn} =λ > 0.