Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯƠNG MINH TUYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TS. Nguyễn Bường 2. GS. TS. Jong Kyu Kim THÁI NGUYÊN-NĂM 2013 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TS. Jong Kyu Kim. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tác giả Trương Minh Tuyên iii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TS. Jong Kyu Kim. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, PGS. TS. Phạm Ngọc Anh, PGS. TS. Phạm Hiến Bằng, PGS. TS. Phạm Việt Đức, TS. Đào Thị Liên, GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, TS. Hà Trần Phương, TS. Vũ Vinh Quang, PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, GS. TSKH. Đỗ Đức Thái, GS. TS. Trần Vũ Thiệu, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, TS. Vũ Mạnh Xuân. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học và Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô trong Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm và các Thầy cô trong Khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình niềm vinh hạnh to lớn này. Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu và viết tắt vi Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . 17 1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 18 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . 18 1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . 25 1.5. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 2. Phương pháp điểm gần kề 40 2.1. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . . . . 40 v 2.2. Tính ổn định của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3. Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 75 3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . 75 3.2. Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . 82 3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Kết luận chung 95 Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo 96 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98 Một số ký hiệu và viết tắt E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu của E θ phần tử không của không gian Banach E dim(E) số chiều của không gian Banach E R tập hợp các số thực R + tập các số thực không âm ∩ phép giao inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argmin x∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A −1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất L p (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω l p không gian các dãy số khả tổng bậc p d(x, M) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M H(C 1 , C 2 ) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C 1 và C 2 lim sup n→∞ x n giới hạn trên của dãy số {x n } lim inf n→∞ x n giới hạn dưới của dãy số {x n } vii α n  α 0 dãy số thực {α n } hội tụ giảm về α 0 x n −→ x 0 dãy {x n } hội tụ mạnh về x 0 x n  x 0 dãy {x n } hội tụ yếu về x 0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δ E (ε) mô đun lồi của không gian Banach E ρ E (τ) mô đun trơn của không gian Banach E F ix(T ) hoặc F (T) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M d(a, M) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M W m p (Ω) không gian Sobolev o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t n [a,b] số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b] n max số bước lặp tg thời gian tính toán err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác int(C) phần trong của tập hợp C Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {C i } i∈I của không gian Hilbert H hay không gian Banach E". Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học (xem [27], [28], [29], [43], [58], [59], [71], [72], [81] ). Khi C i = F ix(T i ), với F ix(T i ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T i , i = 1, 2, , N, thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii [56], Mann [62], Ishikawa [45] và Halpern [42], phương pháp xấp xỉ mềm [65]. Chẳng hạn, tương tự như phương pháp chiếu xoay vòng để giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H. H. [16] đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa trên phương pháp lặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Các kết quả nghiên cứu theo những hướng này có thể tra khảo trong các tài liệu [16], [30], [46], [69], [70] và sẽ được trình bày cụ thể hơn trong Chương 1 của luận án. Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach E, thì toán tử A = I −T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồng nhất trên E. Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn T i trong không gian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu A i = I − T i với i = 1, 2, , N. Khi A : H −→ 2 H một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu là trùng nhau), thì Rockafellar R. T. [77] đã đề xuất phương pháp điểm gần 2 kề để xác định dãy {x n } như sau: c n Ax n+1 + x n+1  x n , x 0 ∈ H, (0.1) ở đây c n > c 0 > 0. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) chỉ thu được sự hội tụ yếu của dãy {x n } về một không điểm của A. Năm 2001, Attouch H. và Alvarez F. [14] đã xét một mở rộng của phương pháp điểm gần kề (0.1) ở dạng c n A(x n+1 ) + x n+1 − x n  γ n (x n − x n−1 ), x 0 , x 1 ∈ H (0.2) và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính, ở đây {c n } và {γ n } là hai dãy số không âm. Đối với thuật toán mở rộng này thì người ta cũng chỉ thu được sự hội tụ yếu của dãy lặp {x n } về một không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert. Khi A : E −→ E là một toán tử m−j−đơn điệu từ không gian Banach E vào chính nó, năm 2002 Ryazantseva I. P. [78] đã kết hợp phương pháp điểm gần kề với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh ở dạng c n (A(x n+1 ) + α n x n+1 ) + x n+1 = x n , x 0 ∈ E. (0.3) Ryazantseva I. P. đã chỉ ra sự sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x n } xác định bởi (0.3) về một không điểm của A khi không gian Banach E và các dãy số dương {c n } và {α n } thỏa mãn các điều kiện thích hợp. Năm 2006 tác giả Xu H. K. [88] và năm 2009 các tác giả Song Y., Yang C. [80] đã đề xuất và nghiên cứu một cải biên của phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert, ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x n } xác định bởi x n+1 = J A r n (t n u + (1 −t n )x n + e n ), n = 0, 1, 2, (0.4) với một số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {t n } và dãy sai số tính toán trong mỗi bước lặp {e n }, trong đó J A r n = (I + r n A) −1 . Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng. [22] đã đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn 3 trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ . Ông đã quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giải một phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán về một nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh được chọn thích hợp. Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm 2006, tác giả Buong Ng. [23] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại A i = ∂f i , với ∂f i là dưới vi phân của các phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới yếu f i , i = 1, 2, , N trong không gian Hilbert H. Ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {z n } xác định bởi c n  N  j=0 α j n A n j (z n+1 ) + α N+1 n z n+1  + z n+1 − z n  γ n (z n − z n−1 ), trong đó z 0 , z 1 ∈ H, {c n }, {α n } {γ n } là các dãy số thực không âm và A n j là các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕ j của phiếm hàm ϕ j theo nghĩa dưới đây H(A n j (x), ∂ϕ j (x)) ≤ h n g(x), với g là một hàm không âm, giới nội. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn, cùng với các bài toán liên quan như bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình với các toán tử loại đơn điệu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng cũng được nhiều nhà toán học trong nước quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như: Năm 2004 các tác giả Anh P. N. và Muu L. D. [5] đã kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu; năm 2009 các tác giả Anh P. K. và Chung C. V. [3] đã nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp song song ở dạng ẩn và hiện cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử xác định dương từ không gian Hilbert H vào chính nó; tác giả Thuy N. T. T. [84] đã xây dựng phương pháp lặp mới cho bài toán tìm nghiệm của một bất đẳng thức biến phân trên tập điểm [...]... nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình với các toán tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng trong không gian Hilbert 1.5 Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 1.5.1 Phát biểu bài toán Ta biết rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên không gian Banach lồi chặt E nếu khác rỗng thì là một tập lồi và đóng Do đó, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu. .. hữu hạn các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định của các phương pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu Một số ứng dụng của các kết quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach và một số. .. và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh) Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày tổng quan về bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn cùng với một số phương pháp giải cũng như một số kết quả điển hình đã biết 1.1 Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn Cho E là một không gian Banach và E ∗ là không gian đối ngẫu của. ..4 bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn; tác giả Anh P N [5], [6] cũng đã nghiên cứu về bài toán cân bằng trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn dựa trên phương pháp gradient tăng cường Như vậy có thể nói rằng bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn mà chúng tôi đề cập trong luận án cùng với các bài toán liên quan đã... lồi của E Nếu F là một họ giao hoán hữu hạn các ánh xạ không giãn từ K vào K, thì họ F có ít nhất một điểm bất động chung trong K Định lí 1.8 [34] Cho E là một không gian Banach lồi đều, K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của E, {Tλ } là một họ giao hoán các ánh xạ không giãn từ K vào K Khi đó, họ {Tλ } có ít nhất một điểm bất động chung trong K 28 Chú ý 1.17 Bài toán (1.36) nói chung. .. hữu hạn các ánh xạ không 27 giãn trong trong gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng sau: Xác định một phần tử x∗ ∈ C = ∩N Ci = ∅, i=1 (1.35) trong đó Ci , i = 1, 2, , N là các tập lồi, đóng trong không gian Banach E Trong trường hợp E là một không gian Hilbert H thì bài toán (1.35), tương đương với bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ. .. nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề bao gồm phương pháp điểm gần kề dạng (0.4), phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach, cùng với các bài toán... quả của Xu H K [88] cho bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert H lên không gian Banach trơn đều E ở dạng rn A(xn+1 ) + xn+1 tn u + (1 − tn )xn , n ≥ 0 (0.6) 5 3 Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các. .. cùng với các tính toán 6 cụ thể cũng được trình bày ở cuối chương này nhằm minh họa thêm cho các kết quả nghiên cứu đạt được Chương 3 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach cùng với tính ổn định của các phương pháp Mục... các phương pháp Mục cuối cùng trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số ứng dụng của các phương pháp lặp thu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach, cùng với các ví dụ số nhằm minh họa thêm cho các kết quả nghiên cứu đạt được Các kết quả của luận án được báo cáo tại: • . vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn T i trong không gian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu. bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các biến thể khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp lặp. bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các biến thể khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp hiệu