Luận văn Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn

Luận văn Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất điểm...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG KIÊN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT TRONG KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Năm 2011 Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 5 1.1.1 Không gian mêtric 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Không gian định chuẩn 1.1.4 Không gian lồi địa phương Ánh xạ liên tục 1.2.1 Ánh xạ liên tục không gian mêtric 1.2.2 Ánh xạ liên tục không gian tôpô 1.2.3 Ánh xạ liên tục không gian định chuẩn 10 1.2.4 Phép đồng luân 10 1.2.5 1.2 Các không gian Tốn tử compact - Tốn tử hồn tồn liên tục 10 BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1 12 12 2.1.1 Toán tử tích phân Urysohn 12 2.1.2 Toán tử Carathéodory 13 2.1.3 2.2 Một số tốn tử tích phân toán điểm bất động Ứng dụng vào toán biên 15 Một số định lý điểm bất động 15 2.2.1 15 Điểm bất động 2.2.2 Định lý xấp xỉ phép chiếu Schauder 16 2.2.3 Các định lý điểm bất động Brouwer Borsuk 19 2.2.4 Định lý điểm bất động Schauder 19 2.2.5 Mở rộng định lý Borsuk 20 TÍNH CHẤT CẮT NGANG TƠPƠ VÀ ỨNG DỤNG 3.1 22 22 3.1.1 Tính chất cắt ngang tôpô 22 3.1.2 3.2 Tính chất cắt ngang tôpô tồn ánh xạ cốt yếu Ánh xạ cốt yếu 23 Ứng dụng cho toán điểm bất động 27 3.2.1 Nguyên lý Leray - Schauder Định lý Birkhoff-Kellogg 27 3.2.2 Trường compact 30 3.2.3 Phương trình y = x − F (x) tính bất biến miền 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Luận văn nhằm tìm hiểu vấn đề liên quan đến điểm bất động ánh xạ không gian tơpơ, đặc biệt tốn tử compact Thơng qua định lý điểm bất động, ứng dụng để khảo sát tồn nghiệm phương trình hay phương bất biến miền Nội dung luận văn trình bày chi tiết làm rõ số kết [1] Trong luận văn, tác giả làm tường minh chứng minh Dugundji J Granas A Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị không gian ánh xạ liên tục khơng gian, tốn tử compact, tốn tử hồn tồn liên tục phép đồng luân Chương đề cập đến số toán tử tích phân, phép chiếu định lý xấp xỉ Schauder, số định lý điểm bất động Chương trình bày tính chất cắt ngang tơpơ số ứng dụng toán điểm bất động Tác giả nhận hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo, nghiêm khắc đầy khoa học PGS.TS Thái Thuần Quang suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành đề tài Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy, cô ngồi Khoa Tốn, Đại học Quy Nhơn dày cơng giảng dạy suốt khóa học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn lớp Sư phạm Tốn A khóa 30 đùm bọc giúp đỡ học tập sinh hoạt Mặc dù luận văn thực với nổ lực cố gắng thân song hạn chế trình độ hiểu biết nên khó tránh khỏi sai lầm thiếu sót Đồng thời, tác giả nhận thức nhiều vấn đề mở đặt chưa giải Tác giả mong nhận góp ý, phê bình q báu q thầy bạn đọc quan tâm Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011 Tác giả Nguyễn Trung Kiên Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Các không gian Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1.1 [2] Cho X tập hợp khác rỗng Một mêtric X ánh xạ d từ tập tích X × X vào tập R số thực, thoả mãn điều kiện sau: (i) d(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X; (ii) d(x, y) = x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x), với x, y ∈ X; (iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với x, y, z ∈ X Một tập hợp X mêtric d xác định X gọi không gian mêtric, ký hiệu (X, d) Định nghĩa 1.1.1.2 [2] Cho không gian mêtric (X, d) số thực r Ký hiệu B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} gọi hình cầu mở tâm x, bán kính r Tập A X gọi tập mở X với x ∈ A tồn hình cầu mở B(x; ε) X chứa A Tập A ⊂ X gọi tập đóng X \ A tập mở Chú ý Ký hiệu diam(A) = sup d(x, y) x,y∈A gọi đường kính tập A Định nghĩa 1.1.1.3 [2] Dãy {xn } ⊂ (X, d) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀m, n ∈ N m, n > n0 d(xm , xn ) < ε Định nghĩa 1.1.1.4 [2] Không gian mêtric X gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ đến điểm thuộc X Định nghĩa 1.1.1.5 [2] Một tập hợp A khơng gian mêtric X gọi hồn tồn bị chặn r > tồn hữu hạn hình cầu mở B1 , B2 , , Bn bán kính r X cho n A⊂ Bi i=1 Chú ý Khi B = {B1 , B2 , , Bn } gọi r-phủ A Định nghĩa 1.1.1.6 [2] Giả sử K tập hợp không gian mêtric X Tập hợp K gọi tập hợp compact dãy K tồn dãy hội tụ đến điểm thuộc K Đặc biệt, K = X K compact ta nói khơng gian mêtric X không gian compact Định lý 1.1.1.7 (Banach) [2] Giả sử K tập hợp không gian mêtric X Điều kiện cần đủ để K compact K đầy đủ hoàn toàn bị chặn 1.1.2 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1.2.1 [2] Giả sử X tập hợp Một họ τ gồm tập hợp X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện sau đây: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Hợp tuỳ ý tập hợp họ τ tập hợp họ τ ; (iii) Giao hữu hạn tập hợp họ τ tập hợp họ τ Một tập hợp X với tơpơ τ xác định gọi không gian tôpô, ký hiệu (X, τ ) Khi phần tử thuộc τ gọi tập mở Định nghĩa 1.1.2.2 [2] Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff x, y hai điểm khác X tồn U, V lân cận x y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.2.3 [2] Giả sử K tập hợp không gian tôpô X K gọi tập hợp compact phủ mở K có phủ hữu hạn, tức {Gα }α∈I tập mở tuỳ ý X cho K⊂ Gα =⇒ ∃α1 , , αn ∈ I : K ⊂ α∈I Gαi 1≤i≤n Định lý 1.1.2.4 [2] (Tychonoff) Tích họ tùy ý không gian tôpô compact không gian tôpô compact Định nghĩa 1.1.2.5 (Khối lập phương Hilbert I ∞ ) [1] Ký hiệu I = [0, 1]; In = {x ∈ Rn : ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, n}; I ∞ = {x = (x1 , x2 , ) : ≤ xn ≤ 1, n = 1, 2, } I ∞ gọi khối lập phương Hilbert, tích đếm khoảng đóng đơn vị I Mệnh đề 1.1.2.6 [1] (i) Khối lập phương Hilbert không gian Hausdorff compact (ii) Bất kỳ khơng gian mêtric compact nhúng vào hình lập phương Hilbert (Định lý Urysohn) Dễ thấy (i) suy từ định lý Tychonoff 1.1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3.1 [3] Cho E K-không gian vectơ (với K = R C) Một chuẩn E hàm x → ||x|| từ E vào R thoả mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ K: (i) ||x|| ≥ 0, ||x|| = x = 0; (ii) ||λx|| = |λ|||x||; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Một không gian định chuẩn không gian vectơ với chuẩn Định lý 1.1.3.2 [3] Nếu x → ||x|| chuẩn E d(x, y) = ||x − y|| mêtric E, mêtric gọi mêtric sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.3.3 [3] Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh chuẩn) Định lý 1.1.3.4 [1] Cho Ω miền bị chặn Rn Không gian hàm số thực liên lục Ω, ký hiệu C(Ω), không gian Banach với chuẩn ||u||0 = sup |u(x)| x∈Ω Định nghĩa 1.1.3.5 [1] Tập K ⊂ C(Ω) gọi đồng liên tục với ε > 0, ∃δ > cho ||x1 −x2 || < δ ⇒ |u(x1 )−u(x2 )| < ε với x1 , x2 ∈ Ω u ∈ K Tập K gọi compact tương đối K compact Định lý 1.1.3.6 [1] (Arzelà-Ascoli) Tập C(Ω) compact tương đối bị chặn đồng liên tục 1.1.4 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.4.1 [3] Cho E không gian vectơ trường K Hàm thực p : E → R gọi nửa chuẩn (i) p(x) ≥ với x ∈ E; (ii) p(λx) = |λ|p(x) với λ ∈ K, x ∈ E; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với x, y ∈ E Định nghĩa 1.1.4.2 [1] Khơng gian tơpơ tuyến tính E gọi lồi địa phương lân cận E chứa lân cận lồi Mỗi tôpô lồi địa phương không gian vectơ xác định họ nửa chuẩn {pα |α ∈ A} thỏa tính chất pα = 0, ∀α ∈ A x = 0, V tập mở với v ∈ V tồn ε > hữu hạn α1 , α2 , , αn ∈ A cho n {x|pαi (x − v) < ε} ⊂ V i=1 Định nghĩa 1.1.4.3 [1] Cho A tập không gian lồi địa phương E, convA tập lồi đóng nhỏ E chứa A 1.2 1.2.1 Ánh xạ liên tục Ánh xạ liên tục không gian mêtric Định nghĩa 1.2.1.1 [2] Ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ) hai không gian mêtric gọi liên tục x ∈ X dãy {xn } X cho xn → x f (xn ) → f (x) Nếu ánh xạ f liên tục điểm x thuộc tập hợp A khơng gian mêtric X ta nói f liên tục tập hợp A Đặc biệt, A = X f liên tục A ta nói f liên tục khơng gian mêtric X 1.2.2 Ánh xạ liên tục không gian tôpô Khái niệm ánh xạ liên tục không gian tôpô mở rộng cách tự nhiên ánh xạ liên tục không gian mêtric Định nghĩa 1.2.2.1 [2] Giả sử f ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ) + Ánh xạ f gọi liên tục điểm x X dãy (xα ) X hội tụ đến x dãy f (xα ) hội tụ đến f (x) + Ánh xạ f gọi liên tục tập hợp A X liên tục 23 Ta ký hiệu KA (X, C) tập hợp tất ánh xạ compact F : X → C cho ánh xạ hạn chế F|A : A → C phi bất động Định nghĩa 3.1.1.1 [1] Hai ánh xạ F, G ∈ KA (X, C) gọi đồng luân chấp nhận được, ký hiệu F G KA (X, C) có phép đồng luân compact Ht : X → C (0 ≤ t ≤ 1) phi bất động A cho H0 = F H1 = G Rõ ràng, quan hệ tương đương KA (X, C) Mệnh đề 3.1.1.2 [1] Cho F, G ∈ KA (X, C) Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) tG(a) + (1 − t)F (a) = a, ∀(a, t) ∈ A × [0, 1]; (ii) sup||F (a) − G(a)|| ≤ inf ||a − F (a)|| a∈A Khi F a∈A G KA (X, C) Chứng minh Điều kiện (ii) suy với a ∈ A, đoạn [F (a), G(a)] nối F (a) đến G(a) khơng chứa điểm a Đây điều kiện (i) Do đó, ta cần chứng minh (i) suy F G KA (X, C) Ta viết Ht (x) = tG(x) + (1 − t)F (x), (x, t) ∈ X × [0, 1] Rõ ràng {Ht }0≤t≤1 đồng luân compact phi bất động A Ho = F, H1 = G nên ta có điều phải chứng minh 3.1.2 Ánh xạ cốt yếu Định nghĩa 3.1.2.1 [1] Cho cặp (X, A) tập lồi C ⊂ E Ánh xạ F ∈ KA (X, C) gọi cốt yếu với G ∈ KA (X, C) thỏa F|A = G|A , có điểm bất động Ánh xạ khơng thỏa điều kiện gọi phi cốt yếu Trong hình học, ánh xạ compact F : X → C cốt yếu đồ thị F|A không cắt mặt chéo ∆ ⊂ X × C đồ thị ánh xạ compact G : X → C trùng với F A phải cắt mặt chéo ∆ 24 Nhận xét: F cốt yếu KA (X, C) F|A phi bất động (theo định nghĩa KA (X, C)) F có điểm bất động Mệnh đề 3.1.2.2 [1] Cho cặp (X, A) không gian định chuẩn E, L khơng gian đóng E giao với A ⊂ X Ký hiệu AL = A ∩ L XL = X ∩ L Giả sử F ∈ KA (X, E) ánh xạ cốt yếu cho F (X) ⊂ L Khi F|XL ∈ KAL (XL , L) cốt yếu Chứng minh Ta cần chứng minh mở rộng compact F0 : XL → L F|AL có điểm bất động Xét G : A ∪ XL → L cho  F (x), x ∈ X L G(x) = F (x), x ∈ A Ánh xạ liên tục (dễ kiểm tra), nữa, A ∪ XL đóng X (do A đóng X, XL = X ∩ L mà L không gian đóng E) Theo định lý 2.2.2.5, G có ˜ ˜ thể mở rộng thành ánh xạ compact G : X → L, G hiển nhiên mở rộng ˜ ˜ F|A , nên phải có điểm bất động x (lưu ý G ∈ KA (X, E)) Vì x = G(x) nên ˜ x ∈ X ∩ L = XL ,và G|XL = F0 nên F0 (x) = x Mệnh đề 3.1.2.3 [1] Cho Br = {x ∈ E : ||x − x0 || < r} F ∈ K∂Br (B r , E) ánh xạ cốt yếu Khi với < r0 < r, phép hạn chế F|B r0 ánh xạ cốt yếu K∂Br0 (B r0 , E) Chứng minh Giả sử F|∂Br0 có mở rộng phi bất động F0 B r0 Khi  F (x), x ∈ B r0 F (x) = F (x), x ∈ B r − Br mở rộng phi bất động F|∂Br Điều mâu thuẫn với giả thiết F ánh xạ cốt yếu K∂Br (B r , E) Vậy F|B r0 ánh xạ cốt yếu K∂Br0 (B r0 , E) Bổ đề 3.1.2.4 [1] Cho cặp (X, A) tập lồi C ⊂ E Các điều kiện sau tương đương F ∈ KA (X, C): 25 (i) F không cốt yếu; (ii) Tồn ánh xạ phi bất động G ∈ KA (X, C) cho F G KA (X, C); (iii) F đồng luân với ánh xạ phi bất động F ∗ KA (X, C) phép đồng luân H ∗ F|A A theo điểm cố định, tức H ∗ (a, t) = F (a), ∀t ∈ I, ∀a ∈ A Chứng minh (i) → (ii): Cho G ∈ KA (X, C) ánh xạ phi bất động cho F|A = G|A Phép đồng luân compact (x, t) → tG(x) + (1 − t)F (x) nối F G phi bất động A (ii) → (iii): Cho H : X × I → C phép đồng luân compact từ G vào F cho H|A×{t} phi bất động với t ∈ I Đặt ε(F ) = {x|x = H(x, t), t ∈ I} Khơng tính tổng qt, giả sử B = ∅ Khi B tập đóng tập compact H(X × I) nên compact, đó, đóng X Vì A ∩ B = ∅ (do H phi bất động A) nên tồn hàm Urysohn λ : X → I cho λ|A = λ|B = Đặt F ∗ (x) = H(x, λ(x)) Rõ ràng, F ∗ compact phi bất động, F ∗ (x) = H(x, λ(x)) = x x ∈ B nên λ(x) = x = H(x, 0) = G(x), trái giả thiết G phi bất động Để chứng minh F ∗ đồng luân với F giữ nguyên giá trị F|A theo điểm, ta xét đồng luân compact: H ∗ (x, t) = H(x, (1 − t) + tλ(x)) Khi H ∗ (x, 0) = H(x, 1) = F (x) H ∗ (x, 1) = H(x, λ(x)) = F ∗ (x), λ(a) = 1, ∀a ∈ A nên H ∗ (a, t) = H(a, 1) = F (a), ∀t ∈ I Với t ∈ I, H ∗ (x, t) rõ ràng phi bất động A (iii) → (i): Hiển nhiên Định lý 3.1.2.5 (Tính chất cắt ngang tơpơ) [1] Cho cặp (X, A) tập lồi C ⊂ E, F, G ∈ KA (X, C) cho F G cốt yếu G KA (X, C) Khi F cốt yếu 26 Chứng minh Suy từ (i) (ii) bổ đề 3.1.2.4 quan hệ tương đương KA (X, C) Hệ 3.1.2.6 [1] Cho cặp (X, A) tập lồi C ⊂ E, F ∈ KA (X, C) cốt yếu Khi ∃ε > thỏa tính chất: ánh xạ compact G : X → C thỏa ||G(a) − F (a)|| < ε, ∀a ∈ A, thuộc KA (X, C) G cốt yếu Chứng minh Vì F compact phi bất động A nên tồn ε > cho ||a − F (a)|| ≥ ε, ∀a ∈ A Nếu ánh xạ compact G : X → C thỏa ||G(a) − F (a)|| < ε, ∀a ∈ A, theo ||G(a) − a|| ≥ ||F (a) − a|| − ||G(a) − F (a)|| > 0, ∀a ∈ A G compact phi bất động A nên G ∈ KA (X, C), kết hợp mệnh đề 3.1.1.2, ||G(a) − F (a)|| < ||a − F (a)||, ∀a ∈ A, ta có F G KA (X, C), theo định lý 3.1.2.5, G cốt yếu Định lý 3.1.2.7 [1] Cho U tập mở tập lồi C ⊂ E, xét cặp (U , ∂U ) C Khi với u0 ∈ U , ánh xạ F|U = u0 cốt yếu K∂U (U , C) Chứng minh Ta cần chứng minh ánh xạ compact G : U → C thỏa G|∂U = u0 có điểm bất động Mở rộng G thành ánh xạ compact G∗ : C → C cách đặt = u0 Theo định lý điểm bất động Schauder 2.2.4.2, G∗ phải có điểm bất động G∗ |C−U x, khơng có điểm C − U bất động nên điểm bất động x ∈ U Do đó, x = G(x) Định lý 3.1.2.8 [1] Cho U lân cận mở, lồi, đối xứng, bị chặn khơng gian định chuẩn E Khi ánh xạ compact F ∈ K∂U (U , E) bảo tồn tính xuyên tâm ∂U cốt yếu Chứng minh Suy từ định lý 2.2.5.1 27 3.2 3.2.1 Ứng dụng cho toán điểm bất động Nguyên lý Leray - Schauder Định lý Birkhoff-Kellogg Trong phần này, ta áp dụng định lý tính cắt ngang tơpơ cho phương trình x = F (x), F tốn tử compact hồn tồn liên tục Định lý 3.2.1.1 (Nguyên lý Leray-Schauder) [1] Cho C ⊂ E tập lồi U tập mở C, Ht : U → C đồng luân compact chấp nhận cho H0 = F H1 = G, G ánh xạ từ U đến điểm uo ∈ U Khi F có điểm bất động Chứng minh Theo định lý 3.1.2.7, G ánh xạ cốt yếu, kết hợp định lý 3.1.2.5, ta có F cốt yếu nên F có điểm bất động Định lý 3.2.1.2 (Phép lựa chọn phi tuyến) [1] Cho C ⊂ E tập lồi, U mở C cho ∈ U Khi ánh xạ compact F : U → C có hai tính chất sau: (a) F có điểm bất động; (b) Tồn x ∈ ∂U λ ∈ (0, 1) cho x = λF (x) Chứng minh Ta giả sử F|∂U phi bất động F|∂U khơng phi bất động ta có tính chất (a) Cho G : U → C ánh xạ u → 0, xét đồng luân compact Ht : U × I → C cho công thức H(u, t) = tF (u) nối G F Nếu H phi bất động ∂U , theo định lý 3.2.1.1, F phải có điểm bất động Nếu H không phi bất động ∂U tồn điểm x ∈ ∂U cho x = H(x, λ) = λF (x), λ = (do ∈ ∂U ) / λ = (do F|∂U phi bất động) nên ta có (b) Rất nhiều định lý điểm bất động truyền thống xuất phát từ phép lựa chọn phi tuyến, cách đặt điều kiện để tránh xảy tính chất (b) Chẳng hạn, ta đặt p : E → R+ hàm (không thiết phải liên tục) cho p−1 (0) = p(λx) = λp(x), ∀λ > Khi ta có hệ sau: 28 Hệ 3.2.1.3 [1] Cho C ⊂ E tập lồi U tập mở chứa C, F : U → C ánh xạ compact Nếu (Điều kiện Rothe) p[F (x)] ≤ p(x), ∀x ∈ ∂U , (Điều kiện Altman) [pF (x)]2 ≤ [p(F (x) − x)]2 + [p(x)]2 , ∀x ∈ ∂U F có điểm bất động Chứng minh Dễ kiểm tra F khơng có tính chất (3.2.1.2b) nên F có điểm bất động Định lý 3.2.1.4 (Phép lựa chọn Leray-Schauder) [1] Cho C tập lồi E giả sử ∈ C, F : C → C tốn tử hồn tồn liên tục Đặt ε(F ) = {x ∈ C|x = λF (x), < λ < 1} Khi ε(F ) khơng bị chặn F có điểm bất động Chứng minh Giả sử ε(F ) bị chặn, đặt B(0, r) hình cầu mở chứa ε(F ) Khi F|C∩B(0,r) : C ∩ B(0, r) → C ánh xạ compact khơng có điểm x ∈ ∂[C ∩ B(0, r)] thoả tính chất (b) định lý 3.2.1.2 (theo cách xây dựng B(0, r)) nên F|C∩B(0,r) phải có điểm bất động hay F có điểm bất động Định lý 3.2.1.5 [1] Cho F : E × I → E tốn tử hồn toàn liên tục cho ∃ > 0, F (x, 0) = −F (−x, 0), ∀x ∈ E thỏa ||x|| ≥ Đặt ε(F ) = {x ∈ E|x = F (x, t), t ∈ (0, 1)} Khi ε(F ) không bị chặn x → F (x, 1) có điểm bất động Chứng minh Giả sử ε(F ) bị chặn, B = B(0, r) hình cầu mở E chứa ε(F ) thỏa r≥ Xét phép đồng luân compact Ft (x) = F (x, t) với (x, t) ∈ B × I, ta giả sử {Ft } phi bất động ∂B Khi F0 F1 K∂B (B, E) Vì F0 bảo tồn tính xuyên tâm ∂B nên F0 cốt yếu (định lý 3.1.2.8), theo định lý 3.1.2.5, ta có F1 cốt yếu Vì F1 có điểm bất động 29 Toán tử F : E → E gọi bán bị chặn ||F (x)|| ||F (x)|| = inf sup < ∞ >0 ||x||≥ ||x||→∞ ||x|| ||x|| | F |= lim Ví dụ 3.2.1.1 Mọi tốn tử tuyến tính bị chặn F bán bị chặn |F | = ||F || Định lý 3.2.1.6 [1] Cho F : E → E toán tử hồn tồn liên tục, bán bị chặn Khi với số thực |λ| < |F | (và cho số thực λ |F | = 0), toán tử λF có điểm bất động Tổng quát hơn, với y ∈ E |λ| < , |F | phương trình y = x − λF (x) có nghiệm Chứng minh Cho y ∈ E, xét tốn tử hồn tồn liên tục G(x) = y + λF (x) Dễ nhận thấy |G| = |λ||F | Vì |λ| < , |F | ta có |G| < 1, ∃r > cho ||G(x)||/||x|| < 1, ∀||x|| ≥ r Bằng phép lựa chọn phi tuyến cho G {x | ||x|| ≥ r}, ta có G có điểm bất động x Do đó, x = G(x) = y + λF (x) Ta áp dụng định lý tính cắt ngang tơpơ phương trình x = λF (x), λ tham số thực, cho tốn tồn phương bất biến ánh xạ compact Ta chứng minh rằng, với số điều kiện định phương bất biến luôn tồn Định lý 3.2.1.7 (Birkhoff-Kellogg) [1] Cho U lân cận mở, bị chặn không gian định chuẩn vô hạn chiều, F : ∂U → E ánh xạ compact thỏa ||F (x)|| ≥ α > 0, ∀x ∈ ∂U Khi F có phương bất biến, tức là, ∃x ∈ ∂U µ > cho x = µF (x) Chứng minh Theo định lý 2.2.2.5, ta giả sử F xác định U Ta cần tồn ánh xạ compact G : U → E, trùng với F ∂U cho ∈ G(U ) Do E / vô hạn chiều nên F (U ) compact khơng phủ hình cầu B(0, α/2) Vậy tồn vo ∈ B(0, α/2) − F (U ) Xây dựng đồng cấu h : (E, B(0, α/2)) → (E, B(0, α/2)) giữ nguyên E − B(0, α/2) biến vo thành sau: z ∈ B(0, α/2) − {vo } biểu diễn dạng z = (1 − t)vo + t˙ , z ∈ B(0, α/2), < t < Đặt z ˙  0,  z = vo   h(z) = h((1 − t)vo + t˙ ) = t˙ , z ∈ B(0.α/2) − {vo } z z    z, z ∈ E − B(0, α/2) 30 Khi G = h ◦ F ánh xạ cần tìm, G|∂U = F|∂U ||F (x)|| ≥ α, ∀x ∈ ∂U Chọn N ∈ N đủ lớn cho U ⊂ B(0, N ), xét ánh xạ compact H : U → E cho H(x) = N G(x) ||G(x)|| Ánh xạ khơng thể có điểm bất động U ⊂ B(0, N ) H(U ) ⊂ ∂B(0, N ) Sử dụng định lý lựa chọn phi tuyến cho H, ta có λN G(x) ||G(x)|| = x, với x ∈ ∂U, λ ∈ (0, 1) G|∂U = F|∂U ta có điều phải chứng minh 3.2.2 Trường compact Ứng dụng rộng định lý tính cắt ngang tơpơ (đặc biệt cho phương trình y = x − F (x)) trường compact Cho X tập không gian định chuẩn E F : X → E ánh xạ compact Các hàm viết dạng f (x) = x − F (x) gọi trường compact Trong không gian định chuẩn tùy ý đó, lớp trường compact có đặc điểm khác mà lớp ánh xạ compact Ví dụ, ánh xạ đồng khơng gian định chuẩn vô hạn chiều trường compact không ánh xạ compact Định nghĩa 3.2.2.1 [1] Cho (X, A), (Y, B) cặp không gian định chuẩn E Ánh xạ f : (X, A) → (Y, B) gọi trường compact x → x − f (x) ánh xạ compact từ X vào E Trường compact thường ký hiệu chữ thường, ví dụ, f : X → Y , ánh xạ compact x → x − f (x), ký hiệu chữ hoa tương ứng, F (x) = x − f (x) Ta gọi F (xác định nhất) ánh xạ compact liên kết với trường cho Trường f gọi hữu hạn chiều ánh xạ compact liên kết hữu hạn chiều Rõ ràng A ⊂ X ⊂ E, đó, E khơng gian định chuẩn (a) Ánh xạ nhúng i : A → X trường compact (hữu hạn chiều ánh xạ liên kết F (x) = 0); (b) Ánh xạ hạn chế f|A trường compact f : X → E trường compact; 31 (c) Hợp trường compact trường compact (Vì f : X → Y g : Y → Z có ánh xạ compact liên kết F G tương ứng, g[f (x)] = f (x) − G[f (x)] = x − [F (x) + G(f (x))] mà F + G ◦ f ánh xạ compact) Định lý 3.2.2.2 [1] Cho X ⊂ E tập đóng Khi (a) Trường compact f : X → Y ánh xạ riêng, đóng (tức là, nghịch ảnh tập compact Y tập compact X, ảnh tập đóng X đóng Y ); (b) Trường song ánh compact f : X → Y phép đồng phôi, ánh xạ ngược trường compact Chứng minh (a) Trước hết, ta chứng minh f ánh xạ riêng Cho K ⊂ Y compact, f −1 (K) = {x|x − F (x) ∈ K} ⊂ {x|x ∈ K + F (X)} ⊂ K + F (X) Vì f liên tục nên f −1 (K) tập đóng tập đóng X, đóng E chứa tập compact K + F (X) nên tập compact Để chứng minh f ánh xạ đóng, ta cần chứng minh K ∩ f (A) đóng K với tập A ⊂ X đóng K ⊂ Y compact (do Y khơng gian mêtric) Chú ý f −1 (K) compact, A∩f −1 (K) compact, đó, f [A∩f −1 (K)] = f (A) ∩ K compact nên đóng (b) Tính đồng phơi suy từ (a) Vì y = f [f −1 (y)] = f −1 (y) − F [f −1 (y)] ta có f −1 liên kết với ánh xạ compact −(F ◦ f −1 ), đó, f −1 trường compact Định nghĩa 3.2.2.3 [1] Cho (X, A), (Y, B) hai cặp E Hai trường compact f, g : (X, A) → (Y, B) đồng luân tồn ánh xạ liên tục h : (X, A) × I → (Y, B) cho ánh xạ (x, t) → x − h(x, t) ánh xạ compact từ X × I vào E, h(x, 0) = f (x) h(x, 1) = g(x) 32 Rõ ràng đồng luân H(x, t) = x − h(x, t) liên kết với h compact Để mơ tả khái niệm tính cắt ngang tôpô dạng trường compact, ta xét ánh xạ vào cặp cố định (E, E − {0}) Cho cặp (X, A) bất kỳ, để ý để tạo trường compact tương ứng với ánh xạ compact liên kết tập hợp trường compact f : (X, A) → (E, E − {0}) tương ứng 1-1 với tập hợp KA (X, E) tất ánh xạ compact F : X → E phi bất động A; nữa, đồng luân f g : (X, A) → (E, E − {0}) trường compact tương ứng với đồng luân compact ánh xạ compact liên kết phi bất động A Định nghĩa 3.2.2.4 [1] Cho (X, A) cặp E f : (X, A) → (E, E − {0}) trường compact Trường f gọi phi cốt yếu X tồn trường compact g : X → E − {0} cho g|A = f|A Trường gọi cốt yếu X khơng phi cốt yếu X Định lý 3.2.2.5 [1] Cho f, g : (X, A) → (E, E − {0}) hai trường compact đồng luân Khi f cốt yếu g cốt yếu (Trường hợp riêng định lý 3.1.2.5) Định lý 3.2.2.6 [1] Cho U tập mở E, xo ∈ U Khi trường compact f : (U , ∂U ) → (E, E − {0}) x → x − xo cốt yếu U (Kết định lý 3.1.2.7) 3.2.3 Phương trình y = x − F (x) tính bất biến miền Trong phần này, xét ứng dụng tính cắt ngang tơpơ phương trình y = x − F (x) trường compact trường hoàn toàn liên tục Định nghĩa 3.2.3.1 [1] Cho f : X → Y ánh xạ không gian mêtric Nếu tồn ε > δ ≥ cho diamf −1 (B(y, δ)) < ε, ∀y ∈ Y , ta nói f ε-ánh xạ δ-cơ sở Nếu δ = 0, ta gọi f đơn giản ε-ánh xạ, δ > f gọi ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp 33 Bổ đề 3.2.3.2 [1] Cho B(xo , ε) hình cầu mở khơng gian định chuẩn E, f : B(xo , ε) → E trường compact Nếu f ε-ánh xạ ∃η > cho f (B(xo , ε)) ⊃ B(f (xo , η)) f ε-ánh xạ δ-cơ sở với δ > f (B(xo , ε)) ⊃ B(f (xo ), δ) Chứng minh Vì f ε-ánh xạ δ-cơ sở nên ánh xạ compact liên kết F có tính chất ||x − y|| < ε ||F (x) − F (y) − (x − y)|| < δ Không tính tổng qt, giả sử xo = 0, F (0) = −f (0) Ta xét ánh xạ compact G(x) = F (x) − F (0) hình cầu B = B(0, ε) cần chứng minh f ε-ánh xạ δ-cơ sở với δ ≥ G cốt yếu K∂B (B, E) Xét đồng luân H : B × I → E xác định H(x, t) = F ( x −tx ) − F( ) 1+t 1+t Ánh xạ phi bất động ∂B, F( x −tx x −tx ) − F( )=x= −( ) 1+t 1+t 1+t 1+t với x ∈ ∂B ≤ t ≤ dẫn đến ||x|| < ε f ε-ánh xạ δ-cơ sở Vì H(x, 1) = F (x/2) − F (−x/2) bảo tồn tính xun tâm ∂B (dễ kiểm tra), từ định lý 3.1.2.8 định lý tính cắt ngang tơpơ ta có H(x, 0) = G(x) cốt yếu Xét trường hợp f ε-ánh xạ (δ = 0) Theo hệ 3.1.2.6, ∃η > cho toán tử compact G1 thỏa ||G1 (x) − G(x)|| < η ∂B thuộc K∂B ((B), E) cốt yếu; đặc biệt, toán tử G1 (x) = G(x) + y thỏa mãn: với ||y|| < η phương trình x = G(x) + y có nghiệm B Điều có nghĩa x − F (x) = −F (0) + y hay f (x) = f (0) + y có nghiệm ||y|| < η, thế, f (B(0, ε)) ⊃ B(f (0), η) Để thấy điều đó, ta lấy η = δ f ε-ánh xạ δ-cơ sở với δ > 0, để ý với ||y|| < δ ≤ t ≤ 1, đồng luân compact (x, t) → F (x) − F (0) + ty phi bất động ∂B, F (x)−F (0)+ty = x với x ∈ ∂B ≤ t ≤ ||F (x)−F (0)−(x−0)|| ≤ t||x|| ≤ δ dẫn đến ||x|| < ε Do đó, F (x) − F (0) + y cốt yếu K∂B (B, E), ∀||y|| < δ, trước đó, ta có f (B(0, ε)) ⊃ B(f (0), η) 34 Định lý 3.2.3.3 [1] Cho f : E → E trường hồn tồn liên tục khơng gian định chuẩn E Khi (a) Nếu f ε-ánh xạ f (E) mở E; (b) Nếu f ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp f tồn ánh Chứng minh (a) Suy từ bổ đề 3.2.3.2; (b) Theo bổ đề 3.2.3.2, hình cầu B(y, δ) chứa f (E) δ > với y ∈ f (E) nên f toàn ánh Định lý 3.2.3.4 (Bất biến miền Schauder) [1] Cho U tập mở không gian định chuẩn E, f : U → E trường hoàn toàn liên tục, đơn ánh Khi (a) f ánh xạ mở; (b) f (U ) mở E; (c) f đồng phôi từ U lên f (U ) Chứng minh Vì f đơn ánh nên f ε-ánh xạ với ε > 0, theo bổ đề 3.2.3.2 ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2.3.5 (Phép lựa chọn Fredholm) [1] Cho E không gian định chuẩn bất kỳ, F : E → E tốn tử tuyến tính hồn tồn liên tục Khi (a) Phương trình = x − F (x) có nghiệm khơng tầm thường, (b) Phương trình y = x − F (x) có nghiệm với y ∈ E Chứng minh Trường hoàn toàn liên tục f (x) = x − F (x) đơn ánh không đơn ánh Nếu f khơng đơn ánh (a) thỏa Nếu đơn ánh, ảnh E qua f không gian E, theo định lý bất biến miền, nằm hồn tồn E Do đó, trường đơn ánh f : E → E toàn ánh nên song ánh 35 Hệ 3.2.3.6 [1] Cho f : E → E trường hoàn toàn liên tục không gian định chuẩn E Nếu ||f (x) − f (y)|| ≥ M ||x − y||, M > 0, f khả nghịch Chứng minh Cho ε > 0, từ giả thiết ta có f ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp, theo định lý 3.2.3.3, f tồn ánh Vì f đơn ánh nên f song ánh liên tục, theo bổ đề 3.2.3.2 đẳng cấu Do f khả nghịch KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành số vấn đề sau: Tìm hiểu tính liên tục hồn tồn số tốn tử tích phân đặc biệt Nghiên cứu sử dụng định lý xấp xỉ Schauder việc chứng minh định lý điểm bất động tốn tử compact Tìm hiểu tính bất động tốn tử compact thơng qua ánh xạ cốt yếu Tài liệu tham khảo [1] J Dugundji and A Granas, Fixed point theory, SMM Springer (2003) [2] N V Kính, Tơpơ đại cương, Giáo trình nội bộ, ĐH Quy Nhơn [3] T T Quang, Đ T Đức, N V Kính, Giáo trình Giải tích hàm, ĐH Quy Nhơn (2004) ... lớp ánh xạ compact khơng có Ví dụ, ánh xạ đồng không gian định chuẩn vô hạn chiều trường compact không ánh xạ compact Định nghĩa 3.2.2.1 [1] Cho (X, A), (Y, B) cặp không gian định chuẩn E Ánh xạ. .. tục khơng gian hàm tương ứng, thế, tốn biên (2.1) chuyển toán điểm bất động ánh xạ F 2.2 2.2.1 Một số định lý điểm bất động Điểm bất động Định nghĩa 2.2.1.1 Cho X không gian F ánh xạ từ X (hoặc... (x) Vậy F có điểm bất động Định lý 2.2.4.2 (Định lý điểm bất động Schauder) [1] Cho C tập lồi (không thiết phải đóng) khơng gian định chuẩn E Khi ánh xạ compact F : C → C có điểm bất động Chứng