(Luận văn) điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––––––– MẪN THỊ BẮC lu ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ an va n NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH tn to p ie gh VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ nl w TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN d oa Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH lu ll u nf va an Mã số: 8.46.01.02 oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN-2020 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả lu an n va p ie gh tn to Mẫn Thị Bắc d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn an n va Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết tn to mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học ie gh viên để luận văn hoàn chỉnh p Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ nl w thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d oa Tháng 04 năm 2020 ll u nf va an lu Tác giả oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn lu an 1.1 Không gian metric nhân n va Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể không gian metric nhân p ie gh tn to w Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ oa nl NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN d 20 lu an 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích va khơng gian metric nhân 20 u nf ll 2.2 Điểm bất động ánh xạ tương thích biến thể m khơng gian metric nhân oi 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO z at nh KẾT LUẬN 38 39 z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, tập số thực dương không đầy đủ metric thông thường Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] cộng đưa khái niệm không gian metric nhân Năm 2012, Ozavsar [8] Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ khơng gian metric nhân Năm 2015, Kang [6] cộng đưa khái niệm ánh xạ tương thích không gian metric nhân đồng thời đạt số kết điểm bất lu an động chung ánh xạ tương thích khơng gian metric nhân Một va n hướng nghiên cứu gần đồng thời với việc nghiên cứu nêu việc tn to xét điểm bất động ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh ie gh xạ giao hoán giao hoán yếu Năm 1995, J Cho [2] cộng đưa p khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng gian tơpơ Năm 1996, nl w Jungck [5] đưa khái niệm ánh xạ tương thích yếu đạt kết oa điểm bất động ánh xạ tương thích yếu không gian metric d Năm 2013, Gu [3] cộng đưa định nghĩa ánh xạ giao hoán an lu va giao hốn yếu khơng gian metric nhân chứng minh vài u nf định lý điểm bất động ánh xạ Năm 2016, P.Kumar, S ll Kumar, S.M Kang [7] đưa khái niệm ánh xạ nửa tương thích khơng oi m z at nh gian metric nhân thiết lập định lí điểm bất động chung ánh xạ Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối z với ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích với biến thể @ l gm khơng gian metric nhân ” ngồi nước quan tâm nghiên cứu m co Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học an Lu n va ac th si Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết không gian metric nhân số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích điểm bất động chung ánh xạ tương thích với biến thể không gian metric nhân Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn lu an Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [6] [7], gồm 39 n va trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh gh tn to mục tài liệu tham khảo ie Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất không p gian metric nhân nl w Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết d oa Điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích ánh xạ tương thích an lu với biến thể khơng gian metric nhân ll u nf va Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric nhân Đ nh ngh a 1.1.1 Cho E tập khác r ng Một metric nhân ánh xạ :E E thỏa mãn điều kiện sau: , u, v E (u, v) (i) (u, v) (ii) (u, v) (v, u) , u, v (iii) (u, v) (u, w) u v; E; (w, v) , u, v, w E bất đ ng thức tam giác nhân lu an Khi (E, ) gọi khơng gian metric nhân va n n Ví dụ 1.1.2 Cho n xác định bởi: ie gh tn to n : tập hợp tất n số thực dương hàm số u1 v1 p u, v nl w u1, , un , v n v1, , un | | : xác định d oa u u2 v2 an lu n , không gian metric nhân oi m Khi đó, ll u nf va a Khi đó, thỏa mãn 1, (u, v) a u v , với metric nhân ( , ) khơng gian z u, v : z at nh Ví dụ 1.1.3 Cho @ t 1.1.4 Chú ý ví dụ 1.1.2 với số thực dương ví dụ m co l Nhận gm metric nhân Ta gọi khơng gian metric nhân thơng thường 1.1.3 với số thực a an Lu Ví dụ 1.1.5 Cho (E, ) khơng gian metric Cho ánh xạ xác định n va ac th si E (u, v) a u, v E a Khi đó, u a u u ,v a v, v, metric nhân E , a a gọi khơng gian metric nhân rời rạc Ví dụ 1.1.6 Cho E [a,b ] C [a,b ] tập tất hàm liên tục nhân giá trị thực Khi đó, E , (x, y ) không gian metric nhân với supt [a ,b ] lu an n va Nhận x (t ) y(t ) với x, y E tùy ý t 1.1.7 Metric nhân metric độc lập với định nghĩa ví dụ 1.1.2 metric nhân mà tn to Thật vậy, ánh xạ p ie gh không metric khơng thỏa mãn bất đ ng thức tam giác ,3 w 1 , ,3 khơng metric nhân khơng oa nl M t khác, metric thông thường 7.5 d thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân 3,6 2,6 va an lu 2, ll u nf Đ nh ngh a 1.1.8 Cho (E, ) khơng gian metric nhân Khi v | (u, v) E gọi dãy Cauchy nhân , tồn N N tức (un , um ) n, m m co với n, m B (u) với l gm cho (un , um ) n cho un @ (2) dãy {un } , tồn N z N tức (un , u) , z at nh n oi B (u) E gọi hội tụ nhân tới u với m i hình cầu mở nhân m (1) dãy {un } (3) E gọi không gian metric nhân đầy đủ dãy Cauchy nhân hội an Lu tụ nhân đến phần tử thuộc E n va ac th si Chú ý 1.1.9 Tập số thực dương thường Lấy E dãy un không đầy đủ theo metric thông {1 / n} Hiển nhiên, un dãy Cauchy E với metric thông thường E không không gian metric đầy đủ a 1/n un n Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy , a Khi đó, un dãy Cauchy nhân với m, un um un , um a 1/n a 1/m a 1 m n a m lu an n va a a 1, / a a log a , a log m a 1 n m 1 n Vậy E , không gian metric gh tn to Ta có un p ie nhân đầy đủ w Năm 2012, Ozavsar Cevikel [8] đưa khái niệm ánh xạ co oa nl nhân chứng minh vài định lý điểm bất động ánh xạ d khơng gian metric nhân lu va an Đ nh ngh a 1.1.10 Cho f ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) ll [0,1) cho u nf vào Khi đó, f gọi phép co nhân tồn số thực oi m (u, v) với u, v E z at nh (fu, fv) Năm 2015, Kang cộng [6] đưa khái niệm ánh xạ tương thích z khơng gian metric nhân sau @ vào Khi đó, fgun , gfun g , với dãy un gọi tương thích E cho m co lim an Lu n f l gm Đ nh ngh a 1.1.11 Cho f g ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) n va ac th si lim fun t với t lim gun n n E Đ nh ngh a 1.1.12 Cho f g ánh xạ từ không gian metric nhân (E, ) vào Khi đó, f g gọi tương thích yếu chúng giao hốn điểm trùng, tức ft gt với t E fgt gft Năm 1995, Cho cộng [2] đưa khái niệm nửa tương thích khơng gian topo sau Đ nh ngh a 1.1.13 [2] Cho f g ánh xạ từ khơng gian topo vào Khi đó, f g gọi nửa tương thích (1) fv gv kéo theo fgv gfv lu an u gun (2) fun u kéo theo fgun gu n va n ây giờ, ta định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện gh tn to phạm vi không gian metric nhân sau: p ie Đ nh ngh a 1.1.14 Cho f g ánh xạ từ không gian metric nhân fgun , gu , với dãy {un } E cho lim fun n lim gun u n d oa nl lim n w (E, ) vào Khi đó, f g gọi nửa tương thích an lu với u thuộc E va Điều suy f g nửa tương thích fv gv fgv gfv ll u nf Chú ý f g nửa tương thích khơng thiết f g tương thích oi m Hơn nữa, tính nửa tương thích f g khơng kéo theo tính nửa tương thích Ví dụ 1.1.15 Cho E [1, 3] z at nh g f :E E [1, ) xác định z u v , u, v E a u u 2, 3, gu u khi u u 2, 3, an Lu u khi m co fu E xác định l metric nhân Lấy ánh xạ f , g : E Khi đó, (E, ) khơng gian gm a @ (u, v) n va ac th si ii ) Su,Tv max với m i u, v Au, Bv , Au, Su , Su, Bv , Au,Tv E Bv,Tv , (2.6) 0,1 / iii ) ánh xạ S ,T , A B i n t c i (2.7) hi S ,T , A B có c p (A, S ) (B,T ) giao hoán ếu điểm bất động chung du Đ nh ý 2.2.2 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung du lu (B,T ) tương thích an n va tn to h ng minh Vì S (E ) Su0 E , tồn u1 v0 , với điểm u1 này, tồn điểm u2 Bu1 ie gh E thỏa mãn thỏa mãn E v1 Tiếp tục trình này, ta xây dựng dãy Au2 p v2n Su2n oa nl w Tu1 B(E ) , nên với điểm u0 Bu2n 1, v2n Tu2n Au2n d Theo chứng minh Định lý 3.1 [4], {vn } dãy Cauchy nhân E Do an lu Bu2n dãy hội u nf va đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n tụ z ll m Giả sử A liên tục Khi đó, AAu2n , ASu2n hội tụ đến Az n oi z at nh Vì A, S tương thích E , nên theo Mệnh đề 1.2.9, SAu2n hội tụ tới Az Ta z Az Thật vậy, ta có z n max , Bu2n 1,Tu2n , AAu2n ,Tu2n AAu2n , SAu2n , SAu2n , Bu2n m co , an Lu Cho n 1 l SAu2n ,Tu2n gm @ AAu2n , Bu2n , ta n va ac th 25 si Az, z max Az, z , Az, Az , Az, z , Az, z Vậy Az Suy d Az, z z Thật vậy, ta có Az, Bu2n max Az, z z Tiếp theo, ta chứng minh Sz Sz,Tu2n z, z , Sz, Bu2n 1 , Az, Sz , , Az,Tu2n Bx 2n 1,Tx 2n , , ta có Cho n lu Sz, z an max n va tn to Sz, z , Sz, z p d Sz,Tu max Sz, z X cho z Sz Bu Az, Bu , Az, Sz , Sz, Bu , Az,Tu Bu,Tu , oa nl w d z,Tu z, z , Tu Thật vậy, ta có ie gh Ta chứng minh z z, Sz , B(E ) nên tồn u z Vì S (E ) Suy Sz z, z , z, z , d max z, z , z,Tu , z, z , z,Tu an lu va Tu ll u nf Suy z (z,Tu) Vì B,T tương thích E Bu z , nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta oi m Tu TBu Bz BTu TBu Tz z at nh có BTu Tương tự vậy, ta có z @ Sz,Tz Az, Sz , Sz, Bz , Az,Tz Bz,Tz , Bz,Tz , z, Bz , z, Bz an Lu z, z , m co z, Bz , Az, Bz , l max max gm z, Bz n va ac th 26 si (z, Bz ) Bz Nên z Suy z Bz Tz Az Sz Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Phép chứng minh tương tự cho trường hợp B liên tục Tiếp theo, giả sử S liên tục Khi SSu2n , SAu2n hội tụ tới Az Vì A S tương thích E nên từ Mệnh đề 1.2.9 suy ASu2n n hội tụ đến Az n lu SSu2n ,Tu2n Ta có max an ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n , Bu2n ASu2n ,Tu2n , va , ta n Cho n gh tn to Sz, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z p ie Sz, z B(E ) nên v z Vì S (E ) E cho z Bv Ta có Sz d oa suy Sz nl w Sz, z , max ASu2n , Bv , ASu2n , SSu2n , SSu2n , Bv , ASu2n ,Tv u nf va , ta oi m max z, z , z, z , z,Tv , z at nh z,Tv Bv,Tv , ll Cho n an lu SSu2n ,Tv z, z , d z,Tv z z,Tv Tv Vì B T tương thích E Bv Tv l gm @ Suy z TBv TBv Bz M t khác, ta có BTv m co Mệnh đề 1.2.8, ta có BTv z , nên theo Tz an Lu n va ac th 27 si Su2n ,Tz max Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz Bz,Tz , , ta Cho n z,Tz max z,Tz , z, z , z,Tz , z,Tz Tz,Tz , z,Tz A(E ) nên w z Vì T (E ) Suy Tz Sw, z X: z Tz Aw Ta có Sw,Tz lu an max Aw, Sw , Sw, Bz , Aw,Tz Bz,Tz , n va Aw, Bz , to z, z , gh tn max z, Sw , Sw, z , z, z p ie (Sw, z ) z Vì S A tương thích E Sw w Suy Sw SAw Az Sz Aw ASw z , nên theo SAw Sz Hay Tz Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Bz d Az oa nl Mệnh đề 1.2.8, ta có ASw z Tz,Tz , lu va an Tương tự, ta hồn thành chứng minh T liên tục w hai điểm bất động chung S ,T , A u nf Cuối cùng, giả sử z w z Sz, Bw , Az,Tw Bw,Tw , w, w , z, w , z, w m co l z, z , gm z, w , Az, Sz , @ max Az, Bw , z max z at nh Sz,Tw oi m z, w ll B Khi z, w an Lu n va ac th 28 si Suy z w Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Ta điều phải chứng minh ưới định lý ánh xạ tương thích kiểu (A) Đ nh ý 2.2.3 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động (B,T ) tương thích kiểu (A) chung du h ng minh Giả sử A liên tục Vì (A, S ) tương thích kiểu (A) , theo Mệnh đề 1.2.2, c p (A, S ) tương thích, nên kết suy từ Định lý 2.2.2 lu an Tương tự, B liên tục (B,T ) tương thích kiểu (A) (B,T ) tương va n thích nên kết suy từ Định lý 2.2.2 Sau định lý ánh xạ tương thích kiểu (B ) ie gh tn to Chứng minh tương tự cho trường hợp S ho c T liên tục p Đ nh ý 2.2.4 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i oa nl w đ hi S ,T , A B có điểm bất động d (B,T ) tương thích kiểu (B ) va an lu chung du c p (A, S ) oi m E o đó, dãy ll u nf h ng minh Từ chứng minh Định lý 2.2.2, ta có dãy Cauchy nhân dãy hội tụ z z at nh Su2n , Au2n , Tu2n Bu2n z Vì c p gm @ Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n Sz n m co l (A, S ) tương thích kiểu (B ) , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy AAu2n hội tụ tới Ta có an Lu n va ac th 29 si SAu2n ,Tu2n max AAu2n , Bu2n , AAu2n , SAu2n , Bu2n 1,Tu2n , SAu2n , Bu2n AAu2n ,Tu2n 1 , , ta Cho n Sz, z Sz, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z (Sz, z ) B(E ) nên u z Vì S (E ) Suy Sz lu SAu2n ,Tu E: z Bu Ta có Sz AAu2n , Bu , v AAu2n , SAu2n , max an SAu2n , Bu , Bu,Tu , AAu2n ,Tu va , ta n Cho n to gh tn Sz,Tu Suy Tu Sz,Tu Tu Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (B ) p ie Sz z Tu , nên theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBu z Bz BTu BTu Tz Ta có TBu d oa nl w Bu max Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz , ta m z,Tz , oi z,Tz z Vì T (E ) A(E ) , nên v Av, Bz , Sv, Bz , Av,Tz Tz Av, Sv , Av Ta có Bz,Tz , , suy Sv, z an Lu Sv, z m co l gm @ max E: z z Sv,Tz z at nh Suy Tz Bz,Tz , ll Cho n Au2n , Bz , u nf va an lu Su2n ,Tz n va ac th 30 si z Vì c p A, S tương thích kiểu B Sv Suy Sv theo Mệnh đề 1.2.10, ta có Sz SAv Az Bz Az Do đó, ASv Sz Av , nên z Tz z z điểm bất động chung S ,T , A B ây giờ, giả sử A liên tục Khi đó, AAu2n ASu2n hội tụ tới Az Vì (A, S ) tương thích kiểu (B ) , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy n SSu2n hội tụ tới Az n lu SSu2n ,Tu2n Ta có max an n va ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n , Bu2n ASu2n ,Tu2n 1 , tn to , ta có Cho n ie gh Az, z B(E ) , nên w z Vì S (E ) p Suy Sz Az, z E: z Sz Bw Ta có Sz,Tu max d oa nl w z,Tw Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw Bw,Tw , z, z , z, z , va an lu max z,Tw , z, z , z,Tw ll u nf (z,Tw ) Tw Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (B ) Bw z Tw nên oi m Suy ra, z Ta có BTw , Bz BTw z at nh theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBw TBw Tz z max { (z,Tz ), (z, z ), (Tz,Tz ), (z,Tz ), (z,Tz ) gm @ (Sz,Tz ) m co Suy z l (z,Tz ) Tz o đó, z điểm bất động chung S ,T , A B an Lu Chứng minh tương tự cho trường hợp B ho c T liên tục n va ac th 31 si Cuối cùng, z w z z, w w hai điểm bất động chung ta có Sz,Tw max Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw Bw,Tw , z, w w Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Định Suy ra, z lí chứng minh đầy đủ ưới định lý ánh xạ tương thích kiểu (C ) lu Đ nh ý 2.2.5 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân an n va đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i c p (A, S ) tn to hi S ,T , A B có điểm bất động (B,T ) tương thích kiểu (C ) ie gh chung du E dãy Cauchy nhân p h ng minh Theo Định lý 2.2.2, o đó, oa nl w dãy d Su2n , Au2n , Tu2n Bu2n 1 lu va an hội tụ tới z Vì c p ll u nf Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n oi m (A, S ) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy AAu2n hội tụ đến z at nh Sz n Ta chứng minh Sz z Thật vậy, ta có z @ max Bu2n 1,Tu2n , ta , SAu2n , Bu2n 1 , an Lu Cho n AAu2n , SAu2n , m co AAu2n ,Tu2n , l SAu2n ,Tu2n gm AAu2n , Bu2n n va ac th 32 si Sz, z Az, z , max Sz, Sz , z, z , Sz, z , Sz, z Sz, z z Vì S (E ) Suy Sz SAu2n ,Tw B(E ), nên u E:z AAu2n , Bw , max SAu2n , Bu , Bu Ta có Sz AAu2n , SAu2n , Bu,Tu , AAu2n ,Tu , ta Cho n lu Sz,Tu max an va n Suy Sz Tu (z Sz, Sz , Sz, Sz , Bu, Bu , Sz,Tu Sz ,Tu , Sz,Tu Tu) Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (C ) tn to z Bz BTu Tu, nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TBu BTu o Tz Ta có TBu p ie gh Bu w Su2n ,Tz Au2n , Bz , Au2n , Su2n , Su2n , Bz , Au2n ,Tz Bz,Tz , d oa nl max , ta z,Tz , max z, z ,1, u nf z,Tz va an lu Cho n z,Tz , z,Tz ll z,Tz Sv, z A(E ) , nên v Sv,Tz z Bz,Tz , gm Sv, Bz , Av, Sv , @ Av, Bz , Av Ta có z max E:T z at nh z Vì T (E ) oi m Suy Tz Av,Tz z, z , z, z , Sv, z , z, z an Lu Sv, z Sv, z , m co l max n va ac th 33 si Sv Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (C ) Sv Suy z SAv , ta có Sz theo Chú ý 1.2.12, ASv Bz Az Tz SAv ASv z Av, nên Az o đó, z Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Sz Giả sử A liên tục Khi AAu2n , ASu2n hội tụ đến Az n Vì c p (A, S ) tương thích kiểu (C ) , nên theo Chú ý 1.2.13 suy SSu2n hội tụ tới Az n Ta có lu SSu2n ,Tu2n max an ASu2n , Bu2n , ASu2n , SSu2n , Bu2n 1,Tu2n , SSu2n Bu2n ASu2n ,Tu2n va , Tu2n 1, Bu2n , ta Cho n n gh tn to max p ie Az, z Az, z , Az, Av , Az, z , Az, z z, z , nl w Az, z Suy Az d oa z Ta có Sz, Bu2n u nf va an max , ta (Sz, z ) , Az,Tu2n z Vì S (E ) Az, Bw , Az, Sz , Sz, Bw , Az,Tw z max Bw,Tw , l BTw Bz m co z Vì (B,T ) tương thích kiểu (C ) Bw Chú ý 1.2.12, ta có TBw B(E ) gm @ z,Tw Suy Tw , Bw Lại có z at nh (Sz,Tw ) Az, Sz , oi (z,Tw ) Sz , m E thỏa mãn z (Sz, z ) Suy Sz ll Cho n nên w Az, Bu2n lu Sz,Tu2n BTw z TBw Tw, nên theo Tz an Lu M t khác, ta có n va ac th 34 si z,Tz Suy Tz Sz,Tz o vậy, Tz z Bz Sz z,Tz Az z Vậy z điểm bất động chung S ,T , A B Tương tự, ta chứng minh cho trường hợp B ho c T liên tục Tính suy dễ dàng Định lí chứng minh Cuối cùng, ta có định lý sau ánh xạ tương thích kiểu (P ) Đ nh ý 2.2.6 Cho S ,T , A B ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ (E, ) vào th a m n (2.5) (2.7) i r ng c p (A, S ) hi S ,T , A B có điểm bất động chung (B,T ) tương thích oại (P ) lu an du va n h ng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.2, dãy Cauchy nhân gh tn to o đó, dãy Su2n , Au2n , Tu2n E hội tụ tới z n {Bu2n 1} p ie Vì c p nl w Giả sử S liên tục Khi đó, SSu2n , SAu2n hội tụ tới Sz n an lu Sz n d oa (A, S ) tương thích kiểu (P ) , nên từ Chú ý 1.2.13 suy AAu2n hội tụ tới z Thật vậy, ta có u nf va Ta chứng minh Sz ll AAu2n , Bu2n max AAu2n ,Tu2n z at nh , SAu2n , Bu2n Sz, z , Sz, Sz , Sz, z , Sz, z , z, z , m co l gm B(E ) nên u E cho z an Lu z Vì S (E ) AAu2n , SAu2n , @ max Sz, z Suy Sz , z , ta Sz, z Bu2n 1,Tu2n oi Cho n m SAu2n ,Tu2n Sz Bu n va ac th 35 si Tiếp theo, ta chứng minh Tu Su2n ,Tu z Ta có max Au2n , Bu , Au2n , Su2n , Su2n , Bu , Au2n ,Tu Bu,Tu , , ta có Cho n z,Tu z, z , max z, z , z,Tu , z, z , z,Tu z,Tu Suy z o đó, Bu Tu z Vì c p (B,T ) tương thích kiểu (P ), Tu lu nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TTu an Bz ây ta Tz Vậy Bz,Tz z Ta có n va Tz BBu, suy to max ie gh tn Su2n ,Tz p Cho n oa Tz o Bz Au2n ,Tz Bz,Tz , z,Tz , z Vì T (E ) Tz d lu Av Ta chứng minh Sv Av, Bz , max ll Sv,Tz u nf va Sv, z A(E ), nên v E cho z Thật vậy, ta có an Tz Su2n , Bz , z,Tz nl z Au2n , Su2n , , ta w Suy z Au2n , Bz , Av, Sv , Bz,Tz , Av,Tz oi m Sv, Bz , Av, Sv , o z Sv Sv Sz Tz o đó, Sz Az l Bz AAv, suy d Sz, Az gm Vì Az @ theo Chú ý 1.2.12, ta có SSv Av Vì (A, S ) tương thích kiểu (P ), nên z Suy z z at nh Sv, z z, nên z điểm bất động chung S ,T , A B m co Chứng minh tương tự cho trường hợp A ho c B ho c T liên tục an Lu Tính dễ ràng suy Vậy định lý chứng minh n va ac th 36 si Ví dụ 2.2.7 Cho E ét ánh xạ từ E vào Su 2u Au với u (i) S (E ) T (E ) u v ) với metric nhân thông thường (x , y ) [1, u 2, Bu u, Tu 2u B(E ) A(E ) E, S (E ) B(E ), T (E ) A(E ); (ii) S ,T , A B ánh xạ liên tục iii Các c p (A, S ) (B,T ) tương thích, chúng ánh xạ tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , kiểu (P ) lu an ét dãy un với n n va n lim Aun lim Sun n lim Bun lim Tun n Ta có n E n n Ta có ie gh tn to n Khi un lim ASun , SAun 1, lim n BTun ,TBun 1, lim ASun , SSun 1, lim n SAun , AAun 1, BTun ,TTun 1, lim TBun , BBun 1, p n oa nl w n n lu / 3, ta có max ll Au, Bv , Au, Su , Su, Bv , Au,Tv oi m Su,Tv u nf va an iv Với d lim n z at nh với u, v Bv,Tv , E Vậy tất điều kiện định lý thỏa mãn z điểm bất động chung S ,T , A B m co l gm @ an Lu KẾT LUẬN n va ac th 37 si Luận văn trình bày: - Một số khái niệm tính chất không gian metric nhân, Mối quan hệ tính chất ánh xạ tương thích biến thể Đó ánh xạ tương thích kiểu (A) , (B ) , (C ) kiểu (P ) không gian metric nhân Các Mệnh đề 1.2.2-1.2.11) - Kết điểm bất động chung ánh xạ nửa tương thích khơng gian metric nhân Định lí 2.1.1 - Kết điểm bất động chung ánh xạ tương thích khơng gian lu metric nhân Định lí 2.2.2 an - Các kết điểm bất động chung biến thể ánh xạ tương va n thích khơng gian metric nhân Cụ thể Định lí 2.2.3 ánh xạ tn to tương thích kiểu (A) , Định lí 2.2.4 ánh xạ tương thích kiểu (B ) , Định ie gh lí 2.2.5 ánh xạ tương thích kiểu (C ) Định lí 2.2.6 ánh xạ p tương thích kiểu (P ) d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO n va ac th 38 si [1] Bashirov A.E., Kurplnara E.M., Ozyapici A (2008), "Multiplicative calculus and its applications", J Math Anal Appl., (337), 36-48 doi: 10.1016/j.jmaa.2007.03.081 [2] Cho Y.J., Sharma B.K., Sahu D.R (1995), "Semi-compatibility and fixed points", Math Japon., (42), 91-98 [3] Gu F., Cui L.M., Wu Y.H (2013), "Some fixed point theorems for new contractive type mappings", J Qiqihar Univ., 19, 85-89 [4] He X., Song M., Chen D (2014), "Common fixed points for weak lu commutative mappings on a multiplicative metric space", Fixed Point an Theory Appl., (48), pages doi: 10.1186/1687-1812-2014-48 va n [5] Jungck G (1996), "Common fixed points for noncontinuous nonself maps to gh tn on nonmetric spaces", Far East J Math Sci., (4), 199-215 [6] Kang S., Kumar P., Kumar S., Nagpal P., Garg S.K (2015), "Common ie p fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative nl w metric spaces", Int J Pure Appl Math., (102), 383-406 d oa doi: 10.12732/ijpam.v102i2.14 an lu [7] Kumar P., Kumar S., Kang S.M 2016 , “Common fixed points for semi- u nf va compatible mappings in multiplicative metric spaces”, Int J Pure Appl Math., (106), No2, 611-624 ll mappings on multiplicative z at nh contraction oi m [8] Ozavsar M., C¸evikel A.C (2012), "Fixed points of multiplicative metric spaces", arXiv:1205.5131v1 [math.GM] z [9] Sarwar M., Badshah-e R (2014), "Some unique fixed point theorems in @ m co l gm multiplicative metric space", arXiv:1410.3384v2 [math.GM] an Lu n va ac th 39 si