(Luận văn) điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b metric và không gian b metric nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN ĐỨC THẮNG lu an ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NÓN n va ie gh tn to p Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 d oa nl w ll u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc lu an Tác giả n va tn to p ie gh Nguyễn Đức Thắng d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va i ac th si LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu an tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học va n Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết tn to mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi p ie gh học viên để luận văn hoàn chỉnh oa nl w thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn d Tháng 04 năm 2020 lu ll u nf va an Tác giả oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b metric 1.2 Điều kiện T thác triển lu an 1.3 Khơng gian b metric nón va n Chƣơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN METRIC VÀ KHƠNG GIAN b METRIC NĨN 16 gh tn to TRONG KHÔNG GIAN b p ie 2.1 Điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b metric 2.2 Điểm bất động điều kiện T thác triển không gian b metric oa nl w 16 d 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b metric nón 2.4 Điểm bất động điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn không gian b metric nón 22 lu u nf va an 25 ll 32 36 z at nh TÀI LIỆU THAM KHẢO oi m KẾT LUẬN 37 z m co l gm @ an Lu n va iii ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1922, Banach chứng minh định lý tiếng điểm bất động không gian metric, gọi nguyên lý ánh xạ co Banach, từ thiết lập tồn nghiệm phương trình tốn tử Tx  x Đã có nhiều mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach điểm bất động Sự mở rộng thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác không gian kiểu metric lu Năm 2007, Huang Zhang giới thiệu không gian metric nón chứng minh an va định lí điểm bất động ánh xạ co không gian Năm 2012, Stanic, n Cvetkovic, Simic Dimitrijevic đạt số kết điểm bất động 1989, Bakhtin giới thiệu không gian b  metric, mở rộng khác ie gh tn to chung điều kiện co kiểu Ciric không gian metric nón, Tương tự, năm p khơng gian metric Năm 1993, Czerwik mở rộng định lý điểm bất động nl w Banach không gian b  metric Khơng gian b  metric nón mở rộng d oa khơng gian metric nón không gian b  metric an lu Việc nghiên cứu ánh xạ giãn lĩnh vực nghiên cứu thú vị nf va lý thuyết điểm bất động Điều phát triển vào năm 1984 từ oi lm ul cơng trình Wang, Li, Gao Iseki cách giới thiệu khái niệm ánh xạ dãn không gian metric đầy đủ Daffer Kaneko sử dụng hai tự z at nh ánh xạ không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết Wang cộng Kể từ đó, định lý điểm bất động điểm bất động chung z nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn không gian khác nhau, @ gm chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d  metric, không gian b  metric, l không gian b  metric riêng, khơng gian metric nón, khơng gian b  metric m co nón, … Một số kết khơng gian b  metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn an Lu thiết lập Huang, Zhu Xi-Wen vào năm 2012 Gần đây, năm 2016, P.K Verma thiết lập số kết điểm bất động chung n va ac th si ánh xạ giãn khơng gian b  metric nón Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric khơng gian b  metric nón” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu lu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết Điểm an va bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric khơng n gian b  metric nón gh tn to Phương pháp nghiên cứu p ie Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn nl w Nội dung đề tài viết dựa tài liệu [8] [9] gồm 37 trang, d oa có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài an lu liệu tham khảo va Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất không ul nf gian b  metric không gian b  metric nón oi lm Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết khơng gian b  metric nón z at nh điểm bất động chung ánh xạ giãn không gian b  metric z Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt m co l gm @ an Lu n va ac th si CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b  metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập khác rỗng k  số thực cho trước Hàm số  : E  E  [0, ) gọi b  metric với u, v, w  E điều kiện sau thỏa mãn: a ) (u, v )   u  v ; lu b ) (u, v )  (v, u ) ; an c ) (u, v )  k (u, w )  (w, v ) va n Bộ ba (E , , k ) gọi không gian b  metric với hệ số k  gh tn to Ví dụ 1.1.2 Mỗi không gian metric không gian b  metric với k  , p ie ngược lại không Ví dụ lấy E    : E  E  [0, ) ánh xạ xác w định d oa nl (u, v )  | u  v |2 với u, v  E an lu Khi (E , , k ) không gian b  metric với hệ số k  Nhưng (E , ) không nf va phải không gian metric oi lm ul Ví dụ 1.1.3 Cho E  {  1, 0,1} d : E  E  [0, ) ánh xạ xác định (u, u)  0, u  E , z at nh (u, v )  (v, u ) với u, v  E , z (1, 0)  3, (1,1)  (0,1)  gm @ , không không m co l Khi (E, , k ) không gian b  metric với k  gian metric bất đẳng thức tam giác khơng thỏa mãn Thật vậy, ta có an Lu (1,1)  (1, 0)      (1, 0) n va ac th si Định nghĩa 1.1.4 Cho (E , ) không gian b  metric, u  E {un } dãy E Khi (i ) {un } hội tụ đến u lim (un , u)  n  Kí hiệu lim un  u un  u n   n  (ii ) {un } dãy Cauchy lim (un , um )  n ,m  (iii ) (E , ) đầy đủ dãy Cauchy E hội tụ lu Định nghĩa 1.1.5.Cho (E , ) không gian b  metric ánh xạ T : E  E an va Ta nói T liên tục u0  E với dãy {un } E , un  u0 n n   Tun  Tu0 n   Nếu T liên tục điểm u0  E gh tn to ta nói T liên tục E p ie Mệnh đề 1.1.6 Cho (E, , k ) không gian b  metric, giả sử {un } {vn } nl w dãy hội tụ đến u, v  E tương ứng Khi d oa (u, v )  lim inf (un , )  lim sup (un , )  k 2(u, v ) n  n  k lu va an Đặc biệt, u  v lim (un , )  Ngoài ra, với w  E , ta có n  oi lm ul nf (u, w )  lim inf (un , w )  lim sup (un , w )  k (u, w ) n  n  k z at nh Bổ đề 1.1.7 Cho (E, , k ) không gian b  metric với hệ số k {un } dãy E cho un  u un  v Khi u  v z Chứng minh Giả sử (u, v )    Khi theo giả thiết un  u un  v gm @   (un , v )  Suy 2k 2k m co l nên n cho với n  n (un , u )  an Lu    (u, v )  k ((u, un )  (un , v ))  k       2k 2k  n va ac th si với n  n Điều mâu thuẫn với (u, v )    Cho (E, , k ) không gian b  metric với hệ số k Bổ đề 1.1.8 {uk }kn0  E Khi (u n , u )  k (u , u )    k n 1(u n 2 , u n 1 )  k n 1(u n 1, u n ) Chứng minh Ta có (un , u )  k [ (u 0, u1 )  (u1, u )]  k (u 0, u1 )  k (u1, un )  k (u0, u1 )  k 2[(u1, u2 )  (u2 , un )] lu an  k (u0, u1 )  k 2(u1, u2 )  k 2(u2, un ) va n … gh tn to  k (u0, u1 )    k n 1(un 2, un 1 )  k n 1(un 1, un ) p ie Bổ đề 1.1.9 Cho {un } dãy không gian b  metric (E , , k ) với hệ số k  cho oa nl w  (u n , u n  )   (u n 1, u n ) d với n      / k Khi {un } dãy Cauchy (E , , k ) lu va an Chứng minh Cho m, n   m  n Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác ul nf vào ba {um , um 1, un },{um 1, um 2, un }, ,{un 2, un 1, un } ta có oi lm (um , un )  k ((um , um 1 )  (um 1, un )) z at nh  k (um , um 1 )  k ((m 1, um 2 )  (um 2, un )) z   k (um , um 1)  k 2(um 1, um 2 )  @ gm k n m 1((un 2, un 1 )  (un 1, un )) m co l  k (um , um 1 )  k 2(um 1, um 2 )  Bây từ  (u n , u n  )   (u n 1, u n ) k  suy an Lu k n m 1(un 2, un 1 )  k n m (un 1, un ) n va ac th si (um , un )  (k m  k 2m 1   k n mn 1 )(u0, u1 )  km (1  (k)   (k)n m 1 )(u0, u1 ) km  (u0 , u1 )  m    k  Vậy {un } dãy Cauchy Năm 2016, Daheriya, Likhitker Ughade ([2]) chứng minh định lý sau điểm bất động ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không lu gian b  metric: an va Định lý 1.1.10 ([2]) Cho (E , , k ) không gian b  metric đầy đủ với hệ n số k  T ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện: tn to  (u, v ) p ie gh  Tu,Tv   (u,Tu ) 1  (v,Tv )  (u, v ) , w với u, v  E , u  v ; ,   số thực với oa nl k     k   Khi T có điểm bất động E d Kết sau chứng minh Mohanta (Th.3.3 [5]) an lu ánh xạ liên tục không gian b  metric: nf va Định lý 1.1.11 [5] Cho (E , , k ) không gian b  metric với hệ số k  oi lm ul T : E  E ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: z at nh (Tu,Tv )  .max (u,Tv ), (v,Tu )  .(u,Tv ) 1  (v,Tv )  (u, v )  (u, v ) z với u, v  E , u  v ,trong , ,   , k     (1  )k  k 2 , @ gm     Khi T có điểm bất động E l Định nghĩa 1.1.12 Cho S T ánh xạ từ không gian metric (E , ) vào m co Cặp ánh xạ (S ,T ) gọi tương thích an Lu lim n  (STun ,TSun )  , với dãy {un }  E cho n va ac th si Chứng minh Lấy u điểm tùy ý không gian b  metric đầy đủ E Vì S (E )  E T (E )  E , nên xây dựng hai dãy {un } {vn } E , xác định Su0  u1, Su1  u2, Su2  u3, , Sun  un 1 ,… Tu  v 0, Tu1  v1,Tu2  v2, ,Tun  , Ta {vn } dãy Cauchy E Đặt u  un 1, v  un (2.4), ta có lu an (Tun 1,Tun )  .(TSun 1,TSun ) , n va suy Do ie gh tn to (vn 1, )  .(Tun ,Tun 1 )  (vn , 1 ), n  m p (vn , 1 )  s.(vn 1, ) , (2.5) oa nl w s  /  , với s  0,1 / k  d Theo Bổ đề 1.3.13, {vn } dãy Cauchy E Vì E đầy đủ, nên tồn lu an điểm w  E cho n  Tun  limn  TS nu  w ul nf va limn   lim oi lm Vì T hội tụ theo dãy, nên {un }  {S nu } hội tụ đến điểm z  E Do z at nh tính liên tục T , ta có Tz  w Vì TS liên tục, nên ta có w  limn  1  limn  TSun  TSz z Như vậy, ta TSz  Tz Vì T đơn ánh nên Sz  z @ gm Cuối cùng, ta z điểm bất động S Giả sử ngược lại, m co l tồn w  E cho w  z Sw  w Khi đó, (z, w )  T đơn ánh nên (Tz ,Tw )  an Lu Đặt u  z v  w (2.4), ta có n va ac th 23 si (Tz ,Tw )  (TSz,TSw )  (Tz ,Tw )  k (Tz ,Tw ) ,   k Điều mâu thuẫn w  z Điều z điểm bất động S , z  limn  S nu  lim n  T nu  Định lí chứng minh Ví dụ 2.2.3 Lấy E  [1, ) ánh xạ d : E  E   xác định bởi: (u, v )  | u  v |2 lu Chọn Su  / u , Tu   ln xu Khi (E , , k ) khơng gian b  metric an n va với k  Điểm u  (4)1/3  E điểm trùng, to ie gh tn Tu  Su   ln u  u  u =1.58 TSu  STu  1.58 p Do cặp (S ,T ) tương thích yếu Ở T (E )  [1, )   đầy đủ nl w Bây giờ, kiểm tra điều kiện (2.4) Ta có 2 d oa (Tu,Tv )  16 ln u  ln v (TSu,TSv )  ln u  ln v an lu Như bất đẳng thức T  thác triển 2 ul nf va 16 ln u - ln v  (Tu,Tv )  .(TSu,TSv )  4 ln u - ln v oi lm thỏa mãn với u, v  E , với u  v Ở    k  Do tất z at nh điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn u  (4)1/3  1.58 điểm bất động chung S T z Ví dụ 2.2.4 Lấy E  [1, ) với metric cảm sinh  Định nghĩa metric @ l gm  : E  E   (u, v )  | u  v | Khi (E , ) không gian metric m co Lấy Su  / u , u  E Ta S ánh xạ không dãn Thật vậy, ta an Lu có n va ac th 24 si (Su, Sv )   u  v (u, v ) uv ( u  v )  4(u, v ) 2.(uv )3/4 (Su, Sv )  2(u, v ) , với (uv )3/4  1, u, v  E , u  v Do S ánh xạ không dãn    Mặt khác, lấy T : E  E xác định Tu   ln u , ta có (TSu,TSv )   ln(Su )   ln(Tv ) lu an  ln n va u  ln 4 v 1 ln u  ln v 2 1 ln u  ln v   ln u   ln v  (Tu,Tv ) 2 (Tu,Tv )  2(TSu,TSv ) Suy S T  thác triển Vậy S ánh xạ ie gh tn to  p khơng dãn ánh xạ T  thác triển Ngoài u  điểm bất động nl w chung S T E an lu nón d oa 2.3.Điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b  metric va Định lí 2.3.1 Cho (E, , k ) khơng gian b  metric nón với hệ số k  Giả ul nf sử S ,T : E  E hai ánh xạ thỏa mãn bất đẳng thức dãn: oi lm (Tu,Tv)  (Su, Sv)  [(Su,Tu)  (Sv,Tv)] (2.6)      0,  ;     ,   2      k  z at nh với u, v  E , u  v , z    Nếu S (E )  T (E ) S (E ) T (E ) đầy đủ S @ m co T có điểm bất động chung E l gm T có điểm trùng Hơn cặp (S ,T ) tương thích yếu S an Lu Chứng minh Chọn u  E Vì S (E )  T (E ) , nên tồn u1  E cho Su  Tu1 Gọi giá trị chung v1 , tức Su  Tu1  v1 Khi với u1 n va ac th 25 si tồn u  E cho Su1  Tu  v2 Tiếp tục lập luận trên, ta Sun  Tun 1  1 (2.7) Chọn  1 , (vn , 1)   Đặt u  un , v  un 1 (2.6), ta có (Tun ,Tun 1 )  (Sun , Sun 1 )  [(Sun ,Tun )  (Sun 1,Tun 1 )] tức (vn , 1 )  (vn 1, 2 )  [(vn 1, )  (vn 2, 1 )] hay lu an (1  )(vn , 1 )  (  )(vn 1, 2 ) (2.8) va n Tương tự, đặt u  un 1, v  un (2.7), ta nhận bất đẳng thức giống gh tn to (2.8) Như vậy, ta có p ie (vn 2, 1 )  w 1  (vn , 1 ) với n    1   ; Mặt khác ta có  d oa nl Vì       , nên ta có (2.9)    k  k     k  k     ul nf va an lu 1        k (1  )  k oi lm      0,      0,  , ta có (yn 2, yn 1 )  s (yn , yn 1 ) với n       k  z gm @ Đặt s       0,  có hiệu lực     k  z at nh điều Như m co l Khi theo Bổ đề 1.3.25, {vn } dãy Cauchy E Hơn nữa,  S (E ) , mà S (E )  T (E ) , T (E ) đầy đủ {vn } hội tụ đến z  T (E ) an Lu Tương tự,  T (E ) T (E ) đầy đủ {vn } hội tụ đến z  T (E ) n va ac th 26 si Như vậy, hai trường hợp có {vn } hội tụ đến z  T (E ) Lấy z  Tu với u  X Ta có lim Sun  lim Tun  lim  z  Tu  T (E ) n  n  (2.10) n  Ta Su  z Thật vậy, giả sử d(z, Su)  Đặt u  un (2.6), ta có (Tun ,Tu )  (Sun , Su )  [(Sun ,Tu )  (Su,Tu n ) Cho n   sử dụng (2.10) ta lu   (z, Su)  [(z, z )  (Su, z )] an n va tức   (  )(z, Su) , điều mâu thuẫn Do Su  z Như u Lập luận tương tự, S (X ) đầy đủ Khi {vn } hội tụ đến z  S (E ) gh tn to điểm trùng (S ,T ) p ie ta sử dụng z  Su , thay cho z  Tu (2.10) Bất đẳng thức w (2.6) cho z  Su Vậy hai trường hợp, u  E điểm trùng oa nl (S ,T ) Điều chứng minh phần định lí d Hơn nữa, cặp (S ,T ) tương thích yếu, STu  TSu , Sz  Tz lu va an Ta z điểm bất động chung S T Thật vậy, giả sử ngược ul nf lại d(z, Sz )   Khi đặt y  z , u  un (2.6), ta có oi lm (Tun ,Tz )  (Sun , Sz )  [(Sun ,Tz )  (Sz ,Tun ) z at nh Cho n   sử dụng (2.10) ta (z, Sz )  (z, Sz )  [(z, Sz )  (Sz, z )] , z tức @ l gm (1  )(z, Sz )  (  )(z, Sz ) , hay m co an Lu 1   (z, Sz )  ,  n va ac th 27 si điều mâu thuẫn với 1   Như Sz  z Do z điểm bất  động chung S T Đối với tính z , ta giả sử tồn w điểm bất động chung khác S T , w  z Khi (w, z )  Đặt u  w v  z (2.6), ta có (Tw,Tz )  (Sw, Sz )  [(Sw,Tz )  (Sz,Tw )] , tức lu (w, z )  (w, z )  [(w, z )  (w, z )] an hay n va 1   (w, z )  ,  p ie gh tn to 1   Như w  z Do z điểm bất  động chung S T Định lí chứng minh  điều mâu thuẫn với nl w Nếu S ánh xạ đồng nhất, S  I Định lí 2.3.1 trở thành hệ sau đây: d oa Hệ 2.3.2 Cho (E, , k ) không gian b  metric nón với số k  an lu Giả sử T : E  E ánh xạ thỏa mãn: (Tu,Tv)  (u, v)  [(u,Tu)  (v,Tv)], u, v  E , u  v , va (2.11)      0,  ;     ,   2    Nếu T toàn ánh     k  oi lm ul nf z at nh T (E ) đầy đủ, T có điểm bất động E Thay đổi S T lẫn lấy   ta nhận hệ sau: z Hệ 2.3.3 Cho (E, , k ) khơng gian b  metric nón với số k  @ l gm Giả sử S ,T : E  E ánh xạ thỏa mãn: (Su, Sv)  (Tu,Tv) , u, v  E , u  v , m co (2.12) an Lu   1, /   (0,1 / k ) Nếu T (E )  S (E ) không gian T (E ) S (E ) đầy đủ, S T có điểm trùng Hơn nữa, n va ac th 28 si cặp (S ,T ) tương thích yếu, S T có điểm bất động chung E Chú ý Tính tương thích yếu cặp (S ,T ) cần thiết Định lí 2.3.1, ví dụ sau đây: Ví dụ 2.3.4 Lấy F  C 1([0,1], ) , C  {  F : (t )  0, t  [0, 1]} , E  [0,1]  : E  E  F xác định (u, v )  | u  v |2  , lu   C hàm cố định cho (t )  e t an n va Vì et  với t  [0,1] , nên  b  metric với (t )  e t  Ta có tn to (u, v )  | u  v |2   | (u  w )  (w  v ) |2  p ie gh  {| u  w |2  | w  v |2  | u  w | | w  v |} w  {| u  w |2  | w  v |2 (| u  w |2  | w  v |2 } d oa nl  (| u  w |2  | w  v |2 ) an lu   (u, w )  (w, v ) va Như (E, , k ) khơng gian b  metric nón với số k  Su   oi lm ul nf Lấy S ,T : E  E ánh xạ xác định z at nh u Tu   u với u  E z 1  Ta có S (E )   ,1  T (E )  [0,1] Cặp (S ,T ) có điểm trùng u  2    @ gm Su  Tu  Nhưng khơng tương thích yếu m co l STu  S  /  TSu  T  Ta kiểm tra bất đẳng thức sở điều kiện  ,  b ; u  v an Lu Chú ý rằng, n va ac th 29 si (Tu,Tv )  | u  v |2 , (Su, Sv )  (Su,Tu )  | u - v |2 , 1 | u |2  (Sv,Tv )  | v |2  4 Do đó, bất đẳng thức (2.6) cho ta 1 | u  v |2    | u  v |2    (| u |2  | v |2 ), 4 tức lu 1 (1  ) | u  v |2  (| u |2  | v |2 )   4 an va n  Do gh tn to (| u |2  | v |2  | u | | v |) p ie 1 (1  ) | u  v |2   | u  v |2 4 (2.13) nl w Xét ba trường hợp sau đây: d oa Trường hợp u  0, v  , tức | u |  0, | v |  Khi (2.13) trở thành nf va an lu   1   | v |2   | v |2        oi lm ul Trường hợp u  0, v  , tức | u |  0,| v |  Khi (2.13) trở thành z at nh   1   | u |2   | u |2        z Trường hợp u  v Giả sử ngược lại u  v với u  E đó, sử gm @ dụng (2.6), ta m co l 1 | u  v |2    | u  v |2    (|u |2  | v |2 ) , 4 suy an Lu n va ac th 30 si   (| u |2  | v |2 ) , điều khơng u, v  E Như với u  v , bất đẳng thức (2.6) xảy Bây giờ, ý cặp (S ,T ) khơng tương thích yếu Do điều kiện tương thích yếu Định lí 2.3.1 khơng thể bỏ qua Đó điều kiện cần định lí Ví dụ 2.3.5 Cho (E , ) khơng gian b  metric nón Ví dụ 2.3.4 lu an Giả sử S,T : E  E xác định Su  va n Khi u u , Tu  với u  E  [0,1] gh tn to  1 S (E )   0,   T (E )   4    1  0,   2   p ie Cặp (S ,T ) tương thích yếu u  , có điểm trùng u  w điểm bất động chung S T Xét trường hợp sau đây: oa nl Trường hợp u  v , ta có d va an lu u v (Tu,Tv )     (u, v ), 2 nf oi lm ul u v (Su, Sv )     (u, v ), 4 16 z at nh u u (Su,Tu )    (u, 0), 16 z l gm @ v v (Sv,Tv )     (v, 0) 16 m co Do từ (2.6), ta có an Lu 1 (u, v )   (u, v )   (u, 0)  (v, 0)  , 16 16 n va ac th 31 si tức 4(u, v )  (u, v )   (u, 0)  (v, 0) , (t )  , t  .(u, v )   (u, v ) , (u, v )   (u, 0)  (v, 0) Suy 2      Trường hợp u  0, v  , ta có   , (Su, Sv )  x , 16  (Su,Tu )  x , (Sv,Tv )  16 (Tu,Tv )  x lu an va n Do từ (2.6), ta có to ie gh tn u 2 .u 2 .u 2        4 16 16 p Trường hợp v  0, u  , ta có d oa nl w v 2 v 2 (Tu,Tv )  , (Su, Sv )  , 16 v 2 (Su,Tu)  , (Sv,Tv )  16 an lu va Do từ (2.6), ta có oi lm ul nf v 2 v 2 v 2        4 16 16 z at nh Do Định lí 2.3.1 có hiệu lực 2.4 Điểm bất động điều kiện T  thác triển cho ánh xạ dãn z khơng gian b  metric nón gm @ Định lí 2.4.1 Cho (E , , k ) khơng gian b  metric nón đầy đủ với triển: (2.14) an Lu (Tu,Tv )  (TSu,TSv ) m co l số k  S : E  E ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện T  thác với u, v  E , u  v ,   k , T : E  E ánh xạ đơn ánh liên n va ac th 32 si tục hội tụ theo dãy Khi S có điểm bất động z  X lim T nu  z với u  E n  Chứng minh Lấy u  E tùy ý Ta xây dựng hai dãy {un } {vn } E , xác định bởi: Su0  u1, Su1  u2, , Sun  un 1 ,… v  Tu 0, v1  Tu1, ,  Tun ,… lu an Chú ý rằng, vr 1  vr với r   , Tur 1  Tur Vì T đơn ánh, nên va n ur 1  ur  Sur 1  ur  Sur  ur gh tn to Như ur điểm bất động S Vì ta giả sử 1  , với n   p ie Đặt u  un 1, v  un (2.14), ta có (vn 1, )  (Tun ,Tun 1 )  (vn , 1 ), n  m, d oa tức nl w (Tun 1,Tun )  (TSun 1,TSun ) , nf va an lu hay oi lm ul (vn , 1 )  s.(vn 1, ) , s  với s  (0,1)  z at nh Bây ta {vn } dãy Cauchy E Bằng qui nạp với điều kiện (2.14), ta có z (vn 1, )  s (vn , 1 )  s 2(vn 1, 2 )    s n (v1, v0 ) @ an Lu  k (vm  p , vm  p1 )  k (vm  p1, vm ) m co (vm p , vm )  k[(vm p , vm  p 1 )  (vm p1, vm )] l gm Khi với số nguyên dương m  1, p  , ta có n va ac th 33 si  k (vm  p , vm  p 1 )  k 2[(vm  p 1, vm  p 2 )  (vm  p 2, vm )]  k (vm  p , vm  p 1 )  k 2(vm  p 1, vm  p 2 )  k 2(vm  p 2, vm )  k (vm  p , vm  p 1 )  k (vm  p 1, vm  p 2 )  k 3(vm  p 2, vm  p 3 )    k p 1(vm 2, vm 1 )  k p 1(vm 1, vm )  ks m  p 1(v1, v0 )  k 2s m  p 2 (v1, v )  k 3s m  p 3(v1, v )    k p 1s m 1(v1, v0 )  k p 1s m (v1, v ) lu  [ks m  p 1  k 2s m  p 2  k 3s m  p 3 + an n va   k p 1s m 1 ](v1, v )  k p 1s m (v1, v ) p ie gh tn to p 1   (v , v )  ks m  p k / s   1  k p 1s m (v1, v )   k  s (v1, v0 )  k p1s m (v1, v ) k s nl w  k ps m 1 d oa Lấy   c Chú ý k ps m 1 (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )   n   k s va an lu với k Theo Bổ đề 1.3.10, tồn m   cho (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )  c k s oi lm ul nf k ps m 1 với m  m Như vậy, ta có z at nh k ps m 1 (vm p , vm )  (v1, v0 )  k p 1s m (v1, v0 )  c k s z với m  m p   tùy ý gm @ l Do theo Bổ đề 1.3.11, {vn } dãy Cauchy (E , , k ) Hơn nữa, E m co không gian đầy đủ, nên tồn điểm w  E cho n  n  n  an Lu lim  lim Tun  lim TS nu  w n va ac th 34 si Vì T hội tụ theo dãy, nên {un }  {S nu0 } hội tụ đến điểm z  E Do tính liên tục T , ta có Tz  w TS liên tục , nên ta có w  lim 1  lim TSun  TSz n  n  Như ta TSz  Tz Vì T đơn ánh nên suy Sz  z Ta z điểm bất động S Giả sử ngược lại, tồn w  E cho Sw  w, w  z Khi (z, w )  Vì T đơn ánh nên ta có (Tz ,Tw )  lu Đặt u  z , v  w (2.14), ta có an n va  Tz ,Tw    TSz ,TSw    Tz ,TSw  gh tn to   Tz ,Tw    Tz ,Tw  ,   ie điều mâu thuẫn Như w  z Vậy z điểm bất động p S , z  lim S nu0  lim T nu Định lí chứng minh đầy đủ n  n   d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 35 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Một số khái niệm tính chất không gian b  metric không gian b  metric nón, khái niệm ánh xạ dãn, ánh xạ thỏa mãn điều kiện T  thác triển - Một số kết điểm bất động chung ánh xạ dãn không gian b  metric (Định lí 2.1.3 Định lí 2.1.5) lu - Kết điểm bất động điều kiện T  thác triển không an va gian b  metric (Định lí 2.2.2) n - Một số kết điểm bất động chung ánh xạ dãn không ie gh tn to gian b  metric nón (Định lí 2.3.1, Hệ 2.3.2, Hệ 2.3.3) - Kết điểm bất động điều kiện T  thác triển cho ánh xạ dãn p khơng gian b  metric nón (Định lí 2.4.1) d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 36 si TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Daffer P.Z., Kaneko H., (1992), “On expansive mappings”, Math Japonica, 37, 733-735 [2] Daheriya R.D., Likhitker M.R., Ughade M (2016), “Some theorems on fixed points & common fixed points of expansive type mappings in bmetric spaces”, Open Journal of Applied & Theor Math (OJATM) 2(2), 65-78, ISSN: 2455-7102 lu [3] Huang X., Zhu C., Wen X., (2012), “Fixed point theorems for expanding an va mappings in cone metric spaces”, math reports 14(64), 2, 141–148 n [4] Lukarevski M., Malčeski S., (2016), “Sequentially convergent mapping to gh tn and common fixed foint of mapping in 2-Banach spaces”, Математички ie Билтен Vol 40(LXVI) No 3, 13-22 p [5] Mohanta S.K (2016), “Coincidence points and common fixed points for nl w expansive type mappings in b-metric spaces”, Iran Jour Math Scien & Öztürk M., Kaplan N (2014), “Common fixed points of f-contraction an lu [6] d oa Informat 11(1), 101-113, DOI: 10.7508/ijmsi.2016.01.009 va mappings in complex valued metric spaces”, Math Sci 8.129 Rhoades B.E (1993), “An expansion mapping theorem”, Jnanabha 23, 151- 152 z at nh [8] oi lm [7] ul nf doi:10.1007/s40096-014-0129-2 Verma R.K., (2016), “Fixed point for expansion mappings in cone b  metric space”, Mayfeb Jour Math - ISSN 2371-6193.Vol 3, 37-47 z Verma R.K., (2016), “Common fixed point for expansion type mappings gm @ [9] l in cone b  metric space”, Mayfeb Jour Math - ISSN 2371-6193.Vol 3, m co 37-47 an Lu n va ac th 37 si