I TãI U Tì I K0A T T DU IM T ậ ã ì T M n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ S T0ã TĂi uả - ôm 2014 I TãI U Tì I K0A T T DU uả : ì ã T0ã S M số : 60.46.01.13 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП T S T0ã ìI ìẻ D K0A TS: TĂi uả - ôm 2014 Mử lử Li õi Ưu Ă lỵ s ເ§ρ ѵ· iºm ь§ƚ ëпǥ ѵ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п à ữ ẳ m 1.1 IM T ậ 1.1.1 àпҺ пǥҺ¾a 1.1.2 Ѵ½ dư 1.2 MËT Sẩ Lị S yờnIM T ậ ì s c u ạc họ i cng h t o ĩ TГœПҺ Һ€M .ăcns ca ạt.ihháọ vạ n c nth ă 1.2.1 lỵ n.vlunv.lunn.nvn.vihn u lu n vl 1.2.2 lỵ lu.ậluận 1.2.3 lỵ 1.2.4 lỵ 10 1.2.5 lỵ 12 1.2.6 iºm ь§ƚ ëпǥ Ă ữ ẳ m dÔ f ( ()) = af (х)+ ь 15 1.3 U Lị ã AA IM Ь‡T ËПǤ Ѵ€ ΡҺ×ὶПǤ TГœПҺ Һ€M 19 1.3.1 àпҺ пǥҺ¾a 19 1.3.2 lỵ ( S.aa) 19 1.3.3 lỵ 20 1.3.4 lỵ 22 1.4 IM T ậ ếA ã ã Lã ì TГœПҺ Һ€M 24 1.4.1 M»пҺ 24 · 1.4.2 M»пҺ 24 · 1.4.3 M»пҺ 25 à 1.4.4 lỵ( em[1] ) 25 1.4.5 M»пҺ · 25 1.4.6 M»пҺ · 26 1.4.7 àпҺ пǥҺ¾a 26 1.4.8 M»пҺ · 26 1.4.9 àпҺ пǥҺ¾a 26 1.4.10 M»пҺ · 27 1.4.11 M»пҺ ·( ь i ƚ0¡п 114 [2]) 28 1.4.12 M»пҺ · 28 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu uả lỵ Ă Ô aa kổ ia Mei su sỹ iằm ừa Ă ữ ẳ m dÔ au 30 2.1 U Lị ã ЬAПAເҺ TГ0ПǤ K̟ҺỈПǤ ǤIAП METГIເ SUƔ ГËПǤ 31 2.1.1 àпҺ пǥҺ¾a 31 2.1.2 uả lỵ Ă Ô ເ0 ЬaпaເҺ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп meƚгiເ suɣ гëпǥ 31 2.1.3 M»пҺ · (хem S.-M Juпǥ aпd Z.-Һ Lee [6]) 32 2.2 SÜ ÊП ÀПҺ ПǤҺI›M ເÕA ΡҺ×ὶПǤ TГœПҺ Һ€M ເAUເҺƔ 34 2.3 Sĩ ấ IM ếA MậT Lẻ ã ì T Һ€M D„ПǤ ເAUເҺƔ 39 2.3.1 lỵ (S00-M0 Juпǥ ѵ Seuпǥw00k̟ Miп [7]) 39 2.3.2 Һ» qu£ 42 2.3.3 Ѵ½ dö ¡ρ döпǥ 43 2.3.4 M»пҺ · 43 Ká luê 46 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 48 Lίi пâi ¦u ữ ẳ m l mở lắ ỹ kõ ữ ẳ Ơ a0 ừa 0Ă s Đ Ă ữ Ă iÊi ữ ẳ m Đ a dÔ ữ ma ẵ , ắa l uở пҺi·u ѵ ǥi£ ƚҺi¸ƚ ເõa ƚøпǥ ь i ƚ0¡п Đ kõ Ơ lợ Ă ữ ẳ Һ m ƚҺe0 ເ¡ເ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i Lίi ǥi£i ເõa mở i 0Ă Ã ữ ẳ m ữ ỏi ọi iÃu k ô kiá kĂ au ừa si: k ô iá ời, Ă kiá ѵ· Һ m sè, пǥҺi»m ƚêпǥ qu¡ƚ ເõa mëƚ sè Ă ữ ẳ m Ê, iằ õ iÃu i liằu uả kÊ0 Ã Ă ữ Ă iÊi ữ ẳ m, ữn0 Ưu Ă i li»u â ເâ ƚҺº ƚҺ§ɣ ê sỹ c uy cmội cngmở ữ Ă iÊi l Đ ẵ iÃu õ số lữủ Ă ẵ dử mi Һåa ເҺ0 h h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă ăhnọ ເâ qu¡ пҺi·u ѵ½ dư ເҺ0 ѵi»ເ ὺпǥ dưпǥ mëƚ ƚҺº ǥi£i ẵ i lỵ d0: lunĐ, n i v lun nđạv ậ n v ălun ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ п â ເâ ƚҺº l mluậເҺ0 ận v пǥ÷ίi åເ пҺ m Ă( Ô, ữ Ă lu n lu iÊi Ă ữ ẳ m dÔ f (()) = a()f () + ь(х), ƚг0пǥ â φ(х) l mëƚ Һ m ¢ ເҺ0 ເâ ເҺu k̟ý l°ρ, a(х), ь(х) l ເ¡ເ Һ m ữợ f l m Ư ẳm); ai, áu õ mở ẵ dử õ ỹ sỹ kổ Ơ a m Ă ẳ ữ li ǥi£i ເõa пâ l mëƚ ƚê Һđρ ເ¡ເ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ li iÊi ẵ dử mở ữ Ă õ iáu s uá T0 Ă ữ ẳ m õ mở lợ Ă ữ ẳ ( kĂ à, ô ả ເ¡ເ ѵ½ dư miпҺ Һåa ເõa ເ¡ເ ƚ i li»u à ữ ẳ m ) m li iÊi ừa õ dỹa sỹ ỗ Ôi Ă im Đ ừa mở Ă Ô õ ổi ồi ữ Ă iÊi Ă ữ ẳ m l0Ôi l ữ Ă im Đ , l Ă ê õ ẵ Đ ƒ= ∅ ѵ f : Х → Ɣ l mëƚ Ă Ô im ồi l mở im Đ ừa f áu f ( ) = Ê luê ô im Đ Ă ữ ẳ m ê ủ Ă ẵ dử à ữ ƚг¼пҺ Һ m m lίi ǥi£i ເõa пâ ເâ dὸпǥ Ă ẵ Đ kĂ au ừa ê Ă im Đ ừa mở Ă Ô f õ ởi du ừa luê ô ỗm Li õi Ưu, ữ, Ư ká luê i liằu am kÊ0 ì I ã Lị S IM T ậ ã I T0ã ì T M ữ ẳ ắa im Đ ở, mở số Ă lỵ s Đ Ã im Đ ở, uả lỵ Ă Ô aa kổ ia meƚгiເ ѵ mëƚ k̟¸ƚ qu£ ƚг0пǥ ь i ь¡0 [1] T0 mử 1.2, Ă ẵ Đ ừa ê im Đ ữủ ê dử ẳm Ă m õ l iằm ừa Ă ữ ẳ m ữủ , iằm ỹ sỹ ừa ữ ẳ m ữủ ẳm Ă ỷ ỹ iá Ă m kÊ dắ l iằm ữ ẳ m  ເҺ0 Mëƚ sè ƚг0пǥ ເ¡ເ ѵ½ dư п ɣ l ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚг0пǥ ເ¡ເ k̟ý ƚҺi 0lɣmρiເ T0¡п quố IM0,  à ẵ dử k̟iпҺ iºп ເҺ0 ѵi»ເ ὺпǥ dưпǥ iºm ь§ƚ ëпǥ ѵ ữ ẳ m ữủ ẳ iÃu i liằu ( Ô [2]) Mở sè ເ¡ເ ѵ½ dư k̟Һ¡ເ d0 ƚ¡ເ ǥi£ ƚü s¡пǥ Ă dữợi sỹ ữợ dă ừa T.S ô Һὸпǥ ên ỹ c ЬaпaເҺ Mưເ 1.3 ƚг¼пҺ ь ɣ uả lỵ Ă Ôc s0 kổ ia mei ὺпǥ uy ọ g h cn ĩs th ao hỏi n c tih số dÔ ữ ẳ m Ă ữ dử uả lỵ iằ ǥi£i vạăc mëƚ n c nth vă ăhnọđ ậ n u ận ạvi l ă v ălun nđ ƚг¼пҺ Һ m ƚг0пǥ mưເ п ɣ ƚҺ÷ίпǥ unậ х²ƚ ƚг0пǥ ເ¡ເ lợ m õ ẵ Đ iằ ( ẵ n vữủ lu n n vl lu dử lợ Ă m , lợ Ă lum liả ƚưເ, ) ເ¡ເ lỵρ Һ m п ɣ l ເ¡ເ kổ ia mei Ư ừ, ỏ Ă ữ ẳ m ữủ ữủ iá lÔi dữợi dÔ (Tf )()=f(), õ f l m Ư ẳm T l Ă Ô ả kổ ia mei Ư ữ Ă ữ ẳ m mử Ãu du Đ iằm Mử 1.4 ẳ mở ká quÊ ừa Ă iÊ ô Һὸпǥ ƚг0пǥ [1], k̟¸ƚ qu£ п ɣ ເҺ0 ρҺ²ρ k̟Һ¯пǥ sỹ ổ iằm ừa mở số Ă ữ ẳ m dỹa ả Đu ê im Đ ừa Ă Ă Ô l ừa mở Ă Ô п â ເ¡ເ ѵ½ dư ເõa mưເ п ɣ l Ă ữ ẳ m uĐ iằ Ê Ôi số uá ẵ lă iÊi ẵ ì II U Lị ã AA T0 Kặ IA METI SU ậ Sĩ ấ IM ếA ã ì T M D AU ữ ẳ uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei su uả lỵ l s Ă dử ữ Ă im Đ iằ sỹ iằm ừa Ă ữ ẳ m dÔ au Mử 2.2 ẳ Ă k̟¸ƚ qu£ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເõa ເ.Ρaгk̟ ѵ TҺ.M Гassias ѵ· sü êп àпҺ пǥҺi»m ừa ữ ẳ m au Ă ká quÊ quĂ ká quÊ ừa es [4] ữủ mi Ă Ă dử uả lỵ Ă Ô ເ0 ЬaпaເҺ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп meƚгiເ suɣ гëпǥ º ເҺ¿ a Ă dử ừa ká quÊ lắ ỹ ữ ẳ m s Đ, Ă iÊ dă a ẵ dử, mở ẵ dử lĐ i li»u ƚҺam k̟Һ£0, ѵ½ dư k̟Һ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ ƚü s¡пǥ Ă Mử 2.3 ẳ mở ká quÊ ừa S00п-M0 Juпǥ ѵ Seuпǥw00k̟ Miп [7] ѵ· sü êп àпҺ iằm ừa mở lợ Ă ữ ẳ m dÔ au mi ká quÊ ụ dỹa ả uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei su ở, l Ă dử ữ Ă im Đ ã dử ừa Ă ká quÊ lắ ỹ ữ ẳ m s Đ l Ă ká luê à iằm ừa Ă ữ ẳ m dÔ f ( + ) = Af () + Ьf (ɣ), ƚг0пǥ â A, Ь l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè T i liằu am kÊ0 ỗm 10 da mử Ê luê ô ữủ dữợi sỹ ữợ dă ừa T.S ô , iằ K0a Ê Ôi Êi iằ Пam T¡ເ ǥi£ хiп ь ɣ ƚä láпǥ ên ьi¸ƚ Ơ ợi ữợ dă cs ọƚªρ c guy ƚҺº ເ¡ເ ƚҺ ɣ ເỉ ƚҺເ k̟Һ0a T0¡п Tiп, h cn ĩth o ọi ns ca tihhỏ ữi  ê ẳ i ù ụ c Ôi K0a Ôi TĂi uả, v n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v lun n ữ Ô0 Ă n v un lu ận n văl lu i·u k̟i»п ƚҺuªп lđi º ƚ¡ເ iÊ lu ữ ẳ a0 Ê luê ô TĂi uả, 10 Ă ôm 2013 ữi iá TƯ T Du ữ Ă lỵ s Đ Ã im Đ Ă i 0Ă Ã ữ ẳ m 1.1 IšM Ь‡T ËПǤ 1.1.1 àпҺ пǥҺ¾a ເҺ0 Х, Ɣ l Ă ê õ ẵ Đ sc =uyờn f : l mở Ă Ô im ạc họ cng ĩth ao háọi s fvạăcn n c cạtih f (х∗ ) nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ f lu ận n văl lu ậ lu х∗ ∈ Х ồi l mở im Đ ừa áu = Tê Ă im Đ ừa Ă Ô kỵ iằu l F i(f ) 1.1.2 ẵ dử 1) ã Ô f : i f () = х3 ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ, F iх(f ) = {1, 0, 1} 2) ã Ô : Г → [−1; 1] ເҺ0 ьði ǥ(х) = siпх ເâ duɣ пҺ§ƚ iºm ь§ƚ ëпǥ х∗ = 0, F iх () = {0} 3) ã Ô : → Г ເҺ0 ьði Һ(х) = х +1 k̟Һæпǥ ເâ iºm ь§ƚ ëпǥ, F iх(Һ) = ∅ 1.2 MËT SÈ Lị S IM T ậ ì T M 1.2.1 lỵ Mồi Ă Ô liả ƚø k̟Һ0£пǥ âпǥ [a;ь] ѵ ເҺ½пҺ пâ ເâ ½ƚ пҺ§ƚ mëƚ iºm ь§ƚ ëпǥ ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû f l Ă Ô liả ứ [a; ] ເҺ½пҺ пâ °ƚ ǥ(х) = f (х) − х K̟Һi õ () l m liả ẳ f (a) , f (ь) ∈ [a; ь] п¶п ǥ (a) ǥ (ь) = (f (a) − a) (f (ь) − ь) ê ữ ẳ () = õ ½ƚ пҺ§ƚ mëƚ пǥҺi»m f (х∗ ) = х∗ D0 õ f õ ẵ Đ mở im Đ х∗ ∈ [a; ь], ƚὺເ ǥ(х∗ ) = Һaɣ 1.2.2 lỵ i) áu f l m ỹ sỹ iÊm ả ê số ỹ ẳ f kổ õ quĂ mở im Đ ả ii) áu Һ m f (х) x ƚҺüເ sü ὶп i»u ƚг¶п ê số ỹ ẳ f õ kổ quĂ mở im Đ ả mi i) m ǥ(х) = f(х) х ƚҺüເ sü ǥi£m ƚг¶п Х п¶п ǥ s³ пҺªп méi ǥi¡ ƚгà ເõa ƚªρ ǥ(Х) k̟Һỉпǥ quĂ mở lƯ ki .D0 õ áu () k̟Һỉпǥ ເҺὺa ǥi¡ ƚгà ƚҺ¼ f k̟Һỉпǥ ເâ iºm Đ áu () a iĂ ẳ f õ mở im Đ ii) D0 ẵ i»u ƚҺüເ sü, Һ m ǥ(х) = f (х)x, х ∈ Х пҺªп méi ǥi¡ ƚгà ƚҺuëເ mi·п ǥi¡ ƚгà () ừa õ kổ quĂ mở lƯ ả áu ǥ(Х) ເҺὺa ƚҺ¼ f ເâ όпǥ mëƚ n iºm Đ ả , áu () kổc sa c uyờ1 ẳ f kổ õ im Đ ả g 1.2.3 lỵ h cn th o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ φ (х, ɣ, s, ƚ) lu Ǥi£ sû F (u) l m mở iá ỹ, l m ữợ ừa iá ,,s, Ă ả ê dÔ × Х × Г × Г ( Х l ƚªρ ừa ê số ỹ ) áu m F (u) õ im Đ du Đ u ẳ mồi iằm ừa ữ ẳ m: F ( (, , f (х) , f (ɣ))) = φ (ɣ, х, f (ɣ) , f (х)) (х, ɣ ∈ Х ) (1.1) (0 õ f l m mở iá Ư ẳm õ ê Ă l ) Êi ọa m ữ ẳ: (, , f () , f ()) = u∗ ເҺὺпǥ miпҺ П¸u f (х) l Һ m ọa m (1.1) ẳ = a ê ữủ: F ( (, , f () , f (х))) = φ (х, х, f (х) , f (х)) (∀х ∈ Х) (1.2) ¯пǥ ƚҺὺເ (1.2) ເҺὺпǥ ƚä φ (х, х, f (х), f (х))l iºm ь§ƚ ëпǥ ເõa F ѵỵi måi х ∈ Х D0 F ເҺ¿ õ du Đ im Đ u ả a Êi ເâ: φ (х, х, f (х) , f (х)) = u ( ) i a, áu ợi méi х ∈ Х Һ m f (ƚх) li¶п ƚưເ e0 iá ẳ L l m uá ẵ Dữợi Ơ Ă iÊ ẳ mëƚ k̟¸ƚ qu£ ເõa ເ.Ρaгk̟ ѵ TҺ M Гassias ƚêпǥ quĂ ká quÊ ả, mi ká quÊ dỹa ả uả lỵ im Đ ừa Ă Ô aa kổ ia mei su ( lỵ 2.1.2) Ă ká quÊ ừa .ak T M assias õi Ã Ă ỗ Đu ia Ă Ôi số aa ẳ à ừa ữ l ữ ẳ m au Ă ữ ẳ m dÔ au ả Ă iÊ Ă kổ ia aa lỵ dữợi Ơ l mở Ư Ă ká quÊ ừa Ă iÊ õi ả lỵ (.ak T.M assias [3])0 l mở k ổ ia ả ữ số K (K = Г Һ0°ເ K̟ = ເ ) ѵ (Ɣ, ǁǁ) l mở kổ ia aa ả K iÊ sỷ ỗ Ôi m số : ì [0; +∞) ƚҺäa m¢п: φ(2jх, 2jɣ) lim j→ ∞ (2.9) = (∀х, ɣ ∈ Х) 2j (2.10) ǁf (х + ɣ) − f (х) − f (ɣ)ǁ ≤ φ(х, ɣ) (∀х, ɣ ∈ Х) n yê х , х ) ợi mồi ẳ ỗ Ôi du áu ỗ Ôi số L < sa0 (, х) c≤sỹ 2Lφ( ọc gu h cn 2 ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă v n c đ ă hnọ Һ : Х n→ nth vƔ uậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ ǁf (х) − ()lu (, ) Đ mở m ẵ sa0 ເҺ0: − 2L (∀х ∈ Х) (2.11) Һὶп a, áu ợi mội ố , m f (ƚх) (ƚ ∈ Г) ьà ເҺ°п ƚг0пǥ mëƚ lƠ ê õ ừa ẳ l Ă Ô - uá ẵ õi iả, l Ă Ô - uá ẵ áu f () ( ) liả Ôi = ợi mội х ເè àпҺ ເҺὺпǥ miпҺ °ƚ E = {ǥ : Х → Ɣ } Ѵỵi Һai Һ m Һ, ỵ uở E a : (2.12) d(, ) = iпf {ເ ∈ [0; +∞] : ǁҺ(х) − ǥ(х)ǁ ≤ ເφ(х, х) ∀х ∈ Х} TҺe0 m»пҺ · 2.1.3 (E, d) l k̟Һỉпǥ ǥiaп meƚгiເ suɣ гëпǥ ¦ɣ õ Ă Ô uá ẵ J : E E ເҺ0 ьði: (Jǥ)(х) = ǥ(2х) (∀х ∈ Х) Ta mi J l Ă Ô ả E Tê ê, ợi m ỵ Һ, ǥ ∈ E ѵ ເ ≥ l sè ỵ ọa m d(, ) a õ: ǁ(JҺ)(х) − (Jǥ)(х)ǁ = (Һ (2х) − ǥ (2х)) ≤ 39 ເ 2 ເφ(2х, 2х) ≤ 2Lφ(х, х) = Lເφ(х, х) ѵỵi måi х ∈ Х Tø (2.12) ƚa suɣ гa d(JҺ, Jǥ) ≤ Ld(Һ, ǥ) ẳ L < ả J l Ă Ô ເҺ°ƚ Tг0пǥ (2.10) °ƚ ɣ = х ƚa ÷đເ: ǁf (2х) − 2f (х)ǁ ≤ φ (х, х) ↔ f (х) − f (2х) ≤ φ (х, х) (∀х ∈ Х) suy d(f, Jf )≤ Te0 lỵ 2.1.2 ỗ Ôi Ă Ô : sa0 0: l iºm ь§ƚ ëпǥ ເõa J, ƚὺເ l : (2.13) Һ(2х) = 2Һ(х) (∀х ∈ Х) ѵ Һ l ¡пҺ Ô du Đ ọa m (2.13) ê E = {ǥ ∈ E : d(f, ǥ) < +∞} õi Ă kĂ, l Ă Ô du Đ õ ẵ Đ (2.13) ỗ Ôi (0; +) sa0 ເҺ0: ǁҺ(х) − f (х)ǁ ≤ ເφ(х, х) (∀х ∈ Х) п ên sỹ fc (2 uy x) lim d(J пf, Һ) = ↔ lim c ọ g = Һ (х) h cn п→ п→∞ ĩth o ọi 2п ns ca tihhá ∞ d(f, Һ) ≤ d(f, Jf ) −L vạăc n cạ nth vă ăhnọđ ậ n → d(f, n i≤ u Һ) văl ălunậ nđạv 2−2L ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (∀х ∈ Х) Tứ (2.12) (2.14) Đ ứa ê ữủ suɣ гa (2.11) Tø (2.9), (2.10) ѵ (2.14) suɣ гa: ǁҺ(х + ɣ) − Һ(х) − Һ(ɣ)ǁ = lim ≤ lim φ(2пх, п п→∞ 2пɣ) = ǁf п п→∞ (2п (х + ɣ)) − f (2пх) − f (2пɣ)ǁ (∀х, ɣ ∈ Х) Ѵªɣ Һ l Һ m ເëпǥ ƚ½пҺ: Һ (х + ɣ) = Һ (х) + Һ (ɣ) (∀х, ɣ ∈ Х) (2.15) Tứ (2.15) Ă lỵ luê Ê d пǥ suɣ гa: Һ(θ) = θ, Һ(qх) = qҺ(х) (2.16) ѵỵi måi sè Һύu ƚ q ѵ måi х ∈ Х Ь¥ɣ ǥiί ǥi£ sû Һ m f (ƚх) (ƚ ) lƠ ê = ѵỵi méi х ເè àпҺ ∈ Х K̟Һi â ѵỵi mội , ỗ Ôi số = (х) > sa0 ເҺ0 k̟Һi |ƚ| ≤ δ ƚa ເâ ǁf (ƚх)ǁ ≤ M < +∞ D0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.11) ƚa suɣ гa k̟Һi |ƚ| ≤ δ ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ: φ(x, x) ǁҺ(ƚх)ǁ ≤ M + < +∞ (2.17) − 2L 40 Ь¥ɣ ǥiί ƚa ເҺὺпǥ mi () liả e0 Ѵ¼ Һ ((ƚ + s)х) = Һ(ƚх) + Һ(sх) (∀ƚ, s ), () = ả Ư mi liả Ôi = 0, l ເҺ¿ ເ¦п ເҺὺпǥ miпҺ: lim ǁҺ (ƚх) ǁ= (2.18) iÊ sỷ Ăi lÔi (2.18) kổ Ki õ ỗ Ôi số sa0 0: >0 mở d {ƚk̟ }∞ k̟ =1 (2.19) lim ƚk̟ = 0, ƚk̟ ƒ= (∀k̟), ǁҺ(ƚk̟ х)ǁ ≥ ε (∀k̟) Σ °ƚ п k = lim k̟→ ∞ Σ k ̟→ ∞ a õ mở d à số uả {k } k̟ =1 ƚҺäa m¢п пk̟ = +∞, |пk̟ƚk̟| ≤ δ Tø (2.16) ѵ (2.19) suɣ гa: δ |ƚk̟| lim ǁ Һ(пk̟ ƚk̟ х) ǁ= lim k̟→ ∞ k̟→∞ (2.20) пk̟ ǁҺ(ƚk̟ х)ǁ = +∞ пҺ÷пǥ |пk̟ ƚk̟ | ≤ δ ả (2.20) mƠu uă ợi (2.17) ê () liả Ôi = d0 õ liả Ôi måi iºm ƚ ∈ Г П¸u f (ƚх) (ƚ ∈ ) liả Ôi = ợi mội ເè àпҺ ƚҺ¼ ên f (ƚх) ρҺ£i ьà ເҺ°п ƚг0пǥ mở lƠ êc sc uy õ ừa = 0, d0 â ƚa ເơпǥ ເâ Һ(ƚх) li¶п g h cn ĩth o háọi ns ca ạƚtihƚὸɣ c ă Ôi mồi im ( mở sốnthỹ ỵ, áu l số u ẳ ứ (2.16) ƚa ເâ vạ ăn ọđc v ăhn ậ n i lu nn nv u ổ ẳ ỗ Ôi mở d à số u () = () ợi mồi х ∈ Х П¸u ƚậnlv vălsè un n u l ậ n văl u l ậ lu ƚ {qп }∞ =1 sa0 lim q = D ẵ liả ƚöເ ເõa Һ(ƚх) ƚҺe0 ƚ ƚa ເâ: n→ ∞ Һ (ƚх) = lim Һ (qпх) = lim qпҺ (х) = ƚҺ (х) (∀х ∈ Х) п→∞ п→∞ Ѵªɣ Һ l m uƯ Đ Ká ủ ợi ẵ ẵ ừa a su a lm- uá ẵ lỵ ữủ mi ê : áu m : ì [0; +) l m uƯ Đ ê ( < 1) ẳ m (, ) ọa m (2.9) ѵ i·u k̟i»п φ(х, х) ≤ 2Lφ(х , х ) (L < 1) TҺªƚ ѵªɣ: 22 φ(2jх, 2jх) = lim φ(х, х) =0 j(1−ρ) j→∞ х х ρ х х х х хх φ(х, х) = φ(2 , ) = φ( , ) = 2.2ρ−1φ( , ) = 2.Lφ( , ) (L = 2ρ−1 < 1) 2 2 2 22 lim j→ ∞ j Σ Ѵ¼ Һ m φ(х, ɣ) = ε ǁхǁρX + ǁɣǁρ X (0 ≤ ρ < 1, ε > 0) l m uƯ Đ ê Ă Ô ì k0Ê [0;+) ả lỵ 2.2.1 quĂ ká quÊ ừa T.assias ôm 1978 K̟Һi ρ = 0, ƚa ເâ φ(х, ɣ) = ε ѵ φ(х, ɣ) = 1φ(х , ɣ ) = ε п¶п 2 i·u k̟i»п ѵ· Һ m ữủ ọa m ợi L2 = < i·u k̟i»п (2.10) ƚгð ƚҺ пҺ: 41 ǁf (х + ɣ) − f (х) − f (ɣ)ǁ ≤ ε n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 42 ¡пҺ ǥi¡ (2.11) ƚгð ƚҺ пҺ: ǁf (х) − Һ(х)ǁ ≤ ε ữ ê ká quÊ ừa D es ôm 1941 ụ l mở ữ ủ iả ừa lỵ 2.2.1 ã dử lỵ 2.2.1 õ su a a mở sè k̟Һ¯пǥ àпҺ ເõa ເ¡ເ ь i ƚ0¡п sὶ ເ§ρ ẵ dử ( i 0Ă 5.7 ữ III [10]): ເҺ0 f l Һ m li¶п ƚưເ ƚг¶п Г ƚҺäa m¢п: |f (х + ɣ) − f (х) − f (ɣ)| ≤ σ (σ > 0) ѵỵi måi sè ỹ , mi ỗ Ôi du Đ mở m uá ẵ L() ả sa0 ເâ ьiºu di¹п f (х) = L(х) + ω(х) (∀х ∈ Г), ƚг0пǥ â |ω(х)| ≤ σ (∀х ∈ Г) iÊi T0 Ă iu ừa lỵ 2.2.1 lĐ = = ợi uâ l iĂ ƚгà ƚuɣ»ƚ èi, K̟ = Г ѵ φ(х, ɣ) =σ áu f l m liả ả ẳ i iả f () liả e0 ợi mồi số ỹ ê mồi iÊờn iá ừa lỵ 2.2.1 ữủ ọa m s c uy c h i cng o th aÔi Te0 k ừa lỵ, ỗ s n c ihhỏ m uá ẵ L() ả ọa mÂ: vc n ct nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ |f (х) ≤ unậ ận −v L(х)| lu ận n văl lu ậ lu (∀х ∈ Г ) σ °ƚ ω(х) = f (х) − L(х) ƚa ÷đເ i·u Ư mi ê : Li iÊi ừa i 0Ă ả sĂ Â dă kổ d ữ Ă im Đ ẵ dử 2: f : (0; +) l Ă Ô liả ọa mÂ: |f (хɣ) − f (х) − f (ɣ)| ≤ |lп х| +p|lп ɣ| p (∀х, ɣ ∈ (0; +∞), < 1) mi ỗ Ôi sè ເ sa0 ເҺ0 ເâ ьiºu di¹п: f (х) = ເ lп х + ω(х) ƚг0пǥ â| ω(х)| ≤ Ǥi£i °ƚ ρ 2|lпх| 2−2ρ (∀х ∈ (0; +∞) ƚ = lп х, s = lп ɣ Tø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ເõa ь i ƚ0¡п suɣ гa: f (eƚ+s) − f (eƚ) − f (es).≤ |ƚ|ρ + |s|ρ 43 °ƚ ǥ(ƚ) = f (e), ki õ l Ă Ô liả ƚø Г ѵ Г ƚҺäa m¢п: |ǥ(ƚ + s) − ǥ(ƚ) − ǥ(s)| ≤ |ƚ| + |s|p (∀s, ƚ ) p ã dử lỵ 2.2.1 ợi m (, s) = || +|s| a su a ỗ Ôi du Đ mở Ă Ô uá ẵ () ứ Г ѵ Г sa0 ເҺ0 ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ: |ǥ(ƚ) − Һ(ƚ)| ≤ ρ |ƚ| ρ 2−2 Ѵ¼ mồi m uá ẵ L() ả Ãu õ dÔ L()= ( ợi =0s) a su a ỗ Ôi số sa0 0: 2| | |ǥ(ƚ) − ເƚ| ≤ − 2ρ °ƚ α(ƚ) = ǥ(ƚ) − ເƚ, ω(х) = α(lп х) ƚa ເâ: f (х) = ǥ(lп х) = ເ lп х + ω(х) ѵ : ω(х)| |≤ ρ 2|lпх| 2−2ρ ( i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ) 2.3 SÜ ÊП ÀПҺ ПǤҺI›M ເÕA MËT LỴΡ ã ì ờn T M D s AU c guy c ọ h cn h i sĩt ao háọ n c ih vạăc n ọđcạt Seuпǥw00k̟ Miп [7]) 2.3.1 lỵ (S00-M0 Ju nth n v ihn u n văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu ເҺ0 Х l k̟Һæпǥ ia ả ữ số K, (, ) l kổ ia aa ả K ( ì , 2) l k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, ƚг0пǥ â ǁǁ l mëƚ uâ ữ ữ ợi uâ ma ì õ ẵ Đ: Tỗ Ôi mở số k > sa0 ເҺ0: ǁ(u, u) − (ѵ, ѵ)ǁ2 ≤ k̟ ǁu − ѵǁ ∀u, ѵ ∈ Ɣ (2.21) Ǥi£ sû : i) F : Ɣ × Ɣ → Ɣ l ¡пҺ Ô uá ẵ liả ợi uâ F ọa m¢п: F (F (u, u), F (ѵ, ѵ)) = F (F (u, ѵ), F (u, ѵ)), ∀u, ѵ ∈ Ɣ (2.22) ii) φ : Х × Х → [0;+∞) l m số õ ẵ Đ: ( , y ) ≤ φ(х, ɣ) ∀х, ɣ ∈ Х 2 (2.23) K̟Һi â, п¸u k̟ ǁFǁ < ѵ Һ m f : ọa m РƚҺὺເ: ǁf (х + ɣ) − F (f (х), f (ɣ))ǁ ≤ φ(х, ɣ) ∀х, ɣ ∈ Х 44 (2.24) ẳ ỗ Ôi du Đ m f : l iằm ừa ữ ẳ m: (2.25) f (х + ɣ) = F (f (х), f (ɣ)) sa0 ເҺ0: ∗ ǁ f (х) − f (х) ǁ ≤ 1− k̟ ǁFǁ φ(х, х) (2.26) ∀х∈ mi Kỵ iằu E l ê Đ Ê ເ¡ເ Һ m Һ : Х → Ɣ Ѵỵi Һai m , ỵ uở E a : d(Һ, ǥ) = iпf {ເ ∈ [0; +∞] : ǁҺ(х) − ǥ(х)ǁ ≤ ເφ(х, х) ∀х ∈ Х} TҺe0 m»пҺ · 2.3.1 k̟Һæпǥ ǥiaп (E, d) l k̟Һæпǥ ǥiaп meƚгiເ su Ư Ta Ă mở Ă Ô T : E → E ເҺ0 ьði ເæпǥ ƚҺὺເ: (T Һ)(х) = F (Һ хΣ ,Һ хΣ n Ki õ T l mở Ă Ô Tỹsê,yờợi m ỵ , E c gu c ọ h cn ĩth o ọi ƚҺäa m¢п d(ǥ, Һ) ≤ ເ ƚa ເâ: ns ca ạtihhá c ă ǁǥ(х) v n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ v nậ −luậnҺ(х)ǁ n vălu ≤ ເφ(х, х) ậ lu ận lu (2.27) ∀х ∈ Х ) ເ ∈ [0;+∞] (2.28) ∀х ∈ Х Tø (2.21), (2.23), (2.27) ѵ (2.28) ƚa ເâ: Σ ΣΣ Σ ΣΣ ǁ(Tǥ) (х) (х)ǁ = F ǥ х Σ,2 ǥ х − F Һ х ,2Һ х − (TҺ) Σ ΣΣ ΣΣ2 xΣ Σ ≤ ǁFǁ g x2 , g x2 − h x2 , h x2 − h x2 ≤ ǁFǁ k g Σ ≤ k̟ ǁFǁ ເ φ х , х ≤ k̟ ǁFǁ ເ φ (х, х) (∀х ∈ Х) 2 TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ເõa meƚгiເ suɣ гëпǥ d, ƚø (2.29) ѵ ເ¡ເҺ ເҺåп ເ suɣ (2.29) гa: d(Tǥ, TҺ) ≤ k̟ ǁFǁ d(ǥ, Һ) Ѵ¼ k F < Ă Ô T l Ă Ô ເ0 ເҺ°ƚ Ь¥ɣ ǥiί ǥi£ sû f l mëƚ Һ m ƚҺuëເ E ƚҺäa m¢п (2.24), ƚa s³ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ d(Tf, f)< +∞ TҺaɣ ƚг0пǥ (2.25) х, ɣ ьði2х , ƚø (2.24) ѵ àпҺ пǥҺ¾a ເõa T ƚa ເâ: ǁf (х)− (Tf )(х)ǁ ≤ φ( , х х ) ≤ φ(х, х) ∀х ∈ Х Ѵªɣ d(Tf, f ) T0 lỵ 2.1.2 m = = f a Đ Ă iÃu kiằ ừa lỵ 2.1.2 Ãu ữủ ọa m ê ỗ Ôi du Đ mở m f l im 45 Đ ừa T ê E = {ǥ ∈ E : d(f, ǥ) < +∞} , l ỗ i: f (x) = F (f ∗ x Σ2 x Σ ∗ ,f (2.30) d(T f, f ) ≤ − k̟ F m ữ ẳ: x X ) lim d(T п f, f ∗ ) = 0, d(f, f ∗ ) ≤ f∗ ƚҺäa 1− k̟ ǁFǁ TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ເõa meƚгiເ suɣ гëпǥ d, ƚø (2.30) ƚa su a (2.26) Ơ i a k ơ: ∈ П0, ∀х, ɣ ∈ Х ǁ(T пf )(х + ɣ) − F ((T п f )(х), (T п f )(ɣ))ǁ ≤ (k̟ ǁFǁ)пφ(х, ɣ) (2.31) TҺüເ ѵªɣ, ƚø (2.21),(2.22),(2.23),(2.24) ѵ (2.27) suɣ гa: ǁ(Tf )(х + ɣ) − F ((Tf )(х), (Tf )(ɣ))ǁ = (y ), f (y ))) = F (f (x+y2), f (x+y ))2− F (F (f (x ), f (x2 )), F (f +y +y x x x y x y F (f ( 2), f ( ))2− F (F (f ( ), f ( 2)), F (f ( ), f ( ))) ≤ х+ɣ), f ( х+ɣ )) − (F (f ( ),хf ( )),ɣF (f ( ), fх( ))) ɣ ǁFǁ (f ( 2 2 +y x x y x y ǁFǁ k f ( )2− F (f ( ), f (2 )) ≤2 k ǁFǁ φ( , ) ≤ k2ǁFǁ φ(x, y) (2.32) ≤ ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v n n vălu ălunậnđ (T n+1 f )(x + y) − F ((T n+1 f )(x), (Tluậlnuậ+1nậfn v)(y)) = lu + + F ((T n f )(x y ), (T n f )(x y )) − F (F ((T nf )(x ), (T n f )(x )), F ((T nf )(y ), (T n f )(y )) iÊ sỷ (2.31)  ữủ mi ợi số uả õ Tứ (2.21), (2.23), (2.27) ѵ (2.31) ƚa ເâ: п х+ɣ), п 2 ≤ 2 пf )( х), (T пf )( х)), F ((T пf )( ɣ), (T пf )( ɣ)) 2 2 х+ɣ (T f )( )) − (F ((T ǁFǁ ((T f )( ǁFǁ ((T п f )(х+ɣ ), (T п f )(х+ɣ )) − (F ((T пf )(х ), (T п f )(ɣ )), F ((T п f )(х ), (T п f )(ɣ )) ≤ n y n+1 φ( x , y ) ≤ (k ǁFǁ)n+1 φ(x, y) ǁFǁ k (T n f )(x+y ) 2− F ((T nf )(x ), (T f )( )) ≤2 (k ǁFǁ) 2 2 = Tứ Đ ứa ê ữủ, a ká luê (2.31) ợi mồi số uả e0 uả lỵ qu Ô uối a mi f ọa m (2.25) ợi mồi х, ɣ ∈ Х Ѵỵi méi х, ɣ ເè àпҺ ƚг0пǥ Х, ƚø lim d(T п f, f ∗ ) = ѵ àпҺ пǥҺ¾a ເõa d ƚa suɣ гa: 2 п→∞ lim d(T п f, f ∗ ) = 0, lim п→ ∞ п→∞ 2 ǁ T п f (х) − f ∗ (х) ǁ= 0, lim п→∞ ǁT п f (ɣ) − f ∗ (ɣ)ǁ = i ẳ F : ì l Ă Ô uá ẵ liả ử, dƯ ợi ổ ỹ (2.31) ỵ (2.30) ѵ k̟ ǁFǁ < ƚa ÷đເ: ǁ f ∗ (х + ɣ) − F (f ∗ (х), f ∗ (ɣ)) =ǁ lim п→∞ ≤ lim (k̟ ǁFǁ)пφ(х, ɣ) = п→ ∞ ǁ(Tпf )(х + ɣ) − F ((Tпf )(х), (Tпf )(ɣ)ǁ (∀х, ɣ ∈ Х) 46 Ѵªɣ ƚ0 п f∗(х + ɣ) = F (f∗(х), f∗(ɣ)) (∀х, ɣ ) lỵ ữủ mi m f ƚҺäa m¢п (2.24) ເâ ƚҺº ເ0i l mëƚ пǥҺi»m Đ ừa (2.25) (ẵ Ă , m f ọa m (2.24) ồi l mở iằm - Đ ừa (2.25)) lỵ 2.3.1 õi áu ối ợi ữ ẳ (2.25) ỗ Ôi mở iằm - Đ f ẳ õ s õ ẵ Đ mở пǥҺi»m ƚҺüເ sü f ∗ ѵ ë l»ເҺ ǥiύa пǥҺi»m ƚҺüເ sü f ∗ ѵ пǥҺi»m φ - х§ρ х¿ f ữủ i ổ (2.26) áu : ì [0; +) l m uƯ Đ ê ẳ ọa m iÃu k̟i»п (2.23) TҺüເ ѵªɣ: ПҺªп х²ƚ: Һ х ɣ φ( , ) = φ(х, ɣ) ≤ φ(х, ɣ) (∀х, ɣ ∈ Х) 22 2ρ suɣ гa п¸u α : [0; +∞) → [0; +∞) l Һ m k̟Һæпǥ ǥi£m ỵ : ì Tứ õ [0; +) l m uƯ Đ ê ẳ m ((, )) ụ ọa m iÃu kiằ (2.23) ữ ê lợ Ă m ọa m i·u k̟i»п (2.23) k̟Һ¡ гëпǥ Ѵỵi θ ѵ ρ l Ă số kổ Ơm ỵ : n yờ s c u ρhạc họ ọi cngρ t o (2.33) φ(х, ɣ) = θ(ǁхǁcnsĩ c+a ǁɣǁ ) (∀х, ɣ ∈ Х) há tih vạă n cạ nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv ρ n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Гã l m uƯ Đ ê Ă Ô ì k0Ê [0;+) =0 (2.33) a ê ữủ mở ữ ủ iả l Һ m φ(х, ɣ) =2θ = ເ0пsƚ > ẵ dử ứa ảu ữa a mở ằ quÊ ừa lỵ 2.3.1 2.3.2 ằ quÊ l kổ ia ả ữ số K, (, ) l kổ ia aa ả K ( ì Ɣ, ǁǁ2) l k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, ƚг0пǥ â ǁǁ l mở uâ ữ ữ ợi uâ ma ì õ ẵ Đ: Tỗ Ôi mở số k > sa0 ເҺ0: ǁ(u, u) − (ѵ, ѵ)ǁ2 ≤ k̟ ǁu − ѵǁ ∀u, ѵ ∈ Ɣ Ǥi£ sû F : ì l Ă Ô uá ẵ liả ợi uâ F ọa mÂ: F (F (u, u), F (ѵ, ѵ)) = F (F (u, ѵ), F (u, ѵ)), ∀u, ѵ ∈ Ɣ K̟Һi â, п¸u k̟ ǁFǁ < ѵ Һ m f : ọa m Р: f (х + ɣ) − F (f (х), f (ɣ))ǁ ≤ θ(ǁхǁρ + ǁɣǁρ) ∀х, ɣ ∈ Х 47 (2.34) ƚг0пǥ â θ ѵ ρ l ເ¡ເ sè k̟ Һỉпǥ ¥m, ẳ ỗ Ôi du Đ m f : Х → Ɣ ƚҺäa m¢п: f ∗ (х + ɣ) = F (f ∗ (х), f ∗ (ɣ)) sa0 ເҺ0: ǁf (х)− f ∗ 2θǁxǁ (х)ǁ ≤ − k̟ ǁFǁ ρ ∀х ∈ Х (2.35) 2.3.3 Ѵ½ dư ¡ρ dử LĐ = = em , ữ Ă kổ ia aa ợi uâ l uằ ối Tả ì = a a uâ maх: ǁ(х, ɣ)ǁ2 = maх {|х| , |ɣ|} (∀(х, ɣ) ∈ Г2) K̟Һi â ƚa ເâ ǁ(х, х) − (ɣ, ɣ)ǁ2 = |х − ɣ| Ѵªɣ i·u k̟i»п (2.21) ữủ ọa m ợi k = Ă Ô uá ẵ F : i ổ ƚҺὺເ: F (х, ɣ) = A.х + Ь.ɣ (∀х, ɣ ∈ Г) ƚг0пǥ â A, Ь l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè ƚҺüເ ƚҺäa m¢п |A| + |Ь| < Ta ເâ: ên sỹ c {|х| uy , |ɣ|} ѵ |A| + |Ь| = A.siǥп(A) + |F (х, ɣ)| = |A.х + Ь.ɣ| ≤ (|A| + |Ь|)maх c ọ g hạ h i cn B siǥп(Ь) ƚг0пǥ â siǥп(х) = п¸u х > sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv v ălunậ 0luậnậnsiǥп(х) = −1 v lu ận u l , áu < Tứ õ d suɣ гa: ǁFǁ = suρ {|F (х, ɣ)| = |A.х + Ь.ɣ| : х, ɣ ∈ Г&maх {|х| , |ɣ|} ≤ 1} = |A| + |Ь| d0 â k̟ ǁFǁ = |A| + |Ь| < M°ƚ k̟Һ¡ເ: F (F (u, u), F (ѵ, ѵ)) = A(A + Ь)u + Ь(A + Ь)ѵ = A(Au + Ьѵ) + Ь(Au + Ьѵ) = F (F (u, ѵ), F (u, ѵ)) Ѵªɣ Ă Ô uá ẵ ọa m iÃu kiằ (2.22) ữ ê Ă iÃu kiằ lả Ă kổ ia , Ă Ô uá ẵ F lỵ 2.3.2 ữủ ọa m iÃu a ρҺ¡ƚ ьiºu m»пҺ ·: 2.3.4 M»пҺ · Ǥi£ sû ψ : Г2 → [0; +∞) l Һ m Һai ьi¸п ƚҺüເ ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п (2.23) Ta пâi Һ m f : Г → Г l Һ m ƚ«пǥ k̟Һỉпǥ a m (, ) áu ỗ Ôi sè d÷ὶпǥ M = M (f ) sa0 ເҺ0 |f (х)| ≤ M ψ(х, х), (∀х ∈ Г) K̟Һi â áu A, l Ă số 48 ỹ ọa m¢п |A| + |Ь| < ѵ F (u, ѵ) = Au + Ьѵ (∀u, ѵ ∈ Г) ƚҺ¼ Һ m f ∗ (х) ≡ l пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ ừa ữ ẳ m dÔ au (2.25) lợ Ă m Ă ả ô kổ пҺaпҺ Һὶп Һ m ψ(х, х) ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû f () Ă ả , ọa m ữ ẳ: f (х + ɣ) = A.f (х) + Ь.f (ɣ) (, ) (2.36) ỗ Ôi số M > sa0 ເҺ0 |f (х)| ≤ M ψ(х, х) (∀х ∈ Г) °ƚ Х = Ɣ = Г,ເҺu©п ǁ(х, ɣ)ǁ2 = maх {|х| , |ɣ|} (∀(х, ɣ) ∈ Г2) , φ(х, ɣ) = (1 − |A| − |Ь|)Mψ(х, ɣ), гã г пǥ Һ m f ∗ (х) ≡ ƚҺäa m¢п: |f ∗ (х + ɣ) − A.f ∗ (х) − Ь.f ∗ (ɣ)| = ≤ φ(х, ) (, ) ã dử lỵ 2.3.3 ƚa suɣ гa ເâ duɣ пҺ§ƚ пǥҺi»m ເõa (2.36) ƚг0пǥ lợ Ă m () Ă ả ọa m Р: |f () ()| = Һ(х) | |≤ 1 − |A| − |Ь| φ(х, х) = M ψ(х, х) ( х∀ ∈ Г) (2.37) ên Ѵ¼ ເ£ f (х) ѵ f ∗ (х) ≡ Ãu ọa mÂc(2.37) s c uy ả f () = f ∗ (х) ≡ ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă ПҺªп х²ƚ: Tỹ a ữ ẳ ợi iÊ iá |A| + || < ເҺ¿ ເâ пǥҺi»m vạ (2.36) n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ Ưm ữ f () 0 êlunĐ v ເ£ nậ ເ¡ເ Һ m х¡ເ àпҺ ƚг¶п Г Sü k̟i»п п ɣ ÷đເ n vălu ậ lu ận lu ເҺὺпǥ miпҺ ὶп ǥi£п пҺ÷ sau: °ƚ ƚг0пǥ (2.36) х = ɣ = ƚa suɣ гa (1 − A − Ь)f (0) = → f (0) = °ƚ ƚг0пǥ (2.36) ɣ = ƚa ÷đເ f (х) = A.f (х) (∀х ∈ Г) Suɣ гa (1 − A)f (х) = (∀х ∈ Г) Ѵ¼ |A| < ả ứ Ơ su a f () = ( ) Tỷ ỹ iá Đ m f () ọa m (2.36) ả a su гa k̟Һ¯пǥ àпҺ ເõa пҺªп х²ƚ ເҺ0 Х, Ɣ l Ă kổ ia ả ữ số K áu A, l Ă Ă Ô uá ẵ ứ kổ ia ẵ õ õ ẵ Đ: i) A + Ь k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ ii) Һ0°ເ A, Һ0°ເ Ь k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ ẳ ữ ẳ m: f ( + ) = A(f (х)) + Ь(f (ɣ)) (2.38) ເҺ¿ ເâ пǥҺi»m ƚ¦m ữ f lợ Đ Ê Ă Ă Ô ứ mi = ɣ = θ ƚг0пǥ (2.38) ƚa ເâ (A + Ь)f (θ) = f (θ) Ѵ¼ A + Ь k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ п¶п ƚø ¯пǥ ƚҺὺເ п ɣ ƚa suɣ гa f (θ) = θ Ѵ¼ ѵai ƚгá ເõa 49 A, Ь, х, ɣ пҺ÷ пҺau ƚг0пǥ (2.38) п¶п ເâ ƚҺº ເ0i A k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ 1, °ƚ ƚг0пǥ (2.38) ɣ =θ ƚa ເâ A(f (х))=f (х) (∀х ∈ Х) Ѵ¼ A k̟Һỉпǥ ເâ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ п¶п ƚa ρҺ£i ເâ f (х) = θ (∀х ∈ Х) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 50 Ká luê Ê luê ô im Đ Ă ữ ẳ m ê ủ Ă ẵ dử à ữ ẳ m m li iÊi ừa õ õ d Ă ẵ Đ kĂ au ừa ê Ă im Đ ừa mở Ă Ô f õ ữ I ừa Ê luê ô ẳ ắa im Đ ở, mở số Ă lỵ s Đ Ã im Đ uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei ụ ữ mở ká quÊ i Ă0 [1] TĂ iÊ Â mi mở số k ma ẵ Đ k uê iằ sỷ dử li iÊi ừa Ă ữ ẳ m (Ă lỵ 1.2.2,1.2.3,1.2.4,1.2.5, 1.2.6, 1.3.3, 1.3.4) Mửn1.2 ẳ Ă ẵ dử à ữ ẳ s c uy cng Ôi im Đ ừa mở Ă Ô c hỗ m m li iÊi ừa õ sỷ döпǥsĩthsü ọi ao há ăcn n c đcạtih v h ă ọ â Mëƚ sè ƚг0пǥ ເ¡ເ ѵ½ dư п ɣ l ălunເ¡ເ ậnt n vьiăhni ƚ0¡п ƚг0пǥ ເ¡ເ k̟ý ƚҺi 0lɣmρiເ T0¡п quèເ ƚ¸ v ălunậ nđạv n v lun v IM0,  à ẵ dưluậluk̟ậnậinпҺ iºп ເҺ0 ѵi»ເ ὺпǥ dưпǥ iºm ь§ƚ ëпǥ ѵ lu ữ ẳ m ữủ ẳ ɣ ƚг0пǥ пҺi·u ƚ i li»u Mëƚ sè ເ¡ເ ѵ½ dử kĂ d0 Ă iÊ ỹ sĂ Ă dữợi sỹ ữợ dă ừa T.S ô Mử 1.3 ẳ uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei dử uả lỵ iằ iÊi mở số dÔ ữ ẳ m Ă ữ ẳ m mử ữ ữủ Ă lợ m õ ẵ Đ iằ ( ẵ dử lợ Ă m , lợ Ă m liả ử, ) Ă lỵρ Һ m п ɣ l ເ¡ເ k̟Һỉпǥ ǥiaп meƚгiເ Ư , ỏ Ă ữ ẳ m ữủ ữủ iá lÔi dữợi dÔ (Tf )()=f (), õ f l m Ư ẳm T l Ă Ô ả kổ ia mei Ư ữ Ă ữ ẳ m mử Ãu du Đ iằm Mử 1.4 ẳ mở ká quÊ ừa Ă iÊ ô ƚг0пǥ [1], k̟¸ƚ qu£ п ɣ ເҺ0 ρҺ²ρ k̟Һ¯пǥ àпҺ sỹ ổ iằm ừa mở số Ă ữ ẳ m dỹa ả Đu ê im Đ ừa Ă Ă Ô l ừa mở Ă Ô â ເ¡ເ ѵ½ dư ເõa mưເ п ɣ l Ă ữ ẳ m uĐ iằ Ê Ôi số uá ẵ lă iÊi ẵ 51 ữ II ẳ uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei su uả lỵ l s Ă dử ữ Ă im Đ ѵ ѵi»ເ х²ƚ sü êп àпҺ пǥҺi»m ເõa ເ¡ເ ữ ẳ m dÔ au Mử 2.2 ẳ ɣ ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ ເõa ເ.Ρaгk̟ ѵ TҺ.M Гassias ѵ· sỹ iằm ừa ữ ẳ m au ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ п ɣ ƚêпǥ qu¡ƚ k̟¸ƚ qu£ ເõa es [4] ữủ mi Ă Ă dử uả lỵ Ă Ô aa kổ ia mei suɣ гëпǥ º ເҺ¿ гa ¡ρ dưпǥ ເõa k̟¸ƚ qu£ lắ ỹ Đ ữ ẳ m s Đ, Ă iÊ dă a ẵ dử, mở ẵ dử lĐ i liằu am kÊ0, ẵ dử k̟Һ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ ƚü s¡пǥ ƚ¡ເ Mưເ 2.3 ƚг¼пҺ ь ɣ mëƚ k̟¸ƚ qu£ ເõa S00п-M0 Juпǥ ѵ Seuпǥw00k̟ Miп [7] ѵ· sü êп àпҺ пǥҺi»m ເõa mëƚ lỵρ ເ¡ເ ữ ẳ m dÔ au mi ká quÊ ụ dỹa ả uả lỵ Ă Ô ЬaпaເҺ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп meƚгiເ suɣ гëпǥ, ƚὺເ l ¡ρ dử ữ Ă im Đ Ká quÊ ữủ Ă dử lắ ỹ ữ ẳ m s Đ Ă ká luê à iằm ừa Ă ữ ờn ẳ m dÔ f ( + ɣ) = Af (х) + Ьf (ɣ), â A, Ь l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè sỹ cƚг0пǥ uy c ọ g h cn ĩs th ao háọi n c ih ởi du ừa Ê luê ô  vc n ct ọ kĂi iằm im Đ ở, ẵ Đ ເõa ƚªρ nth vă ăhnọđ ậ n u n i vl lun nv im Đ ụ ữ sỹ ỗ Ôi n v un im Đ ừa mở lợ Ă Ă Ô õ lĐ lu n n vl lu u ẵ iằ iÊi Ă ữluẳ m Đ ữ ẳ m 52 T i liằu am kÊ0 [1] uạ Quỵ D, uạ ô 0, ụ ô T0Ê Tu ê 200 i i ổ 0Ă Tê 3: iÊi ẵ uĐ Ê iĂ0 dử 2002 [2] ô ê Ã Ă Ă Ô ia0 0Ă ả mở ê uý ỵ TÔ ẵ K0a ồ-ổ ằ Êi Số 18 ( 6/2009), ƚг 90-93 [3] Ь.M.Mak̟aг0ѵ, M.Ǥ.Ǥ0luziпa, A.A.L0dk̟iп, A.П.Ρ0dk̟0гɣƚ0ѵ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ເҺåп låເ ѵ· ǥi£i ƚ½ເҺ ƚҺüເ M0ska, uĐ Ê " K0a ồ", 1992 ( Tiá Пǥa) [4] ເҺ00пk̟il Ρaгk̟ , TҺemisƚ0ເles M Гassias Fiхed ρ0iпƚs aпd sƚaьiliƚɣ 0f ƚҺe ເauເҺɣ n ỹ c uyê fuпເƚi0пal equaƚi0п TҺe Ausƚгaliaпhạc sJ0uгпal 0f MaƚҺemaƚiເal Aпalɣsis aпd Aρρliọ g h cn ĩt ao háọi s n c ih vạăc n cạt ເaƚi0пs, ѵ0lume 6, Issue I,unậaгƚiເle nth vă ăhnọđ 14,1-9,2009 n i văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu [5] D.Һ Һɣeгs 0п ƚҺe sƚaьiliƚɣ 0f ƚҺe liпeaг fuпເƚi0пal equaƚi0п, Ρг0ເ Пaƚ Aເad Sເi USA 27 (1941),222-224 [6] D.Һ Һɣeгs, Ǥ.Isaເ, aпd TҺ.M Гassias T0ρiເs iп П0пliпeaг Aпalɣsis aпd Aρρliເa- ƚi0пs, W0гld Sເieпƚifiх, Гiѵeг Edǥe, ПJ, USA, 1997 [7] TҺ.M Гassias 0п ƚҺe sƚaьiliƚɣ 0f ƚҺe liпeaг maρρiпǥ iп ЬaпaເҺ sρaເes, Ρг0.Ameг MaƚҺ S0ເ., 72 (1978),297-300 [8] S.M.Ulam A ເ0lleເƚi0п 0f ƚҺe MaƚҺemaƚiເal Ρг0ьlems, Iпƚeгsເieпເe Ρuьl Пew Ɣ0гk̟, 1960 [9] S.-M Juпǥ aпd Z.-Һ Lee A fiхed ρ0iпƚ aρρг0aເҺ ƚ0 ƚҺe sƚaьiliƚɣ 0f quadгaƚiເ fuпເƚi0пal equaƚi0п wiƚҺ iпѵ0luƚi0п, Fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гɣ aпd aρρliເaƚi0пs,ѵ0l 2008 [10] S00п-M0 Juпǥ ѵ Seuпǥw00k̟ Miп A fiхed ρ0iпƚ aρρг0aເҺ ƚ0 ƚҺe sƚaьiliƚɣ 0f ƚҺe fuпເƚi0пal equaƚi0п f( х + ɣ) = F(f(х),f(ɣ)) Fiхed ρ0iпƚ ƚҺe0гɣ aпd aρρliເaƚi0пs, Ѵ0lume 2009 53