Đang tải... (xem toàn văn)
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH o0o Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN Chuyên ngành Toán giải tích Mã số 60 46 01 LUẬN VĂN[.]
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Hồn Hóa tận tâm hướng dẫn, bảo tơi q trình hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học tự nhiên phòng sau Đại học truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm q báo cho tơi suốt q trình học tập Xin trân thành cảm ơn bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 động viên giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Vì kiến thức học viên nhiều hạn chế nên luận văn có nhiều thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .2 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .5 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p 1.3 Ánh xạ đa trị 1.4 Ánh xạ co đa trị .6 1.5 Không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric 1.6 Không gian đối ngẫu 1.7 Tập lồi, tập hình 1.8 Tập có tính chất N 1.9 Ánh xạ có tính chất C 1.10 Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán 10 1.11 Một số định nghĩa 13 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 14 2.1 Định lí 2.1 14 2.2 Định lí 2.2 .14 2.3 Định lí 2.3 .18 2.4 Định lí 2.4 .22 2.5 Định lí 2.5 .22 2.6 Định lí 2.6 .23 CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 25 3.1 Định lí 3.1 .25 3.2 Định lí 3.2 .31 3.3 Định nghĩa 40 3.4 Định lí 3.3 .41 PHẦN KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1963 Meinadus kết hợp điểm bất động phép xấp xỉ tối ưu khơng gian hàm phát số tính chất hàm không thay đổi vài giả thiết Sau nhiều tác giả nghiên cứu điều với giả thiết thay đổi Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử ( X , ) không gian định chuẩn, T , I : X → X ánh xạ R-giao hoán yếu (R p giao hoán yếu) Điều kiện để T I có chung điểm bất động Năm 1969 Nadler người đưa khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp đó) chứng minh ánh xạ co đa trị tập đóng bị chặn khơng gian mêtric Haudorff có điểm bất động Điểm bất động ánh xạ co đa trị (ánh xạ không tự xạ) không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric Assad Kirk đưa Tiếp tục nghiên cứu ( ) ánh xạ đa trị không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric X , d p , tập K X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị F , G : K → CB ( X ) Điều kiện để có điểm z K mà z ∈ Fz ∩ Gz Các vấn đề luận văn trình bày trình bày theo hai nội dung nói dựa kiến thức, kết học tìm hiểu trình làm luận văn Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương I: Một số khái niệm kết liên quan đến không gian định ( chuẩn X , p ) , ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ lồi theo metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hốn yếu (dưới yếu), tập có tính chất (N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ (demiclosed, đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hồn tồn)… Chương II: Định lí điểm bất động cặp ánh xạ không giãn không ( gian định chuẩn X , p ) Chương III: Định lý điểm bất động cặp ánh xạ đa trị không gian mêtric đầy đủ lồi theo metric (định nghĩa chương I) CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian mêtric Không gian mêtric cặp ( X , ρ ) , X tập hợp, ρ : X × X → hàm số xác định X × X thỏa mãn điều kiện sau: ρ ( x, y ) ≥ i) ρ ( x, y ) = ⇔ x = y với x, y ∈ X ii ) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) iii ) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z ) 1.2 Không gian định chuẩn với chuẩn p Cho X khơng gian tuyến tính, p – chuẩn X hàm thực X với < p ≤ thỏa mãn điều kiện (i ) ( ii ) ( iii ) x p αx ≥ 0, x p x+ y =α p p p =0 ⇔ x =0 x p ≤ x p+ y p Trong x, y ∈ X , α đại lượng vô hướng ( Cặp X , p ) gọi khơng gian định chuẩn với chuẩn p Nó khơng gian mêtric tuyến tính với metric bất biến phép dời d p xác định d p = x − y p , x, y ∈ X d p ( x, y ) = x − y p ≥0 d p ( x, y ) = ⇔ x − y d p ( x, y ) = x − y p , ∀x, y ∈ X p =0⇔ x− y =0⇔ x = y =y − x d p ( x, y ) + d p ( y, z ) =x − y p p =d p ( y, x ) + y−z p ≥ x− y+ y−z p Nếu p = ta không gian định chuẩn thông thường =x − z p =d p ( x, z ) Không gian l p , Lp , < p ≤ không gian định chuẩn với chuẩn p Cho ( X , d ) không gian mêtric đầy đủ CB ( X ) tập hợp tập khác rỗng đóng, bị chặn X Tập N ( ε , C ) = { x ∈ X / d ( x, c ) < ε , ∀c ∈ C} ε > C ∈ CB ( X ) H ( A, B ) = inf {ε / A ⊂ N ( ε , B ) , B ⊂ N ( ε , A )} A, B ∈ CB ( X ) H mêtric Hausdorff cảm sinh mêtric d = Đặt D ( x, A ) inf {d ( x, y ) : y ∈ A} với x ∈ X A ⊆ X 1.3 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập Cho F : X → CB (Y ) ánh xạ từ X vào tập gồm tập Y Ta gọi F ánh xạ đa trị từ X vào Y 1.4 Ánh xạ co đa trị Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d ) Ánh xạ F : X → CB (Y ) gọi ánh xạ co đa trị H ( Fx, Fz ) ≤ α d1 ( x, z ) , với x, z ∈ X , α ∈ [ 0,1) 1.5 Không gian mêtric đầy đủ lồi theo mêtric Không gian mêtric đầy đủ ( X , d ) gọi lồi theo mêtric với d ( x, y ) x, y ∈ X , x ≠ y tồn z ∈ X , z ≠ x, z ≠ y thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = Nếu K tập đóng khác rỗng X, với x ∈ K y ∉ K tồn z ∈ ∂K (biên K ) thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = d ( x, y ) 1.6 Không gian đối ngẫu Cho X không gian định chuẩn Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) X, Kí hiệu X* tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X X * tách điểm X theo nghĩa với x ≠ θ , x ∈ X tồn f ∈ X* ( f : X → K ) thỏa f ( x ) ≠ Trong trường hợp khơng gian tơpơ yếu X xác định tốt gọi Hausdorff Lưu ý, X khơng khơng gian lồi địa phương X * không cần tách điểm X = X Lp [ 0,1] , < p < X * = {0} Ví dụ: Nếu Tuy nhiên có vài không gian X không lồi địa phương mà không gian đối ngẫu X * tách điểm X không gian định chuẩn l p , < p < 1.7 Tập lồi, tập hình Cho M tập khác rỗng không gian mêtric ( X , d ) Tập M gọi q − starshaped (q - hình sao) với q ∈ M kx + (1 − k ) q ∈ M với x ∈ M k ∈ [ 0;1] Tập M gọi lồi kx + (1 − k ) y ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Ánh xạ f : M → M gọi affine M lồi f ( kx + (1 − k ) y ) = kfx + (1 − k ) fy ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Một mở rộng khác khái niệm hình giới thiệu Naimpally et all sau 1.8 Tập có tính chất N Tập M có tính chất (N) tồn tự xạ T M tồn q ∈ M dãy số thực cố định kn → , < kn < (1 − kn ) q + knTx ∈ M với x ∈ M n > 1.9 Ánh xạ có tính chất C Một ánh xạ I gọi có tính chất (C) tập M với tính chất (N) I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với x ∈ M n > Mỗi ánh xạ affine tập M q-hình thỏa điều kiện (C) Vì tập M q-hình nên M có tính chất (N) Mỗi ánh xạ affine I : M → M thỏa I ( kx + (1 − k ) y ) = kIx + (1 − k ) Iy ∈ M với x, y ∈ M k ∈ [ 0;1] Nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với x ∈ M n > Ví dụ: Cho= X = ,M {( 0, y ) : y ∈ [ −1,1]} ∪ 1 − n 1+ , , n ∈ ∪ {1, 0} với metric cảm sinh chuẩn ( a, b ) = a+b , ( a, b ) ∈ Định nghĩa T M sau 1 , T 1 − ,0 = 0,1 − 1+ n 1+ n T ( 0, y ) = ( 0, − y ) Hiển nhiên M khơng hình M có tính chất (N) Lấy q = ( 0, ) kn = − 1+ n M khơng hình = q ( 0, ) ∈ M ;0 ∈ M k ∈ [ 0;1] n +1 Với x = 1 − , T (1, ) = ( 0,1) 1 ;0 + 1 − + kx + (1 − k ) q = 1 − 1 − ( 0;0 ) n +1 n +1 n +1 1− 1 − = 1 − ;0 = ;0 1 n n n + + + ⇒ kx + (1 − k ) q ∉ M = q M có tính chất (N) với ( 0, ) ∈ M kn = − 1+ n 0 < k n < 1 n kn = 1− = ⇒ + n n + kn → n → ∞ Ta chứng minh (1 − kn ) q + knTx ∈ M với x ∈ M n > Vì y ∈ [ −1,1] ⇒ − y ∈ [ −1,1] ⇒ −kn y ∈ [ −1,1] n = ⇒ −kn2 ∈ [ −1,1] kn = − n +1 n +1 ( 0, kn ) ∈ M n +1 (1 − kn ) q = q = q∈M Nên với x ∈ M n > (1 − kn ) q + knTx ∈ M Định nghĩa I ( 0, y ) =− I 1 ,0 = ( 0;0 ) 1+ n , I (1, ) = (1, ) 0 1 Thì TIx − ITx = Trường hợp 1: x = ( 0; y ) TIx − ITx = TI 1 − ;0 − IT ( 0; y ) = T ( 0;0 ) − I ( 0; − y ) = ( 0;0 ) − ( 0;0 ) = + = 1+ n Trường hợp 2: x = ( 0;1) TIx − ITx = TI ( 0;1) − IT ( 0;1) = T (1;0 ) − I ( 0; −1) = ( 0;1) − ( 0, ) = ( 0;1) = +1=1 10 Như ∀x ∈ M TIx − ITx ≤ R knTx − Ix , R ≥ 1, q= ( 0, ) ∈ F ( I ) Vậy I , T R-giao hốn yếu khơng giao hốn M Một không gian định chuẩn ( X , p ) thỏa mãn điều kiện Opial dãy { xn } hội tụ yếu đến x ∈ X , bất đẳng thức lim inf d p ( xn , x ) < lim inf d p ( xn , y ) , ∀x ≠ y n →∞ n →∞ 1.10 Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán Cho X khơng gian mêtric tuyến tính M tập khác rỗng X Cho ánh xạ I : M → X Ánh xạ T : M → X gọi I-Lipschitz ∀x, y ∈ X tồn k > thỏa d (Tx, Ty ) ≤ kd ( Ix, Iy ) Nếu k < ( k = ) T gọi I -co ( I -nonexpansive, I – không giãn) Hai tự ánh xạ T I M gọi giao hoán TIx = ITx với x ∈ M Hai tự ánh xạ T I M gọi R-giao hoán yếu d ( ITx, TIx ) ≤ Rd (Tx, Ix ) ,x∈M,R > Nếu R = gọi ánh xạ giao hốn yếu Cho M q-hình với q ∈ F ( I ) T I bất biến ( F ( I ) tập điểm bất động ánh xạ I ) Sau đó, Shahzad gọi T I R-giao hốn yếu M tồn số thực R > mà d ( ITx, TIx ) ≤ R.d ( kTx + (1 − k ) q, Ix ) , x ∈ M , k ∈ [ 0,1] Nếu R = gọi 1-giao hốn yếu (1-subweakly commuting) Lớp ánh xạ R-giao hốn yếu có tính chất lớp ánh xạ giao hốn Mở rộng khái niệm ánh xạ R-giao hoán yếu miền khơng phải hình sau ... 1.3 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập Cho F : X → CB (Y ) ánh xạ từ X vào tập gồm tập Y Ta gọi F ánh xạ đa trị từ X vào Y 1.4 Ánh xạ co đa trị Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d ) Ánh. .. hợp tập hợp đó) chứng minh ánh xạ co đa trị tập đóng bị chặn khơng gian mêtric Haudorff có điểm bất động Điểm bất động ánh xạ co đa trị (ánh xạ không tự xạ) không gian mêtric đầy đủ lồi theo... 1.9 Ánh xạ có tính chất C 1.10 Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán 10 1.11 Một số định nghĩa 13 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH