Mục lục Lời nói đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1 1 Tập lồi đa diện và các tính chất 2 1 2 Phép chiếu lên một tập lồi, đóng 10 1 3 Ánh xạ đa trị và các tính chất liên tục 16 Chương 2 Các tính chất[.]
Mục lục Lời nói đầu .1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi đa diện tính chất 1.2 Phép chiếu lên tập lồi, đóng 10 1.3 Ánh xạ đa trị tính chất liên tục 16 Chương Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện 23 2.1 Ánh xạ đa trị đa diện 23 2.2 Tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện 25 Chương Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng 32 3.1 Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc .32 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine .37 Kết luận kiến nghị .47 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Vai trị giải tích đa trị vài thập niên gần khẳng định thông qua việc công nhận ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý toán kinh tế Hiện nay, nhiều kết nghiên cứu lĩnh vực nói viết ngơn ngữ giải tích đa trị Điều cho thấy sức mạnh công cụ Cùng phát triển khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu sâu tính chất lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đặt ra, chẳng hạn ánh xạ đa trị đa diện Robinson phát tính chất đặc biệt lớp ánh xạ này, tính Lipschitz địa phương Điều tạo tảng động lực cho nhiều nghiên cứu sau tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng nhiều tốn, đặc biệt tốn bất đẳng thức biến phân affine Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng vào tốn bất đẳng thức biến phân affine, cụ thể việc xét tính nghiệm tốn Luận văn gồm có ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để làm tảng cho hai chương sau Trong giới thiệu khái niệm, tính chất tập lồi đa diện, phép chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Chương giới thiệu ánh xạ đa trị đa diện tính chất Sau sâu vào trình bày tính Lipschitz lớp ánh xạ Chương trình bày tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân affine Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tập lồi đa diện, phép chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Nội dung tham khảo trích dẫn chủ yếu tài liệu [1], [2], [5], [10], [12] Trong tồn chương, khơng nói thêm, ta xét khơng gian Euclide R n trang bị tích vô hướng cho bởi: x = ( x1 , x= , , xn ) , y tích vơ hướng x = ( y1, y2 , , yn ) ∈ R n , x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn chuẩn sinh x12 + x22 + + xn2 1.1 Tập lồi đa diện tính chất n Định nghĩa 1.1.1 Cho S ⊂ R , ta định nghĩa: m = lin S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R , i =1 m m = li 1 , aff S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R, = ∑ = i =i m m = li 1 , S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+ , = conv ∑ = i =i m = S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+ cone i =1 Các tập lin S , aff S , conv S gọi bao tuyến tính, bao affine, bao lồi tập hợp S cone S gọi nón sinh S Một tập S ⊂ R n gọi lồi conv S = S Đặc biệt, lin S , aff S , conv S tập lồi với S Số chiều tập lồi S số chiều không gian affine aff S Điểm x ∈ S gọi điểm tương đối S tồn số thực ε > cho với y ∈ aff S , y − x < ε y ∈ S Tập tất điểm tương đối S kí hiệu relint S Định nghĩa 1.1.2 Cho b ∈ R n \ {0} β ∈ R, tập H1 = x ∈ R | x, b ≤ bb {= } , H { x ∈ R | x, b ≥ } n n gọi nửa khơng gian đóng cho b β Nhận xét 1.1.1 Các nửa khơng gian đóng tập khác rỗng, lồi đóng Định nghĩa 1.1.3 Tập P ⊂ R gọi lồi đa diện P biểu diễn dạng giao hữu hạn nửa khơng gian đóng m Nhận xét 1.1.2 Vậy P tập lồi đa diện viết dạng P = H i , H i nửa i =1 khơng gian đóng hay { 1, k P =x ∈ R n | x, bi ≤ bi , i = } 1, k bi ∈ R n βi ∈ R, i = Ví dụ 1.1.1 Tập lồi đa diện bị chặn Tập lồi đa diện khơng bị chặn Hình 1.1 Định nghĩa 1.1.4 Cho N S ( x )= {y ∈ R n tập lồi, đóng, khác rỗng S, với : yT x ≥ yT z , ∀z ∈ S } gọi nón pháp tuyến S x Nhận xét 1.1.3 (i) N S ( x ) nón lồi, đóng x ∈ S, tập (ii) S , S hai tập lồi, đóng R n U lân cận x ∈ R n cho S U = S U N S ( x ) = N S ( x ) (iii) Nếu S nón lồi, đóng N S ( x ) ⊂ N S ( ) , ∀x ∈ S N S ( ) = S { n i 1, k (iv) Cho tập lồi đa diện P =x ∈ R | x, b ≤ bi , i = } x ∈ P Khi đó, NP ( x) = cone {bi : i ∈ {1, , k } , biT x = bi } Định nghĩa 1.1.5 Cho tập lồi đa diện P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} với A ∈ M m×n có vectơ dịng a1 , , am vectơ b ∈ R m J ( A, b ) họ tập số I ⊂ {1, , m} cho tồn x ∈ R n thỏa mãn aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1, , m} \ I Tập hợp có dạng FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x ≤ b j , j ∈ {1, , m} \ I } , I ∈ J ( A, b ) , gọi mặt khác rỗng P Một mặt khác rỗng FI P gọi mặt thật P FI ≠ P Nhận xét 1.1.4 (i) Hai mặt FI , FJ tương ứng với hai tập số phân biệt I , J ∈ J ( A, b ) phân biệt (ii) Với I ∈ J ( A, b ) , relint FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1, , m} \ I } (iii) Nón pháp tuyến P điểm tương đối mặt FI cho công = thức N I cone {ai : i ∈ I } với N ∅ = {0} định nghĩa Từ tính chất nửa khơng gian đóng, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 Tập lồi đa diện tập lồi, đóng Tuy nhiên, khơng phải tập lồi, đóng tập lồi đa diện Ví dụ 1.1.2 Quả cầu đơn vị R n ( n ≥ ) tập lồi, đóng không tập lồi đa diện Định lý 1.1.1 (Định lý Minskowki - Weyl biểu diễn tập lồi đa diện) Tập P ⊂ Rn khác rỗng tập lồi đa diện Khi đó, tồn v1 , v2 , , v p , d1 , d , , d q ∈ R n cho = P conv {v1 , , v p } + cone {d1 , , d q } p q p n 1 = λi vi + ∑ µ j d j , λi , µ j ≥ 0, ∑ λi = x ∈ R : x = ∑ =i =j =i Các vi , i = 1, p gọi điểm sinh, d j , j = 1, q gọi phương sinh P Các điểm sinh phương sinh tập lồi đa diện không − x + ≤ Ví dụ 1.1.3 Cho tập lồi đa diện= P ( x, y ) ∈ R : − x − y + ≤ Hình 1.2 x − y − ≤ = v1 Chọn = P = ) , v2 (= 2,1) ; d1 ( 0,1 = ( 4,= ) , d (1,1) y) {( x, = λλ 1} ( 4, ) + ( 2,1) + µ1 ( 0,1) + µ (1,1) , λλ , , µ1 , µ ≥ 0, λλ += + 2 + µ , λλ ( x, y ) ∈ R : xy == 4λλλ , , µ1 , µ ≥ 0, λλ 1+ = 2 + µ1 + µ { } { Ta dùng phép khử Fourier-Motzkin để chứng minh định lý chuyển đổi từ dạng giao hữu hạn nửa khơng gian đóng sang dạng hữu hạn sinh định lý 1.1.1 tập lồi đa diện ta khơng đề cập đến phương pháp Qua định lý 1.1.1., ta thấy ánh xạ affine bảo tồn tính lồi đa diện Mệnh đề 1.1.2 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi đa diện Chứng minh Cho tập P = 1} với B ∈ M n× p , C ∈ M n×q tập lồi đa diện {Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λi = f : Rn → Rd x Mx + t d với M ∈ M d ×n , t ∈ R ánh xạ affine Đặt T ma trận cấp ( d × p ) với cột vectơ t Đặt B :=MB + T , C :=MC Khi f ( P= ) {M ( Bλ + C µ ) + t : λ , µ ≥ 0, ∑ λ= 1} = 1} {Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λ = i i tập lồi đa diện □ Hệ 1.1.1 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi, đóng Ví dụ 1.1.4 Trong R xét tập X = A : R2 → R2 A( X ) = {( x, y ) ∈ R : x > 0, xy ≥ 1} ánh xạ tuyến tính cho cơng thức A ( x, y ) = ( x, ) X tập lồi, đóng {( x, ) ∈ R : x > 0} tập đóng Hình 1.3 Mệnh đề 1.1.3 Tổng hai tập lồi đa diện tập lồi đa diện Chứng minh Cho P= conv {v1 , , v p } + cone {d1 , , d q } , P ' = conv {v '1 , , v ' p ' } + cone {d '1 , , d 'q ' } Đặt = Q : conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} + cone {di , d ' j |1 ≤ i ≤ q,1 ≤ j ≤ q '} Q tập lồi đa diện Ta chứng minh P + P ' = Q Hiển nhiên Q ⊂ P + P ' Ta kiểm tra bao hàm thức ngược lại p q p' q' Lấy= p : ∑ λi vi + ∑ µ j d j + ∑ λ 'i v 'i + ∑ µ ' j d ' j ∈ P + P ' =i =j với λi , µ j , λ 'i , µ ' j ≥ 0, =i p =j p' ∑ λλ ∑ 'i =1 i = =i =i x: Ta cần chứng minh= ∑ λλ i vi + ∑ 'i v 'i ∈ conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} Giả sử tất p p' =i =i hệ số tổng dương, ta chọn hệ số nhỏ λλλλ , , q , '1 , , 'q ' Khơng tính tổng quát, giả sử λ1 ''1= : '1 − , ''i =: 'i , ≤ i ≤ q ', η11 =: λ1 x − η11 ( v1 + v '1=) Đặt λλλλλ q q' ∑ λλ i vi + ∑ ''i v 'i =i 2=i q' q ∑ λλ i = ∑ ''i Tiếp tục trình hữu hạn lần, ta có biễu diễn x =i 2=i = x ∑ η (v + v ' ) 1≤i ≤ q 1≤ j ≤ q ' ij i j với ∑η 1≤i ≤ q 1≤ j ≤ q ' ij = Vậy x ∈ conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} Ta suy điều phải chứng minh □ Hệ 1.1.2 Tổng hai tập lồi đa diện tập lồi, đóng Tổng hai tập lồi, đóng chưa đóng Ví dụ sau làm rõ điều Ví dụ 1.1.5 Trong = Y {( x, y ) ∈ R X += Y R2 xét : x < 0, xy ≤ −1} {( x, y ) ∈ R tập hai X= {( x, y ) ∈ R tập lồi, : x > 0, xy ≥ 1} đóng tập tổng : y > 0} khơng phải tập đóng Hình 1.4 Định lý sau nói tính tách chặt hai tập lồi đa diện Mệnh đề 1.1.4 Cho P1 , P2 tập lồi đa diện khác rỗng, rời Khi đó, tồn siêu phẳng tách chặt chúng, nghĩa là, tồn a ∈ R n \ {0} , a > cho ay > a > az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 Chứng minh: P1 , P2 tập lồi đa diện nên theo mệnh đề P1 − P2 tập lồi đa diện, đóng Hơn P1 − P2 khơng chứa P1 , P2 rời Do tồn siêu phẳng { x : ax = µ} với a ≠ 0, µ > cho ax > µ > 0, ∀x ∈ P1 − P2 hay ay > µ + az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 Vì inf {ay : y ∈ P1} ≥ sup {az + µ : z ∈ P2 } > sup {az : z ∈ P2 } Đặt β= sup {az : z ∈ P2 } , γ= inf {ay : y ∈ P1} α = β + γ β < α < γ Khi ay > a > az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 Vậy P1 , P2 bị tách chặt siêu phẳng { x : ax = a } □ Ví dụ sau cho ta thấy tính lồi đa diện đảm bảo cho tính tách chặt Ví dụ 1.1.6 Ta xét hai tập hợp sau R2 : A = {( x, { ) Ỵ R : x £ 0} , ïì ïü B = í( x, y ) Ỵ R : y ³ , x > 0ý dễ thấy A, B li, úng, nhiờn, khụng cú ùợù ùỵù x đường thẳng tách chặt chúng Hình 1.5 ... chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Chương giới thiệu ánh xạ đa trị đa diện tính chất Sau sâu vào trình bày tính Lipschitz lớp ánh xạ Chương trình bày tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng... sau tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng nhiều tốn, đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân affine Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện. .. thuật mà nhu cầu nghiên cứu sâu tính chất lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đặt ra, chẳng hạn ánh xạ đa trị đa diện Robinson phát tính chất đặc biệt lớp ánh xạ này, tính Lipschitz địa phương Điều tạo