tính lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Thão TÍNH LIPSCHITZ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Thão TÍNH LIPSCHITZ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ĐA DIỆN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, nhận nhiều giúp đỡ từ người Thầy, người thân bạn bè Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Trịnh Công Diệu, người hướng dẫn khoa học, dành nhiều thời gian, công sức niềm tin để hướng dẫn thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô hết lòng giảng dạy suốt khóa học Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa toán - tin học tận tình giúp đỡ trình tìm nghiên cứu tài liệu Cảm ơn bạn năm tháng học tập nghiên cứu, không quên khoảng thời gian Tôi xin dành lời cảm ơn sau cho người tim tôi, dù họ đâu Mục lục Lời nói đầu .1 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi đa diện tính chất 1.2 Phép chiếu lên tập lồi, đóng 10 1.3 Ánh xạ đa trị tính chất liên tục 16 Chương Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện 23 2.1 Ánh xạ đa trị đa diện 23 2.2 Tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện 25 Chương Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng 32 3.1 Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc .32 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine .37 Kết luận kiến nghị .47 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Vai trò giải tích đa trị vài thập niên gần khẳng định thông qua việc công nhận ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý toán kinh tế Hiện nay, nhiều kết nghiên cứu lĩnh vực nói viết ngôn ngữ giải tích đa trị Điều cho thấy sức mạnh công cụ Cùng phát triển khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu sâu tính chất lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đặt ra, chẳng hạn ánh xạ đa trị đa diện Robinson phát tính chất đặc biệt lớp ánh xạ này, tính Lipschitz địa phương Điều tạo tảng động lực cho nhiều nghiên cứu sau tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng nhiều toán, đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân affine Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tính Lipschitz ánh xạ đa trị đa diện ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân affine, cụ thể việc xét tính nghiệm toán Luận văn gồm có ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để làm tảng cho hai chương sau Trong giới thiệu khái niệm, tính chất tập lồi đa diện, phép chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Chương giới thiệu ánh xạ đa trị đa diện tính chất Sau sâu vào trình bày tính Lipschitz lớp ánh xạ Chương trình bày tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân affine Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tập lồi đa diện, phép chiếu lên tập lồi, đóng ánh xạ đa trị Nội dung tham khảo trích dẫn chủ yếu tài liệu [1], [2], [5], [10], [12] Trong toàn chương, không nói thêm, ta xét không gian Euclide R n trang bị tích vô hướng cho bởi: x = ( x1 , x= , , xn ) , y tích vô hướng x = ( y1, y2 , , yn ) ∈ R n , x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn chuẩn sinh x12 + x22 + + xn2 1.1 Tập lồi đa diện tính chất n Định nghĩa 1.1.1 Cho S ⊂ R , ta định nghĩa: m  = lin S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R  ,  i =1  m m   = li 1 , aff S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R, = ∑ =  i =i  m m  = li 1 , S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+ , = conv ∑ =  i =i  m  = S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+  cone  i =1  Các tập lin S , aff S , conv S gọi bao tuyến tính, bao affine, bao lồi tập hợp S cone S gọi nón sinh S Một tập S ⊂ R n gọi lồi conv S = S Đặc biệt, lin S , aff S , conv S tập lồi với S Số chiều tập lồi S số chiều không gian affine aff S Điểm x ∈ S gọi điểm tương đối S tồn số thực ε > cho với y ∈ aff S , y − x < ε y ∈ S Tập tất điểm tương đối S kí hiệu relint S Định nghĩa 1.1.2 Cho b ∈ R n \ {0} β ∈ R, tập H1 = x ∈ R | x, b ≤ bb {= } , H { x ∈ R | x, b ≥ } n n gọi nửa không gian đóng cho b β Nhận xét 1.1.1 Các nửa không gian đóng tập khác rỗng, lồi đóng Định nghĩa 1.1.3 Tập P ⊂ R gọi lồi đa diện P biểu diễn dạng giao hữu hạn nửa không gian đóng m Nhận xét 1.1.2 Vậy P tập lồi đa diện viết dạng P =  H i , H i nửa i =1 không gian đóng hay { 1, k P =x ∈ R n | x, bi ≤ bi , i = } 1, k bi ∈ R n βi ∈ R, i = Ví dụ 1.1.1 Tập lồi đa diện bị chặn Tập lồi đa diện không bị chặn Hình 1.1 Định nghĩa 1.1.4 Cho N S ( x )= {y ∈ R n tập lồi, đóng, khác rỗng S, với : yT x ≥ yT z , ∀z ∈ S } gọi nón pháp tuyến S x Nhận xét 1.1.3 (i) N S ( x ) nón lồi, đóng x ∈ S, tập (ii) S , S hai tập lồi, đóng R n U lân cận x ∈ R n cho S  U = S  U N S ( x ) = N S ( x ) (iii) Nếu S nón lồi, đóng N S ( x ) ⊂ N S ( ) , ∀x ∈ S N S ( ) = S { n i 1, k (iv) Cho tập lồi đa diện P =x ∈ R | x, b ≤ bi , i = } x ∈ P Khi đó, NP ( x) = cone {bi : i ∈ {1, , k } , biT x = bi } Định nghĩa 1.1.5 Cho tập lồi đa diện P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} với A ∈ M m×n có vectơ dòng a1 , , am vectơ b ∈ R m J ( A, b ) họ tập số I ⊂ {1, , m} cho tồn x ∈ R n thỏa mãn aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1, , m} \ I Tập hợp có dạng FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x ≤ b j , j ∈ {1, , m} \ I } , I ∈ J ( A, b ) , gọi mặt khác rỗng P Một mặt khác rỗng FI P gọi mặt thật P FI ≠ P Nhận xét 1.1.4 (i) Hai mặt FI , FJ tương ứng với hai tập số phân biệt I , J ∈ J ( A, b ) phân biệt (ii) Với I ∈ J ( A, b ) , relint FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1, , m} \ I } (iii) Nón pháp tuyến P điểm tương đối mặt FI cho công = thức N I cone {ai : i ∈ I } với N ∅ = {0} định nghĩa Từ tính chất nửa không gian đóng, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 Tập lồi đa diện tập lồi, đóng Tuy nhiên, tập lồi, đóng tập lồi đa diện Ví dụ 1.1.2 Quả cầu đơn vị R n ( n ≥ ) tập lồi, đóng không tập lồi đa diện Định lý 1.1.1 (Định lý Minskowki - Weyl biểu diễn tập lồi đa diện) Tập P ⊂ Rn khác rỗng tập lồi đa diện Khi đó, tồn v1 , v2 , , v p , d1 , d , , d q ∈ R n cho = P conv {v1 , , v p } + cone {d1 , , d q } p q p   n 1 = λi vi + ∑ µ j d j , λi , µ j ≥ 0, ∑ λi = x ∈ R : x = ∑ =i =j =i   Các vi , i = 1, p gọi điểm sinh, d j , j = 1, q gọi phương sinh P Các điểm sinh phương sinh tập lồi đa diện không   − x + ≤    Ví dụ 1.1.3 Cho tập lồi đa diện= P ( x, y ) ∈ R : − x − y + ≤    Hình 1.2 x − y − ≤    = v1 Chọn = P = ) , v2 (= 2,1) ; d1 ( 0,1 = ( 4,= ) , d (1,1) y) {( x, = λλ 1} ( 4, ) + ( 2,1) + µ1 ( 0,1) + µ (1,1) , λλ , , µ1 , µ ≥ 0, λλ += + 2 + µ , λλ ( x, y ) ∈ R : xy == 4λλλ , , µ1 , µ ≥ 0, λλ 1+ = 2 + µ1 + µ { } { Ta dùng phép khử Fourier-Motzkin để chứng minh định lý chuyển đổi từ dạng giao hữu hạn nửa không gian đóng sang dạng hữu hạn sinh định lý 1.1.1 tập lồi đa diện ta không đề cập đến phương pháp Qua định lý 1.1.1., ta thấy ánh xạ affine bảo toàn tính lồi đa diện Mệnh đề 1.1.2 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi đa diện Chứng minh Cho tập P = 1} với B ∈ M n× p , C ∈ M n×q tập lồi đa diện {Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λi = f : Rn → Rd x  Mx + t d với M ∈ M d ×n , t ∈ R ánh xạ affine Đặt T ma trận cấp ( d × p ) với cột vectơ t Đặt B :=MB + T , C :=MC Khi f ( P= ) {M ( Bλ + C µ ) + t : λ , µ ≥ 0, ∑ λ= 1} = 1} {Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λ = i i tập lồi đa diện □ Hệ 1.1.1 Ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ affine tập lồi, đóng Ví dụ 1.1.4 Trong R xét tập X = A : R2 → R2 A( X ) = {( x, y ) ∈ R : x > 0, xy ≥ 1} ánh xạ tuyến tính cho công thức A ( x, y ) = ( x, ) X tập lồi, đóng {( x, ) ∈ R : x > 0} tập đóng 35 Hình 3.1 Mệnh đề 3.1.1 Ánh xạ chiếu lên tập lồi đa diện ánh xạ affine khúc Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh tính chất sau: Cho P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} với A ∈ M m×n , b ∈ R m , đặt J ( A, b ) , FI , N I Khi đó, z ∈ FI + N I với I thuộc J ( A, b ) PP ( z ) = PSI ( z ) với SI = bi , i ∈ I } { x ∈ R n : aiT x = Thật vậy, z ∈ FI + N I z ∈ { x} + N I với x thuộc FI Một mặt, ta có N I ⊂ N P ( x ) , ta suy z ∈ { x} + N P ( x ) theo tính chất x = PP ( z ) Mặt khác, N I ⊂ N SI ( x ) = lin {ai : i ∈ I } , ta suy z ∈ { x} + N SI ( x ) x ∈ S I nên x = PSI ( z ) Vậy PP ( z ) = PSI ( z ) Kết hợp với mệnh đề 1.2.4., ta suy phép chiếu lên tập lồi đa diện ánh xạ affine khúc □ n m Mệnh đề 3.1.2 Cho ánh xạ affine khúc f : R → R với ba tương ứng ( Ω , A , a ) ( j = 1, , K ) f j j j Lipschitz Chứng minh n Lấy x, y ∈ R , [ x, y ] đoạn thẳng nối x y Vì giao khác rỗng đoạn thẳng với tập lồi đa diện tập có điểm đoạn thẳng nên tồn 36 = ααα 1, , K ) ≤ ≤ ≤ l = 1(1 ≤ l ≤ K ) cho đoạn thẳng chứa tập Ω j ( j = đó, không tính tổng quát, ta giả sử Ωi+1 Vì f đồng với hàm 1, , K ) , ta có: affine Ω j ( j = l −1 f ( x ) − f ( y ) ≤ ∑ f ( x + a i ( x − y ) ) − f ( x + a i +1 ( x − y ) ) i =0 l −1 = ∑ (a i +1 − a i ) Ai +1 ( x − y ) i =0 l −1 ≤ ∑ (a i +1 − a i ) Ai +1 x − y i =0 ( ≤ max Ai 1≤i ≤l ) x− y Vậy f Lipschitz □ Định lý sau tóm tắt kết quan trọng ánh xạ affine khúc n m Định lý 3.1.1 Cho f : R → R ánh xạ affine khúc Khi (i) f đồng phôi f đơn ánh (ii) f coherently oriented f ánh xạ mở Từ định nghĩa ánh xạ affine khúc, ta suy kết sau Mệnh đề 3.1.3 Ánh xạ ngược ánh xạ affine khúc ánh xạ đa trị đa diện −1 Nhận xét 3.1.2 Do mệnh đề 3.1.1., ta suy ánh xạ ngược f ánh xạ affine khúc f có đầy đủ tính chất ánh xạ đa trị đa diện ta khảo sát chương −1 Tức f Lipschitz địa phương điểm thuộc R m thỏa mãn tính chất n m Định lý 3.1.2 Cho f : R → R ánh xạ affine khúc Khi đó, phát biểu sau tương đương: −1 (a) f toàn ánh f Lipschitz địa phương điểm (b) f ánh xạ mở 37 −1 (c) f toàn ánh f Lipschitz Hơn nữa, m = n, điều tương đương với (d) f coherently oriented Chứng minh Từ định lý 2.2.3 ta có ( a ) ⇒ ( b ) Vì rge F hợp hữu hạn tập lồi đa diện nên đóng Vì vậy, ( b ) đúng, rge F vừa đóng vừa mở R m Do f toàn ánh Theo định lý 2.2.3 f −1 Lipschitz Vậy ta ( b ) ⇒ ( c ) ( c ) ⇒ ( a ) hiển nhiên Khi m = n, theo định lý 3.1.1., ( b ) ⇔ ( d ) □ 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine n Định nghĩa 3.2.1 Cho M ∈ M n×n , q ∈ R ∆ ⊂ R n tập lồi đa diện Bài toán tìm x ∈ ∆ cho Mx + q, y − x ≥ ∀y ∈ ∆ (1) gọi toán bất đẳng thức biến phân affine (viết tắt AVI) xác định {M ,q, ∆} kí hiệu AVI ( M , q, ∆ ) Tập nghiệm toán kí hiệu Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) n Định nghĩa 3.2.2 Cho M ∈ M n×n , q ∈ R Bài toán tìm x ≥ 0, Mx + q ≥ 0, x T ( Mx + q ) = x ∈ Rn cho (1') gọi toán bù tuyến tính Nhận xét 3.2.1 Bài toán bù tuyến tính trường hợp đặc biệt toán bất đẳng n thức biến phân affine với ∆ =R+ Thật vậy, x nghiệm (1') 38 Mx + q, y − x = = Mx + q, y − Mx + q, x Mx + q, y ≥ 0, ∀y ≥ hay x ∈ Sol ( AVI ( M , q, R+n ) ) Ngược lại, x ∈ Sol ( AVI ( M , q, R+n ) ) x ≥ Mx + q, y − x ≥ 0, ∀y ≥ Chọn y = x , ta có Mx + q, x ≥ Chọn y = x , ta có − Mx + q, x ≥ Suy x T ( Mx + q ) = Chọn yi = x + ei ∈ ∆, i= 1, n ( Mx + q= )i ≥ 0, ∀i 1, n hay Mx + q ≥ Suy x nghiệm (1') □ Ta tìm hiểu tính chất nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine Bổ đề 3.2.1 (Bổ đề Farkas) n Cho ma trận B ∈ M n×m vectơ b ∈ R , có hai phát biểu sau đúng: ( i ) Tồn λ ∈ R ( ii ) m cho = Bλλ b, ≥ Tồn a ∈ R n cho a t B ≤ a t b > Về mặt hình học, bổ đề phát biểu tính chất tách chặt cho nón hữu hạn sinh: Cho nón C sinh vectơ cột ma trận B vectơ b bất kì: ( i ) Nếu b ∈ C b biểu thị tuyến tính không âm qua vectơ cột B 39 ( ii ) Nếu b ∉ C tồn siêu phẳng tuyến tính = Ha x : a x 0} cho b nón {= t C nằm hai phía khác siêu phẳng Mệnh đề 3.2.1 Vectơ x nghiệm toán (1) với ∆ cho công thức ∆= {x ∈ R n : Ax ≥ b} (2) với A ∈ M m×n , b ∈ R m tồn λλλ = ( , , m ) ∈ R m cho:  Mx − AT λ + q =    Ax ≥ b, λ ≥  T  λ ( Ax − b ) = (3) Chứng minh T 1, m , A= Kí hiệu Ai dòng thứ i A , bi thành phần thứ i b = i ,i Lấy x ∈ Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) Đặt I= bi } {1, , m} , I = {i ∈ I : , x = I1 = {i ∈ I : , x > bi } Với v ∈ R n thỏa mãn , v ≥ ∀i ∈ I , tồn δ > cho , x + tv ≥ bi (*) ∀i ∈ I , t ∈ ( 0, δ ) Thật vậy, đặt I = {i ∈ I : , v ≥ 0} I ⊂ I Với i ∈ I dễ thấy (*) với t Với i ∈ I \ I ⇒ i ∈ I= , đặt δ i Khi đó, với t ∈ ( 0, δ i ) , = , x + tv bi − , x > − , v , x + t , v ≥ bi + δ i , v ≥ bi = Đặt δ {δ i : i ∈ I \ I } δ > cần tìm x tv, t ∈ ( 0, δ ) y ∈ ∆ Thay y vào (1), ta có: Mx + q, v ≥ Đặt y =+ Do đó: − Mx − q, v ≤ − Mx − q, B b= với v ∈ Rn thỏa mãn −ai , v ≤ ∀i ∈ I Đặt ma trận có cột , i ∈ I vt b ≤ với v ∈ R n thỏa mãn vt B ≤ Theo bổ đề Farkas, tồn λi ≥ 0, i ∈ I cho − Mx − q (4) ∑ λ ( −a ) = i∈I i i 40 AiT ∀i ∈ I , từ (4) ta suy đẳng thức thức thứ Lấy λi = ∀i ∈ I1 λλλ = ( , , m ) Vì a= i (3) Vì x ∈ ∆ λi ( Ai x − bi ) = ∀i ∈ I , điều kiện lại (3) thỏa mãn Giả sử tồn λλλ = ( , , , m ) ∈ R m cho (3) thoả mãn Với y ∈ ∆ bất kì, ta có: Mx + q, y − x = = AT λ , y − x λ , ( Ay − b ) − ( Ax − b ) = λλ ( Ay − b ) − T = λ T T ( Ax − b ) ( Ay − b ) ≥ Vậy x nghiệm (1) Định lý chứng minh □  x + y ≥   −1  1   − x − y ≥ −2  ,M  , q = ∆ ( x, y ) ∈ R :  = = Ví dụ 3.2.1 Cho     Giải toán x≥0 0   1  y ≥     AVI ( M , q, ∆ ) Theo định lý 1, ta có: ( x, y ) nghiệm toán tồn ( λλλλ 1, , , ) ∈ R cho:  x − y − λλλ + − +1 = + − + =  y − λλλ x + y ≥ − x − y ≥ −2 λ ≥ 0, i = 1,  i ( x + y − 1) + ( − x − y + ) + x + y = λλλλ Từ phương trình cuối hệ ta suy λ1 = ∨ ( x + y − 1) = λ2 = ∨ ( − x − y + ) =  λ3 = ∨ x = λ4 = ∨ y = 41 Xét 16 trường hợp xảy ra: •λλλλ = = = = •λλλ = = = y =0 •λλλ = = x = = •λλλ − x − y + = = =0 = • x + y − 1= λλλ 2= 3= 4= •λλ = = x = y =0 •λλ = x + y −1 = = y = •λλ − x − y + =x = =0 = • x + y − = λλ = = y = • x + y − 1= λλ = x= 4= • x + y − =− x − y + =λλ = =0 •λ1 =− x − y + =x =y =0 • x + y − 1= λ2 = x= y= • x + y − =− x − y + =λ3 =y =0 • x + y − =− x − y + =x =λ4 =0 • x + y − =− x − y + =x =y =0 ta tìm tập nghiệm      Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) =  ,  ,  ,  , ( 2, ) , ( 0, ) , (1, ) , ( 0,1)   3   3   Hình 3.2 toán 42 Mệnh đề 3.2.2 Tập nghiệm toán AVI (1) hợp hữu hạn tập lồi đa diện Chứng minh: m Vì ∆ tập lồi đa diện nên tồn A ∈ M m×n , b ∈ R cho ∆= {x ∈ R n : Ax ≥ b} Theo = định lý 1, x ∈ Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) tồn λλλ ( , , m ) ∈ R m cho  Mx − AT λ + q =   Ax ≥ b, λ ≥ λ T Ax − b = )  ( I = {1, , m} , Đặt với x ∈ Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) , đặt ( 5) I0 = bi } , {i ∈ I : Ai x = I1 = I \ I0 = {i ∈ I : Ai x > bi } Từ đẳng thức cuối ( ) ta λ=i ∀i ∈ I1  Mx − AT λ + q =  Do đó, ( x, λ ) thỏa mãn hệ : =  AI0 x bI0 , λI0 ≥   AI1 x ≥ bI1 , λI1 = ( 6) Với I0 tập I ta đặt QIo tập tất ( x, λ ) thỏa mãn ( ) Khi QIo tập lồi đa diện { ( ) } n m n Ta có Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) =  ∏1 QI0 : I ⊂ I với ∏1 : R × R → R cho công thức ∏1 ( x, λ ) := x Do ∏1 ánh xạ tuyến tính nên với I tập I , ∏1 ( QI o ) tập lồi đa diện Vậy tập nghiệm toán AVI hợp hữu hạn tập lồi đa diện □ Mệnh đề 3.2.3 Cho M ∈ M n×n , ∆ tập lồi đa diện R n = thức S ( q ) : Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) ánh xạ đa Ánh xạ S : R n  R n định công trị đa diện Chứng minh 43 Đặt ∆= {x ∈ R n : Ax ≥ b} (2) Với A ∈ M m×n Theo định lý 1, x ∈ Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) tồn  Mx − AT λ + q =  m = λλλ ( , , m ) ∈ R cho  Ax ≥ b, λ ≥ λ T Ax − b = )  ( (7) Đặt I = {1, , m} , Với tập α ⊂ I , đặt ( Qααααααα = ∏1 {( q, x, λλλλ ) : Mx − AT + q =0, A x =b , ≥ 0, AI \ x ≥ bI \ , I \ =0} ) = với ∏1 ( q, x, λλ ) : ( q, x ) , ∀ ( q, x, ) ∈ R n × R n × R m Vì Qα tập lồi đa diện (ảnh tập lồi đa diện qua ánh xạ tuyến tính) Ta có gph S =  Qα Thật vậy, với ( q, x ) ∈ gph S , ta có x ∈ Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) Vì α ⊂I bi } với = vậy, tồn λλλ ( , , m ) ∈ R m thỏa mãn ( ) Lấy α = {i ∈ I : Ai x = i ∈ I \α, nên λα ta có Ai x > bi Vì λiT ( Ai x − bi ) = i= 0, ∀i ∈ I \ Tóm lại, ( q, x, λ ) với α thỏa mãn: T  0,  Mx − A λ + q = Aααα x b , λ ≥ 0, = x ≥ bI \ , λI \ =   AI \ααα ∏1 ( q, x, λ ) = Qα Vậy gph S ⊂  Qα Bao hàm thức ngược lại hiển nhiên nên ( q, x ) = α ⊂I Vậy ta chứng minh đồ thị S hợp hữu hạn tập lồi đa diện hay S ánh xạ đa trị đa diện □ Vì vậy, ta có tính chất sau ánh xạ nghiệm 44 Hệ 3.2.1 Ánh xạ S Lipschitz địa phương điểm thuộc R n n Định lý 3.2.1 Cho M ∈ M n×n tập lồi đa diện khác rỗng ∆ ⊂ R , ánh xạ f xác định = f ( x ) M P∆ ( x ) + x − P∆ ( x ) −1 Khi đó, f đồng phôi f toàn ánh f Lipschitz Nhận xét 3.2.2 Ta thấy f ánh xạ affine khúc, từ định lý ta suy điều kiện đồng phôi f tương đương với điều kiện coherently oriented tương đương khác định lý 3.1.2 n Bổ đề 3.2.2 Cho M ∈ M n×n tập lồi đa diện khác rỗng ∆ ⊂ R , ánh xạ f xác định R n , đặt S ( q ) Sol ( AVI ( M , q, ∆ ) ) Khi đó: f ( x ) M P∆ ( x ) + x − P∆ ( x ) Với q ∈= = { } −1 S ( q ) P∆ ( f −1 ( −q ) ) f ( −q ) = u − Mu − q : u ∈ S ( q ) = Chứng minh Theo định nghĩa nón pháp tuyến ta thấy u nghiệm toán AVI ( M , ∆, q ) − Mx − q ∈ N ∆ ( x ) Theo mệnh đề 1.2.3 điều tương đương với u nghiệm phương trình u = P∆ ( u − Mu − q ) Mặt khác, ta có: −q MP∆ ( x ) + x − P∆ ( x ) Khi đó, P∆ ( x ) ∈ S ( q ) Thật vậy, Lấy x ∈ f −1 ( −q ) thì= MP∆ ( x ) + q, y − P= ∆ ( x) MP∆ ( x ) − MP∆ ( x ) − x + P∆ ( x ) , y − P∆ ( x ) = P∆ ( x ) − x, y − P∆ ( x ) ≥ 0, ∀y ∈ ∆ (theo tính chất phép chiếu) Hay x ∈ {u − Mu − q : u ∈ S ( q )} 45 u Mu − q Vì u ∈ S ( q ) nên Lấy x ∈ {u − Mu − q : u ∈ S ( q )} , tồn u ∈ S ( q ) : x =− u = P∆ ( u − Mu − q ) Do đó: f ( x ) = f ( u − Mu − q ) = MP∆ ( u − Mu − q ) + u − Mu − q − P∆ ( u − Mu − q ) =Mu + u − Mu − q − u =−q ⇒ x ∈ f −1 ( −q ) Vậy f −1 ( −q ) = {u − Mu − q : u ∈ S ( q )} −1 Ta kết luận= S ( q ) P∆ ( f −1 ( −q ) ) f ( −q ) = {u − Mu − q : u ∈ S ( q )} □ Định lý sau điều kiện cần đủ để toán bất đẳng thức biến phân affine có nghiệm n Định lý 3.2.2 Cho M ∈ M n×n , q ∈ R tập lồi đa diện ∆ ⊂ R n toán AVI ( M , q, ∆ ) Khi đó, phát biểu sau tương đương: (a) Với q ∈ R n , S ( q ) ≠ ∅ ánh xạ q S S ( q ) Lipschitz R n (b) Với q ∈ R n , AVI ( M , q, ∆ ) có nghiệm Chứng minh f ( x ) M P∆ ( x ) + x − P∆ ( x ) Đặt = Giả sử (a) Khi tồn số dương η > cho với p,q ta có −1 S ( q ) ⊂ S ( p ) + η p − q B Ta tính Lipschitz f cách chứng minh f −1 ( −q ) ⊂ f −1 ( − p ) + ζ p − q B với ζ := u =P∆ ( u ) − MP∆ ( u ) − q P∆ ( u ) ∈ S ( q ) ; P∆ ( u ) − v ≤ η p − q Lấy w =− v Mv − p, (M −1 + 1)η + Lấy u ∈ f ( −q ) Khi vậy, tồn v ∈ S ( p) cho w ∈ f −1 ( − p ) Từ suy u − w ≤ P∆ ( u ) − MP∆ ( u ) − q − ( v − Mv − p ) ≤ ζ p − q 46 Vì S ( q ) ≠ ∅, ∀q nên f toàn ánh Theo định lý trước, f đồng phôi, S ( q ) có nghiệm với q Vậy (b) Giả sử (b) đúng, f −1 ( −q ) tập điểm với q Do f song ánh Hàm −1 −1 đơn trị f hàm affine khúc nên theo f Lipschitz Ánh xạ P∆ không giãn nên q S S ( q ) Lipschitz Vậy (a) □ Định lý 3.2.3 Cho toán bù tuyến tính tương ứng với ma trận M Khi đó, phát biểu sau tương đương: (a) Với q ∈ R n , S ( q ) ≠ ∅ ánh xạ q S S ( q ) Lipschitz R n (b) Với q ∈ R n , LCP ( M , q ) có nghiệm Chứng minh Bài toán bù tuyến tính trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân affine nên từ định lý 3.2.2 ta có điều phải chứng minh □ 47 Kết luận kiến nghị Luận văn trình bày lại số điều sau: - Các tính chất ánh xạ đa trị đa diện, chứng minh ánh xạ đa diện Lipschitz địa phương trên, mối liên hệ tính mở với tính Lipschitz địa phương ánh xạ ngược - Tính Lipschitz ánh xạ affine khúc ánh xạ ngược (chính ánh xạ đa trị đa diện) - Tính chất nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine điều kiện nghiệm Ngoài ra, luận văn đưa ví dụ phản ví dụ để làm rõ khái niệm, tính chất, nêu nhận xét rút trình nghiên cứu, chứng minh số kết công nhận báo tham khảo, đưa thêm khái niệm khoảng cách Hausdoff khoảng cách excess để thấy rõ mối liên hệ khái niệm Lipschitz ánh xạ đa trị với khái niệm Lipschitz quen thuộc đơn trị… Mặc dù cố gắng với hiểu biết hạn hẹp thân, luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận nhận xét đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Xin trân trọng cảm ơn 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị, Nhà xuất khoa học công nghệ, 2007 Tiếng Anh Aubin, J.-P and Frankowska, H., Set-valued Analysis, Birkhauser, Boston, 1990 Dontchev, A L., Rockafellar, R T., Implicit Functions and Solution Mappings, Springer, 2009 Gowda, M Seetharama, Sznajder, Roman, “On the Lipschitzian properties of polyhedral multifunctions”, Math Programming 74 (1996) Kinderlehrer, D and Stampcchia, G., An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 Lee, G.M, Tam, N.N, and Yen, N.D, Quadratic programming and Affine Variational Inequalities A qualitative Study Nonconvex Optimization and its Applications, 78 Springer – Verlag, New York, 2005 Robinson, S.M., "Some continuity properties of polyhedral multifunctions", Math Programming Stud., 14 (1981) 206-214 Robinson, S.M.,"Normal maps induced by linear by linear transformations", Mathematics of Operations Research, 17 (1992) 691-714 Robinson, S.M., “Solution continuity in monotone affine variational inequlities”, Siam J Optim., 18 (2007) 1046-1060 10 Rockafellar, R.T., Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 11 S Scholtes, "Introduction to piecewise differentiable equations", Preprint 53/1994, Institute fur Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie, Universitat Karlsruhe, 7500 Karlsruhe, Germany, May 1994 12 Schrijver, Alexander, Theory of linear and interger programming, A Wiley – Interscience Publication John Wiley & Sons, Ldt., Chichester, 1986 49 13 Walkup, D.W and Wets, R.J - B., "A Lipschitzian characterization of convex polyhedra", Proc Amer Math Soc., 23 (1969) [...]... F ( x ) l tp ch gm mt phn t, tc F l ỏnh x n tr thỡ cỏc khỏi nim Lipschitz ca ỏnh x a tr trựng vi tớnh liờn tc Lipschitz ca ỏnh x n tr m ta ó bit Mi quan h gia tớnh liờn tc v tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr th hin qua mnh sau Mnh 1.3.2 Cho F : X Y , x dom F i) F Lipschitz trờn a phng ti x v F ( x ) úng thỡ F na liờn tc trờn ti x ii) F Lipschitz di a phng ti x thỡ F na liờn tc di ti x Chng minh i)... (ii) Chng minh tng t (i) nh ngha 1.3.7 F l Lipschitz trờn D dom F nu tn ti > 0 sao cho: F ( y ) F ( z ) + y z BY vi mi y, z D ( BY l qu cu n v úng trong Y.) Nu D = dom F , ta núi F l ỏnh x Lipschitz nh ngha 1.3.8 F l Lipschitz trờn a phng ti x dom F nu tn ti > 0 v mt lõn cn U ca x sao cho: F ( x ) F ( x ) + x x BY vi mi x U nh ngha 1.3.9 F l Lipschitz di a phng ti x dom F nu tn ti >... Khi ú, G liờn tc nu v ch nu G l ỏnh x Lipschitz 32 Chng 3 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc v ng dng Chng ny trỡnh by v tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc, mt lp ỏnh x liờn quan mt thit n ỏnh x a tr Sau ú trỡnh by cỏc ng dng ca nú vo bi toỏn bt ng thc bin phõn affine cng nh bi toỏn bự tuyn tớnh Ti liu tham kho ch yu ca phn ny l [4], [8], [11] 3.1 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc n... vi Vi l cỏc tp li a din trong R m 2.2 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr a din Theo Walkup v Wets trong [13], ta cú kt qu sau nh lý 2.2.1 Cho W l tp li a din trong R n v h : R n đ R m l hm affine Khi ú, ỏnh x y W h-1 ( y ) t h (W) vo R n l ỏnh x Lipschitz Lp cỏc ỏnh x a tr a din cú mt s tớnh cht c bit m khụng phi bt kỡ ỏnh x a tr no cng cú, chng hn nh tớnh Lipschitz trờn Sau õy l kt qu ca Robinson trong... +1 )} cha trong Gi no ú, (iv) x j - x j +1 Ê g p j - p j +1 , 0 Ê j Ê l -1 Chng minh Trc tiờn, ta mụ t g Vi mi j , theo nh lý 1, ỏnh x y Gi ế-2 1 ( y ) l Lipschitz Vỡ ỏnh x ế2 khụng gión nờn ỏnh x y ế1 (Gi ế-2 1 ( y )) l Lipschitz Gi gi l h s Lipschitz ca ỏnh x ny t g := max gi , kớ hiu X = dom F , Y = rge F i =1, L 28 Nu p* = q*: b hin nhiờn ỳng 0 0 Nu p* ạ q*, t x := x*, p := p*, A0 l h cỏc... tng ng: (a) F -1 Lipschitz di a phng ti mi im thuc rge F , (b) F l ỏnh x m t dom F vo rge F , (c) F -1 Lipschitz trờn rge F Chng minh (a) ị (b) : Ly U l tp m trong R n v y* ẻ F (U ); chn x* ẻ U sao cho y* ẻ F ( x *) Gi s khụng cú lõn cn no ca y * (vi topo cm sinh trong rge F ) cha trong F (U ) k Khi ú tn ti dóy { { k } trong rge F sao cho { k ẽ F (U ) v y đ y * khi k đ Ơ Vỡ F -1 Lipschitz di a phng... úng (F(x) úng vi mi x thuc dom F) v dom F li Khi ú, cỏc phỏt biu sau tng ng: (a) Ti mi im x thuc dom F, F liờn tc Lipschitz trờn a phng v na liờn tc di (b) F Lipschitz Chng minh Gi s dom F khỏc rng ( a ) (b) : Ly x0 , x1 dom F Vi mi t ( 0,1) , t xt = (1 t ) x0 + tx1 Vỡ F liờn tc Lipschitz trờn a phng ti mi x nờn vi mi t [ 0,1] , tn ti qu cu B ( xt , t ) , ( t > 0 ) sao cho x ' X B ( xt , t... Hỡnh 1.9 T nh ngha trờn, ta suy ra trc tip cỏc tớnh cht sau Mnh 1.3.1 F Lipschitz trờn a phng ti x khi v ch khi tn ti > 0 v mt lõn cn U ca x sao cho: e ( F ( x) , F ( x )) Ê a x - x , x ẻ U dom F 21 F Lipschitz di a phng ti x khi v ch khi tn ti > 0 v mt lõn cn U ca x sao cho: e ( F ( x ) , F ( x)) Ê a x - x , x ẻ U dom F F Lipschitz trờn D dom F khi v ch khi tn ti >0 sao cho h ( F ( y ) , F... F Do ú, y Fi ( x ) Fi ( x0 ) + i x x0 B F ( x0 ) + x x0 B, vỡ F ( x0 ) = Fi ( x0 ) iẻ I Do y bt kỡ nờn F ( x ) F ( x0 ) + x x0 B Vy F Lipschitz trờn a phng ti mi x ẻ dom F Gowda v Sznajder ó tỡm ra mi liờn h gia tớnh m ca ỏnh x a tr vi tớnh Lipschitz ca ỏnh x ngc ca nú trong [4] B 2.2.2 Cho F : R n R m l ỏnh x a tr a din vi rge F l tp li Cho dom F= G 1 ( Gi ) v rge F = V j , vi Gi... xõy dng c dóy { xn } X , xn x , F ( xn ) V = Mt khỏc, F Lipschitz di a phng ti x nờn tn ti > 0 sao cho: F ( x ) F ( xn ) + xn x B khi n ln Do ú, vi mi y F ( x ) V , tn ti yn F ( xn ) : y yn + xn x B khi n ln Suy ra yn y Ta li cú V m nờn { yn } X \ V úng, do ú y X \ V iu ny vụ lý Vy F na liờn tc di ti x 23 Chng 2 Cỏc tớnh cht Lipschitz ca ỏnh x a tr a din Chng ny trỡnh by li v ỏnh x ... Lipschitz ca ỏnh x a tr a din 23 2.1 nh x a tr a din 23 2.2 Tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr a din 25 Chng Tớnh Lipschitz ca ỏnh x affine tng khỳc v ng dng 32 3.1 Tớnh Lipschitz. .. ngha 1.3.7 F l Lipschitz trờn D dom F nu tn ti > cho: F ( y ) F ( z ) + y z BY vi mi y, z D ( BY l qu cu n v úng Y.) Nu D = dom F , ta núi F l ỏnh x Lipschitz nh ngha 1.3.8 F l Lipschitz trờn... t, tc F l ỏnh x n tr thỡ cỏc khỏi nim Lipschitz ca ỏnh x a tr trựng vi tớnh liờn tc Lipschitz ca ỏnh x n tr m ta ó bit Mi quan h gia tớnh liờn tc v tớnh Lipschitz ca ỏnh x a tr th hin qua mnh