Một số tính chất của ánh xạ đa trị và ứng dụng

Lời mở đầu 1Bảng kí hiệu và chữ viết tắt 1 Chương 1 Một số tính chất theo nón của ánh đa trị 2 1.1 Nón và các khái niệm liên quan... Tiếp theo, tính khả vi, khả dưới vi phân của hàm số c

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bá Minh

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường đại học sưu phạm Hà Nội 2 Tácgiả chân thành cẩm ơn PGS.TS Nguyễn Bá Minh đã tận tình hướng dẫntạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau đại học, cácthầy cô trong nhà trường đã quan tâm giúp đỡ

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Đỗ Sơn Tùng

i

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Nguyễn

Bá Minh luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số tínhchất của ánh xạ đa trị và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức

và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Đỗ Sơn Tùng

ii

Lời mở đầu 1

Bảng kí hiệu và chữ viết tắt 1

Chương 1 Một số tính chất theo nón của ánh đa trị 2

1.1 Nón và các khái niệm liên quan 2

1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 5

1.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị 13

1.4 Tính Lipchitz theo nón của ánh xạ đa trị 21

1.5 Xấp xỉ theo nón của ánh xạ đa trị 35

Chương 2 Một số ứng dụng của ánh xạ đa trị 50 2.1 Một số bài toán 50

2.2 Bài toán tối ưu véctơ 52

2.3 Bài toán tựa tối ưu véctơ 56

iii

Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được các nhà Toán học đưa ra từ nhữngnăm đầu của thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển của chính bản thân Toán học

và nhiều lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, sự phânlớp các ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị Và từ đó người

ta cũng tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị cho đa trị.Berge đã đưa ra các tính chất khác nhau của ánh xạ đa trị Đó là tínhnửa liên tục và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị Tương tự như vậy, cáckhái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên, Lipschitz dưới, Lipschitz theokhoảng cách Hausdorff cũng đươc đưa ra Tiếp theo, tính khả vi, khả dưới

vi phân của hàm số cũng được mở rộng cho hàm véctơ đa trị (hay ánh

xạ đa trị) trong nhiều không gian khác nhau như Đinh Thế Lục, NguyễnXuân Tấn, Zowe,Tanino Đối với ánh xạ đa trị nhiều tác giả cũng đưa rakhái niệm khác nhau về đạo hàm Người ta sử dụng các khái niệm đó đểchỉ ra các điều kiện cần, điều kiện đủ cho các bài toán tối ưu véctơ khácnhau và từ đó xây dựng nên những lý thuyết cho tối ưu véctơ đa trị.Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa trị

và ứng dụng của nó trong toán học và thực tiễn phát triển rất mạnh Vìvậy, sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìmhiểu sâu hơn về các kiến thức đã học và mối quan hệ giữa chúng, tôi đãchọn đề tài “Một số tính chất của ánh xạ đa trị và ứng dụng”

Luận văn gồm 2 chương

Chương 1 “Một số tính chất của ánh xạ đa trị” trình bày một số kháiniệm và tính chất của nón, điểm hữu trong không gian tôpô tuyến tính,khái niệm về ánh xạ đa trị Trình bày một số tính chất về tính lồi, tínhliên tục, tính Lipschitz, xấp xỉ theo nón của ánh xạ đa trị và mối liên hệgiữa chúng

Chương 2 “Một số ứng dung của ánh xạ đa tri” trình bày một số ứng

1

dụng của các tính chất đã nêu ở chương 1 vào việc chỉ ra điều kiện cần,điều kiện đủ để tồn tại nghiệm của một số bài toán trong lý thuyết tối ưuvéctơ đa trị như: bài toán tối ưu véctơ, bài toán tựa tối ưu véctơ.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất của ánh xạ đa trị và các ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tập trung nghiên cứu tính chất của ánh xạ đa trị trên các không giantuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón và ứng dụng

để tìm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiên thức vận dụng vào mục đíchnghiên cứu

R tập số thực

R+ tập số thực không âm

Rn không gian Euclid n-chiều

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

M + N tổng của 2 tập M và N trong không gian véctơ

λM ảnh vi tự của tập M theo tỉ số λ trong không gian véctơ

∂D biên của D

conv D bao lồi của D

cone D bao nón của D

int D, ri D, cl D phần trong, phần trong tương đối, bao đóng của D

kxk chuẩn của x trong không gian định chuẩn X

hx, yi tích vô hướng giữa 2 không gian tuyến tính X và X∗dom F miền hữu hiệu của ánh xạ F

Gr F đồ thị của F

∂f dưới vi phân của hàm f tại x

DuF (DlF ) đạo hàm tiếp liên trên (dưới) của F

RuF (RlF ) đạo hàm radian trên (dưới) của F

1

Một số tính chất theo nón của ánh đa trị

1.1 Nón và các khái niệm liên quan

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tuyến tính và C ⊂ X Ta nói rằng

C là nón trong X nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C và t ≥ 0

Nón C gọi là nón lồi nếu C là tập lồi trong X, nón C là nón đóng nếu

C đóng trong X

Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính với tập C bất kìtrong X, ta kí hiệu: cl C, int C, conv C lần lượt là bao đóng, phần trong,bao lồi của C Tiếp theo, kí hiệu l(C) = C ∩ (−C), ta có các khái niệmsau

Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính X Ta nói rằng:

i) C là nón nhọn nếu l(C) 6= 0

ii) C là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn

iii) C là nón đúng nếu cl C + C\l(C) ⊂ C

Thấy rằng nếu nón C đóng thì C là nón đúng

Tiếp theo ta nhắc lại các khái niệm tập sinh và cơ sở của nón

Định nghĩa 1.2 Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y Tập B ⊆

Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B), nếu

Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón

có cở sở lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn Mệnh đề sau đây cho

ta tính chất quan trọng của một nón cơ sở lồi, đóng, giới nội trong khônggian tuyến tính Y

Mệnh đề 1.3 (xem [5]) Nếu C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội thì vớimọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V của O sao cho

(V + C) ∩ (V − C) ⊆ WĐịnh nghĩa 1.4 Cho nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y Gọi

Y∗ là không gian tôpô tuyến tính đối ngẫu của Y Nón cực C0 của C đượcđịnh nghĩa như sau

ii) C-compắc nếu mọi phủ của A có dạng

{Uα + C|α ∈ I, Uα là mở }đều chứa một phủ con hữu hạn

iii) C-nửa compắc nếu mọi phủ của A có dạng

{(aα − cl C)C|α ∈ I, aα ∈ A}

đều chứa một phủ con hữu hạn

Định nghĩa 1.6 Cho X là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinhbởi nón lồi C, A là tập con khác rỗng của X

i) Điểm x ∈ A gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của A đối với nón C nếu

y − x ∈ C với mọi y ∈ A Tập các điểm hữu hiệu lí tưởng của A đốivới nón C được kí hiệu là IMin(A|C) hoặc IMin A

ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C, nếu khôngtồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C) Tập các điểm hữu hiệu Pareto của

A đối với nón C được kí hiệu là PMin(A|C) hoặc PMin A

iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi int C 6= ∅ và C 6= Y ) của A đốivới nón C, nếu x ∈ Min(A|{0} ∪ int C) Tức là x là điểm hữu hiệu vớithứ tự sinh bởi nón int C Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối vớinón C được kí hiệu là WMin(A|C) hoặc WMin A hoặc WMin A.iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón Cnếu tồn tại nón lồi ˜C khác Y và chứa C\l(C) trong phần trong của

nó để x ∈ PMin(A| ˜C) Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối vớinón C được kí hiệu là PrMin(A|C) hoặc PrMin A

Từ định nghĩa, ta có các khẳng định sau luôn đúng

a) x ∈ PMin A khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C)

b) x ∈ WMin A khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅

c) IMin A ⊂ PrMin A ⊂ PMin A ⊂ WMin A

Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là 2 không gian tôpô tuyến tính Một ánh xạ

đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của

Y được kí hiệu F : X → 2Y hay F : X ⇒ Y Miền hữu hiệu và đồ thị của

F được định nghĩa như sau

F gọi là đóng theo nón C (C-đóng) nếu epi F đóng trong X × Y Dễthấy F là C-đóng thì F (x) + C đóng với mỗi x ∈ dom F

Định nghĩa 1.8 Cho X, Y lầ 2 không gian tôpô, D là tập con khác rỗngcủa X, F : D → 2Y là ánh xạ đa trị

i) F gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom F nếu mọi tập mở V trong Y

mà chứa F (x) đều tồn tại lân cận U của x sao cho

F (x) ⊂ V với mọi x ∈ Uii) F gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom F nếu mọi tập mở V trong Y

mà F (x) ∩ V 6= ∅ đều tồn tại lân cận U của x sao cho

F (x) ∩ V 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom Fiii) F gọi là acyclyc nếu F nửa liên tục trên và ảnh của từng điểm là tậpacyclyc trong Y Nếu F đồng thời vừa là ánh xạ compắc, vừa là ánh

xạ acyclyc thì F gọi là compắc acyclyc

1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

Trong mục này ta luôn xét X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồiđịa phương, D là tập con khác rỗng của X, C ( Y là nón lồi và F là ánh

xạ đa trị từ D vào Y Ta có định nghĩa

Định nghĩa 1.9 a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục duới) tại xo ∈ Dnếu bất kì lân cận V của 0 đều tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + V + C(hoặc F (x0) ⊂ F (x) + V − C)b) F là C-liên tục tại x0 nếu F là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại

x0

F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trên D nếu F làC-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x ∈ D

c) F là C-liên tục trên yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x0 ∈ D nếu lân cận

U của x0 trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X

Mệnh đề 1.10 a) Nếu F (x0) là tập compắc trong Y thì điều kiện cần và

đủ để F là C-liên tục trên tại x0 là với mọi tập mở G, F (x0) ⊂ G + C đềutồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ dom F b) Nếu F (x0) compắc trong Y thì điều kiện cần và đủ để F là C-liên tụcdưới tại x0 là với mọi y ∈ F (x0) và với mọi lân cận V của 0 đều tồn tạilân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ y + V + C 6= ∅

Chứng minh a) Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 Lấy tập mở G trong

Y sao cho F (x0) ⊂ G + C Vì G mở nên G + C mở Do F (x0) compắcnên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho F (x0) + V ⊂ G + C Vì F làC-liên tục trên tại x0 nên lấy V0 là lân cận tùy ý của của 0 trong Y luôntồn tại lân cận U của x0 trong X để F (x) ⊂ F (x0) + V ∩ V0+ C Ta có

F (x) ⊂ F (x0) + V ∩ V0+ C ⊂ F (x0) + V ⊂ G + C + C = G + CNgược lại, lấy V là lân cận tùy ý của 0 trong Y thì V chứa một tập mở

V0 chứa 0 Đặt G = V0+ F (x0) thì G mở Theo giả thiết tồn tại lân cận

U của 0 trong X sao cho F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ dom F Từ đó

F (x) ⊂ V0 + F (x0) + C ⊂ V + F (x0) + C với mọi x ∈ U ∩ dom F Vậy F

là C-liên tục trên

b) Giả sử F là C-liên tục dưới tại x0 Lấy V là lân cân của 0 trong Ythì V chứa lân cận cân V0 của 0 trong Y Do F là C-liên tục dưới tại x0nên có lân cận U của x0 trong X để F (x0) ⊂ F (x) + V0− C Lấy y tùy ýthuộc F (x0) thì y = y0 + v − c với y0 ∈ F (x), v ∈ V0, c ∈ C Suy ra y0 =

y − v + c ∈ F (x0) + V0+ C Điều này cho thấy y0 ∈ F (x) ∩ (F (x0) + V + C)hay F (x) ∩ (F (x0) + V + C) 6= ∅

Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y Vì Y là không gian tuyếntính lồi địa phương nên V chưa lân cân lồi V0 của 0 sao cho V0+ V0 ⊂ V

Theo giả thiết tồn tại các lân cận Ui(i = 1, n) của x0 thỏa

F (x) ∩ (yi + V0+ C) 6= ∅ với mọi x ∈ Ui∩ dom F ∆Đặt U = ∪ni=1Ui ta được

F (x) ∩ (yi+ V0+ C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F

Lấy y ∈ F (x0) thì y ∈ yi0 + V0 và F (x) ∩ (yi0 + V0 + C) 6= ∅ với mọi x ∈

U ∩ dom F với i0 nào đó Từ điều này suy ra

y ∈ F (x) + V0+ V0 − C ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ dom F

c) Lấy Y = R và C = R+ và nếu ánh xạ đơn trị F là C-liên tục tại x0 tasuy ra F là nửa liên tục dưới tại x0 theo nghĩa thường

Xét F : D → 2Y trong đó D ∈ X Với mỗi ξ ∈ C0 ta định nghĩa các hàm

gξ, Gξ: D → Rnhư sau

Chứng minh Với ξ ∈ C0 là phiếm hàm tuyến tính liên tục nên với  > 0bất kì, tồn tại lân cận V của 0 trong Y để ξ(v) ∈ [−, ].

a) Ta chứng minh gξ là nửa liên tục dưới tại x0 Do F là C-liên tục trêntại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂ F (x0) + V + C với mọi

x ∈ U ∩ dom F Từ đây suy ra

y∈F (x)hξ, yi ≥ inf

y∈F (x 0 )hξ, yi − 

Điều đó có nghĩa gξ(x) ≥ gξ(x0) −  Vậy gξ là nửa liên tục dưới

Tiếp theo, ta chi ra Gξ là nửa liên tục trên tại x0 Do F là C-liên tụcdưới tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 để F (x0) ⊂ F (x) + V − C với mọi

Vậy Gξ nửa liên tục dưới tại x0

b) Ta chứng minh tương tự như phần a) ∆Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,

D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số Họ hàm số {fα: D →

R, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậctại x0 ∈ D nếu với mọi  > 0 tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

fα(x) ≥ fα(x0) +  (tương ứng fα(x) ≥ fα(x0) − )với mọi x ∈ U ∩ D và α ∈ I

Ta nhắc lại rằng một không gian tôpô tuyến tính tính Hausdorff lồi điaphương mà mọi tập lồi, đóng, cân và hấp thu đều là lân cận của 0 đượcgọi là không gian thùng Định lý Banach-Steinhaus mở rộng cho lớp hàmlồi, lõm trên không gian thùng được phát biểu như sau

Định lí 1.13 Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và

fα: X → R, α ∈ I là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận U0 của

x0 ∈ dom fα với mọi α ∈ I trong X = dom fα với mọi α ∈ I Giả sử rằngvới mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0 sao cho fα(x) ≤ γ với mọi α ∈ I Khi đó

họ {fα|α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0

Chứng minh Đặt fα(x) = fα(x + x0) − fα(x0), ta thấy fα(0) = 0 và fαliên tục tại x0 khi và chỉ khi fα liên tục tại 0 Vậy ta có thể giả thiết rằng

fα(0) = 0 với mọi α ∈ I và chỉ cần xét tính nửa liên tục trên đồng bậc của

Vì Aα là các tập lồi, đóng chứa 0 nên ∩α∈IAα∩ (−Aα) là tập lồi, cân đóngchứa 0 Từ đây ta suy ra U là tập lồi, cân, đóng và khác rỗng

Tiếp theo ta chỉ ra U là tập hấp thu Thật vậy, lấy x ∈ X bất kì Theogiả thiết tồn tại γ > 0 sao chó fα(x) ≤ γ, fα(−x) ≤ γ với mọi α ∈ I Lấy

có fα(x) ≤  = fα(0) +  với mọi α ∈ I Điều này cho thấy họ {fα|α ∈ I}

là nửa liên tục trên đồng bậc tại 0 Vậy định lý được chứng minh ∆

Hệ quả 1.14 Cho X là không gian thùng và f : X → R là hàm lồi vànửa liên tục dưới trong lân cận U0 của điểm x0 ∈ dom f = X Khi đó fliên tục tại x0

Chứng minh Vì dom f = X nên với mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0 saocho f (x) < γ Xét họ hàm vô hướng xác định trên X chỉ gồm một phần

tử f Ta thấy f thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.13 nên f nửa liêntục trên tại x0 ∈ X Vậy f liên tục tại x0 ∆Định lí 1.15 Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và

fα: X → R, α ∈ I là các hàm lõm và nửa liên tục trong mỗi lân cận U0

của điểm x0 ∈ dom fα, α ∈ I Giả sử rằng với mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0sao cho fα(x) ≥ −γ với mọi α ∈ I Khi đó họ {fα|α ∈ I} là nửa liên tụcdưới đồng bậc tại x0

Chứng minh Nếu fα là hàm lõm và nửa liên tục trên thì −fα là hàm lồi

và nửa liên tục dưới Theo Định lý 1.13 ta có điều cần chứng minh ∆

Hệ quả 1.16 Cho X là không gian thùng, f : X → R là hàm lõm và nửaliên tục trên trong lân cận U0 của điểm x0 ∈ dom f = X và giả thiết rằngvới mỗi x0 ∈ X thì f (x) > −∞ thì f liên tục tại x0

Chứng minh Ta chưng minh tương tự như Hệ quả 1.14 bằng cách ápdụng Định lý 1.15

Tiếp theo, ta tìm điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là C-liên tụctrên hoặc (C-liên tục dưới) Ta xét mối liên quan giữa tính liên tục theonón của ánh xạ đa trị F với tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm

gξ, Gξ Dưới đây ta luôn giả thiết rằng X là không gian lồi địa phương, Y

là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi trong Y , ta có định lý

Định lí 1.17 Giả sử F : D → 2Y và x0 ∈ dom F với F (x0) + C là tập lồi.Khi ấy, F là C-liên tục trên tại x0 nếu và chỉ nếu họ {gξ|ξ ∈ C0, ||ξ|| = 1}

là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0

Chứng minh Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 Theo định lý Banach-Steinhaus thì họ {ξ ∈ C0: ||ξ|| = 1} lên tục đồng bậc tại x0 cho nên với

 cho trước tồn tại lân cận V của 0 trong Y dể ξ(y) ∈ (−, ) với mọi

y ∈ V, ξ ∈ C0, ||ξ|| = 1 Vì F là C-liên tục trên tại x0 nên tồn tại lân cận

U của x0 sao cho F (x) ⊂ F (x0) + V + C với mọi x ∈ U ∩ D Từ đó suy rainf

Vậy họ {gξ|ξ ∈ C0, ||ξ|| = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc

Ngược lại, giả sử họ {gξ|ξ ∈ C0, ||ξ|| = 1} là nửa liên tục dưới đồngbâc nhưng F kkông C-liên tục tại x0 ∈ dom F Khi đó, tồn tại lân cận lồi

mở V của 0 trong Y và lưới (xα) trong X sao cho xα → x0 và F (xα) 6⊂

F (x0) + V + C Với mỗi α lấy yα ∈ F (x/ 0) + V + C Do F (x0) + V + C là tậplồi mở, theo định lý tách tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục ξα ∈ Y∗

có chuẩn bằng 1 để

ξα(yα) < ξα(y) với mọi y ∈ F (x0) + V + C

Ta phải có ξα ∈ C0 với mọi α Thật vây, giả sử tồn tại α0 nào đó mà

ξα0 ∈ C/ 0 Tức là tồn tại y0 ∈ C để ξα0(y0) < 0 Vì C là nón nên γy0 ∈ Cvới mọi γ > 0 Ta có

ξα0(yα0) < ξα(y0+v0+γy0) = ξα0(y0)+ξα0(v0)+γξα0(y0), (y0 ∈ F (x0), v0 ∈ V ).Cho γ → +∞ thì vế phải của bất đẳng thức trên tiến ra −∞ và có mâuthuẫn

Theo định nghĩa infimum, với δ > 0 tồn tại yα ∈ F (x0), vα ∈ V, cα ∈ Csao cho

c∈Chξα, ci ≥ hξα, cαi − δ

3Đặt zα = yα + vα+ cα Ta đươc zα ∈ F (x0) + V + C Vì thế nên

ξα(yα) < ξα(zα) ≤ inf

y∈F (x )hξα, yi + inf

v∈Vhξα, vi + inf

c∈Chξα, ci + δ

Điều này mâu thuẫn với tính nửa liên tục dưới đồng bậc của họ {gξα|ξα ∈

C0, kξαk = 1} Vậy chứng minh được hoàn tất ∆Các định lý dưới đây cũng được chứng minh tương tự như Định lý 1.17Định lí 1.18 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và F (x) − C là tập lồivới mọi x ∈ D Khi đó, F là C-liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi họ{Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0

Định lí 1.19 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và F (x) − C là tập lồivới mọi x ∈ D Khi đó, F là (−C)-liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi họ{Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0

Định lí 1.20 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và F (x) + C là tập lồivới mọi x ∈ D Khi đó, F là (−C)-liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi họ{gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0

1.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là 2 không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C lànón lồi trong Y Hàm véctơ f : D → Y được gọi là C-lồi trên D nếu vớimọi x1, x2 ∈ D, α ∈ [, 1] ta luôn có

f (αx + (1 − α)x2) ∈ αf (x1) + (1 − α)f (x2) − C

f được gọi là C-lõm trên D nếu −f là C-lồi trên D Trong trường hợp

Y = R, C = R+, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theonghĩa thông thường

Trong mục này chúng ta đưa khái niệm C-lồi trên (dưới), C-lõm trên(dưới), C-tựa lồi trên (dưới) của ánh xạ da trị

Định nghĩa 1.21 Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương, D là tập con khác rỗng của X, F : D → 2Y Ta nói rằng

a) F được gọi là C-lồi trên (hoặc C-lồi dưới) nếu

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C(tương ứng F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C)

với mọi x, y ∈ dom F và α ∈ [0; 1]

b) F được gọi là C-lõm trên (hoặc C-lõm dưới) nếu

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C(tương ứng F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C)

với mọi x, y ∈ dom F và α ∈ [0; 1]

Định nghĩa 1.22 Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương, D là tập con khác rỗng của X, F : D → 2Y Ta nói rằng

i) F là C-tựa lồi trên trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] hoặc

F (x1) ⊂ F (tx1+ (1 − t)x2) + Choặc F (x2) ⊂ F (tx1+ (1 − t)x2) + Cluôn luôn đúng

ii) F là C-tựa lồi dưới trong D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] hoặc

F (tx1 + (1 − t)x2) + C ⊂ F (x1) − Choặc F (tx1 + (1 − t)x2) + C ⊂ F (x2) − C

luôn luôn đúng.

iii) F là C-tựa lồi thực sự nếu x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] và zi ∈ F (xi), i = 1, 2thì tồn tại zt ∈ F (tx1+ (1 − t)x2) sao cho zt ≤C z1 hoặc zt ≤C z2.Chú ý a) Nếu C = {0} thì tính {0}-lồi trên và {0}-lõm trên của F đồngnhất với nhau và đựợc gọi là dưới tuyến tính

b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên và C-lồi dưới(hoặc C-lõm trên và C-lõm dưới) đồng nhất với nhau và gọi là C-lồi (hoặcC-lõm)

c) Nếu F là C-lồi trên, thì F (x) + C, x ∈ dom F là những tập lồi Tương

tự, nếu F là C-lõm trên thì F (x) − C, x ∈ dom F là những tập lồi

Ta có mối liên quan giữa tinh lồi, lõm của F và −F như sau

Mệnh đề 1.23 Các điều khẳng định sau là tương đương

i) F là C-lồi trên

ii) F là (−C)-lõm trên

iii) −F là C-lõm trên

Chứng minh Chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Các mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tính lồi theo nón của ánh xạ

đa trị F với các hàm vô hướng gξ, Gξ

Mệnh đề 1.24 a) Nếu F là C-lồi trên (tương ứng C-lồi dưới) thì hàm gξ(tương ứng Gξ) là các hàm lồi

b) Nếu F là C-lõm trên (tương ứng C-lõm dưới) thì hàm Gξ (tương ứng

y∈F (x )hξ, yi ≥ hξ, y2i − δ(1 − α)

số g : D → R cho bởi

g(x) = min

z∈f (x)hξ, zi

la lồi hoặc tựa lồi

Chứng minh Nếu f là C-lồi trên thì g là hàm lồi (xem Mệnh đề 1.24),

Nếu zt − z1 ∈ −C thì hξ, zti ≤ hξ, z1i và do đó

g(tx1 + (1 − t)x2) ≤ g(x1)Nếu zt − z2 ∈ −C thì hξ, zti ≤ hξ, z2i và do đó

g(tx1 + (1 − t)x2) ≤ g(x2)Trong cả 2 trường hợp trên ta đều có

g(tx1 + (1 − t)x2) ≤ max{g(x1), g(x2)}

Mệnh đề 1.26 Cho B ⊂ C0 là tập compắc và f : D → 2Y là ánh xạ đatrị C-liên tục trên có giá trị compắc khác rỗng Hơn vậy, giả thiết rằng f

là C-tựa lồi thực sự Khi đó hàm số h : D → R định nghĩa bởi

Vậy h(tx1 + (1 − t)x2) ≤ max{h(x1), h(x2)} hay h tựa lồi ∆Đối với các bài toán tối ưu, tính liên tục yếu của hàm số cho ta điềukiện rất nhẹ để xét sự tồn tại nghiệm Thông thường miền ràng buộc củabài toán đòi hỏi phải là tập compắc Nhưng với tính liên tục yếu của hàm

số ta chỉ cần tính compắc yếu hay lồi, đóng, giới nội trong không gian

Banach phản xạ là đủ Vì vậy, với bài toán tối ưu đa trị, tính liên tục yếucủa ánh xạ đa trị cũng rất quan trọng Ta biết rằng, một hàm vô hướng

g : D → R là lồi và nửa liên tục dưới thì nửa liên tục dưới yếu Đối với ánh

xạ đa trị cũng có tính chất tương tự

Định lí 1.27 Cho X là không gian lồi địa phương, Y là không gian nach D ⊂ X là tập lồi, đóng khác rỗng, C là nón trong Y có nón cực C0

Ba-là nón nhọn đa diện Nếu F : D → 2Y là lồi trên và liên tục trên theo nón

C thì là C-liên tục trên yếu

Chứng minh Giả sử C0 = cone(conv{ξ1, ξ2, , ξn})) Do F là C-liên tụctrên và C-lồi trên nên từ các mệnh đề 1.11 và 1.24 suy ra gξi (i = 1, 2., , n)

là các hàm lồi và nửa liên tục dưới yếu từ D vào R Lấy x0 ∈ dom F Tachỉ ra rằng F là C-liên tục trên yếu tại x0.Thật vậy, với  > 0 bất kì họtrước và i = 1, 2 , n thì tồn tại lân cận Ui của x0 trong tôpô yếu của Xsao cho

Do C0 là nón nhọn đa diện nên suy ra 0 /∈ conv{ξ1, ξ2, , ξn} và β0 > 0.Đặt

với mọi x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C0, kξk = 1 Điều này khẳng định họ {gξ|ξ ∈

C0, kξk = 1} là liên tục dưới yếu đồng bậc Sử dụng Định lý 1.17 ta suy ra

F là C-liên tục trên yếu tại x0 Vậy định lý được chứng minh

Định lí 1.28 Với giả thiết X, Y, D, C như định lý 1.27 Nếu F : D → 2Y

là C-liên tục dưới C-lõm dưới trên dom F và F (x) + C là lồi với mọi x ∈ Dthì F là (−C)-liên tục dưới yếu trên dom F

Chứng minh Định lý được chứng minh hoàn toàn tương tự như định lý1.27 Bằng cách sử dụng các Mệnh đề 1.24 và 1.11 ta suy ra gξi, i = 1, n làcác hàm lõm và nửa liên tục trên nên nó là nửa liên tục trên yếu Từ đókhẳng định họ {gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là nửa liên tục trên yếu đồng bậc Sửdụng định lý 1.2.13 ta suy ra F là (−C)-liên tục dưới yếu tại x0

Định lí 1.29 Với giả thiết X, Y, D, C như định lý1.27 Nếu F : D → 2Y

là C-liên tục dưới C-lồi dưới trên dom F và F (x) − C là lồi với mọi x ∈ Dthì F là C-liên tục dưới yếu trên dom F

Chứng minh Tương tự như định lý 1.27 Bằng cách sử dụng các mệnh

đề 1.24 và 1.11 ta suy ra Gξi, i = 1, n là các hàm lồi và nửa liên tục dướinên nó là nửa liên tục dưới yếu Từ đó khẳng định họ {gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1}

là nửa liên tục dưới yếu đồng bậc Sử dụng định lý 1.18 ta suy ra F làC-liên tục dưới yếu tại x0 ∈ dom F ∆Định lí 1.30 Với giả thiết X, Y, D, C như định lý1.27 Giả sử rằng

F : D → 2Y là (−C)-liên tục trên C-lõm trên trong dom F Khi đó F là(−C)-liên tục trên yếu trong dom F

Chứng minh Chứng minh tưng tự như định lý 1.29 bằng cách sử dụngcác Mệnh đề 1.11, 1.24 và Định lý 1.19 ∆Tiếp theo ta đưa ra mối liên quan giữa tinh liên tục trên và liên tụcdưới theo nón của ánh xạ đa trị Đối với các ánh xạ đa trị lồi (hoặc lõm)

ta có các định lý sau

Định lí 1.31 Cho X là các không gian thùng, Y là không gian Banach,

F : X → 2Y là các ánh xạ đa trị có tính chất C-lồi trên và C-liên tục trêntrong một lân cận U0 nào đó của x0 ∈ dom F Với mọi x ∈ X và lân cận giớinội V của điểm gốc trong Y đều tồn tại γ > 0 sao cho F (x)∩(γV −C) 6= ∅.Khi đó F là (−C)-liên tục dưới tại x0

Chứng minh Lấy ξ ∈ C0, kξk = 1 tùy ý Do F là C-lồi trên và C-liêntục trên trong lân cận U0 của x0 ta suy ra gξ là lồi và nửa liên tục dướitrong lân cận U0 của x0 Theo giả thiết với mọi x ∈ X và lân cận giới nội

V của 0 trong Y đều tồn tại γ > 0 sao cho W = F (x) ∩ (γV − C) 6= ∅ nên

F : X → 2Y là C-lồi dưới và C-liên tục dưới trong lân cận U0 của x0 ∈dom F , F (x) − C là lồi với mọi x ∈ D Giả thiết thêm, với mọi x ∈ X vàlân cận giới nội V của 0 trong Y đều tồn tại γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV − C.Khi đó F là C-liên tục trên tại x0

Chứng minh Lấy ξ ∈ C0, kξk = 1 bất kì Do F là C-lồi, C-liên tục dướidưới trong lân cận U0 của x0 suy ra Gξ là lồi và nửa liên tục dưới tại x0.

Do đó, với mọi x ∈ X, mọi lân cận giới nội V của 0 trong Y đều tồn tại

γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV − C nên

Định lí 1.33 Cho X là các không gian thùng, Y là không gian Banach,

F : X → 2Y là C-lõm trên và −C-liên tục trên trong lân cận U0 của

x0 ∈ dom F Nếu với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của 0 trong Y đềutồn tại γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV + C 6= ∅ thì F là C-liên tục dưới tại x0.Định lí 1.34 Cho X là các không gian thùng, Y là không gian Banach,

F : X → 2Y là C-lõm dưới và −C-liên tục dưới trong lân cận U0 của

x0 ∈ X Nếu với mọi x ∈ X và lân cận giới nội V của 0 trong Y đều tồntại γ > 0 sao cho F (x) ⊂ γV + C 6= ∅ thì F là C-liên tục trên tại x0.Trong phần cuối của mục này ta đưa ra một số kết quả về tính liên tụccủa ánh xạ đơn trị Trong trường hợp f là ánh xạ đơn trị và nón C trong

Y có cở sở lồi, đóng, giới nội Từ tính liên tục theo nón của ánh xạ đơntrị lồi (hoặc lõm) theo nón ta thu được kết quả về tính liên tục theo nghĩathông thường

Hệ quả 1.35 Cho C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội và f : X → Y làánh xạ đơn trị có tính chất C-lồi và C-liên tục trong lân cận U0 của x0thuộc X Hơn nữa, nếu giả thiết rằng với mọi x ∈ X và lân cận V của 0trong Y đều tồn tại số γ > 0 sao cho f (x) ∈ γV − C thì f liên tục tại x0.Chứng minh Ta thấy f thỏa mãn các giả thiết của định lý 1.32 nên f

là (−C)-liên tục tại x0 nên với lân cận V tùy ý của 0 tồn tại lân cận U1của x0 sao cho

f (x) ∈ f (x0) + V − C với mọi x ∈ U1

Do f là C-liên tục tại x0 nên tồn tại lân cận U2 của x0 để

Hệ quả 1.36 Cho C là nón có cơ sở lồi, giới nội và ánh xạ đơn trị f : X →

Y là C-lõm và (−C)-liên tục trong lân cận U0 của x0 thuộc X Giả sử rằngvới mọi x ∈ X và lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại số γ > 0 sao cho

f (x) ∈ γV + C, khi ấy f là liên tục tại x0

Chứng minh Chứng minh tương tự như Hệ quả 1.35 ∆

1.4 Tính Lipchitz theo nón của ánh xạ đa trị

Trong mục này xét X, Y là các không gian định chuẩn Ta nhắc lại cácđịnh nghĩa sau

Định nghĩa 1.37 a) Ánh xạ f : D → R được gọi là Lipschitz địa phươngtrên (hoặc dưới) tại xo ∈ dom f nếu tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0sao cho

f (x) − f (x0) ≤ Lkx − x0k(tương ứng f (x0) − f (x) ≤ Lkx − x0k)với mọi x ∈ U ∩ dom f

b) Ánh xạ f : D → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 ∈ dom f nếutồn tại lân cận U của x0 và số L > 0 sao cho

kf (x) − f (x0)k ≤ Lkx − x0k với mọi x, x0 ∈ U ∩ dom f

c) Một họ các ánh xạ fα: D → R, α ∈ I được gọi là Lipschitz địa phương(hoặc trên hoặc dưới) đồng bậc tại x0 ∈ ∩α∈Idom fα nếu tồn tại lân cận

U của x0 và số L > 0 sao cho

kfα(x) − fα(x0)k ≤ Lkx − x0kvới mọi x, x0 ∈ U ∩ dom f

(tương ứng fα(x) − fα(x0) ≤ Lkx − x0k, fα(x0) − fα(x) ≤ Lkx − x0k)với mọi

Cho D ⊂ X, C là nón lồi trong Y Ki hiệu BY(O, r) = {y ∈ Y | kyk ≤ r}

là hình cầu đóng tâm O, bán kinh r và BY = BY(0, 1) Cho ánh xạ đa trị

F : D → 2Y, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.38 Ánh xạ đa trị F được gọi là C-Lipschitz địa phươngtrên (hoặc dưới) tại x0 ∈ dom F nếu tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + Lkx − x0kBY + C(tương ứng F (x0) ⊂ F (x) + Lkx − x0kBY − C)với mọi x ∈ U ∩ dom F

b) Ánh xạ F được goi là C-Lipschitz địa phương địa phương tại x0 ∈ dom Fnếu tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + Lkx − x0kBY − Cvới mọi x, x0 ∈ U ∩ dom F

c) F được gọi là C-Lipschitz địa phương (hoặc trên hoặc dưới) trong Dnếu nó là C-Lipschitz địa phương (hoặc trên hoặc dưới) tại mọi điểm thuộcdom F

Nhận xét Ta thấy nếu F là C-Lipschitz địa phương tại x0 thì nó là Lipschitz địa phương dưới và −C-Lipschitz địa phương trên tại x0 Đối với

C-hàm vố hướng f ; D → R thì từ tính Lipschitz địa phương cho ta tính liêntục của nó Với hàm đa trị F ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.39 Nếu F là C-Lipschitz địa phương trên (hoặc dưới) tại

x0 ∈ dom F thì F là C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0

Chứng minh Lấy V là lân cận tùy ý của 0 trong Y Do F là C-Lipschitzđịa phương trên tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + Lkx − x0kBY + Cvới mọi x ∈ U ∩ D Do k · k là liên tục cho nên với lân cận V của 0 chúng

ta tìm được lân cận U của x0 sao cho

Lkx − x0kBY ⊂ Vvới mọi x ∈ U0∩ D Đặt U1 = U ∩ U0 thì

F (x) ⊂ F (x0) + V + Cvới mọi ∈ U1 ∩ D vậy F là C-liên tục trên tại x0

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được nếu F lầ C-Lipschitz địaphương dưới tại x0 thì F là C-liên tục dưới tại x0 ∆Tiếp theo ta chỉ ra mối liên hệ giữa tính C-Lipschitz địa phương trên(hoặc dưới) của ánh xạ đa trị F với tính Lipschitz địa phương trên (hoặcdưới) đồng bậc của các hàm vô hướng gξ và Gξ

Định lí 1.40 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị

a) Nếu F (x) + C lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là C-Lipschitz địa phươngtrên tại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là Lipschitz địaphương dưới đồng bậc tại x0

a) Nếu F (x) − C lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là C-Lipschitz địa phươngdưới tại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là Lipschitz địaphương dưới đồng bậc tại x0

Chứng minh a) Giả sử F là C-Lipschitz địa phương trên tại x0, ta suy

ra tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + Lkx − x0kBY + C với mọi x ∈ U ∩ D

gξ(x0) − gξ(x) ≤ Lkx − x0k,với mọi x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C0, kξk = 1 Vậy họ {gξ|kξk = 1, ξ ∈ C0} làC-Lipschitz địa phương dưới đồng bậc tại x0.

Đảo lại, giả sử rằng họ {gξ|kξk = 1, ξ ∈ C0} là Lipschitz địa phươngđồng bậc tại x0 ∈ dom F nhưng F không là C-Lipschitz địa phương trêntại x0, khi đó với mọi lân cận Uα của x0, α ∈ I và với bất kì số Lα > 0đều tồn tại xα ∈ Uα ∩ D sao cho

zα ∈ F (x0) + (Lα − δα)kxα − x0kBY + C

Dẽ dàng thấy ξα ∈ C0 với mọi α ∈ I Thật vậy, nếu tồn tại α0 ∈ I sao cho

ξα0 ∈ C/ 0 thì tồn tại c0 ∈ C để ξα0(c0) < 0 Lấy γ > 0 tùy ý thì ξα0(γc0) < 0

với θ > 0 tùy ý tồn tạiyα ∈ F (x0), bα ∈ BY∗ = (Lα−δα)kxα−x0kBY, cα ∈ Csao cho

inf

y∈F (x 0 )hξα, yi ≥ hξα, yαi − θ

3inf

b∈B ∗ Y

hξα, bi ≥ hξα, bαi − θ

3inf

gξα(x0) − gξα(xα) > Lαkxα − x0k

Điều này trái với giả thiết họ {gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là Lipschitz địa phươngdưới đồng bậc tại x0 Vậy F là C-Lipschitz địa phương trên tại x0

b) Lập luận tương tự như phần a) bằng cách thay infimun bằng supermum

ta suy ra phần còn lại của chứng minh ∆Định lí 1.41 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị

a) Nếu F (x) − C là lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là −C-Lipschitz địaphương trên tại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ {Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} làLipschitz địa phương trên đồng bậc tại x0

b) Nếu F (x) + C là lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là −C-Lipschitz địaphương dưới tại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ {gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} làLipschitz địa phương trên đồng bậc tại x0

Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự như định lý 1.4.4 ∆Định lí 1.42 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị Khi ấy

a) Nếu F (x) − C là lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là C-Lipschitz địa phươngtại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ {Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} là Lipschitz địaphương đồng bậc tại x0

b) Nếu F (x) + C là lồi với mọi x ∈ dom F , thì F là −C-Lipschitz địaphương tại x0 ∈ dom F khi và chỉ khi họ {gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} làLipschitz địa phương đồng bậc tại x0

Chứng minh Giả sử F là C-Lipschitz địa phương tại x0 ∈ dom F Khi

đó tồn tại lân cận U của x0 và số L > 0 sao cho

xα, x0α ∈ U ∩ D sao cho

F (xα) * F (x0α) + Lαkxα − x0αkBY − C

Lây yα ∈ F (xα) sao cho yα ∈ F (x/ 0α) + Lαkxα − x0αkBY − C Bằng cách sửdụng định lý tách và định nghĩa của supermum và lập luận như định lý1.4.4 ta nhận được

Gξ (x0α) − Gξ (xα) > Lαkx0α − xαk

với ξα ∈ C0, kξαk = 1 Điều này mâu thuẫn với tính Lipschitz địa phươngđồng bậc của họ {Gξ|ξ ∈ C0, kξk = 1} tại x0 Vậy F là C-Lipschitz địaphương tại x0

b) Phần hai của định lý được chứng minh tương tự Vậy định lý được

Trong giải tích Lipschitz một hàm f : D → R với D là tập lồi mở củakhông gian Banach X có tính chất: Hàm lồi và bị chặn trong một lân cậncủa điểm nào đó thuộc D thì Lipschitz địa phương trên D Kết quả nayđược mở rộng cho ánh xạ đa trị lồi theo nón C Trước tiên ta đưa ra kháiniệm C-giới nội của một tập

Định nghĩa 1.43 Ta nói rằng tập con A của Y là C-giới nội trên (hoặcdưới) nếu với bất kì lân cận V nào của 0 trong Y đều tồn tại số γ > 0 saocho

A ⊂ γV − C (hoặc A ⊂ γV + C)

Mệnh đề trên cho ta điều kiện cần và đủ để một tập A là C-giới nội trên(hoặc dưới)

Mệnh đề 1.44 Cho C là nón trong Y với c ∈ int C 6= ∅ và A ⊂ Y thì A

là C-giới nội trên (hoặc dưới) khi và chỉ khi tồn tại phần tử c ∈ int C saocho

A ⊂ c − C (hoặc A ⊂ −c + C)Chứng minh Giả sử A là C-giới nội trên, khi đó tồn tại r > 0 sao cho

A ⊂ BY(0, r) − C Do int C 6= ∅ nên tồn tại c0 ∈ C và r1 > 0 sao cho

Đảo lại, giả sử tồn tại c int C để A ⊂ c − C Lấy V là lân cận bất kì của

0 trong Y Do c ∈ int C nên tồn tại ρ > 0 sao cho c ∈ ρV Điều này chứng

tỏ A ⊂ ρV − C Vậy A là C-giới nội trên

Phần còn lại của mệnh đề được chứng minh tương tự Vậy mệnh đề

Trong trường hợp nón C có cơ sở lồi, đóng, giới nội và int C 6= ∅, mênh

đề sau chứng tỏ khái niệm C-giới nội ở trên tương đương với giới nội theonghĩa thông thường

Mệnh đề 1.45 Nếu C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội, và int C 6= ∅,thì A là giới nội khi và chỉ khi A là C-giới nội trên và C-giới nội dưới.Chứng minh Giả sử A là giới nội Khi đó tồn tại hình cầu BY(0, r) trong

Y sao cho A ⊂ BY(0, r) Với lân cận V tùy ý của 0 ta luôn tìm được ρ > 0

để BY(0, r) ⊂ ρV Vậy A ⊂ ρV là C-giới nội trên đồng thời là C-giới nộidưới

Ngược lại, giả sử A là C-giới nội trên và C-giới nội dưới Từ Mệnh đề1.44 ta suy ra tồn tại c1, c2 ∈ int C để A ⊂ (c1 − C) ∩ (−c2 + C) Lấy

BY(0, r) là hình cầu trong Y Sử dụng Mệnh đề 1.3 suy ra tồn tại δ > 0sao cho

Trong phần cuối cùng của mục này ta xét mối quan hệ giữa tính C-lồitrên (dưới) của ánh xạ đa trị với tính C-Lipschitz địa phương, C-liên tụctrên (C-liên tục dưới)

Định lí 1.46 Cho X là không gian hữu hạn chiều, Y là không gian nach, C là nón lồi, đóng với int C 6= ∅ và nếu nón cực C0 là nón nhọn, đadiện, D ⊂ X là tập lồi đóng khác rỗng Giả sử F : D → 2Y là C-lồi dưới,

Ba-F (x) là C-giới nội trên với mọi x ∈ dom Ba-F = D Khi ấy Ba-F là C-Lipschitzđịa phương trong ri D

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng 0 ∈

ri D, 0 ∈ F (0) và chỉ cần xét tính C-Lipschitz địa phương của F tại 0.Lấy x0, x1, , xn là các đỉnh của đơn hình n chiều ri S trong D với

0 ∈ S Vì F (x0), F (x1), , F (xn) là C-giới nội trên nên từ Mệnh đề 1.44suy ra tồn tại c0.c1, , cn thuộc int C sao cho

0 ∈ F (0) = F ( 1

1 + 1ρ

x +

1ρ

1 + 1ρ

1 + 1ρ

1 + 1ρ(

0 ≤ Gξ(x) + 1 hay Gξ(x) ≥ −1 với mọi x ∈ U0

Vì vậy Gξ là hàm giới nội trong U0 Theo Mênh đề 1.24 thì Gξ là hàm lồi.Cho nên Gξ là Lipschitz địa phương trên U0 với mọi ξ ∈ C0 Do C0là nón đadiện nên ta giả sử C0 = cone conv{ξ1, ξ2, , ξn}
với ξ1, ξ2, , ξn ∈ Y∗

và 0 /∈ conv{ξ1, ξ2, , ξn} Vì Gξ i là Lipschitz địa phương tại 0 nên với

i = 1, 2, , n ta tìm được lân cận Ui của 0 và hằng số Li > 0 sao cho

|Gξi(x) − Gξi(x0)| ≤ Likx − x0k với mọi x, x0 ∈ Ui.Đặt

Vậy họ {Gξi|i = 1, n} là Lipschitz địa phương đồng bậc tại 0.

Với ξ ∈ C0, kξk = 1 ta có thể biểu diễn