MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN T UẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CẢM ƠN Xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu, quý Thầy cô bạn học viên khóa 23, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, giúp suốt trình học hoàn thành luận văn này, thực nhận nhiều giúp đỡ động viên từ người Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người dành thời gian chỉnh sửa, hướng dẫn, giúp em hoàn thành luận văn Xin cám ơn đóng góp quý báu Thầy Xin cám ơn toàn thể quý Thầy tận tình giảng dạy, giúp chúng em trang bị kiến thức bổ ích trình học tập, để hoàn thành tốt luận văn Tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán Phòng sau đại học, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn thời hạn cho phép Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn đến gia đình, bạn bè, người động viên giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014 Nguyễn Thanh Toàn Footer Page of 114 Header Page of 114 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mô đun 1.2 Dãy khớp 1.3 Mô đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.4 Nhóm Abel 1.5 Hàm tử 1.6 Hệ xạ ảnh 10 Chương TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 13 2.1 Hàm tử 13 2.2 Một số kết tập số đếm 19 2.3 Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk 28 ( ) 2.4 Các dãy phổ cho lim  33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 n Footer Page of 114 Header Page of 114 MỞ ĐẦU Giới hạn ngược định nghĩa sở định nghĩa hệ xạ ảnh phạm trù R-mô đun trái Tức là, với I tập số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược sau: “Cho { Aα , f αβ } hệ xạ ảnh R-mô đun tập số I Giới hạn ( uα : lim  Aα → Aα )α∈I ngược limA  α họ đồng cấu chiếu thỏa: f αβuβ = uα α < β , với R-mô đun M với đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn đồng cấu θ : M → lim  Aα cho uα θ = ψ α ” Với định nghĩa giới hạn ngược trên, ta tìm hiểu số tính chất hàm tử lim  tập số đếm được, thứ nguyên đối ( ) đồng điều tập hợp bậc xk , dãy phổ cho lim  n Toàn luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức biết đến đại số đại cương, đại số đồng điều Chương 2: Nội dung chương chia làm phần Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim  số tính chất hệ xạ ảnh mềm cận mềm Phần 2: Nêu kết tập số đếm Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk ( ) Phần 4: Về dãy phổ cho lim  n Footer Page of 114 Header Page of 114 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần kiến thức chuẩn bị này, nhắc lại số kiến thức cần thiết lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung chương 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mô đun 1.1.1 Định nghĩa Cho A, B R- mô đun trái Khi tập tích Descartes A × B với hai phép toán cộng nhân định bởi, ( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) , r ( a, b ) = ( ra, rb ) , Với ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B với r ∈ R , R-mô đun, gọi mô đun tổng trực tiếp hai mô đun A B, kí hiệu là: A⊕ B 1.1.2 Định nghĩa Cho họ R- mô đun trái {M i }i∈I Khi tích Descartes = ∏ Mi i∈I {( x ) i i∈I } xi ∈ M i với hai phép toán sau: ( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I = ( xi + x′ )i∈I , r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I , Với ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i với r ∈ R , R-mô đun trái i∈I gọi mô đun tích trực tiếp họ { X i }i∈I 1.1.3 Định lý Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Khi với R- mô đun M, họ đồng cấu { fi : M → M i } phân tích cách qua họ Footer Page of 114 Header Page of 114   phép chiếu  pi : ∏ M t → M i  Nói cách khác, tồn t∈I   đồng cấu f : M → ∏ M i cho fi = pi f với i ∈ I (Tính phổ dụng i∈I tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28] 1.1.4 Định nghĩa Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Mô đun ∏M i∈I i gồm số x = ( xi ) mà hầu hết thành phần xi = trừ số hữu hạn gọi mô đun tổng trực tiếp họ {M i }i∈I ký hiệu ⊕ M i hay i∈I ⊕M i 1.1.5 Định lý Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Khi với R- mô đun M, họ đồng cấu { ft : M t → M } phân tích cách qua họ phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } Nói cách khác, tồn đồng cấu f : ⊕ M i → M cho ft = fjt với t ∈ I (Tính phổ dụng tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32] 1.2 Dãy khớp 1.2.1 Một số định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) f g  → A  → B  → C  → gọi khớp mô đun B imf = ker g Một mô đun dãy đồng cấu gọi mô đun trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu Dãy đồng cấu R-mô đun gọi dãy khớp khớp mô đun trung gian Footer Page of 114 Header Page of 114 f g Dãy khớp có dạng  → A  → B  → C  → gọi dãy khớp ngắn f g Dãy khớp đồng cấu  → A  → B  → C  → gọi chẻ mô đun B Imf hạng tử trực tiếp B, tức tồn mô đun B1 cho= B Imf ⊕ B1 Một dãy khớp gọi chẻ chẻ mô đun trung gian 1.2.2 Định lý χ σ Đối với dãy khớp ngắn  → A  → B  → C  → , ba phát biểu sau tương đương [1, định lý 1, tr 40] i Dãy chẻ ii Đồng cấu χ có nghịch đảo trái iii Đồng cấu σ có nghịch đảo phải 1.2.3 Mệnh đề Nếu dãy khớp f g  → A  → B  → C  → chẻ B B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ 2, tr 41] 1.2.4 Mệnh đề α β Cho dãy khớp  → A  → B  → C với β đơn cấu A=0 Chứng minh : Theo tính khớp dãy trên, ta có A ≅ Im α = ker= β Tương tự ta có mệnh đề sau 1.2.5 Mệnh đề β α Cho C  → B  → A  → với β toàn cấu A=0 1.3 Mô đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.3.1 Định nghĩa Một R- mô đun J mô đun nội xạ với đơn cấu χ : A → B , đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ Footer Page of 114 Header Page of 114 1.3.2 Định lý Hai mệnh đề sau tương đương : i R- mô đun J nội xạ χ σ ii Bất kỳ dãy với ngắn  → A  → B  → C  → dãy nhóm Abel sau khớp σ χ  → Hom ( C , J )  → Hom ( B, J )  → Hom ( A, J )  →0 * * [1, tr 76] 1.3.3 Mệnh đề R-mô đun J nội xạ với ideal trái I R đồng cấu f : I → J , luôn tồn phần tử q ∈ J cho với λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq Nói cách khác đồng cấu f : I → J mở rộng tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr 77] 1.3.4 Mệnh đề Mỗi mô đun M nhúng vào mô đun nội xạ N ( M ) [1, Định lý 9, tr 82] 1.3.5 Định lý Đối với R-mô đun J, phát biểu sau tương đương : i J mô đun nội xạ ii Mọi dãy khớp → J → B → C → chẻ iii J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun nội xạ [1, Định lý 10, tr 82] 1.3.6 Mệnh đề Tích trực tiếp họ mô đun J = ∏ J i nội xạ i∈I mô đun thành phần J i nội xạ 1.3.7 Định nghĩa Mô đun P gọi mô đun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C Footer Page of 114 Header Page 10 of 114 đồng cấu f : P → C tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 1.3.8 Định nghĩa Mô đun X gọi mô đun tự X có sở 1.3.9 Định lý Mỗi mô đun tự X mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr 73] 1.3.10 Định lý Tổng trực tiếp họ mô đun P = ⊕ Pi xạ ảnh i∈I mô đun thành phần Pi xạ ảnh [1, Định lý 2, tr 73] 1.3.11 Định lý Đối với mô đun P, ba phát biểu sau tương đương : i P mô đun xạ ảnh χ σ ii Mỗi dãy khớp  → A  → B  → P  → chẻ iii P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun tự [1, Định lý 3, tr 75] 1.3.12 Bổ đề rắn Cho sơ đồ giao hoán f g A  → B  → C  →0 a b c f′ g′ → A′  → B′  → C′  Với dòng khớp, ta có dãy khớp Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc Hơn nữa, f đơn cấu Kera → Kerb đơn cấu, g ′ toàn cấu Cokerb → Cokerc toàn cấu Footer Page 10 of 114 Header Page 29 of 114 25 Chứng minh : Trước tiên, ta chứng minh n0 = x Từ định nghĩa Ext ( M , Z ) ta thấy bậc Ext ( M , Z ) không lớn x , n0 ≤ x (và tương tự n p ≤ x ) Lấy {a j } tập hợp (hữu hạn đếm được) phần tử M độc lập tuyến tính Z, M i nhóm có hạng hữu hạn lập phần tử phụ thuộc tuyến tính {a j } M, j ≤ i Ta có M= ∪M i , M i ⊆ M i +1 M i có hạng hữu hạn, M i +1 / M i không xoắn, G ≠ , tồn M i không tự do; tất M i không tự hữu hạn, M i +1 / M i không xoắn hữu hạn, ta có M ≅ M ⊕ M / M ⊕ M / M ⊕ M tự do, mâu thuẫn với G ≠ Vì vậy, tồn nhóm K không tự có hạng hữu hạn K không hữu hạn sinh Dễ thấy n0 chiều (trên Q ) không gian véctơ Q ⊗Z G Từ K ⊆ M dẫn đến toàn cấu Ext ( M , Z ) → Ext ( K , Z ) → Và hàm tử Q ⊗x − khớp phải , điều chứng tỏ Q xuất x lần khai triển Ext ( K , Z ) Nếu K có hạng n, tồn dãy khớp → Zn → K → C → (2) Trong C nhóm xoắn (2) cho ta dãy khớp Zn= Hom ( Zn , Z ) → Ext ( C , Z ) → Ext ( K , Z ) → Ext ( Z n , Z )= Vậy rõ ràng chiều (trên Q ) không gian véctơ Q ⊗Z Ext ( C , Z ) 2x0 Footer Page 29 of 114 Header Page 30 of 114 26 Vì K có hạng n, K nhóm Q n , C nhóm ( Q / Z )  ⊕ ( Z ( p∞ ) ) , p chạy qua số nguyên tố Tất p n n p thành phần p-nguyên sơ C p C nhóm Z ( p∞ ) , n nhóm Artin Từ dãy giảm C p ⊇ pC p ⊇ p 2C p ⊇ dừng, nên tồn r mà p rC p = p r +1C p Vậy Dp = p rC p chia C p  D p ⊕ Fp , với Fp  C p / p rC p nhóm hữu hạn Bây ta xem xét hai trường hợp: i Tồn p cho D p ≠ ii D p = với p Trong trường hợp i D p ⊇ Z ( p∞ ) , điều chứng tỏ chiều ( Q ) Ext ( Z ( p∞ ) , Z ) x Áp dụng dãy khớp hàm tử Hom Ext cho 0→Z→Q→Q/ Z →0 Thu Ext ( Z ( p∞ ) , Z )  Hom ( Z ( p∞ ) , Q / Z )  Hom ( Z ( p∞ ) , Z ( p∞ ) ) Từ đẳng cấu với nhóm cộng số p-adic Vậy, ta chứng minh xong trường hợp i Trong trường hợp ii Fp ≠ với p, K hữu hạn sinh Vậy, tồn ⊕ Z / Zpi ⊆ C Ext dãy vô hạn p1 , , pi , số nguyên tố mà S = pi hàm tử khớp phải, điều chứng tỏ chiều ( Q ) không gian véctơ Q ⊗ Ext ( S, Z ) x Nhưng Ext ( S, Z )  ∏ Z /Zpi nhóm bậc x , có pi nhóm xoắn đếm Bây ta chứng minh n p hữu hạn (có thể 0) = x Footer Page 30 of 114 Header Page 31 of 114 27 Trước tiên ta thấy n p với chiều (trên Z / Zp ) không gian véctơ Hom ( Z / Zp,Ext ( M , Z ) ) có đẳng cấu Ext ( Z / Zp, Hom ( M , Z ) ) ⊕ Hom ( Z / Zp,Ext ( M , Z ) )  Ext ( ( Z / Zp ) ⊗ M , Z ) ⊕ Hom ( Tor ( Z / Zp, M ) , Z ) (3) Theo kết Nunke-Rotman: tất nhóm đếm M biểu diễn dạng M= L ⊕ M ′ với L tự Hom ( M ′, Z ) = Từ Ext ( M , Z )  Ext ( M ′, Z ) ta giả sử Hom ( M , Z ) = Hơn nữa, M không xoắn, Tor ( −, M ) = suy biến thành đẳng cấu Hom ( Z / Zp,Ext ( M , Z ) ) ≅ Ext ( ( Z / Zp ) ⊗ M , Z ) ( Z / Zp ) ⊗ M không gian véctơ ( Z / Zp ) , Do ∑ ⊕ ( Z / Zp ) có tập số hữu hạn đếm Từ có I Ext ( ( Z / Zp ) ⊗ M , Z ) ≅ ∏ ( Z / Zp ) I Nếu I hữu hạn, n p hữu hạn ; I đếm n p = x Ta chứng minh phần Định lý 2.2.8 Cuối cùng, xét bậc n0 = x , n p , p số nguyên tố thỏa mãn ii) Với M phù hợp, ta chứng minh trường hợp sau Trường hợp n0 = x , n p = với p Từ Q chia được, Ext ( Q, Z ) không xoắn, đó, theo chứng minh trên, ta có Ext ( Q, Z )  Q ( N0 ) , với n0 = x Trong trường hợp tổng quát, Pk , k số nguyên, tập số mà k ≤ n pk < x0 P′ tập số mà n p′ = x Footer Page 31 of 114 Header Page 32 of 114 28 Lấy M k nhóm ( cộng tính ) Q , bao gồm số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho pk , M ′ nhóm số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho p′ Sử dụng đẳng cấu (4) dễ thấy= M ( M ′) ( x0 ) ∞ ⊕ ∑ ⊕ M k nhóm k =1 không xoắn đếm đươc. 2.2.9 Hệ Cho G nhóm Abel có bậc ≤ x Các điều kiện sau tương đương: i G nhóm mô tả Định lý 2.2.5, tức có dạng Ext ( M , Z ) , M đếm không xoắn ii Đối với tôpô phù hợp G (như nhóm tôpô) compắc liên thông Nhận xét : Định lý 2.2.8 cho kết ([4], tr 36): Một nhóm đếm không xoắn M tự (và nếu) Ext ( M , Z ) đếm 2.3 Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk Trong phần trước thấy, cho I = N (hoặc I định hướng ( ) đếm được) lim  Ai = với hệ xạ ảnh Ai nhóm Abel với p p ≥ Ta nói N có thứ nguyên đối đồng điều ≤ Ta chứng minh chiều mềm N ≤ (Xem nhận xét Định lý 2.2.3) Đối với tập có thứ tự định hướng bậc xk , ta có định lý sau 2.3.1 Định lý Cho I tập thứ tự định hướng ≤ xk Với hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } () lim  Aα = với i ≥ k + Ta nói, I thứ nguyên đối đồng điều ≤ k + i Chứng minh : Footer Page 32 of 114 Header Page 33 of 114 29 Ta chứng minh quy nạp k Với k = , kết Định lý 2.2.3 Giả sử điều cần chứng minh với xh , h < k có { Aα } hệ xạ ảnh → {A α } → { Fα0 } → { Fα1} → → {Fαp } → (1) phép giải (cận) mềm { Aα } (1) hợp thành dãy khớp sau : → {A α } → { Fα0 } → { X α1 } → 0 → { X α1 } → { Fα1} → { X α2 } → (2) → { X αp } → { Fαp } → { X αp +1} → () ( ) i −1 Chuyển ngược lại ta suy lim  Aα  lim  X α Vì vậy, để chứng minh i () lim  Aα = với i ≥ k + ta chứng minh ánh xạ i i −1 i lim  Fα → lim  X α (3) I I toàn ánh với i ≥ k + = I I hợp họ xắp thứ tự tốt I µ µ∈Ω , µ ∈Ω, , I µ định hướng Nếu thu hẹp tập số I tới I µ ( µ cố định ), ta xác định thu hẹp tương ứng hệ xạ ảnh I µ phép giải cận mềm { Aα } , α ∈ I µ ( Bổ đề 2.1.12 (1)) Tương tự, (2) trở thành dãy khớp hệ xạ ảnh I µ Theo giả () thiết quy nạp lim  Aα = với i ≥ k + , { Aα } hệ xạ ảnh I µ Theo i Mệnh đề 2.1.14, thấy cách chuyển trên, i −1 i lim  Fα → lim  X α I mm I toàn ánh với i ≥ k + Để chứng minh (3) toàn ánh, ta xem xét phần toàn cục s (trên I ) Footer Page 33 of 114 Header Page 34 of 114 30 { X } Theo toàn ánh (4) thu hẹp s s đến I từ phần t {F } I , với i ≥ k + Để chứng minh (3) toán ánh (với i ≥ k + ) i α µ i −1 α µ µ µ ta cần chứng minh ta chọn tµ , µ ∈ Ω cho tµ thu hẹp tν với cặp µ < ν (tức tµ , µ ∈ Ω hình thành phần { Fαi −1} I ) Bằng phương pháp quy nạp ta giả sử, với ν nằm Ω , tìm tµ thuộc { Fαi −1} I µ , µ < ν chẳng hạn như, với λ < µ,tλ thu hẹp tµ Ta tìm thấy phần tν (trên I ν ) bị giới hạn tới tµ với µ < ν Nếu ν tự số giới hạn , tµ , µ < ν hình thành phần I ν thỏa mãn tính chất cần có từ I ν =  I µ µ n i iii Nếu dãy → {A α } → { Fα0 } → → { Fαn−1} → {X αn } → khớp, với { Fα0 } , ,{ Fαn−1} mềm, {X αn } mềm Chứng minh : Hiển nhiên định lý với n = Ta {A α } mềm (i ) lim  (U , A α ) = với tập mở U I với i > Lấy → {A α }  →{Qα }  {Vα } →{Cα } Footer Page 35 of 114 (5) Header Page 36 of 114 32 dãy khớp, với {Qα } nội xạ (trong phạm trù hệ xạ ảnh) Từ (5) sinh dãy khớp hàm tử dẫn xuất → lim → lim → lim  (U ,A α )   (U , Qα )   (U , Cα ) lim  (U ,Vα )  → lim  (1) → lim (U ,A α )   (U , Qα )= (1) (6) Giả sử trước tiên {A α } mềm Lấy t phần {Cα } , triệt tiêu U Từ {A α } mềm, t có từ phần toàn cục s {Qα } (Mệnh đề 2.1.15) Thu hẹp s′ s đến U cảm sinh phần U, s′ có từ phần r ′ {A α } U Vì tính mềm {A α } , r ′ thu hẹp phần toàn cục r {A α } (s-r) phần toàn cục {Qα } , triệt tiêu U cảm sinh t {Cα } Điều cho thấy lim  (U,vα) toàn ánh, (6) (1) lim  (U , A α ) = Sử dụng {Cα } mềm {A α } mềm, ta xác (i ) định quy nạp i lim  (U , A α ) = với i > (i ) Ngược lại, giả sử lim  (U , A α ) = với tập mở U i > (hay i = ) Thì từ (6) cho thấy lim  (U, vα ) toàn ánh Ta chứng minh phần r tập mở U thu hẹp phần toàn cục {Qα } nội xạ, đặc biệt (theo Hệ 2.1.6), mềm, r cảm sinh {Qα } phần thu hẹp phần toàn cục s s cảm sinh {Cα } phần , triệt tiêu U Do t phần tử lim  (U , Cα ) , qua toàn ánh lim  (U,vα ), t có từ phần a1 Qα , triệt tiêu U s − s1 cảm sinh phần {Cα } , s − s1 có từ phần toàn cục {A α } , có thu hẹp tới U r  2.3.4 Định lý Cho I tập thứ tự định hướng, tập mở định hướng U ⊂ I chứa tập gốc bậc ≤ xk −1 , chiều cận mềm I ≤ k + Footer Page 36 of 114 Header Page 37 of 114 33 Chứng minh: Cho hệ xạ ảnh {A α } → {A α } → { Fα0 } → → {Fαk −1} → {Fαk } → 0 → {X k α } → {F } → { X } → k +1 α k α (7) dãy khớp, với { Fα0 } , ,{ Fαk } cận mềm Với tập mở định hướng U ⊂ I , cách xét thu hẹp U (và sử dụng Bổ đề 2.1.15) có ( () k lim  X α  lim  U k +1) Aα = U Từ ánh xạ k k +1 lim  Fα → lim  X α U U toàn ánh Mà {Fαk } mềm, ta kết luận phần { X αk +1} U thu hẹp phần toàn cục { X αk +1} Với tập mở định hướng U, ta thấy { X αk +1} cận mềm Do (7) dẫn đến phép giải cận mềm có độ dài k + Đối với tập thứ tự tổng quát, khái niệm "mềm" "cận mềm" đồng nhất, ta có hệ 2.3.5 Hệ Cho I tập thứ tự tổng quát, tất tập mở U ⊂ I có tập gốc bậc ≤ xk −1 , chiều mềm ≤ k + , kí hiệu dim.fl(I) ≤ k + ( 2.4 Các dãy phổ cho lim  n) Như nói Chương 1, với hệ xạ ảnh { Aα } R-mô đun Aα R-mô đun M ta có đẳng cấu Hom ( M ,lim  Aα )  lim Hom ( M , Aα ) (1) Footer Page 37 of 114 Header Page 38 of 114 34 Tương tự, với hệ cảm ứng R-mô đun Aα R-mô đun M ta có đẳng cấu Hom ( lim  Aα , M )  lim Hom ( Aα , M ) (2) Bây giờ, ta xét xem điều xảy ta thay Hom hàm tử Ext n với n > Để thiết lập dãy phổ, ta lấy hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } ( ) phức tường minh cho phép tính toán lim  Aα Trước tiên, cho phép giải n mềm tường minh hệ xạ ảnh hệ { Aα , f αβ } n Cho n > , {∏ αn , pαβ } hệ xạ ảnh ∏αn nhóm abel bao gồm tất hàm aan ( aaa , , , n ) tới giá trị Aα , với α ≤ α1 ≤ ≤ α n ≤ α ; đồng n n thu hẹp Rõ ràng {∏ αn , pαβ cấu pαβ } hệ mềm Định nghĩa đồng cấu δαn ∏ αn ∏ αn+1 , , , )= ( δ a ) ( aaa n n aa n +1 n +1 ( i n n  , , , f aaa a aaa + − aa aaa ( ) ( ) ∑ 1 , , i , , n +1 n + i =1 ) với α ≤ ≤ α n+1 ≤ α Hơn có đồng cấu δα−1 Aα đến ∏ 0α định nghĩa (δ ) ( a ) =f −1 aaaaa 0 a a với α ≤ α Dễ dàng kiểm tra δαn+1δαn =0 với n n +1 n n với cặp α ≤ β ; có dãy Như ta thấy pαβ δβ =δαn pαβ → {A α }  →{∏ 0α }  →   →{∏ αn }  →{∏ αn+1} → (3) δ−1 δ0 δn −1 δn phức hệ xạ ảnh Xem εαn đồng cấu ∏ αn ∏ αn−1 (thỏa ∏ α−1 = A α ) định nghĩa n n  n ) a n  ( aaa , , , n −1 , ) ( εaa  , , , n−1 ) = ( −1) aa ( aaaa với α ≤ ≤ α n−1 ≤ α Footer Page 38 of 114 Header Page 39 of 114 35 Sau kiểm tra trực tiếp ta có εαn+1δαn + δαn−1εαn =1∏n α Điều cho thấy (3) dãy khớp, phép giải mềm hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } n Ta thấy lim  ∏ α = I ) ( ∏ Aα0 αn , A α0 = Aα0 αn , tức nhóm tất α ≤ ≤α n hàm với giá trị A0 , α ≤ ≤ α n Vì vậy, từ Định lý 2.1.16, ta có 2.4.1 Định lý ( ) Với hệ xạ ảnh I lim  Aα tính được, với { Aα , f αβ } n nhóm đối đồng điều thứ n phức δ δ ∏ ( Aα ) : ∏ A α0  →   → ∏ n −1 α0 α ≤ ≤α n δ Aα0 αn  → ∏ n α ≤ ≤α n +1 Aα0 αn +1 → với δn ( a n ) ( aa f aaa a n ( aa , , n += 1) , , n +1 ) + n +1 ∑ ( −1) a i =1 i n a , ,  , , ( aaa ) i n +1 với a n ∏ Aα0 αn Bây giờ, ta xét hệ cảm ứng { Aα , fβα } R-mô đun R-đồng cấu tập thứ tự định hướng I Từ giới hạn trực tiếp hàm tử khớp, dẫn tới phức theo phức đối ngẫu Định lý 2.4.1 không tuần hoàn : ∂n ∂1 ∑ ( Aα ) : ∑ A α0 ←  ∑ Aα0α1 ←  ←  α ≤α1 (A α α n = A α0 ∑ α ≤ ≤α n Aα0 αn ← ) với ∑ Aα0 αn kí hiệu tổng trực tiếp Aα0 αn , ( ) ( ) n ∂n = jaaaaaa a j n f a + ∑ ( −1) jaaa a n  i i =1 a ∈ A a0 , jα0 αn đơn ánh tắc thứ α α n Ngoài ra, ta có H ( ∑ Aα )  lim  Aα Footer Page 39 of 114 i n Header Page 40 of 114 36 Có { Aα , fβα } hệ cảm ứng R-mô đun R-đơn cấu, M R-mô đun Lấy phép giải nội xạ M : → M → Q → → Q n → kí hiệu Q phức tương ứng Đồng cấu song phức HomR ( ∑ ( Aα ) , Q ) , mô đun thứ ( p, q )   HomR  ∑ Aα0 α p , Q q  xem hai dãy phổ gắng với hai lọc tắc  α0 ≤ ≤α p  Trước tiên, trường hợp p số lọc Ta có ( )) ( ( ) ( ∏ Ext qR Aα0 α p , M Ext qR ∑ Aα0 α p , M = E1′ p ,q = H q HomR ∑ Aα0 α p , Q = α ≤ ≤α p ) Hàm tử phản biến Ext qR ( −, M ) biến đổi phức ∑ ( Aα ) { } ∏Ext qR ( Aα , M ) tương ứng với hệ xạ ảnh Ext qR ( Aα , M ) ,Ext qR ( fβα ,1M ) , ( ) q ′ p ,q H p ( ∏Ext qR ( Aα , M ) )  lim E=  Ext ( Aα , M ) p Khi q số lọc, ta có E1′′ p ,q =H p ( Hom ( ∑ ( A ) , Q )) q α q  Hom ( lim  Aα , Q ) , p = = ,p>0  E2′′ p ,q Ext qR ( lim  Aα , M ) , p = = ,p>0  Do dãy phổ thứ hai suy biến, ( ( )) H n HomR ∑ ( Aα ) , Q = Ext nR ( lim  Aα , M ) Kết quả, ta có mệnh đề sau : Footer Page 40 of 114 Header Page 41 of 114 37 2.4.2 Mệnh đề Với hệ cảm ứng { Aα , fβα } R-mô đun Aα R-đồng cấu fβα , với R-mô đun M tồn dãy phổ ( ) q n E2p ,q lim = =   Ext R ( Aα , M ) Ext R ( lim  Aα , M ) p Tương tự vậy, ta có 2.4.3 Mệnh đề Với hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } R-mô đun R-đồng cấu, với Rmô đun M tồn dãy phổ ( ) q E2′ p ,q = lim  Ext R ( M , Aα ) p ( ( ) E2′′ p ,q = Ext Rp M ,lim  Aα có giới hạn Footer Page 41 of 114 q ) Header Page 42 of 114 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày định nghĩa, số tính chất giới hạn ngược tập số đếm tập bậc xk , định nghĩa ( ) ( ) hàm tử lim  lim  , từ xây dựng dãy phổ cho lim  n n Tất nhiên, hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết giới hạn ngược liên quan đến tính chất mềm cận mềm hệ xạ ảnh Dựa vào đó, tác giả tiếp tục tìm hiểu định nghĩa, tính chất giới hạn trực tiếp hệ cảm ứng Footer Page 42 of 114 Header Page 43 of 114 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh J.J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York H.Bass (1962), Injective dimension in Noetherien rings, Trans Amer Math Soc Tiếng Pháp C.U.Jensen (1972), Les foncteurs dérivés de lim  et leurs applications en théorie des modules, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Footer Page 43 of 114 ... TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... Hàm tử 1.6 Hệ xạ ảnh 10 Chương TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 13 2.1 Hàm tử 13 2.2 Một số kết tập số đếm 19 2.3 Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc... ĐẦU Giới hạn ngược định nghĩa sở định nghĩa hệ xạ ảnh phạm trù R-mô đun trái Tức là, với I tập số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược sau: “Cho { Aα , f αβ } hệ xạ ảnh R-mô đun tập số I Giới