Một số tính chất của giới hạn ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN T UẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu, quý Thầy cô bạn học viên khóa 23, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, giúp suốt trình học hoàn thành luận văn này, thực nhận nhiều giúp đỡ động viên từ người Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người dành thời gian chỉnh sửa, hướng dẫn, giúp em hoàn thành luận văn Xin cám ơn đóng góp quý báu Thầy Xin cám ơn toàn thể quý Thầy tận tình giảng dạy, giúp chúng em trang bị kiến thức bổ ích trình học tập, để hoàn thành tốt luận văn Tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán Phòng sau đại học, Trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn thời hạn cho phép Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn đến gia đình, bạn bè, người động viên giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014 Nguyễn Thanh Toàn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mô đun 1.2 Dãy khớp 1.3 Mô đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.4 Nhóm Abel 1.5 Hàm tử 1.6 Hệ xạ ảnh 10 Chương TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 13 2.1 Hàm tử 13 2.2 Một số kết tập số đếm 19 2.3 Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk 28 ( ) 2.4 Các dãy phổ cho lim  33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 n MỞ ĐẦU Giới hạn ngược định nghĩa sở định nghĩa hệ xạ ảnh phạm trù R-mô đun trái Tức là, với I tập số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược sau: “Cho { Aα , f αβ } hệ xạ ảnh R-mô đun tập số I Giới hạn ( uα : lim  Aα → Aα )α∈I ngược limA  α họ đồng cấu chiếu thỏa: f αβuβ = uα α < β , với R-mô đun M với đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn đồng cấu θ : M → lim  Aα cho uα θ = ψ α ” Với định nghĩa giới hạn ngược trên, ta tìm hiểu số tính chất hàm tử lim  tập số đếm được, thứ nguyên đối ( ) đồng điều tập hợp bậc xk , dãy phổ cho lim  n Toàn luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức biết đến đại số đại cương, đại số đồng điều Chương 2: Nội dung chương chia làm phần Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim  số tính chất hệ xạ ảnh mềm cận mềm Phần 2: Nêu kết tập số đếm Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk ( ) Phần 4: Về dãy phổ cho lim  n Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần kiến thức chuẩn bị này, nhắc lại số kiến thức cần thiết lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung chương 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mô đun 1.1.1 Định nghĩa Cho A, B R- mô đun trái Khi tập tích Descartes A × B với hai phép toán cộng nhân định bởi, ( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) , r ( a, b ) = ( ra, rb ) , Với ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B với r ∈ R , R-mô đun, gọi mô đun tổng trực tiếp hai mô đun A B, kí hiệu là: A⊕ B 1.1.2 Định nghĩa Cho họ R- mô đun trái {M i }i∈I Khi tích Descartes = ∏ Mi i∈I {( x ) i i∈I } xi ∈ M i với hai phép toán sau: ( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I = ( xi + x′ )i∈I , r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I , Với ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i với r ∈ R , R-mô đun trái i∈I gọi mô đun tích trực tiếp họ { X i }i∈I 1.1.3 Định lý Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Khi với R- mô đun M, họ đồng cấu { fi : M → M i } phân tích cách qua họ   phép chiếu  pi : ∏ M t → M i  Nói cách khác, tồn t∈I   đồng cấu f : M → ∏ M i cho fi = pi f với i ∈ I (Tính phổ dụng i∈I tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28] 1.1.4 Định nghĩa Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Mô đun ∏M i∈I i gồm số x = ( xi ) mà hầu hết thành phần xi = trừ số hữu hạn gọi mô đun tổng trực tiếp họ {M i }i∈I ký hiệu ⊕ M i hay i∈I ⊕M i 1.1.5 Định lý Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Khi với R- mô đun M, họ đồng cấu { ft : M t → M } phân tích cách qua họ phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } Nói cách khác, tồn đồng cấu f : ⊕ M i → M cho ft = fjt với t ∈ I (Tính phổ dụng tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32] 1.2 Dãy khớp 1.2.1 Một số định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) f g  → A  → B  → C  → gọi khớp mô đun B imf = ker g Một mô đun dãy đồng cấu gọi mô đun trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu Dãy đồng cấu R-mô đun gọi dãy khớp khớp mô đun trung gian 4 f g Dãy khớp có dạng  → A  → B  → C  → gọi dãy khớp ngắn f g Dãy khớp đồng cấu  → A  → B  → C  → gọi chẻ mô đun B Imf hạng tử trực tiếp B, tức tồn mô đun B1 cho= B Imf ⊕ B1 Một dãy khớp gọi chẻ chẻ mô đun trung gian 1.2.2 Định lý χ σ Đối với dãy khớp ngắn  → A  → B  → C  → , ba phát biểu sau tương đương [1, định lý 1, tr 40] i Dãy chẻ ii Đồng cấu χ có nghịch đảo trái iii Đồng cấu σ có nghịch đảo phải 1.2.3 Mệnh đề Nếu dãy khớp f g  → A  → B  → C  → chẻ B B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ 2, tr 41] 1.2.4 Mệnh đề α β Cho dãy khớp  → A  → B  → C với β đơn cấu A=0 Chứng minh : Theo tính khớp dãy trên, ta có A ≅ Im α = ker= β Tương tự ta có mệnh đề sau 1.2.5 Mệnh đề β α Cho C  → B  → A  → với β toàn cấu A=0 1.3 Mô đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.3.1 Định nghĩa Một R- mô đun J mô đun nội xạ với đơn cấu χ : A → B , đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ 1.3.2 Định lý Hai mệnh đề sau tương đương : i R- mô đun J nội xạ χ σ ii Bất kỳ dãy với ngắn  → A  → B  → C  → dãy nhóm Abel sau khớp σ χ  → Hom ( C , J )  → Hom ( B, J )  → Hom ( A, J )  →0 * * [1, tr 76] 1.3.3 Mệnh đề R-mô đun J nội xạ với ideal trái I R đồng cấu f : I → J , luôn tồn phần tử q ∈ J cho với λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq Nói cách khác đồng cấu f : I → J mở rộng tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr 77] 1.3.4 Mệnh đề Mỗi mô đun M nhúng vào mô đun nội xạ N ( M ) [1, Định lý 9, tr 82] 1.3.5 Định lý Đối với R-mô đun J, phát biểu sau tương đương : i J mô đun nội xạ ii Mọi dãy khớp → J → B → C → chẻ iii J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun nội xạ [1, Định lý 10, tr 82] 1.3.6 Mệnh đề Tích trực tiếp họ mô đun J = ∏ J i nội xạ i∈I mô đun thành phần J i nội xạ 1.3.7 Định nghĩa Mô đun P gọi mô đun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C đồng cấu f : P → C tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 1.3.8 Định nghĩa Mô đun X gọi mô đun tự X có sở 1.3.9 Định lý Mỗi mô đun tự X mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr 73] 1.3.10 Định lý Tổng trực tiếp họ mô đun P = ⊕ Pi xạ ảnh i∈I mô đun thành phần Pi xạ ảnh [1, Định lý 2, tr 73] 1.3.11 Định lý Đối với mô đun P, ba phát biểu sau tương đương : i P mô đun xạ ảnh χ σ ii Mỗi dãy khớp  → A  → B  → P  → chẻ iii P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun tự [1, Định lý 3, tr 75] 1.3.12 Bổ đề rắn Cho sơ đồ giao hoán f g A  → B  → C  →0 a b c f′ g′ → A′  → B′  → C′  Với dòng khớp, ta có dãy khớp Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc Hơn nữa, f đơn cấu Kera → Kerb đơn cấu, g ′ toàn cấu Cokerb → Cokerc toàn cấu