Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN KIỀU HIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội- 2014 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật huy, người tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa Cao học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Nguyễn Kiều Hiên Mục lục Mở đầu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.2 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 11 1.3 Đạo hàm hàm suy rộng 13 1.4 Giá hàm suy rộng 13 1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 15 1.6 Tích chập 17 1.7 Phép biến đổi Fourier 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 18 1.7.2 Phép biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm S (Rn ) 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 26 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu dãy đạo hàm không gian Lp (R) 28 2.2 Dáng điệu dãy đạo hàm hàm tuần hoàn không gian Lp (π) 32 2.3 Dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian Lp (Rn ) 34 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ dãy P - đạo hàm bất đẳng thức tích chập 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Biến đổi Fourier hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi Luận văn đề cập tới nghiên cứu số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier (gọi phổ) Vấn đề có ý nghĩa lớn ứng dụng vào giải toán khó khác Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Các không gian hàm không gian hàm suy rộng Chương trình bày kiến thức không gian hàm bản, không gian hàm suy rộng, tích chập hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier Chương phần luận văn, trình bày tính chất hàm số qua hình học phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu dãy đạo hàm, dãy đạo hàm hàm tuần hoàn, dãy P - đạo hàm hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá biến đổi Fourier, bất đẳng thức tích chập hai hàm nhiều biến Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, trình bày khái niệm kết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]) Chúng rõ khái niệm kết sử dụng chương sau Không gian hàm giảm nhanh S (Rn) 1.1 Trước nghiên cứu không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), số ký hiệu trình bày luận văn Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo √ −1 = i Với số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1 , , αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn với chuẩn Euclid n x =( j=1 x2j )1/2 , tích vô hướng xξ = n xj ξj j=1 Với k ∈ Z+ ký hiệu tập sau C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu tập compact}, k k ∞ ∞ C ∞ (R) = ∩∞ k=1 C (R), C0 (R) = ∩k=1 C0 (R), suppu = {x ∈ R| u(x) = 0} Với số thực ≤ p < ∞, ký hiệu 1/p n n Lp (R ) = {u : R → C| u p p |u (x) | dx = < +∞} Rn Với p = ∞, ký hiệu L∞ (Rn ) = {u : Rn → C| u ∞ = ess sup |u (x)| < +∞}, x∈Rn ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M } = 0} x∈Rn Ký hiệu F phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) ảnh Fourier hàm f, suppf giá ảnh Fourier (gọi phổ) hàm f Các giới hạn lim am , lim am , lim am m→∞ tương ứng giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dãy hàm m→∞ m→∞ ∞ {am }m=1 Bây lúc ta phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ví dụ minh họa để làm rõ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.1 Không gian S (Rn ) tập hợp S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ } Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), lim xα Dβ ϕ (x) = x →∞ ∀α, β ∈ Zn+ Điều dẫn đến hàm ϕ (x) hàm giảm x → ∞ nhanh hàm có dạng sau 1/P (x) , x ∈ Rn Vì vậy, gọi S (Rn ) không gian hàm giảm nhanh Ví dụ 1.1 Không gian C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) Khi đó, ta đặt suppϕ = K, K tập compact Rn Với x ∈ / K , suy Dβ ϕ (x) = ∀β ∈ Zn+ Do sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ x∈K Ta có điều dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ suy C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh hoàn thành Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e− x , x ∈ Rn Khi ϕ hàm số thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Theo giả thiết, ta có x e− x 2 = x21 + x22 + + x2n nên 2 = e−x1 e−x2 e−xn , x ∈ Rn Mặt khác Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1 2 Dβ2 e−x2 Dβn e−xn 2 = e−x1 e−x2 e−xn Q (x1 , x2 , , xn ) = e− x ∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn , Q (x1 , x2 , , xn ) Q (x1 , x2 , , xn ) hàm chứa lũy thừa x1 , x2 , , xn Do xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , , xn )e− x ∀α, β ∈ Zn+ Ta thấy lim ta e−|t| = với a ∈ R t→∞ Từ đây, suy lim xα Q (x1 , x2 , , xn ) e− x →∞ x =0 ∀α ∈ Zn+ Vậy nên, ta có sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ , dẫn đến ϕ hàm thuộc vào không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) Chứng minh hoàn thành Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa hội tụ không gian S (Rn )) n n Dãy hàm {ϕk }∞ k=1 không gian S (R ) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R ) lim sup xα (Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ (x)) = k→∞ x∈Rn Khi đó, ta viết S _ lim ϕk = ϕ k→∞ ∀α, β ∈ Zn+ Chú ý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian không gian Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ Chứng minh Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn ) Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ) Nên ta cần xét ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có |ϕ (x1 , x2 , , xn )|p dx1 dxn Rn |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 + x2n = Rn ≤ sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x21 dx1 dxn (1 + x2n ) + x22 + x2n Rn + x21 dx1 dxn (1 + x2n ) (1.1) Mặt khác Rn + x21 dx1 dxn + x22 (1 + x2n ) +∞ = −∞ dx1 + x21 +∞ −∞ dx2 + x22 +∞ −∞ dxn = π n (1.2) (1 + x2n ) Kết hợp (1.1) (1.2), ta suy p ϕ (x1 , x2 , , xn ) dx1 dxn Rn ≤ π n sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x22 + x2n Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x22 + x2n < ∞ Vì thế, ta nhận |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p dx1 dxn 1/p < ∞, Rn điều cho ta hàm ϕ ∈ Lp (Rn ) Chứng minh hoàn thành Chú ý 1.2 Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn ) cho với α ∈ Zn+ có số thực m = m (α), số dương c = c (α) có |Dα a (x)| < c(1 + x )m , ánh xạ biến hàm ϕ thành hàm aϕ ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) vào Định lý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian đầy đủ n Chứng minh Lấy dãy hàm {ϕm }∞ m=1 dãy Cauchy không gian S (R ), ∞ ∀α, β m=1 ∈ C ∞ (Rn ) nghĩa dãy hàm xα Dβ ϕm (x) pact Rn đến hàm ψ ∈ Zn+ hội tụ tập com- Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) dãy hàm {ϕm }∞ m=1 hội tụ Rn Khi đó, tồn hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim ϕm (x) = ϕ0 (x) , m→∞ tồn hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim Dβ ϕm (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ m→∞ Với β ∈ Zn+ dãy hàm Dβ ϕm (x) ∞ m=1 liên tục Rn , nên hàm ψ (x) liên tục Rn Như vậy, ta nhận ϕm (x) → ϕ0 (x) Rn Dβ ϕm (x) → ψ (x) Rn điều dẫn đến, hàm ϕ0 (x) khả vi cấp β Dβ ϕ0 (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ Nói cách khác hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) lim Dβ ϕm (x) = Dβ ϕ0 m→∞ ∀β ∈ Zn+ , Rn Bây ta cần phải chứng minh hàm ϕ0 ∈ S (Rn ), tức phải chứng minh sup xα Dβ ϕ0 (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ Thật vậy, lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕp (x)) = m,p→∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ , (1.3) ta thấy lim Dβ ϕp (x) = Dβ ϕ0 (x) p→∞ ∀β ∈ Zn+ Từ (1.3) (1.4), ta nhận thấy lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕ0 (x)) = m→∞ x∈Rn 10 ∀α, β ∈ Zn+ (1.4) Tài liệu tham khảo [1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu tính chất hàm số thông qua giá phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), "Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas", Trans Amer Math Soc., 362, pp 3613-3640 [4] H.H Bang (1990), "A property of infinitely differentiable functions", Proc Amer Math Soc., 108, pp 73-76 [5] H.H Bang (1994), "Lp - Entire functions of exponential type", Iaea Inis , 8, pp 1-8 [6] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions Taylor Francis, London, New York 43 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu các tính chất của hàm số thông qua giá của phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), "Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius