MỘT số TÍNH CHẤT của hàm KHẢ VI vô hạn THÔNG QUA GIÁ của BIẾN đổi FOURIER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN KIỀU HIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội- 2014 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật huy, người tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa Cao học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Nguyễn Kiều Hiên Mục lục Mở đầu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.2 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 11 1.3 Đạo hàm hàm suy rộng 13 1.4 Giá hàm suy rộng 13 1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 15 1.6 Tích chập 17 1.7 Phép biến đổi Fourier 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 18 1.7.2 Phép biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm S (Rn ) 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 26 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu dãy đạo hàm không gian Lp (R) 28 2.2 Dáng điệu dãy đạo hàm hàm tuần hoàn không gian Lp (π) 32 2.3 Dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian Lp (Rn ) 34 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ dãy P - đạo hàm bất đẳng thức tích chập 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Biến đổi Fourier hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi Luận văn đề cập tới nghiên cứu số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier (gọi phổ) Vấn đề có ý nghĩa lớn ứng dụng vào giải toán khó khác Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Các không gian hàm không gian hàm suy rộng Chương trình bày kiến thức không gian hàm bản, không gian hàm suy rộng, tích chập hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier Chương phần luận văn, trình bày tính chất hàm số qua hình học phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu dãy đạo hàm, dãy đạo hàm hàm tuần hoàn, dãy P - đạo hàm hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá biến đổi Fourier, bất đẳng thức tích chập hai hàm nhiều biến Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, trình bày khái niệm kết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]) Chúng rõ khái niệm kết sử dụng chương sau Không gian hàm giảm nhanh S (Rn) 1.1 Trước nghiên cứu không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), số ký hiệu trình bày luận văn Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo √ −1 = i Với số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1 , , αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn với chuẩn Euclid n x =( j=1 x2j )1/2 , tích vô hướng xξ = n xj ξj j=1 Với k ∈ Z+ ký hiệu tập sau C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu tập compact}, k k ∞ ∞ C ∞ (R) = ∩∞ k=1 C (R), C0 (R) = ∩k=1 C0 (R), suppu = {x ∈ R| u(x) = 0} Với số thực ≤ p < ∞, ký hiệu 1/p n n Lp (R ) = {u : R → C| u p p |u (x) | dx = < +∞} Rn Với p = ∞, ký hiệu L∞ (Rn ) = {u : Rn → C| u ∞ = ess sup |u (x)| < +∞}, x∈Rn ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M } = 0} x∈Rn Ký hiệu F phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) ảnh Fourier hàm f, suppf giá ảnh Fourier (gọi phổ) hàm f Các giới hạn lim am , lim am , lim am m→∞ tương ứng giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dãy hàm m→∞ m→∞ ∞ {am }m=1 Bây lúc ta phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ví dụ minh họa để làm rõ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.1 Không gian S (Rn ) tập hợp S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ } Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), lim xα Dβ ϕ (x) = x →∞ ∀α, β ∈ Zn+ Điều dẫn đến hàm ϕ (x) hàm giảm x → ∞ nhanh hàm có dạng sau 1/P (x) , x ∈ Rn Vì vậy, gọi S (Rn ) không gian hàm giảm nhanh Ví dụ 1.1 Không gian C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) Khi đó, ta đặt suppϕ = K, K tập compact Rn Với x ∈ / K , suy Dβ ϕ (x) = ∀β ∈ Zn+ Do sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ x∈K Ta có điều dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ suy C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh hoàn thành Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e− x , x ∈ Rn Khi ϕ hàm số thuộc không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Theo giả thiết, ta có x e− x 2 = x21 + x22 + + x2n nên 2 = e−x1 e−x2 e−xn , x ∈ Rn Mặt khác Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1 2 Dβ2 e−x2 Dβn e−xn 2 = e−x1 e−x2 e−xn Q (x1 , x2 , , xn ) = e− x ∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn , Q (x1 , x2 , , xn ) Q (x1 , x2 , , xn ) hàm chứa lũy thừa x1 , x2 , , xn Do xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , , xn )e− x ∀α, β ∈ Zn+ Ta thấy lim ta e−|t| = với a ∈ R t→∞ Từ đây, suy lim xα Q (x1 , x2 , , xn ) e− x →∞ x =0 ∀α ∈ Zn+ Vậy nên, ta có sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ , dẫn đến ϕ hàm thuộc vào không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) Chứng minh hoàn thành Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa hội tụ không gian S (Rn )) n n Dãy hàm {ϕk }∞ k=1 không gian S (R ) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R ) lim sup xα (Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ (x)) = k→∞ x∈Rn Khi đó, ta viết S _ lim ϕk = ϕ k→∞ ∀α, β ∈ Zn+ Chú ý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian không gian Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ Chứng minh Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn ) Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ) Nên ta cần xét ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có |ϕ (x1 , x2 , , xn )|p dx1 dxn Rn |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 + x2n = Rn ≤ sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x21 dx1 dxn (1 + x2n ) + x22 + x2n Rn + x21 dx1 dxn (1 + x2n ) (1.1) Mặt khác Rn + x21 dx1 dxn + x22 (1 + x2n ) +∞ = −∞ dx1 + x21 +∞ −∞ dx2 + x22 +∞ −∞ dxn = π n (1.2) (1 + x2n ) Kết hợp (1.1) (1.2), ta suy p ϕ (x1 , x2 , , xn ) dx1 dxn Rn ≤ π n sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x22 + x2n Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn + x22 + x2n < ∞ Vì thế, ta nhận |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p dx1 dxn 1/p < ∞, Rn điều cho ta hàm ϕ ∈ Lp (Rn ) Chứng minh hoàn thành Chú ý 1.2 Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn ) cho với α ∈ Zn+ có số thực m = m (α), số dương c = c (α) có |Dα a (x)| < c(1 + x )m , ánh xạ biến hàm ϕ thành hàm aϕ ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) vào Định lý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian đầy đủ n Chứng minh Lấy dãy hàm {ϕm }∞ m=1 dãy Cauchy không gian S (R ), ∞ ∀α, β m=1 ∈ C ∞ (Rn ) nghĩa dãy hàm xα Dβ ϕm (x) pact Rn đến hàm ψ ∈ Zn+ hội tụ tập com- Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) dãy hàm {ϕm }∞ m=1 hội tụ Rn Khi đó, tồn hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim ϕm (x) = ϕ0 (x) , m→∞ tồn hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim Dβ ϕm (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ m→∞ Với β ∈ Zn+ dãy hàm Dβ ϕm (x) ∞ m=1 liên tục Rn , nên hàm ψ (x) liên tục Rn Như vậy, ta nhận ϕm (x) → ϕ0 (x) Rn Dβ ϕm (x) → ψ (x) Rn điều dẫn đến, hàm ϕ0 (x) khả vi cấp β Dβ ϕ0 (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ Nói cách khác hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) lim Dβ ϕm (x) = Dβ ϕ0 m→∞ ∀β ∈ Zn+ , Rn Bây ta cần phải chứng minh hàm ϕ0 ∈ S (Rn ), tức phải chứng minh sup xα Dβ ϕ0 (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ Thật vậy, lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕp (x)) = m,p→∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ , (1.3) ta thấy lim Dβ ϕp (x) = Dβ ϕ0 (x) p→∞ ∀β ∈ Zn+ Từ (1.3) (1.4), ta nhận thấy lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕ0 (x)) = m→∞ x∈Rn 10 ∀α, β ∈ Zn+ (1.4) Bất đẳng thức Bernstein Cho ≤ p ≤ ∞, σ > 0, f ∈ Lp (R) suppf ⊂ [−σ, σ] Khi f (m) p ≤ σm f ∀m = 0, 1, p Chứng minh Bắt đầu chứng minh cách cho thấy tồn giới hạn d = lim m→∞ 1/m p f (m) (2.1) Không tính tổng quát, ta giả sử f = Áp dụng định lý Kolmogoroff-Stein, ta có f (k) m p ≤ m π f (m) Khi f (k) 1/k p ≤ k p, 1/k π < k < m, ∀m = 2, 3, f (m) 1/m p , < k < m (2.2) Từ (2.2), ta có điều sau f (k) 1/k p ≤ π 1/k f (m) lim 1/m p ∀k = 1, 2, m→∞ Do lim m→∞ f (k) 1/k p f (m) ≤ lim 1/m p ∀k = 1, 2, (2.3) m→∞ Phương trình (2.1) trở thành (2.3) Tiếp theo ta chứng minh d ≤ sup{|ξ| : ξ ∈ suppf } (2.4) Với sup{|ξ| : ξ ∈ suppf } = ∞ điều hiển nhiên, nên ta cần chứng minh (2.4) cho trường hợp sup |ξ| : ξ ∈ suppf (ξ) < ∞ Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Bernstein, ta nhận f (m) p ≤ [sup{|ξ| : ξ ∈ suppf }]m f p ∀m = 0, 1, Và (2.4) hệ bất đẳng thức Cuối cho d ≥ sup{|ξ| : ξ ∈ suppf } Thật vậy, ta xét σ ∈ suppfˆ, nên tồn hàm h ∈ C0∞ (R), supph ⊂ (σ − , σ + ) cho fˆ, h = Đặt gm = F 29 h(ξ) ξm Vì, ˆ = f, h 0= Dm f, gm Theo bất đẳng thức Ho¨lder, ta thu ˆ ≤ Dm f f, h 0= p + q gm q , p = Khi 1/m p Dm f lim ≥ lim m→∞ m→∞ gm 1/m q −1 (2.5) Ta đặt C1 := max{ h ∞, h ∞, h ∞ }, γ =σ−2 Nhận thấy sup |gm (x)| ≤ √ 2π x∈R h(ξ) √ dξ = ξm 2π h(ξ) dξ ξm |ξ|≥γ R 1 2C1 dξ = √ m m−1 |ξ| (m − 1) 2π γ C1 ≤√ 2π (2.6) |ξ|≥γ Hơn ta có, sup |x2 gm (x)| = sup √ x∈R x∈R 2π e−ixξ D2 h(ξ) dξ ξm R = sup √ x∈R 2π e−ixξ h (ξ) h(ξ) h (ξ) − 2m m+1 + m(m + 1) n+2 dξ m ξ ξ ξ R 1 + 2m m+1 + m(m + 1) m+2 dξ m |ξ| |ξ| |ξ| C1 ≤√ 2π |ξ|≥γ C1 2m =√ + m + m+1 , m−1 (m − 1) γ γ 2π γ (2.7) gm q ≤ Cq (sup gm (x) + sup x2 gm (x) ) x∈R (2.8) x∈R Kết hợp (2.6), (2.7) (2.8), ta thu lim m→∞ F h(ξ) ξm 30 1/m ≤ q γ (2.9) Từ (2.5) (2.9), ta có Dm f lim m→∞ 1/m p ≥σ−2 Cho → 0, ta đạt lim m→∞ Dm f 1/m p ≥σ Do Dm f lim m→∞ 1/m p ≥ sup{|ξ| : ξ ∈ suppf } (2.10) Kết hợp (2.10) (2.4), ta kết luận 1/m p Dm f lim m→∞ = sup{|ξ| : ξ ∈ suppf } Định lý chứng minh Tiếp theo, ta đưa kết sau Định lý 2.2 Cho ≤ p < ∞, σ ∈ R+ , (Dm f )m∈Z+ ⊂ Lp (R) suppf ⊂ [−σ, σ] Khi đó, ta có giới hạn sau lim σ −m Dm f m→∞ = p Chứng minh Do ≤ p < ∞ nên với ε > tồn số λ ∈ (0, 1) thỏa mãn f (x) − f (λx) Đặt h (x) = f (λx) Rõ ràng f − h p p ≤ ε ≤ ε supph = λsuppf ⊂ [−λσ, λσ] (2.11) Do λ ∈ (0, 1), nên từ (2.11), ta nhận supph ⊂ [−σ, σ] Dựa vào bất đẳng thức Bernstein, ta thu Dm h p ≤ (λσ)m h p ∀m = 0, 1, Vì suppf ⊂ [−σ, σ] supph ⊂ [−σ, σ] nên suppf − h ⊂ [−σ, σ] Từ áp dụng bất đẳng thức Bernstein, suy Dm (f − h) p ≤ σm f − h 31 p ∀m = 0, 1, Điều dẫn đến σ −m Dm f p ≤ σ −m Dm (f − h) p + λm h p ≤ f −h m ≤ε+λ p + σ −m Dm h p h p, với m ∈ Z+ Khi lim σ −m Dm f p ≤ ε lim σ −m Dm f p = lim σ −m Dm f p = m→∞ Cho ε → 0, ta m→∞ nên ta có m→∞ Định lý chứng minh Chú ý 2.1 Định lý 2.2 không p = ∞ Thật vậy, cho f (x) = sin σx, σ > Khi đó, suppfˆ = {−σ, σ} Dm f = σ m sin σx, nên σ −m Dm f ∞ ∀m ∈ Z+ =1 Do lim σ −m Dm f m→∞ 2.2 p = Dáng điệu dãy đạo hàm hàm tuần hoàn không gian Lp (π) Với ≤ p ≤ ∞ ta định nghĩa Lp (π) tập hợp tất hàm f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π thỏa mãn |||f |||p < ∞,  π   −π |f (x)|p dx |||f |||p = 1/p  ess sup |f (x)| ≤ p < ∞ p = ∞ x∈[−π,π] Ta có kết sau cho dáng điệu dãy đạo hàm hàm tuần hoàn không gian Lp (π) 32 Định lý 2.3 (xem [4]) Giả sử f ∈ C ∞ (R) hàm tùy ý, tuần hoàn chu kỳ 2π ≤ p ≤ ∞ Khi đó, tồn giới hạn 1/m df = lim | f (m) |p m→∞ df = σf = sup |k| : k ∈ suppf Chứng minh Sử dụng khai triển Fourier cho hàm f (x), ta có ∞ f (x) = fk exp (ikx), k=−∞ fk = (2π)−1 f, exp (−ikx) Do đó, ∀k = 0, ±1, ∞ f (m) fk (ik)m exp (ikx) (x) = ∀m = 0, 1, k=−∞ Theo bất đẳng thức Ho¨lder, có |fk k m | = (2π)−1 | f (m) , exp (−ikx) | ≤ (2π)−1/p | f (m) |p , m = 0, 1, ; k = 0, ±1, Do đó, 1/m lim |fk k m |1/m = |k| ≤ lim | f (m) |p m→∞ , (2.12) m→∞ với số k thỏa mãn fk = Sử dụng ∞ f (ξ) = fk δ0 (ξ + k) k=−∞ Từ (2.12), ta suy 1/m σf ≤ lim | f (m) |p (2.13) ≤ σf (2.14) m→∞ Tiếp theo 1/m lim | f (m) |p m→∞ Với σf < ∞ đủ để chứng minh (2.14) Từ bất đẳng thức Bernstein Nikol’skii, ta có | f (m) |p ≤ σfm | f |p 33 ∀m = 0, 1, Khi (2.14) hệ bất đẳng thức Kết hợp (2.13) (2.14), ta thu kết 1/m lim | f (m) |p 1/m = lim | f (m) |p m→∞ m→∞ = σf Định lý chứng minh 2.3 Dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian Lp (Rn) Định nghĩa 2.1 Cho P (x) đa thức n biến có bậc t C, aα xα , aα ∈ C P (x) = |α|≤t ¯ toán tử, xác định Ta định nghĩa P (D) ¯ = P (D)f aα Dα f, |α|≤t ¯ = (−i∂/∂x1 , , −i∂/∂xn ) , Dj = −i∂/∂xj , D ¯α = D ¯ α1 D ¯ nαn , với j = D 1, 2, , n Như vậy, với đa thức P (x) hàm f ∈ C ∞ (Rn ) ta xác định dãy ¯ f Ta có kết sau cho P - đạo hàm hàm f toán tử vi phân P m D dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian nhiều chiều Lp (Rn ) Định lý 2.4 (xem [5]) Cho ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp (Rn ) , P (ξ) đa thức với hệ số suppFf tập compact Rn Khi đó, tồn giới hạn df = lim m→∞ ¯ f Pm D 1/m , p df = sup |P (ξ)| ξ∈suppFf Chứng minh Bắt đầu cách cho thấy lim m→∞ ¯ f Pm D 1/m p 34 sup ξ∈suppFf |P (ξ)| (2.15) Cho ξ ∈ suppFf thỏa mãn P ξ = Không tính tổng quát, ta giả sử P |P (ξ)| sup ξ∈suppFf ξ > Do đó, ta cố định số < ε < P (ξ) chọn miền G thỏa mãn ξ ∈ G |P (ξ)| > P ξ − ε ∀ξ ∈ G (2.16) Cố định v, ω ∈ C0∞ (G) cho ξ ∈ suppv f v f , ω0 = Và cho ψ ∈ C0∞ (G) ψ = lân cận suppω0 Do với m ≥ 1, ta có | v f , ω0 | = | ψ (ξ) P −m (ξ) P m (ξ) v (ξ) f (ξ) , ω0 (ξ) | = | P m (ξ) v (ξ) f (ξ) , ψ (ξ) P −m (ξ) ω0 (ξ) | = | F −1 P m v f , ψFP −m (ξ) ω0 | ¯ (v ∗ f ), F ωm = (2π)−n P m D ¯ f ≤ (2π)−n P m D với ωm (ξ) = P −m (ξ) ω0 (ξ) p + q p v F ωm q , (2.17) = Tiếp tục, ta chứng minh tồn số C1 thỏa mãn F ωm q ≤ C1 P ξ − ε −m ∀m ≥ (2.18) Sử dụng bất đẳng thức Nikol’skii, F ωm ≤ C2 P ξ − ε −m ∀m ≥ Với k = n/2 + 1, ta có Fω ˆm k |F ω ˆ m (ξ)| + |ξ|2 = + |ξ|2 −k dξ Rn 2k ≤ |F ω ˆ m (ξ)| + |ξ| 1/2 −2k + |ξ| dξ 1/2 dξ Rn Rn = C3 ωm (k) Do đó, từ đằng thức đơn hình Tô pô H(k) = Wk,2 P ξ0 − ε m ωm k,2 ≤ C4 ∀m ≥ (2.19) Cho |α| ≤ k Từ P (ξ) = G áp dụng công thức Leibniz, ta có Dα P −m (ξ) ω0 (ξ) = β≤α α! Dα−β ω0 (ξ) Dβ P −m (ξ) β! (α − β)! 35 (2.20) β! Dβ P −m (ξ) = γ + +γ m =β γ ! γ m ! m Dγ P −1 (ξ) Dγ P −1 (ξ) (2.21) Khi , cho m ≥ k Ta nhận xét với γ + + γ m = β , m − |β| ≥ m − k đa số γ , , γ m không Từ (2.16) (2.20)-(2.21) ω ∈ C0∞ (G), ta đạt số C5 = C5 (P, ω0 , k) thỏa mãn Dα ωm ≤ C5 sup P −m (ξ) ≤ C5 P ξ − ε −m G Với |α| ≤ k, m ≥ k dẫn đến ta có (2.19), sau (2.18) Kết hợp (2.17) (2.18), ta đạt m P ξ0 − ε | v f , ω0 | ≤ C1 v ¯ f Pm D p , m ≥ k Vì 1/m p ¯ f Pm D lim m→∞ P ξ − ε Cho dần ε → 0, ta nhận (2.15) Để hoàn thành chứng minh này, ta phải lim m→∞ 1/m p ¯ f Pm D ≤ sup |P (ξ)| ξ∈suppFf Cho ε > đặt K = suppfˆ Ta chọn hàm h ∈ C0∞ (Rn ) thỏa mãn h = khu vực lân cận suppF (f ), supph ⊂ K Ta có ¯ f Pm D p = F −1 (h (ξ) P m (ξ) Ff (ξ)) p ≤ F −1 (h (ξ) P m (ξ)) Đặt Hm := F −1 h(ξ)P m (ξ) Với β ∈ Zn+ , β ≤ (2, 2, , 2), ta có điều sau sup |xβ Hm (x)| ≤ (2π)−n/2 sup x∈Rn x∈Rn eixξ Dβ h(ξ)P m (ξ) dξ Rn = (2π)−n/2 sup x∈Rn ≤ (2π)−n/2 eixξ Dβ h(ξ)P m (ξ) dξ ξ∈K Dβ h(ξ)P m (ξ) dξ ξ∈K 36 f p Áp dụng công thức Leibniz, có sup |xβ Hm (x)| ≤ (2π)−n/2 x∈Rn β! sup |Dβ−γ P m (x) | γ!(β − γ)! x∈K ≤ (2π)−n/2 γ≤β ≤ (2π)−n/2 γ≤β ξ∈K β! Dγ h(ξ)Dβ−γ P m (ξ) dξ γ!(β − γ)! |Dγ h(ξ)|dξ ξ∈K β! γ!(β − γ)! sup |Dθ P m (x) | max θ≤(2,2, ,2) x∈K γ≤β |Dγ h(ξ)|dξ (2.22) ξ∈K Ta thấy, tồn số A không phụ thuộc vào m cho sup |Dθ P m (x) | ≤ Am2n sup P m (x) x∈K (2.23) x∈K Với θ ∈ Zn+ , θ ≤ (2, 2, , 2) Từ (2.22) (2.23), ta có β! Am2n sup P m (x) γ!(β − γ)! x∈K sup |xβ Hm (x)| ≤ (2π)−n/2 x∈Rn γ≤β |Dγ h(ξ)|dξ ξ∈K = A1 m2n sup P m (x) , (2.24) x∈K đây, A1 := (2π)−n/2 γ≤β β! γ!(β − γ)! |Dγ h(ξ)|dξ ξ∈K Sử dụng (2.24) Hm ≤ π n sup (1 + x21 )(1 + x22 ) (1 + x2n )Hm (x) , x∈Rn ta nhận lim m→∞ Hm 1/m ≤ sup |P (ξ)| ξ∈K Cho dần ε → 0, ta kết luận lim m→∞ ¯ f Pm D 1/m p ≤ 1/m p = sup |P (ξ)| ξ∈suppFf Kết hợp (2.15) (2.25) ta thu lim m→∞ ¯ f Pm D Định lý chứng minh 37 sup ξ∈suppFf |P (ξ)| (2.25) 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ dãy P - đạo hàm bất đẳng thức tích chập Trong phần này, ta bắt đầu nghiên cứu kỹ tính chất phổ dãy P đạo hàm hình thành từ toán tử vi phân, trực tiếp thông qua giá biến đổi Fourier (xem [6]) Định lý 2.5 Cho ≤ p < ∞, P (x) đa thức n biến, f ∈ Lp (Rn ) Khi đó, với m ∈ Z+ ta có ¯ f suppfˆ = suppP m D (2.26) Chứng minh Ta cần chứng minh (2.26) cho trường hợp m = Giả sử ngược lại, tức tồn σ ∈ Rn thỏa mãn ¯ f, σ ∈ suppf ∪ suppP D ¯ f σ∈ / suppf ∩ suppP D (2.27) Xét A := {ξ ∈ Rn : P (ξ) = 0} Vì ¯ f = P (ξ) fˆ, P D ta suy ¯ f ⊂ suppfˆ ⊂ suppP D ¯ f ∪ A suppP D ¯ f , σ ∈ A ∩ suppf Cho nên, tồn Vì vậy, theo (2.27) suy σ ∈ / suppP D ¯ f số ε > cho B (σ, ε) ∩ A ∪ suppP D = {σ} Ta xét hàm số h ∈ C0∞ (Rn ) , supph ⊂ B (σ, ε) thỏa mãn h (ξ) = B (σ, ε/2) Khi supphf ⊂ {σ} Vì vậy, tồn số N ∈ Z+ cho N (j) hf = Cj δ−σ j=0 Điều dẫn tới N (2π) −n/2 F −1 (j) Cj F −1 δ−σ h ∗ f (ξ) = j=0 38 (2.28) ¯ f ∈ Lp (Rn ) F −1 h ∈ L1 (Rn ) nên Vì P D F −1 h ∗ f ∈ Lp (Rn ) Từ (2.28), ta suy (2π)−n/2 F −1 h ∗ f (ξ) = Vì hf = Vì σ ∈ suppf nên tồn hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , suppϕ ⊂ B (σ, ε/2) cho f , ϕ = Khi đó, h (ξ) = Trong B (σ, ε/2), ta nhận = f , ϕ = f , hϕ = hf , ϕ = điều mâu thuẫn Định lý chứng minh xong Tiếp theo, ta trình bày kết mở rộng bất đẳng thức tích chập hai hàm nhiều biến không gian nhiều chiều Định lý 2.6 Cho hàm f ∈ Lp (Rn ) , g ∈ Lq (Rn ) ≤ p, q ≤ ∞, tích chập f ∗ g ∈ Lr (Rn ) r f ∗g p = r + ≤ f q 1 p+q − Đồng thời, ta có đánh giá p g q Chứng minh Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: p < ∞, q < ∞, r < ∞ Ta chọn p q pr qr α= , β= , s= , t= r r r−p r−q thấy α ≥ 0, β ≥ 0, s ≥ 1, t ≥ thỏa mãn 1 + + = 1, r s t αr = p = (1 − α)s, βr = q = (1 − β)t p+ f ∗g r Lr f (y)g(x − y)dy|r dx× | = Rn pr qr =r=q+ , s t Rn r α × β 1−α |f (y)| |g(x − y)| |f (y)| Rn Rn 39 1−β |g(x − y)| dy dx Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder cho hai hàm |f (y)|α |g(x − y)|β | |f (y)|1−α |g(x − y)|1−β với f ∗g r Lr r + t+s ts = 1, ta |f (y)|αr |g(x − y)|βr dy× ≤ Rn Rn 1−α × |f (y)| 1−β |g(x − y) | st t+s r t+s st dy dx Rn st Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder cho hai hàm |f (y)|(1−α) t+s st |g(x − y)(1−β) t+s | với t+s t + = 1, ta có t+s s r s f ∗g r Lr αr ≤ βr (1−α)s |f (y) ||g(x − y)| dy Rn Rn |f (y)| dy Rn r t |g(x − y)|(1−β)t dy × dx Rn Từ ta áp dụng định lý Fubini, kết sau r s f ∗g r Lr αr (1−α)s βr |f (y)| |f (y) ||g(x − y)| dx = Rn Rn r t |g(x − y)|(1−β)t dy × dy Rn dy Rn = f p p g = f r p g rq q q f pr s p g qr t q Trường hợp 2: p = ∞, r = ∞, q = Ta cần chứng minh f ∗ g ∞ ≤ f có |(f ∗ g)(x)| = | f (y).g(x − y)dy| Rn ≤ f |g(x − y)|d(x − y) = f ∞ Rn ≤ f ∞ Rn g Do sup |(f ∗ g)(x)| ≤ f ∞ g 1, x∈Rn hay f ∗g |g(t)|dt ∞ ∞ ≤ f 40 ∞ g ∞ g 1, Trường hợp 3: p = 1, r = ∞, q = ∞ Ta cần chứng minh f ∗ g ∞ ≤ f ∞, g |(f ∗ g)(x)| = | có f (y)g(x − y)dy| Rn ≤ g |f (y)|dy ≤ f ∞ g ∞ Rn Do sup |(f ∗ g)(x)| ≤ f g ∞, x∈Rn hay f ∗g Trường hợp 4: r = ∞, p + q ≤ f ∞ g ∞ = Ta cần chứng minh f ∗ g |(f ∗ g)(x)| = | ∞ ≤ f p g q , có f (y).g(x − y)dy| Rn Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder cho f (y) g(x − y) với Rn + q = 1, ta |f (y)|p dy) p ( |(f ∗ g)(x)| ≤ ( p |g(x − y)|q dy) q ≤ f p g q Rn Do sup |(f ∗ g)(x)| ≤ f p g q, x∈Rn hay f ∗g ∞ ≤ f p g q p q − cho hàm f ∈ Lp (R) , g = Ta kết thúc chứng minh Hệ 2.1 Cho ≤ p, q, r ≤ ∞, r = + lân cận suppFf suppFf tập compact Khi đó, ta có đánh giá Dm f r ≤ f 41 p Dm g q Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống lại lý thuyết hàm suy rộng dáng điệu dãy đạo hàm không gian Nội dung luận văn bao gồm: • Mô tả dáng điệu dãy đạo hàm không gian chiều Lp (R) cho lớp hàm có phổ nằm tập compact cho trước • Mô tả dáng điệu dãy đạo hàm tuần hoàn không gian Lp (π) • Mô tả dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian nhiều chiều Lp (Rn ) thông qua giá ảnh Fourier • Trình bày bất đẳng thức tích chập hai hàm nhiều biến không gian nhiều chiều Tôi xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu tính chất hàm số thông qua giá phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), "Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas", Trans Amer Math Soc., 362, pp 3613-3640 [4] H.H Bang (1990), "A property of infinitely differentiable functions", Proc Amer Math Soc., 108, pp 73-76 [5] H.H Bang (1994), "Lp - Entire functions of exponential type", Iaea Inis , 8, pp 1-8 [6] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions Taylor Francis, London, New York 43 [...]... (ξ)| ≤ CR|α| eR nên Fψ (ξ) là hàm giải tích trên không gian Cn Định lý được chứng minh 27 ξ ∀ξ ∈ Cn , α ∈ Zn+ Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu các tính chất của hàm số trực tiếp thông qua giá của ảnh Fourier (hay gọi là phổ) của chính hàm số đó Cụ thể, mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm trong các không gian Lp (R)... tính liên tục từ không gian S (Rn ) vào chính nó 1.7 Phép biến đổi Fourier Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), không gian các hàm tăng chậm S (Rn ), không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.10 Cho hàm. .. Rn của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ ω sao cho f, ϕ = g, ϕ Định nghĩa 1.6 (Giá của hàm suy rộng) Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rn ) Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau suppf = {x ∈ Rn : f = 0 tại x} Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng suppf là tập compact Ví dụ 1.6 Hàm Dirac δ0 là phiếm hàm xác định như sau δ0 , ϕ = ϕ (0) ∀ϕ ∈ S (R) Khi đó, giá. .. (2π)−n/2 fx , e−ixξ Hàm suy rộng Ff (ξ) có thể thác triển lên thành một hàm nguyên xác định trên không gian Cn như sau ξ → (2π)−n/2 fx , e−ixξ , ξ ∈ Cn Sau đây ta trình bày điều kiện cần để một hàm giải tích ψ là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng có giá chứa trong hình cầu đóng (xem [3]) Định lý 1.4 Cho ψ : Cn → C là hàm giải tích Khi đó, điều kiện cần để có một số R > 0, một hàm suy rộng f ∈ E... về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , mà δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2 eix0 ϕ(x)dx Rn = (2π)−n/2 ϕ)(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ ∀ϕ ∈ S (Rn ) Rn Vậy dẫn đến δ0 = (2π)−n/2 1 Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàm hằng (2π)−n/2 Chứng minh được hoàn thành 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy... các giá trị x ∈ Rn để tích phân trên không tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên Rn biến x thành Rn f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g , ký hiệu là f ∗ g Như vậy (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y)dy = Rn f (y) g (x − y)dy Rn Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g Rõ ràng trong trường hợp này tích chập của hàm f và hàm g , và tích chập của hàm g và hàm. .. hàm suy rộng f ∈ S (Rn ) , α ∈ Zn+ đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f cũng là một hàm suy rộng tăng chậm Nói cách khác, đạo hàm suy rộng Dα f là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (Rn ) vào không gian C Do đó, đạo hàm Dα f là một hàm suy rộng trong không gian các hàm tăng chậm S (Rn ) Ví dụ 1.5 Cho hàm θ (x) được xác định sau θ (x) = 1 với x > 0 0 với x ≤ 0 Tìm đạo hàm của. .. (Rn ) Định nghĩa 1.13 Với hàm f ∈ S (Rn ) Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng tăng chậm f , ký hiệu f hay F −1 (f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi ∀ϕ ∈ S (Rn ) f , ϕ = f, ϕ Ví dụ 1.8 Cho δ0 là hàm Dirac tại điểm 0 Tìm biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 Chứng minh Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta có δ0... suppf iii) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) và giá của hàm suy rộng suppf = {0} do đó, hàm suy rộng f có thể biểu diễn diễn duy nhất dưới dạng C α D α δ0 f= |α|≤N δ0 là hàm suy rộng có giá compact và giá của nó suppδ0 = {0} 16 1.6 Tích chập Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên Rn , nhằm xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng Định nghĩa 1.9 Cho f, g là các hàm khả tích địa... hoàn thành Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) Mệnh đề 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ) Khi đó i) Fϕ (ξ − h) = F eihx ϕ (x) (ξ) , ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−ihξ Fϕ (ξ) , iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−n Fϕ (ξ/t) , ξ, h ∈ Rn ξ, h ∈ Rn t = 0, ξ ∈ Rn 23 Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có Fϕ (ξ − h) = (2π)−n/2 ... biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 26 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu dãy đạo hàm không... phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier Chương... (ξ) hàm giải tích không gian Cn Định lý chứng minh 27 ξ ∀ξ ∈ Cn , α ∈ Zn+ Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, ta nghiên cứu tính chất