Một số tính chất của biến cố độc lập và biến ngẫu nhiên độc lập

Trờng đại học vinh Khoa toán ---------- Lê Thị Thanh Toàn Một số tính chất của biến cố đôc lập và biến ngẫu nhiên độc lập Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học Toán -------Vinh, 2006----- Lời nói đầu Khái niệm độc lập là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết xác suất. Mục đích của khoá luận này là trình bày các tính chất của các biến cố độc lập và biến ngẫu nhiên độc lập cùng một số tính chất khác có liên quan đến các khái niệm này. Khoá luận đợc chia làm 3 phần: Phần I : Các kiến thức chuẩn bị . Trong phần này, chúng tôi nêu lên một số định nghĩa, khái niệm tính chất cơ bản để phục vụ cho các phần sau. Phần II: Một số tính chất của biến cố độc lập . Phần này gồm hai mục nhỏ. Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơ bản của các biến cố độc lập. Mục 2 dùng dể chứng minh một số tính chất khác của biến cố độc lập . Phần III: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên độc lập. Phần này cũng gồm hai mục nhỏ. Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơ bản của các biến ngẫu nhiên độc lập. Mục 2 dùng để chứng minh một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập . Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin trân trọng đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy- ngời đã giúp đỡ em tận tình trong cả quá trình học tập và nghiên cứu. Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa Toán, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh nghiên cứu ở trờng. Dù đã rất cố gắng xong luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong đợc nhận sự góp ý chân thành của quý thầy cô cùng bạn bè. Vinh tháng 4 năm 2006. Tác giả 2 Phần I: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số. Giả sử là một tập hợp tuỳ ý khác . Kí hiệu P( ) là tập hợp tất cả các tập hợp con của . Định nghĩa: Lớp A P( ) đợc gọi là một đại số nếu: 1) A. 2) A A A = \ A A. 3)A , B A A B A , A B A. Nhận xét: Vì A B = _ B , A B = , _ B Nên trong 3) chỉ đòi hỏi một trong hai điều kiện A B A và A B A. 1.2 - Đại số . Định nghĩa: Lớp P( ) đợc gọi là - đại số nếu nó là một đại số và ngoài ra 4). Từ n A , n =1, 2, suy ra : = 1n n A và = 1n n A . Nhận xét: ở đây cũng chỉ cần đòi hỏi một trong hai điều kiện: = 1n n A hoặc = 1n n A . 1.3 Độ đo xác suất. Định nghĩa: Hàm tập hợp P xác định trên - đại số đợc gọi là độ đo xác suất nếu: 3 1). P(A) 0 , A . 2). P() =1 3). Nếu A i , i=1,2 A i A j = , i j, thì P( = 1i i A ) = = 1 )( i i AP . 1.4 Các tính chất của xác suất. 1). P() = 0. 2). P() =P(A) , A . 3). A B , A ,B P(A)P(B) . 4). P(A) 1. 5). A,B P(A B) = P(A) +P(B) P(AB). 6). P( = 1k k A ) = = 1 1 )1( k k niii ii k k AAP .1 21 1 ) .( . 7). P( = 1 ) n n A = 1 )( n n AP (A n ) . 8). Tính liên tục của xác suất i) Nếu (A n ) là dãy đơn điệu tăng A 1 A 2 A n thì tồn tại )(lim n n AP = )( 1 = n n AP . ii) Nếu (A n ) là dãy đơn điệu giảm A 1 A 2 A n thì tồn tại )(lim n n AP = )( 1 = n n AP . 1.5 Không gian xác suất. Giả sử là tập hợp khác rỗng tuỳ ý là một - đại số các tập con của . 4 P là độ đo xác suất trên . Khi đó bộ ba (,,P) , đợc gọi là không gian xác suất . đợc gọi là không gian biến cố sơ cấp. đợc gọi là - đại số các biến cố. Nếu A thì A đợc gọi là một biến cố. Nếu A,B mà A B = AB thì ta nói A, B xung khắc. Nếu A thì =\A gọi là biến cố đối lập của biến cố A. gọi là biến cố chắc chắn . gọi là biến cố không thể có . Nếu A thì số P(A) gọi là xác suất biến cố A . 1.6 Định lý Caratheodory. Giả sử là một tập hợp nào đó . A là đại số các tập con của . Giả sử 0 à là một đo xác định trên A . (Nghĩa là 0 à là hàm tập hợp , không âm , -công tính trên A ) và - hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy (A n ) A sao cho = = 1n n A và 0 à ( ) n A < , n=1,2, ) Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo à xác định trên (A) sao cho : à (A) = 0 à (A) , A A . 1.7 Xác suất trên (R,B(R)) . Giả sử P là một độ đo xác suất xác định trên B(R ) .Khi đó hàm số : F(x) = P(- ,x) , x R. Có các tính chất sau: a). F không giảm : x < y F(x) F(y) b). F Liên tục trái tại mọi điểm 5 c). F(- )= 0)(lim = xF x , F ( ) + = 1)(lim = + xF x . Ngợc lại ta có định lý sau : 1.8. Định lý. Giả sử F(x) là một hàm số tuỳ ý xác định trên R thoả mãn 3 điều kiện a), b),c)ở trên khi đó tồn tại duy nhất một xác suất P xác định trên B(R) sao cho : P[a,b) = F(a) F(b) , (a<b). 1.9. Hàm đặc trng. Định nghĩa: Giả sử X biến ngẫu nhiên . Khi đó, hàm số: tXiEtXEEet itx X sincos:)( +== , Rt . đợc gọi là hàm đặc trng của biến ngẫu nhiên X. 1.10. Tính duy nhất . Định lý: Hàm đặc trng của biến ngẫu nhiên, xác định hàm phân phối của nó một cách đơn trị. 1.11. Hệ quả 2. Giả sử nx , , 1 là các hàm đặc trng của n XXX , ., 1 tơng ứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để n XX , ., 1 độc lập là : = = n k kXnX ttt n 1 1 )(), .,( , n n Rtt ), ( 1 . 6 Phần II: Một số tính chất của biến cố độc lập 1. Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản . 1.1. Sự độc lập của hai biến cố. Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố độc lập nếu: P(AB) = P(A)P(B). 1.2. Sự độc lập của nhiều biến cố. Định nghĩa: Họ hữu hạn các biến cố n AAA , .,, 21 gọi là độc lập (trong toàn thể ) nếu với mọi nk 2 và mọi bộ k chỉ số nii k << .1 1 ta có: )() .()(), .,,( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP = . Họ tuỳ ý các biến cố I )( đợc gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó đều độc lập. Chú ý: Rõ ràng từ sự độc lập (trong toàn thể), suy ra sự độc lập từng cặp, nhng đều ngợc lại nói chung không đúng. Thật vậy, Ta lấy { } 4321 ,,, = với 4 1 )()()()( 4321 ==== PPPP khi đó { } 21 , = A , { } 31 , = B , { } 32 , = C . độc lập từng cặp, nhng không độc toàn thể, vì )()()() 2 1 ( 4 1 )( 3 CPBPAPABCP == . 1.3. - đôc lập. Định nghĩa: Giả sử >0. Hai biến cố A và B đợc gọi là - độc lập nếu )()()( BPAPABP 1.4. Sự độc lập của các đại số. Các đại số biến cố A 1 , ., A n đợc gọi là độc lập (trong toàn thể ) nếu họ bất kỳ n AA , ., 1 sao cho: i A A i , i =1, 2, , n là độc lập 1.5. Tính chất 1. A, B độc lập khi và chỉ khi )()/( APBAP = hoặc )()/( BPABP = 1.6. Tính chất 2. 7 Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn: a). , B độc lập . b). A, B độc lập . c). , B độc lập . 1.7. Bộ đề Borel Cantelli. Giả sử )( n A là dãy biến cố bất kỳ . a). Nếu = < 1 )( n n AP thì 0)sup( ) = n n ALimP . b). Nếu = = 1 )( n n AP và (A n ) độc lập thì: 1)sup( = n n ALimP với = = = 1 sup n nm mn n AALim 8 2). Một số tính chất khác của biến cố độc lập. 2.1. Mệnh đề. Giả sử A độc lập với chính nó. Khi đó P(A) hoặc bằng 0 hoặc bằng 1. Chứng minh: Ta có )()()( APAPAAP = (do A độc lập với A) == 0))(1)(()().()( APAPAPAPAP = = 1)( 0)( AP AP 2.2. Mệnh đề. Giả sử các biến cố A,B,C độc lập có xác suất khác 0 và khác 1. Khi đó AB, BC và AC không độc lập đôi một. Chứng minh: Ta có AB.BC =AC )().()()().().( BCPABPACPBCPABPBCABP == )().().()()()( CPBPBPAPCPAP = (do A, B, C độc lập). )()().()()()( BPBPCPAPCPAP 0))()(1)(()( = BPBPCPAP = = 1)( 0)()( BP CPAP = = = 1)( 0)( 0)( BP CP AP Trái với giả thiết. P(AB.BC) P(AB)P(BC) AB, BC không độc lập Tơng tự ta có: BC,CA không độc lập và CA, AB không độc lập. Từ lý luận trên ta có điều phải chứng minh. 2.3. Mệnh đề. Giả sử A, B, C là các biến cố thoả mãn: A độc lập với BC và với CB . B độc lập với AC, C độc lập với AB. A , B, C đều có xác suất dơng. Khi đó A, B, C độc lập. Chứng minh: Theo giả thiết ta có: )()()( BCPAPABCP = (1) )()()( ACPBPABCP = (2) )()()( ABPCPABCP = (3) 9 Và )()()()( )()()( )( )]([)]()()()[( BCPAPACPABP ABCPACPABP BCABP CBAPBCPCPBPAP += += = =+ )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()()()()( ACPCPAPBPAPABP ACPABPCPAPBPAP BCPAPACPABPABCPCPAPBPAP = +=+ +=+ Từ (2) và (3) suy ra: )( )()( )( CP ACPBP ABP = (*) Thay (*) vào (4) ta có : )()()()()( )( )()( ACPCPAPBPAP CP ACPBP = = )( )( )()()( )( )( )( CP ACP APCPAP CP ACP BP Suy ra: 0 )( )( )( = CP ACP AP Hay )()()( CPAPACP = (**) . Thay(**) vào (2) ta có )()()()( CPBPAPABCP = . Vậy a , b, c độc lập. 2.4. Mệnh đề. Giả sử A và B là - độc lập khi đó , , B; BA, ; , B cũng là - độc lập. Chứng minh: + , B là - độc lập. Thật vậy: Ta có : )()()\()( ABPBPABBPBAP == Mặt khác ta có: ).()()()](1)[()()( _ BPAPBPAPBPBPAP == Xét: P( B)-P( ) P(B) = ))(()()()( BAPBPABPBP + 10 (từ 1) (4)