Một số tính chất của miền iđêan chính

1 MỤC LỤC Trang Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Miền nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5. Độ dài môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6. Hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7. Môđun hữu hạn sinh, môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8. Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.9. Miền đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10. Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.11. Vành chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Một số tính chất của miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Đặc trưng miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Môđun tự do trên miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Môđun hữu hạn sinh trên miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5. Đặc trưng của miền iđêan có số chiều bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 MỞ ĐẦU Cho R là một miền nguyên. Ta nói rằng R là miền iđêan chính nếu mỗi iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi iđêan của R đều có thể sinh bởi một phần tử. Miền iđêan chính là một lớp vành cổ điển, quan trọng trong Đại số giao hoán. Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của R đều có thể phân tích được thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy. Chú ý rằng mỗi miền iđêan chính là một miền nhân tử hóa. Tuy nhiên tồn tại những miền nhân tử hóa không là miền iđêan chính. Chẳng hạn, vành đa thức 2 biến với hệ số trên một trường là miền nhân tử hóa nhưng nó không phải là miền iđêan chính. Vành Noether là lớp vành quen thuộc trong Đại số giao hoán. Ta biết rằng vành giao hoán R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. I.S.Cohen đã đưa ra một đặc trưng cho vành Noether: R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên tố của R đều hữu hạn sinh. Kết quả này cho phép ta nghĩ đến việc để nghiên cứu một tính chất nào đó trên tập tất cả các iđêan của R, ta có thể chỉ cần nghiên cứu tính chất đó trên tập các iđêan nguyên tố của R là đủ. Áp dụng tư tưởng đó Nông Quốc Chinh và Phạm Hồng Nam [3] đã đưa ra được một đặc trưng mới cho miền iđêan chính, có thể phát biểu như sau: Cho R là một miền nguyên. Khi đó R là miền iđêan chính nếu và chỉ nếu R là miền nhân tử hóa và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan chính. Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của bài báo [3] và trình bày một số tính chất của miền iđêan chính dựa vào [6]. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chia thành 2 chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2, nhằm 3 giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Chương 2, trình bày nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của miền iđêan chính dựa vào [3] và [6]. Luận văn được thực hiện từ tháng 2 năm 2010 và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn trân trọng của mình đến cô giáo hướng dẫn, người đã đặt ra vấn đề, tạo điều kiện và thường xuyên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Mai Văn Tư, TS. Chu Trọng Thanh, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Vinh, trường THPT 1/5 Nghĩa Đàn, đã thường xuyên giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố 1.1.1. Định nghĩa. Cho p là một phần tử trong miền nguyên R . (i) Phần tử p được gọi là phần tử bất khả quy nếu p khác 0, không khả nghịch và nếu p ab= thì a hoặc b là phần tử khả nghịch của R . (ii) Phần tử p được gọi là phần tử nguyên tố nếu p khác 0, không khả nghịch và nếu với mọi ,a b R∈ mà |p ab thì |p a hoặc |p b . (iii) Phần tử p được gọi là phần tử chính nguyên tố nếu iđêan chính ( )p là một iđêan nguyên tố khác 0. 1.2. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 1.2.1. Định nghĩa. Cho R là một vành, x là ẩn (còn gọi là biến). Xét chuỗi lũy thừa hình thức 0 1 0 ( ) , ( , ) n i n i i i f x a a x a x a x a R i ∞ = = + + ×××+ + ×××= ∈ ∀ ∑ . Tập hợp tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc R được ký hiệu là [[ ]]R x . Trên [[ ]]R x , với 0 ( ) i i i f x a x ∞ = = ∑ và 0 ( ) j j j g x b x ∞ = = ∑ thuộc [[ ]]R x xét các phép toán sau: (i) Phép cộng: 0 ( ) ( ) ( ) i i i i f x g x a b x ∞ = + = + ∑ . (ii) Phép nhân: 0 ( ). ( ) k k k f x g x c x ∞ = = ∑ trong đó i j k i j k c a b + = = ∑ . Khi đó [[ ]]R x trở thành một vành và được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức. 1.2.2. Định lý. Nếu P là một iđêan nguyên tố trong [[ ]]R x và gọi P ∗ là ảnh của P qua đồng cấu tự nhiên [[ ]]R x R→ , biến x thành 0 thì P là hữu hạn 5 sinh nếu và chỉ nếu P ∗ là hữu hạn sinh. Hơn nữa, nếu P ∗ sinh bởi r phần tử thì P được sinh bởi 1r + phần tử nếu x P∈ và P được sinh bởi r phần tử nếu x P∉ . 1.3. Miền nhân tử hóa 1.3.1. Định nghĩa. Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của R đều có thể phân tích được thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy. 1.3.2. Định lý. Mỗi miền nguyên R là UFD nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên tố khác 0 của R chứa một phần tử chính nguyên tố. 1.4. Môđun các thương 1.4.1. Định nghĩa. Cho M là một R − môđun, S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ta có vành các thương 1 | , r S R r R s S s −   = ∈ ∈     . Trên tích Đề các { } ( , ) | , M S m s m M s S× = ∈ ∈ ta xác định một quan hệ hai ngôi : như sau: ( , ) ( , )m s m s ′ ′ : nếu và chỉ nếu tồn tại t S∈ sao cho ( ) 0t s m sm ′ ′ − = . Khi đó quan hệ : là một quan hệ tương đương trên M S× . Ta ký hiệu 1 S M − là tập thương của M S× theo quan hệ tương đương : . Ký hiệu ( , ) m m s s = thì 1 | , m S M m M s S s −   = ∈ ∈     . Trên 1 S M − trang bị hai phép toán sau: (i) Phép cộng: , m m s m sm s s ss ′ ′ ′ + + = ′ ′ với mọi 1 , m m S M s s − ′ ∈ ′ . (ii) Phép nhân với vô hướng: , r x rx s u su × = với mọi 1 r S R s − ∈ v à 1 x S M u − ∈ . Với các phép toán trên, 1 S M − trở thành một 1 S R − − môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S . 6 1.4.2. Chú ý. (i) 1 S M − cũng có cấu trúc là một R −môđun với phép nhân vô hướng xác định bởi: 1 x r x rx r s s s = × = với r R∈ v à 1 x S M s − ∈ . (ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó \S R P= là tập nhân đóng và ta ký hiệu 1 S M − là P M . Môđun P M được gọi là môđun địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố P . (iii) Ta có hàm tử địa phương hóa 1 1 : mod mod . S R R M S M − − − → −W a 1.4.3. Mệnh đề. Cho :f L G→ là đồng cấu môđun trên vành giao hoán R , khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) f là toàn ánh; (ii) : P P P f L G→ là toàn ánh với mọi ( )P Spec R∈ (ký hiệu ( )Spec R là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành R ); (iii) : M M M f L G→ là toàn ánh với mọi iđêan cực đại M của R . 1.5. Độ dài môđun 1.5.1. Định nghĩa. (i) Một R −môđun M khác môđun không được gọi là một môđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là không và chính nó. (ii) Một dãy hợp thành của một R −môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con { } 0 1 0 n M M M M= ⊃ ⊃ ⊃ =L sao cho 1 / i i M M − là một môđun đơn, 1, ,i n= K . Số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. 1.5.2. Mệnh đề và Định nghĩa. Nếu một R − môđun M có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các 7 dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu là ( ) R l M . 1.5.3. Định lý. Cho R là vành giao hoán và 0 0 f g L M N→ → → → là dãy khớp ngắn của R −môđun và R −đồng cấu. Khi đó: (i) R − môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N đều có độ dài hữu hạn. (ii) Nếu , ,L M N có độ dài hữu hạn thì ( ) ( ) ( ) R R R l M l L l N= + . 1.6. Hàm tử 1.6.1. Định nghĩa. Cho R và S là vành giao hoán. Chúng ta nói rằng T là hàm tử hiệp biến từ các R −môđun vào các S − môđun nếu T là một quy tắc tương ứng được xác định bởi mỗi R − môđun M một S − môđun ( )T M sao cho mỗi đồng cấu :f M G→ của R − môđun có một S − đồng cấu ( ): ( ) ( )T f T M T G→ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với mọi đồng cấu R −môđun :f M G→ và :g G H→ thì ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )T g f T g T f T M T H= →o o . (ii) Với mọi R − môđun M ta có ( ) ( ) : ( ) ( ) M T M T id Id T M T M= → . Ta cũng nói rằng T là hàm tử nghịch biến nếu trong điều kiện (i) thay bằng: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )T g f T f T g T H T M= →o o . 1.6.2. Mệnh đề. Cho R và S là vành giao hoán, T là hàm tử hiệp biến (nghịch biến) từ các R −môđun vào các S − môđun. Khi đó: (i) Nếu :f M G→ là một đẳng cấu của R −môđun thì ( )T f là một S − đẳng cấu môđun và 1 1 ( ) ( )T f T f − − = . (ii) Giả sử T cộng tính, nếu :z M G→ là đồng cấu không thì ( )T z là đồng cấu không, vậy (0) 0T = (0 ở bên trái công thức này là R − môđun 0). 8 1.6.3. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên, với mỗi R −môđun ,M đặt { } { } ( ) : : \ 0 , 0M m M r R rm τ = ∈ ∃ ∈ = . Khi đó ( )M τ là một môđun con của M và được gọi là môđun con xoắn của M . Nếu { } ( ) 0M τ = thì M được gọi là môđun không xoắn, còn nếu ( )M M τ = thì M được gọi là môđun xoắn. Cho :f M G→ là một đồng cấu R − môđun. Ta thấy rằng ( ( ))f M τ ⊆ ( )G τ và định nghĩa ( ): ( ) ( )f M G τ τ τ → xác định bởi ( )( ) ( )f m f m τ = với mọi ( ).m M τ ∈ (Thực chất, ( )f τ là thu hẹp của f trên ( )M τ ). Như vậy theo cách xác định trên, τ trở thành một hàm tử hiệp biến, cộng tính từ các R −môđun vào các R −môđun. Ta gọi τ là hàm tử xoắn. Ta có: (i) Với mỗi R − môđun G thì môđun / ( )G G τ là không xoắn. (ii) Nếu họ ( ) G λ λ ∈Λ là một họ khác rỗng các R − môđun thì ( ) ( )G G λ λ λ λ τ τ ∈Λ ∈Λ ⊕ = ⊕ . 1.6.4. Mệnh đề. Cho R và S là các vành giao hoán và T là một hàm tử cộng tính (hiệp biến hoặc nghịch biến) từ các R −môđun vào các S − môđun. Với n∈¥ và gọi 1 , , n G GK là các R − môđun. Khi đó ( ) 1 1 ( ) n n i i i i T G T G = = ⊕ ≅ ⊕ của các S − môđun. 1.7. Môđun hữu hạn sinh, môđun tự do 1.7.1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R −môđun. Một tập { } i i I x ∈ , i x M∈ được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử x M∈ đều là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ { } i i I x ∈ , nghĩa là với mọi x M∈ thì i i i J x a x ∈ = ∑ , , , i a R J I J∈ ⊆ < ∞ . (ii) Nếu M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là 9 môđun hữu hạn sinh. 1.7.2. Định nghĩa. Tập con S của một R −môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức 1 1 0 n n r x r x+ + =L với 1 , , n x x S∈K đôi một khác nhau, ta rút ra 1 0 n r r= = =L . Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu môđun M có một hệ sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở của M . 1.7.3. Ví dụ. 1. Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở { } 1 . Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, ( )I R là một R −môđun tự do với cơ sở { } | , i e i I∈ trong đó i e có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại bằng 0. Cơ sở này gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của ( )I R . 2. Mỗi một không gian vectơ trên một trường K đều là một K − môđun tự do, vì nó luôn có cơ sở. 1.7.4. Mệnh đề. Cho M là một môđun trên vành giao hoán R . Khi đó tồn tại một R − môđun tự do F và một toàn cấu R − môđun :f F M→ . Ngoài ra, nếu M là hữu hạn sinh và sinh bởi n phần tử thì F là một R − môđun tự do với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử. 1.7.5. Mệnh đề và Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán khác 0, F là một R −môđun tự do với một cơ sở hữu hạn thì mọi cơ sở của F là hữu hạn và hai cơ sở bất kỳ của F đều có cùng số phần tử. Số phần tử của một cơ sở của F được gọi là hạng của F , ký hiệu là rankF . 1.7.6. Nhận xét. Cho 1 , , , n M G GK là các môđun trên vành giao hoán R và I là một iđêan của R . Nếu 1 n i i M G = ≅ ⊕ thì 1 1 n n i i i i IM I G IG = =   ≅ ⊕ = ⊕  ÷   . 1.8. Vành và môđun Noether 1.8.1 Định nghĩa. Cho M là một R − môđun (i) M được gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con 10 0 1 2 0 M M M= ⊆ ⊆ L của M đều dừng, tức là tồn tại n∈¥ sao cho 1n n M M + = =L (ii) Vành R được gọi là vành Noether nếu R là R − môđun Noether. 1.8.2. Mệnh đề. M là R −môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R thì M là một R − môđun Noether. 1.8.3. Mệnh đề. Cho R là vành Noether, giao hoán và I là iđêan của R , với mỗi R − môđun ,M đặt: { } ( ) | : (0 : ) (0: ) n n M n I M m M n I m I ∈ Γ = ∈ ∃ ∈ ⊆ = ¥ ¥ U gọi :f M G→ là một đồng cấu của R − môđun, ta có ( ( )) ( ) I I f M GΓ ⊆ Γ và xác định ( ): ( ) ( ) I I I f M GΓ Γ → Γ bởi ( )( ) ( ), ( ) I I f m f m m MΓ = ∀ ∈Γ . Như vậy, I Γ trở thành một hàm tử hiệp biến cộng tính từ các R −môđun vào các R −môđun. Chúng ta gọi nó là hàm tử I − xoắn. Ta có: (i) ( / ( )) 0 I I M MΓ Γ = với mọi R −môđun. (ii) Nếu ( )G λ λ ∈Λ là tập khác rỗng các R − môđun thì ( ) ( ) I I G G λ λ λ λ ∈Λ ∈Λ Γ = Γ ⊕ ⊕ . 1.9. Miền đóng nguyên 1.9.1. Định nghĩa. Cho R là một vành con của vành giao hoán S và s S∈ . Ta nói rằng s là nguyên trên R nếu tồn tại h∈¥ và 0 1 1 , , , h r r r R − ∈K sao cho 1 1 1 0 0 h h h s r s r s r − − + + + + =L . Như vậy mọi phần tử của R đều nguyên trên R . 1.9.2. Mệnh đề. Cho R là miền nhân tử hoá, K là trường các thương của R . Khi đó nếu u K∈ là nguyên trên R thì u R∈ . 1.9.3. Mệnh đề và Định nghĩa. Cho R là một vành con của vành giao hoán S . Đặt { : |R s S s ′ = ∈ là nguyên trên } R thì R ′ là một vành con của S chứa