Một số tính chất cơ bản của đại số lie lũy linh và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

MỤC LỤC Trang Lòi mở đầu Chương I Đại số Lie I Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa đại số Lie 1.2 Ví dụ 1.3 Đại số Lie 1.4 Iđêan đại số Lie 1.5 Một số tính chất đại số Lie II Các toán tử đại số Lie 1.6 Đồng cấu Lie 1.7 Vi phân đại số Lie 1.8 Ánh xạ ad 10 10 12 15 Chương II Đại số Lie lũy linh I Đại số Lie lũy linh ug$) 19 2.1 Định nghĩa 19 2.2 Ví dụ 19 2.3 Các tính chất 20 2.4 Đại số Lie lũy linh U{$) 25 II Định lý Engel 28 2.5 Định nghĩa chuẩn hóa 28 2.6 Định lý (Định lý đại số Lie lũy linh ) 30 2.7 Hệ 31 2.8 Định lý Engel 32 2.9 Một số ứng dụng định lý Engel 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LỜI MỞ ĐẦU Vào cuối Thế kỷ 19, cơng trình Xơphux Lie (1842-1899) Phêlix Klein (1849-1925) xuất kết họp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp xem cơng trình mở đầu lý thuyết mới, lý thuyết nhóm Lie đại số Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chun ngành Hình học -Tơpơ, Giải tích Đại số lại với Do đại số Lie phận quan trọng toán học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác tốn học Đặc biệt xem công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Hiện lý thuyết đại số Lie trình bày nhiều tải liệu viết nhà toán học tiếng Serre, Rupert Yu, Helgason, Patrice Tauvel, phần mở đầu trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chuyên ngành Hình học-Tơpơ trường đại học Nội dung luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie lũy linh số ứng dụng Luận văn chia làm hai chương: Chương I Đại số Lie Trong chương tác giả trình bày khái niệm, tính chất đại số Lie, số toán tử đại số Lie tính chất chứng Các tính chất chứng minh cách chi tiết Nội dung chương để phục vụ cho việc trình bày chương II Chương II Đại số Lie lũy linh Trong chương tác giả trình bày đại số Lie lũy linh cách có hệ thống Các mệnh đề, định lý chứng minh chi tiết bao gồm đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel Một số ứng dụng đại số Lie lũy linh trình bày nhận xét 2.3.3.; 2.4.2.; hệ 2.7 dấu hiệu nhận biết đại số Lie lũy linh mục 2.9 Luận văn hoàn thành khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong suốt thời gian học tập nghiên cứu, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ tận tình thầy, giáo thuộc khoa Toán, khoa Sau đại học Trường đại học Vinh, Ban giám hiệu thầy cô giáo Trường THPT Nam Đàn I ? bạn bè lớp Cao học KI7 ngành Hình học-Tơpơ Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô bạn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc thân đến thầy giáo tổ Hình học, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tác giả hồn thành khóa học luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LIE Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ, số tính chất đại số Lie, số tốn tử đại số Lie tính chất chúng Ta giả thiết K trường G không gian véc tơ K Như biết, G đại số ta trang bị thêm vào G ánh xạ song tuyến tính: [x,y\ thỏa mãn đồng thời: a [x,y] = -[y,x],\/x,yeG b [[x,yịz]+[[y [[* ,x],yJ = 0, Vx,y,z Eơ (hệ thức Jacobi) [,] gọi tích Lie hay móc Lie So chiều đại so Lie số chiều không gian véc tơ G Với G không gian véc tơ hữu hạn chiều mà dimG = n, cấu trúc đại số Lie G cho móc Lie cặp véc tơ thuộc sở {e 15e2, ,e } chọn trước G sau: n k=l Các hệ số cị gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.2 Ví dụ a) Với G không gian véc tơ ơclit thông thường chiều M 3, định nghĩa [ x , y } = X A y tích có hướng thơng thường G đại số Lie M Thật vậy: • G = M3 modun với phép tốn cộng nhân thơng thường • Phép tốn \x,y\ = X A y song tuyến tính Vx, y, z E M3 ta có: + XA(y + z) = XAy + XAz ; (ỵ + y)AZ = XAZ + yAZ + XA (Ẩy) = I.(xay ) ; ( Ẳ X ) A y = Ấ(iAẵy) Suy G = M3 đại số • Tính phản xứng thỏa mãn Vx, yel3 , XA y = -y A X • Bằng phép tính tốn trực tiếp, dễ chứng minh hệ thức Jacobi: [[x >y]>z] +[[y>z],x] + [[z,x],iy]= ( x Ay) A Z + ( y A Z ) A X + ( z A X ) Ay=0 b) Mỗi không gian véc tơ V K đại số Lie với tích Lie: [x,y]=0 ,\/x,yeV Đại số Lie gọi đại số Lie tầm thường c) M (M) = {A I A ma trận vuông cấp n M } với tích Lie: [A?B] - A.B - B.A đại số Lie Thật vậy: Với phép cộng, phép nhân thông thường ma trận tích định nghĩa M (M) đại số Ta kiểm tra điều kiện đại số Lie: • VA, Be M (M) thì: [A,B] = A.B -B.A = -(B.A-A.B)= - [B,A] • VA,B, CeM (M) thì: [[A,B],C] + [[B,C],A] +[[C,A]3] = [A.B - B.A,C] +[B.C - C.B,A] +[C.A - A.C,B] = (A.B - B.A).C - C.(A.B - B.A) + (B.c - C.B).A - A (B.c - C.B) + (C.A - A.C).B - B.(C.A - A.C) = ABC - BAC - CAB + CBA + BCA - CBA - ABC + ACB + CAB - ACB - BCA + BAC =0 Vậy M (M) đại số Lie í a b\ a^h^c e M f không gian véc tơ thực chiều d) Xét H = —a c -b -c V Xác định tích [A? B] = A.B - B.A ,VA,B eH Khi H đại số Lie 1.3 Đại số Lie Với G đại số Lie K Với M, N không gian G, ta ký hiệu: [M ?N] = ([ wí,«]|ffíeM,«eiVV( [M,N] khơng gian sinh M, N) Nhận xét: Neu A, B, c không gian véc tơ G thì: • [A + B,C] G Iđêan đại số Lie G - Mỗi Iđêan G đại số Lie G - Tâm G đại số Lie giao hoán 1.4.2 Mệnh đề Nếu M, N hai Iđêan đại số Lie G M D N, M+N, [M,NJ Iđêan G Chứng minh: M? N hai Iđêan đại số Lie G nên [G,M]cM ^G^ỊCÌV [M,JV]C[G,JV]C]V [ M , N ] = [ N , M ] c [G,M] cM , N] hay [M9 Af] đại số Lie G [G, [ M , N Ĩ ] < ^ [ M , [ N , G ] ] + [ N , [ G M ]] c= [M, N ] + [ N , M ] = [M, A^] Từ suy [M, ] Iđêan G Hề ỉđêan G 1.5 Một số tính chất đại số Lie 1.5.1 Định lý Cho G đại so Lie, Vx, y,z e [[x,y],z] = -[[.y,z],x]-[[z,x],.y] Mà ta có [[y, z], x] + [[z,y\, x] = Ịịy, z] + [ z , y \ , x] = [o, x ] = Suy [[j:,}']!z]=[[z,}'],)c] + [y,[z,x]],Vj:j,zeG +) Giả sử G đại số Lie với phép nhân [x,y] A đại số G Khi A ổn định với phép nhân [x,y] G Vì [x, y \ = — [ y , x \, Vx, y e A hệ thức Jacobi thỏa mãn A Vậy A đại số Lie với phép nhân \ x ^ y \ +) Giả sử G đại số Lie G/H - {x + H I xe G} Khi G/H đại số Lie với phép toán sau: +) (x+H) + (y+H) = (x+y) + H +) k(x+H) = kx + H +) [x+H , y+H] = [x y] + H Ta kiểm tra tính chất Jacobi G/H : V X + H , y + H , z + H E G/H ta có: [[x + H, y + H], z + H] = [[x , y] + H, z+ H] = [[x , y], z] + H [[y + H, z + H], X + H] = [[y , z] + H, x+ H] = [[y , z], x] + H [[z + H, X + H], y + H] = [[z , x] + H, y+ H] = [[z , x], y] + H Cộng vế theo vế ta được: [[x + H, y + H], z + H] + [[y + H, z + H], X + H] + [[z + H, X + H], y + H] = [[x,y],z]+H+[[y,z],x]+H+[[z,x],y]+H = [[X , y], z] + [[y , z ị , x] + [[z , x], y] + H = H Vậy hệ thức Jacobi G/H thỏa mãn Gọi (ơ.)5 / = 1, n họ n đại số Lie với tích Lie [x.?ẽy.] n Xét G = - Ịx = (X.) \ x e G J = l,/7 j tích trực tiếp (ơ.), i = \,n /=1 Dễ chứng minh G không gian véc tơ Định nghĩa tích G là: [,]: G X G —> G (x,y)H> [x,y] Với: [ x , y ] = ([(>,),(>,)]) = { [ x l , y l ] , [ x , y ] , , [ x n , y n ] ) , đóX = (xi, ,xn),y = (yi, ,yn);Xi,Ỵ i S G i , i = l , n Khi đó: • G đại số với phép nhân ĩ x y ị định nghĩa • Vx = (x.), y = (>'.) thuộc G ta có: [ x , y ] = ([(x,.),^,.)]) =-([ừ,),(x,)]) = -[>’^]- • Vx = (x.), y = ( y ) , z = ( z ) thuộc G ta có: [[x,y],z]= [([w,]),>(*,),] = [[z,y],x]+[y,[z,x]] Suy hệ thức Jacobi thỏa mãn n Vậy G =m đại số Lie với tích [ x , y ] - ([(*■ 7=1 Gọi G đại số Lie với phép nhân (x,3/) I—> [-X*,>"] Đại số đối G G° với tích (x, y } 1-^ x y = [ y , x ị Ta chứng minh G° đại số Lie Thật vậy: Vx, y , z E G° • x.y = [ y , x ] = - [ x , y ] ; y.x= [x,y] ^>x.y = -y.x • (x.y).z + (y.z).x +(z.x).y = [ z , x.y] + [x, y.z] +[y, z.x] = [z, [y, X]] + [X, [z, y]] + [y, [x, z]] = - [[y, x]s z] - [ [ z , y], x] - [[x, z], y] = Vậy G° đại số Lie 1.5.2 Mệnh đê G đại số kết hợp trường K Xác định tích [ x , y ] = x y - y x , V x , y e G Khi G đại so Lỉe _ ... Lie đại số Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chuyên ngành Hình học -Tơpơ, Giải tích Đại số lại với Do đại số Lie phận quan trọng tốn học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng. .. bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chun ngành Hình học- Tơpơ trường đại học Nội dung luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie lũy linh số ứng dụng Luận văn chia... II Đại số Lie lũy linh Trong chương tác giả trình bày đại số Lie lũy linh cách có hệ thống Các mệnh đề, định lý chứng minh chi tiết bao gồm đại số Lie lũy linh ỈẨ($)> định lý Engel Một số ứng dụng