liên phân số và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

Với lý đo đã nêu, luận văn này tập trung tìm hiểu các ứng dụng của liên phân số trong các bài toán: Biểu diễn số vô tỉ; tìm tiêu chuẩn tương đương giữa các số vô tỉ; giải phương trình Pe

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH

TRAN VAN TRUNG

để giải phương trình Diophante, biểu diễn số thực

Với lý đo đã nêu, luận văn này tập trung tìm hiểu các ứng dụng của liên phân số trong các bài toán: Biểu diễn số vô tỉ; tìm tiêu chuẩn tương đương

giữa các số vô tỉ; giải phương trình Pell

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Giới thiệu khái niệm và kết quả cơ sở của liên phân số

Chương 2 Ứng dụng của liên phân số trong việc biểu diễn số vô tỉ

Chương 3 Ứng dụng của liên phân số trong việc giải phương trình Pell Các bài tập minh họa được chọn một số bài toán của các đề thi toán

quốc gia và quốc tế có sử dụng công cụ liên phân số đề giải, góp phần xây

dựng một tài liệu tham khảo cho các giáo viên, học sinh ở nhà trường phổ

thông và sinh viên sư phạm toán học

Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học — PGS.TS Nguyễn Thành Quang - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ

để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô trong chuyên ngành Đại số và Lý

thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Dai học

Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tác giả xin cản ơn Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ, tạo điệu kiện

thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tâp và nghiên cứu của

chương trình đào tạo sau đại học

Xin cảm ơn Trường Trung học phố thông Chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận, gia đình, bạn hữu của tôi đã quan tâm giúp đỡ trong suốt thời

gian học tập vừa qua

Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, của thầy

cô và các bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

3 CHUONG 1

LIEN PHAN SO

1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước

1.1.1 Định nghĩa Cho hai dãy số

khi các biểu thức đều có nghĩa

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng phương pháp qui nạp theo ø Với n=0 hay n=1thi két quả đúng Giả sử định lý đúng cho ø Ta có

Ta thay P,Q, déu khong phu thuộc vào ö,„z, Do đó, từ hệ thức xác định

theo công thức truy hồi

Ta suy ra ở, =(—1)””b, b, theo nguyên lý qui nạp toán học

(¡) Được chứng minh tương tự ()

(7) Được suy ra từ () và (); còn (iv) duge suy ra tir (iii)

Qs Ó,, Ó,„., Ó,„,

1 n2 _ na P 1

(vi) 20,.0, |Qu2 Qn! QQ 3a”

Ching minh (i), (ii) va (iii) duge suy ra từ Định lý 1.1.4

(iv) Vi Q,=1,0,=a,21 va Q,,,=a,,,0,+0,, néndé dang suy ra Q, >n

Ta co

fa) ts mH _ fn < QQ.) QQ, nữ+Ù)

Vậy, với >0 nhỏ tùy ý cho trước, cho k > n đủ lớn ta có

Từ đây ta suy ra sự tôn tại gidi han lim—

(v) Được suy ra từ Dinh lý 1.1.4()

(vi) Tu |=" a — địa ——— ta suy ra

1.2 Lién phan s6 hiru han 1.2.1 Dinh nghia Cho a, 14 m6t s6 nguyén, con a,,a,,a, a, 1a cdc số

nguyên dương Khi đó, đại lượng [a,,a,,4;.a, 4„ | được ký hiệu như sau :

[“›.4,.a; a, 4,]= 4, + i

được gọi là liên phân số hữu hạn có độ dài n hay liên phân số cấp n

1.2.2 Định lý Mối số hữu tỷ có thé biểu diễn dưới dạng một liên phân số

hữu hạn

Chứng mình Giả sử x T trong đó a,beïl và ö >0 Để tìm ước chung lớn

nhất của ø và b ta thực hiện thuật toán Euclid :

a=a,b+r, với 0<ï#<b b=an+r; với <?;<ñ

ok a

Việt FL 22s]

Ví dụ Biểu diễn số = thành liên phân số

62=2.23+16 23=1.16+7 16=2.7+2 7=3.241 2=211 62

Cách thứ hai, từ biểu diễn cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành

phần cuối, và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng I

Ví dụ 2,25 =2 + : =[2:4]=[2:3.1

1.2.3 Định nghĩa Cho liên phân số hữu hạn [z,.a,,a;.a, a„] có độ dài

n Với &<n, liên phân số C, =[a,,a,„a,„a, a,| với độ dài &, được gọi là

giản phân thứ k của liên phân số đã cho

1.2.4 Định lý (Công thức tính giản phân) Cho liên phân số hữu hạn [4)34,,4,, 4,] Gid ste hai day sỐ nguyên dương Pos Pys Pass Py VỀ

qạ.4,.4, q„ xác định như sau:

P2 =4,P,+ Po * 92 = HQ, + AF

P=, Pys + Ppa? Ge = 491 4+%-2-Khi a6 gian phan thir k ,

€, =[ay:a,.a;,a;„ da, | được cho bởi công thức

D

q Chứng mình Ta chứng minh bằng qui nạp như sau

q, đq,¡ tứ, ;

Xét với k+ 1 Ta có :

om =[434,,4,, a 2 ks] ]=a, +

Vậy (1) cũng đúng với k + 7 Đó là điều phải chứng minh a

1.2.5 Định ly Voi moik = 1, 2, ., n, thi p,q,.,— p,.9, =(-D"

Chứng mình Ta sẽ sử dụng qui nạp để chứng minh

Với k= 1, thì p4¿— p4 =(4& +1)1—aya =1=(—D””

Vậy điều khắng định đúng khi k = 7

` Từ đó theo giả thiết qui nạp có:

Pode ~ PiIin =D =D = (DO

Vậy điều khẳng định cũng đúng voi k + / Theo nguyén li qui nap

suy ra điều khẳng định đúng với mọi &eil' tức là:

Đó là điều phải chứng minh m

1.2.7 Định lý Với các giản phân C, của liên phân số hữu hạn

[“,:a,„a;,a, a„] ta có các dãy bat đẳng thức sau :

Œ>C,>C, >

2) Œ<CŒ,<CŒ,<

3) Mỗi giảm phân lẻ C,„, đều lớn hơn mỗi giảm phân chẵn C,,

Chứng minh 1) Với mọi j = 1, 2, va theo Định lý 1.2.6 ta có

Đó là điều phải chứng minh m

1.2.8 Hé qua Voi moi k = 0, 1, ., n, ta co (p,,g,)=1

Chứng mình Giả sử ngược lại (p,,q,) = d, voi d > 1 Khi do, theo Dinh ly

1.2.5 ta cd p,q,.,- 2,14, =(-I)"", suy ra d là ước của 1 Đó là điều vô lý

Hệ quả được chứng minh.m

1.3 Liên phân sô vô hạn 1.3.1 Định lý Cho a,, a,.a, là đấy vô hạn các số nguyên với a,>0,i21 Đặt C, =[a,:a, a, | Khi đó tôn tai gidi han limC, = @

Chứng minh Theo Định lý 1.2.7

C, > Cy > C5 > > Cay > Cony 2n-1 2n+1 >

C, <C, <C, < <C,,, <G, < 2n-2 2n

Hon nita, day (C,,,,)la dãy giảm và bị chặn dưới boi C,con day (C,,) tang va bi chan trén boi C, Vay tồn tại

lim C,

ke 2ÊH a, koto 7 limC, =ø,

Ta cần chứng minh a, =a, That vay, theo Dinh ly 1.2.5

1.3.3 Tính chất Cho đạ;đ;đ› là các sỐ nguyên, trong đó a,>0 voi

moi i= I, 2, Xét liên phân số vô hạn @ =| dy3a,,d), | Khi đó, œ là số

- Giả sử ø, là số vô tỉ (k >0) khi đó a, =[ø,] là số nguyên, vì thế

a, #a, va a,—a, 1a so v6 ti, nên ứ,,¡ = tôn tại và là sô vô tỉ

a, — a

Theo nguyên lí quy nạp, suy ra @, 1a số vô tỉ với mọi & = 0, 1, 2,

Mặt khác, dựa vào tính chất phần nguyên, từ đ, =[ø,] suy ra a, S@, Nhưng do a, #@, nén a, <@,

Vẫn theo định nghĩa phần nguyên, ta có :

a,<a,+1>a,-a, <1

Vay, 06 0<a@,—a, <1, vi thé a; =~——->1 Do do ay, =|#,.]>

k k

Nói tóm lại, ta đã chứng minh được đạ,đ¡;đ; ,đ,, đều là các số

nguyên, trong đó đ, >0 với mọi ¿= 7,2,

Ta sẽ chứng minh răng với mọi &, thi a = [4u:4›4;, 4,Ø,,¡ |

=a, +(%—a)=a, =a

- Với k = 0, thi [4a ]= 40+ 2 =

- Với k = ¡, thì | a),a,,a@, |=a,+ =a,+

Le: ' | ° a+-L ° a,+(@, =4)

Dé thay lim —— =0, nén tacd a= lim C, k-»+e Vier k>+0

Nói cách khác, øz biểu diễn được dưới dạng liên phân số vô hạn 2) Bây giờ chứng minh biểu diễn đó là duy nhất:

Giả sử ta có các biêu diễn

a= [4a:4,.4: | = [b:b,.b;, |

Theo định nghĩa giản phân, ta có

Ví dụ: Biểu diễn 2/5 thành liên phân số vô hạn

Theo cách đã làm trong chứng minh Tính chất 1.3.4, ta có

Vay a) =2;4=a, =a, =4, =

Do a6 V5 =[2;4,4,4, ]

1.3.5 Tính chất sau đây của số vô tí Cho ø là số vô tỉ Khi đó tôn tại vô

số cặp số nguyên dương (h, m) sao cho:

Chon h= p,;m=q,, suy ta điều phải chứng minh =

1.3.6 Định nghĩa Ta gọi liên phân số vô hạn [a,;a,„a,, | là tuần hoàn

nếu day (a,) là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó tức là tồn tại số nguyên

dương ? và & với mọi ø> ta có a,=a, Số nguyên # được gọi là chu

kỳ Trong trường hợp đó ta viết:

ee ne ae Bài toán đặt ra là đặc trưng tất cả các số vô tỷ có biéu dién liên phân

số vô hạn tuần hoàn hay không? Ta có khái niệm sau :

1.3.7 Định nghĩa Số vô tỷ œ được gọi là số vô /ÿ bậc hai nếu nó là

nghiệm của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên

1.3.8 Mệnh đề Số thực œ là số vô tỉ bậc hai khi và và chỉ khi có tần tại

các số nguyên a, b, c với b > 0 và không chính phương, c#0 sao cho a+xb

€

19

Chứng mình Giả sử œ là số vô tỷ bậc hai Khi đó, tồn tại các số nguyén A,

B, C sao cho @ là nghiệm của phương trình 4x* + Bx+C=0 Vay:

Ngược lại, nếu z= thì @ là số vô tỷ và nó là nghiệm của

phương trình bậc hai c°x” —2acx + a” —b =0

1.3.9 Bố đề Nếu ø là số vô tỷ bậc hai, thì với mọi số nguyên r,s,t,u số

là số vô tỉ bậc hai.Đó là điều cần ching minh gy

Ta gọi số vo ty a _a=⁄b được gọi là /ên hợp của ø và ký hiệu là

Cc

>

a’

Nhận xét Nó, sé v6 ty bac hai a là nghiệm của phương trình

Ax” + Bx+C =0 fhì liên hợp của nó cũng là nghiệm của phương trình đó

1.3.10 Định lý Số vô ø có biểu diễn liên phân số tuân hoàn khi và chỉ

khi nó là số vô tỷ bậc hai

Chứng mình Trước hết ta chứng minh rằng nếu ø có biểu diễn liên phân

số tuần hoàn thì nó là số vô tỷ bậc hai

Giả sử

a= | 4,:4,54:5- 4, 14, ,,s2- 4] -

Vậy theo Bồ đề 1.3.9 ta có ø là số vô tỷ bậc hai a

Ví dụ sau đây minh họa cách tìm số vô tỷ bậc hai từ biểu diễn liên

phân tuân hoàn của nó

2

tim duoc

xanh

Để chứng minh phần ngược lại của Định lý 1.3.10, ta cần bố đề sau

1.3.11 Bỗ đề Nếu ø là số vô tỷ bậc hai thì nó có thể biểu diễn dưới dạng

_ P+Vd

Q , trong đó P, Q, d là các số nguyên sao cho (d— p”:9

ñ=34-6=so =8 2 cam <2? „su Ji,

B=l6-a-4=a0.= 28-4) sau, - #ĐỮR fa Jaa ñ=42-4=a0.=25 4® seø =®ĐÝ2Ẩ „cm Ji,

B=L6-d=so, =2? sa =2 Đ2R 4, =[a,]= - ñ=la-2=so, =? a 4ia, = V7 cm ai

Ta thay P = P,0,=Q, dodo a, =a, và dãy tuần hoàn chu kỳ 4 Ta có

6+428

4

đó, với M,,M, e mat,, ta có M,(M,z)=(M,M,)ø

2.1.1 Định nghĩa Hai số vô tỉ z và Ø được gọi là ương đương nếu có Memat, dé a@=MB

Kiểm tra được quan hệ này là quan hệ tương đương theo nghĩa thông

thường Xét số vô tỉ ø =[a,;a,„a, ] gọi #, =[4,:4,., i9 ¡ |, =0,],

2.1.2 Bổ đề Kỹ hiệu w,=| ” re“ Jn 0412, Khi đó

(i) A,emat, va M,=4,A 4,;

(ii) a@=M,a,,, hay a tương đưong @,.,

Chứng mình (i) A, € mat, là hiển nhiên Ta chứng minh M, = 4,4 4,

Q, ở 1

kết luận đúng cho n= 0 Giả sử kết luận đúng cho n — / Khi đó

băng phương pháp qui nạp theo ø Với n =0, M, -| ol }- A, Vay

A,A, 4, = M,,,A, (theo giả thiết qui nạp) va

Ø,v Ø,:/\(1 07 (4Ø,,+Ø,;, Qi) \Q Qa " Vậy kết luận đúng với mọi n

Pia +P, „

—>——>*,n>2 ta có œ= M,ơ, +O

nan n~2

va tacd P(d-Q,_,)=Q,(b-P,,) Do P, va Q, la nguyén tố cùng nhau

nên Q, chiahét d-Q,, ViQ,,2Q, vad<c= Q, nén |d-O,, <Q,-

Vậy d~Q,,=0 Khi đó, b—P,,=0 và ta có thể viết ø - 581 ha

Khi đó, œ và 8 là hai số vô tỉ trơng đương khi và chỉ khi có cặp số nguyên

dwong n, k dé a, = 8, hay dạ =b nth với h nào đó và mọi n đủ lớn

Ching minh Gia thiét c6 cap sé nguyén n,k >1 dé @, =f, =7, tad

a= [ a3) ] =| ạ;@i,s đ,.»7 |, 8= Lhụ:b, | =[bạ;b, b,.„7 |:

Theo Bồ đề 2.1.2, ta có z,z cũng như /,z đều là tương đương Vậy a

và Ø tương đưong

25 Nguoge lai, gid thiét a va /@ là tương đương Khi đó, ta có

tính chất tổng quát, ta có thể giả thiết cz+dj>0 Như trên, ta có

a=M,,a, Vay 8= MM, ,ư„ với

2.2.1 Biếu diễn liên phân số của số z

Biểu diễn của liên phân số chính tắc của số z:

Z =[3:7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84 .

1+

Từ biểu diễn đó, ta tìm ra được các số hữu tỉ gần đúng với z là:

3 22 333.355 1’? 7° 106’ 113’"

Các thành phan trong liên phân số chính tắc (với các tử số bằng 1) của số

z, không hề tuân theo một qui luật nào Tuy vậy các cách biểu diễn liên

phân số khác (không chính tắc) của z lại có qui luật:

2.2.2 Biểu diễn liên phân số của số e và các dạng khác của nó

Trong khi dạng liên phân số đơn giản của z không có qui luật, điều

này lại không đúng với trường hợp của e;

c=ẻ ={2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,

27

1

6+

1 1+

1 1+

1 1+ i 12+

1 I+ 1

29 UNG DUNG CUA LIEN PHAN SO

TRONG VIEC GIAI PHUONG TRINH DIOPHANTE

3.1.Phuong trinh Pell loai I Phương trình Pell loại I là phương trình Diophante có dạng

trong dé d là số nguyên dương

Phương trình này đã được nghiên cứu từ rất lâu trong lịch sử Toán

học và có nhiều ứng dụng trong việc giải nhiều bài toán Số học Tuy nhiên việc tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại I không đơn giản chút nào Chương 3 trình bày cách giải phương trình Pell loại I thông qua

việc sử dụng liên phân số vô hạn và liên phân số vô hạn tuần hoàn

Dùng công cụ liên phân số ta chứng minh được kết quả sau:

3.1.1 Mệnh đề

1) Nếu d là số chính phương thì (1) không có nghiệm nguyên dương

2) Nếu d là số nguyên âm, thì (1) không có nghiệm nguyên dương 3) Phương trình Pell loại I có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi d

là số nguyên dương và không phải là số chính phương

3.1.2 Dinh lý Giá sử (ab) là nghiện nhỏ nhất cùa phương

trinhx’ — dy? =1 nghia la b là số nguyên bé nhất để I + db” là số chính

phương Xét dãy (x„) và (v„) cho bở hệ thức truy hồi sau:

-x,,n=0,1, (I)

yọ =0;y, = b;y„,; =2by„¡ — y„„n =0,l, (2)

n+l

* =1;x, =4;x,,, = 2ax,

Khi đó (x, y,) la tất cả các nghiệm của phương trình Pell x” — dy’ =1

Chứng minh Phương trình đặc trưng của đãy (1) là x”-2ax + 7 =0 Ta có A'=da?- 1= đb? do đó có hai nghiệm là 4 ¡= a + b4, An.=a-bVd Ti

điều kiện ban đầu tìm được:

(a+ bVd)" +(a—bV dy" | (a+bVd)" -(a-bVdy"

Từ đó