Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN QUY TẮC TỔNG MỜ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn tơi để tơi hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, Thầy, Cơ dạy cao học chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 201Ậ Tác giả Trần Thị Thu Hiền Lời cam đoan Luận văn kết thân tơi đạt q trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy Trong nghiên cứu, hồn thành Luận văn tơi tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng năm 201Ậ Tác giả Trần Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1 1.1.1 Không gian Banach không gian đối ngẫu 6 1.1.2 Hàm khả vi không gian Banach ✓ Anh xạ đa trị 1.1.3 Hàm lồi Hàm Lipschitz 1.2 Dưới vi phân Fréchet 1.2.1 Định nghĩa tính chất Chương 32 Nón pháp Fréchet 1.2.2 Nón pháp vi phân Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng 2.1 Quy tắc tổng mờ không địa phương Quy tắc tổng mờ địa phương 1 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Nguyên lý cực trị Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Lí chọn đề tài Trong chương trình đại học, biết vai trò đạo hàm, vi phân (cổ điển) việc khảo sát hàm số biến số, nhiều biến số, đặc biệt việc khảo sát cực trị chúng, vấn đề đặt hàm số xác định không gian vô hạn chiều (các phiếm hàm) hay hàm, phiếm hàm khơng khả vi theo nghĩa cổ điển (cịn gọi khơng trơn) cực trị chúng khảo sát nào? Để giải vấn đề này, nhà toán học đề xuất nhiều cách tiếp cận, phải kể đến cách mở rộng khái niệm đạo hàm, vi phân, nói cách khác đưa cơng cụ có tính tương tự đạo hàm Một công cụ quan trọng vi phân hàm lồi Khái niệm có ứng dụng tốt lớp hàm lồi Để nghiên cứu hàm không lồi, chẳng hạn lớp hàm nửa liên tục cần tới loại vi phân khác vi phân Clarke, vi phân Prechet, vi phân Mordukhovich, (xem L3J-LQJ)Khái niệm vi phân có số cách tiếp cận như: thông qua giới hạn; thơng qua hàm thử (theo nghĩa nhớt); thơng qua nón pháp., (xem LBJ-L9J)Với khái niệm vi phân tay, cần thiết lập quy tắc tính, kết mơ tả tính chất hàm thơng qua vi phân tương ứng (nếu có thể) với kết biết giải tích cổ điển Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề đó, hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng, mạnh dạn chọn đề tài: “Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng Nội dung Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, cần thiết cho việc trình bày nội dung Chương 2, bao gồm: Một số khái niệm kết Giải tích hàm, khái niệm vi phân Frechet Chương trình bày quy tắc tổng mờ không địa phương Bor- wein, Treiman, Zhu ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Clarke, Ledyaev nguyên lý cực trị Mordukhovich Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương Borwein, Treiman, Zhu ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Clarke, Ledyaev nguyên lý cực trị Mordukhovich Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu vi phân - Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương - ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng nguyên lý cực trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Dưới vi phân ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan kết tổng quát, chi tiết hóa chứng minh có thể, lấy ví dụ cụ thể để minh họa Dự kiến đóng góp Các đóng góp luận văn trình bày hệ thống kiến thức vi phân quy tắc tổng mờ khơng địa phương; cách sử dụng quy tắc nghiên cứu tính chất hàm số Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian Banach khơng gian đối ngẫu Mục trình bày khái niệm, tính chất khơng gian Banach không gian liên hợp Cho X không gian vectơ thực Định nghĩa 1.1 (Xem 11], trang 11-12) Một chuẩn X, kí hiệu ||.||, ánh xạ từ X vào R thỏa mãn tiên đề sau: Với Vw, V € X a e R (i) ||u|Ị > 0; (ii) IMI = u = 0; (iii) (iv) ||au|| = \a\ IMI ; ỊỊm + v|| < ỊỊw|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác) Số ||m|| gọi chuẩn u e X Một không gian vectơ X với chuẩn ||.|| xác định không gian gọi không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||.|Ị) hay đơn giản X Mệnh đề 1.2 (Xem |I], trang 12) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn ||.|| Với Vx, y G X, đặt d{x,y) = \\x - yII Khi d metrỉc X Định nghĩa 1.3 (Xem IPP, trang 21) Giả sử (X, ||.ỊỊ) không gian định chuẩn x0 không gian X Dễ dàng thấy x với chuẩn cảm sinh từ chuẩn X không gian định chuẩn gọi không gian không gian định chuẩn (X, ||.||) Nếu x0 đồng thời tập đóng khơng gian X khơng gian định chuẩn Xo gọi khơng gian đóng khơng gian X Định nghĩa 1.4 (Xem [IỊ, trang 12) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn ||.|| Nếu X với metric d(x,y) = ||x — yII không gian metric đủ X gọi khơng gian Banach Nếu khơng nói thêm luận văn này, khơng gian Banach kí hiệu X với chuẩn ỊỊ.||X ỊỊ.|| Một số ví dụ khơng gian Banach Ví dụ 1.5 Khơng gian X := M khơng gian Banach trường số thực với chuẩn ||m|| = |w| , Vm G Ví dụ 1.6 Khơng gian l bao gồm tất dãy số X = (xn) cho - ^I 12 chuôi Fn| hội tụ với chuấn ? khơng gian Ví dụ 1.7 Không gian C[a,b] gồm hàm liên tục (giá trị thực phức) đoạn [a,b] với chuẩn 11/11 = max|/(:r)| không [a,6] gian Banach Định nghĩa 1.8 (Xem ỊỊỊ|,trang 61) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn II II Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> R gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X Nếu X* phiếm hàm tuyến tính liên tục X X £ X giá trị X* X kí hiệu {x*,x} Dễ dàng chứng minh rằng, tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X với phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành khơng gian vectơ (tuyến tính) thực Ta gọi khơng gian không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) X kí hiệu X* Định lý 1.9 (Xem ỊỊỊI) Không gian X* với chuẩn xác định l(z*,z)l F * = sup I I INI không gian Banach Định nghĩa 1.10 (Xem |ỊT], trang 73) Không gian liên hợp không gian X* gọi không gian liên hợp thứ hai không gian định chuẩn X kí hiệu X** Như Định lý 1.11 (Xem [1], trang 85) Cho X không gian Banach, X** không gian liên hợp thứ hai X Khi đó, tồn phép đẳng cự tuyến tính từ X vào X** Định nghĩa 1.12 (Xem [CEJ, trang 85) Không gian định chuẩn X gọi không D p d n ( x ) = {ж* e N F ( Q , X ) : ||ж*|| < 1} Định lý 1.85 (Xem |T|) Các khẳng định sau đúng: (i) Nếu X* € D ~ f ( x ) , t h ì ( x * , -1) € N F ( e p i f , ( x , f ( x ) ) (ỉỉ) Nếu f(x) > ịi ( x * , Л) e N p ( e p i f , (X , (iii) A < Nếu X Ф xét (ii), A = f(x) G D p f ( x ) Chương Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng 2.1 Quy tắc tổng mờ khơng địa phương Có số cách để phát triển cơng cụ giải tích vi phân để áp dụng cho hàng loạt vấn đề Borwein, Treiman Zhu sử dụng quy tắc tổng mờ không địa phương công cụ bản; Clarke, Ledyaev, Stern Wolenski lại sử dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng cơng cụ chìa khóa; Ioffe bắt đầu với quy tắc tổng mờ địa phương, Mordukhovich Shao chọn ngun lí cực trị cơng cụ Thực tế tất kết tương đương, khai thác vấn đề theo hai cách khác (a) Nguyên lí biến phân trơn (b) Bổ đề tách sử dụng Crandall Lions chứng minh tính nghiệm nhớt Trong Luận văn này, đề cập tới mối liên hệ với xuất phát điểm quy tắc tổng mờ không địa phương Trong chương này, khái niệm kết ta xét hàm nửa liên tục Nếu khơng nói thêm ta ln giả thiết X không gian Banach thực, X* không gian đối ngẫu X Ta gọi đường kính tập s số diam()S') := sup {||a; — yII : x , y € S } Định lý 2.1 (Xem [BJ (Quy tắc tổng mờ khơng địa phương)) Cho ỉii • ••; ỈN '■ X —► R hàm nửa liên tục bị chặn với {N > < +00 y f n { y n ) : d i & m ( y , /at) < ĩ ] —' z Khi đó, với £ > 0, tồn xn,n = 1,N x*n € D p f n ( x n) thỏa mẫn diam(zi, , X N) • max(l, II^ĨỊỊ ,\ \ x * N \ \ ) < £ (2.1) Và N *■—' n=1 cho 77—> í N E/.(*.) < liminí { T f n ( y n ) : diam(y1,y N ) < ĩ ị *■—' V n=1 / > + £ (2.2) N e ^ x*n + E B x* (2 71 = Chứng minh Với số thực ỉ > ta định nghĩa N N U i { y i , , y N ) := ỵ f n { y n ) + i \ \ V n - y m t 71=1 n,m = Mị := infcưj Khi Mị dãy tăng bị chặn N í lim inf < f n ( x n ) : diam(xi,X ) < T Ị > 77—> ' V 71=1 N > Đặt M := lim Mị Để ý khơng gian tích X N (với chuẩn Euclide) i—>oo có chuẩn trơn Fréchet tương đương Cho i , áp dụng định lí nguyên lí biến phân trơn Định lý|l.7l|đối với hàm (jjị, ta nhận hàm ệị e c lồi điểm x n i , n = 1, N cho ùúị + ệ i đạt cực tiểu địa phương ( x i Ị ị, ,x N ĩ i), IIV ộ i { x i Ạ , x ì ) \ \ < e / N u ) i { x i Ạ , X N Ạ ) < inf CƯ; + ỹ < M + 7i Nị i (2.4 Với n , ta có hàm y^ *£71—1,ĨJ Vỉ 3'n+l, 11 •••■> -EN1 Ại %n — l,ii Ui *^n+l,i) •••1 *EN,i) đạt cực tiểu địa phương y = x n ị Do vậy, với n = 1,2 li • X •••)%N,i) {x ịj n N ^ ' '^7II* II m =1 Từ suy N nên tổng vế trái phải triệt tiêu, hay N € Ỵ^x* n i + £Ì?X* n=l {x Ạ n ẽ Dpf n N Theo định nghĩa Mị có ^ ^^ /„ r\ n,m= ' ' M ị / < ^ i / Ì x l , i ì •••5 x N , i ) lẠi 1%A «2 n,m = l Viết lại (2.5) dạng i^m=1 ||a;nji - xm>i||2 < 2(M; - Mi/2 + y) ta dẫn tới N lim i Ỵ2 \\x nẠ - x mji \\ = i— >00 '^ n,m=l Vì vậy, lim diam(^iíj, ,x N ì i) = lim diam(a:i j, , x ĩ->oc NịÌ ) ■ max(||a;* II ,\\x* N ị \\) = " ’ " II I " Do đó, { N y'/n(:rn) : diam( x i , , x N ) < T Ị > í — ẩ M n= , N < lim inf ^2fn{xnji) = lim inf Lúị(xiẠ, ,x N j i ) < M ỉ—>oc f * ỉ—>00 71=1 hay {N V fn{x n ) ■ diam(xi,X N ) < 77 n= > Lấy x n = x n ị x* n = x* n i , n = l,2 ,./v với i đủ lớn ta có điều phải chứng minh □ Nhận xét 2.2 Các điều kiện /i, ,/jv : X —»• M hàm bị chặn {N y^ĩniVn) ■ diãm(y1, ,yN) < 77 > < oo 71=1 > thiếu quy tắc tổng mờ khơng địa phương Điều thơng qua hàm M Hai hàm f i ( x ) = X f ( x ) = không thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương /i khơng bị chặn Hai hàm f i ( x ) = Kết (2.3) quy tắc tổng mờ không địa phương tương tự quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường Tuy nhiên, kết (2.1) cho biết điểm x n gần nhau, điều khác với quy tắc tổng mờ địa phương, khẳng định rằng, điểm gần với điểm cực tiểu tổng (với số giả thiết bổ sung) Lưu ý rằng, kết (2.1) cho phép ta kiểm soát "cỡ" đạo hàm tham gia tổng Điều hữu ích ứng dụng Kết luận (Ị2.2Ị) cho ta điếm tựa vào giá trị hàm nửa liên tục Trong ứng dụng, điều thường mang lại thơng tin gián tiếp việc xác định vị trí điểm x n Ta minh họa điều qua ví dụ sau Ví dụ 2.3 (Tính trù mật tập điểm khả vi) Cho / : X —> M hàm nửa liên tục dưới, X G dom(f) £ € (0,1) Áp dụng Định lý 2.1 /1 = / + ỏx+B /2 = Ố/XỊ ta có: tồn X ị x cho||Ж1 - х \\ < £, О G D p f i f a i ) + D p ỏ { x } ( x 2) + Е В Х * x fi(xi) + ỗ{x}(x2) < f(x) + e Bất đẳng thức cuối suy x = X X i phải thuộc phần X + B x nên D p f i ( x i ) — D p f ( x 1) Chứng tỏ, d o m ( D p f ) trù mật d o m ( f ) Đây kết mạnh Cụ thể đạo hàm hàm lõm tự động đạo hàm nên từ suy hàm lõm liên tục không gian trơn Fréchet khả vi Fréchet trù mật 2.2 Quy tắc tổng mờ địa phương Quy tắc tổng mờ địa phương kết quan trọng lý thuyết tốn tối ưu hóa sở để xây dựng quy tắc tính vi phân Như đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa phương cần phải có giả thiết bổ sung Định nghĩa 2.4 (Nửa liên tục đều) Cho : X —>• M hàm nửa liên tục E tập đóng X Ta nói (/ij •••) Ĩ N ) nửa liên tục E ự ***5 J iV Ị ^ N inf J f n ( x ) < xeE *—J n= N ^2fn{Xn) ■inf Xn - Xm\\ < V : X n , X m G E , n, m = 1, ,N lim I I к n= * Chúng ta nói (/1,fN) nửa liên tục địa phương X G N П d o m ( f n ) (/1, / j v ) nửa liên tục hình cầu n= đóng tâm X Nhận xét 2.5 Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (/1; ,/at) nửa liên tục địa phương X (a) Tất cả, trừ hàm /n liên tục lân cận x \ (b) Có hàm f n có tập mức compact lân cận X Định lý 2.6 ( Xem [6J Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh) Cho f i j -1 ỈN '■ X —> M hàm nửa liên tục Giả sứ ( / i , / i v ) nứa N liên tục địa phương X Y2 ỉn đạt cực tiểu địa phương X n= Khi đó, với £ > , tồn xn € x+eB x*n e D p f n ( x n ) , n = , N cho Ifn{xn) - fn{x)I < £, n = , , N v N X í n=1 diam(^i, ,^iV).max(||xĩ|| , | | x ^ | | ) < £, < •N ^2ĩn{yn) : II Vn Um II < 'Hi Vnì Vm G X + hB x ,n,m = • n= < lim inf Lấy e' < min(£:/2, e2/8N ) số dương đủ nhỏ cho N N £/»(*) < inf{E /n(z/n) • IIVn Um II — & ) n=1 n=1 Vn,Vm ex + hBx, n , m = J V } (2.6) + E2/8N2 Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương Định lý đ với f n + II- — ж||2, n = 1, N ta có điểm x n , n = 1, N y* G D F ( f n + II- - x\\ )(xn)) = JDF/n(xn)+V||.||:i(æn-æ) thỏa mãn diam^!, ,x n ) < diam(zi, , X ) IIy*n\\ < e', n = 1, ,N N v (2 N cho N lân cận yếu * V X*, tồn xn V lân cận yếu * X* Cố định r > L không gian hữu hạn chiều X chứa X cho L + 2rBx* c V Vì X * € Dp(^2n = I f n ) { x ) nên tồn c — hàm lồi g cho V g ( x ) = X * Ỵ2n=i ỉn ~ đạt cực tiểu địa phương X Chọn < ĩ ] < min(e,r) cho \ \ y — x|| < 77 < £, ta có ||v 1/2 к ф l Đặt A:= { e k / l : k , l = 1, 2, } и {0}, В := {(ßfc + e i / к ) / I : к , ỉ = 1,2, }и{0} Khi Л tập đóng А п в = {0} Đặt /i := ỏ А /2 := Ỗ B ■ Ta chứng tỏ rằng, với 77 > 0, (/1, /2) khơng nửa liên tục địa phương Ĩ]B Thật vậy, l số nguyên cho 2/1 < 77 cho Xị r = e r / l ] x r = (e r + e i / r ) / l ||Ж1Г — ж2г|| —>• f i ( x i r ) = /2(^2г) = OVr Nếu u r dãy cho \\x nr — wr|| 0,n = 1,2 ta phải có u r Ỷ v00 ^ n=l ĩ Tuy nhiên, (/1, /2) nửa liên tục địa phương, theo Định nghĩa 2.4 vế phải không âm vế trái Quy tắc tổng mờ địa phương nói chung không hàm nửa liên tục khơng gian vơ hạn chiều khơng có điều kiện bổ sung, xem ví dụ Ví dụ 2.10 Lấy X := Ỉ e ỵ sở trực chuẩn X Khi X e X biểu diễn X = I x { k ) e k - Đặt P n (x) := J2l =1 x(k)e k , ta có ||Рт(ж)|| < || Рп(ж)|| với m < n, nói riêng \\p n \\ < với n Do Xk —> к —> oo nên II^ỊỊ^ := max{Ịxjfc(A:)Ị : < к < oo} tồn Hơn nữa, với k cho I ж ( ) I = IMIoo’ ta c° \ x ( k ữ ) \ = ||Pfc0+i(a:) - Pfc0(íc)|| < Ị|zỊ| Do II • Изо hàm Lipschitz với số Lipschitz Đặt F n = { x : ||ж|| < 3, x ( i ) > x ị i ) = i mod 7^ ỉ < 3n } Ta xét hai hàm ỉi(x) '■= X = 0; - ị ị y ị ị ^ X = ì e n _ i + y, y e F n ; +00 vã trái lại ✓ f ( x ) := != _ +00 X = 0; \\у\\ ж X = ịe 3n_2 + trái lại у, у e Fn; Rõ ràng o m ( f i ) П dom(/2) = {0} nên theo tính biểu diễn qua sở suy /i + ĩ đạt cực tiểu Từ định nghĩa ta thấy /ivà /2 bị chặn —7 II • II^ Lipschitz với số Lipschitz Bây /1 nửa liên tục Giả sử x n e dom(/i) x n —»■ X Nếu X — giả sử x n Ỷ x n — Kfi _1 + Vu , V n e F K Do k n -> 00 y n -> nên - ự j = - l l ỉ / n l l o o -> Nếu a: ^ k n Ỷ * 00 ■ Thật vậy, k n 00 với i ta có x n ( i ) —>• n — > 00 x n ( i ) = với i < k n — Do giới hạn theo chuẩn giới hạn theo tọa độ phải trùng hai tồn tại, nên x n — ¥ theo chuẩn Do k n - / } 00 nên k n = n ữ với n đủ lớn (bởi vì, n 7^ m , với y m € F m , y n € F n ) Vì nên x n = ^-e3íỉ0_i + y n , y n € F no với n đủ lớn Điều chứng tỏ y n —»• ỹ G Fno Từ tính liên tục chuẩn II |Ị00 ta suy h{ x n) ^ - l l v l L = /.(*)• Điều chứng tỏ /1 nửa liên tục Tương tự, ta có /2 nửa liên tục Tiếp theo, ta chứng minh với Xị € B X* € D p f i ( x ị ) ta có IIa:* + ÍC2II > Thật vậy, gọi Ọ ị hàm tương ứng với X ị , ỉ = 1,2 định nghĩa đạo hàm Fréchet Để ý D p f i ( 0) = n /1(0 + -e3n-i) - /1(0) < n -]= - = -y/n n \ l y/n ... pháp vi phân Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng 2.1 Quy tắc tổng mờ không địa phương Quy tắc tổng mờ địa phương 1 Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Nguyên lý cực trị Kết luận Tài... 77—> Kết (2.3) quy tắc tổng mờ không địa phương tương tự quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường Tuy nhiên, kết (2.1) cho biết điểm x n gần nhau, điều khác với quy tắc tổng mờ địa phương, khẳng... Chương Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng 2.1 Quy tắc tổng mờ khơng địa phương Có số cách để phát triển cơng cụ giải tích vi phân để áp dụng cho hàng loạt vấn đề Borwein, Treiman Zhu sử dụng