Cho ri là một tập khác rỗng trong X và X € íỉ.
Tương tự như Định nghĩa[î~42]của dưới vi phân Fréchet, ta định nghĩa nón
pháp Fréchet của íỉ tại X là tập
NF( Í Ì , X) = { x * G X * : lim sưp’ u — < 0},
Л I Iй- ^ 1 1
trong đó lí 4 Ï nghĩa là и tiến đến X với и G ri.
Tập NF( Í Ì , X) là một nón lồi và đóng. Thật vậy, lấy X*, y * G
NF( Í Ì , X), với t e [0,1], Vm € X , ta có t ( x * , u — x ) lim sup —-—-—-— < 0, "д" 1к - ж | | (1— t ) ( у * , и — X ) lim sup ^ w < 0. ŨÃ* \ \ u - x \ \
Cộng hai giới hạn, ta được
l™ {tx* + { l - t ) y \ u - x ) lim sup---j-j ---г---> 0. Suy ra t x * + (1 — t ) y * G NF( Ũ , X ) . Do đó NF( Ç } , X ) là tập lồi. Hãy xét hàm chỉ ổn của íỉ: {0, với u € íỉ
00, với u Ệ Q .
Định lý 1.72 (Xem [7]. Định lý 1.18). Cho Q c X . Khi đó,
N F ( n , x ) = D ~ ổ n { x ) .
Định lý 1.73 (Xem [7]. Định lý 1.19). Nếu ũ c X là tập lồi, thì
N p ( Q , X ) = {X * G X * : ( x * , u — x ) < 0, Vm G íỉ}. Định lý 1.74 (Xem [ĩ]. Định lý 1.20). C h o ũ c X . K h i đ ó , NF( Í Ì , X ) = ÌYf(c1íì, x). Định lý 1.75 (Xem [2Ị. Định lý 1.21). Cho íì c X là nón. Khi đó, N p ( í ì , Ằ x ) = N F ( Q , X ) v ớ i m ọ i X > 0 v à N p ( Q , 0) = { x * e X * : ( x * , u ) <0, VĩiG íì}.
Định lý 1.76 (Xem [2]. Định lý 1.22). Cho = ÍỈ1n ÍỈ2- Khi đó
Npịíh, x') = N p ( í h i , X ) -|- N F { n 2 , X).
Định lý 1.77 (Xem [7]. Định lý 1.23). Cho / : X —> R là hàm khả vi Fréchet
tại X. Nếu f đạt cực tiểu địa phương trên Q tại X thì - V f ( x ) e N F ( Q , x ) .
Định lý 1.78 (Xem [7]. Định lý 1.24). Bao hàm dưới đẫy là đúng:
NF{ Í Ì , X ) c {z* e X* : ( x * , u ) < 0, \/u G T„{x|fi)} (1.9)
Nếu X là không gian phản xạ thì (1.9) trở thành đẳng thức.
N p ( f ì , x ) khi và chỉ khi tồn tại một hàm g : X —¥ Ш sao cho
(ỉ) g(u) < 0 với и G í ỉ và g(x) = 0 /
(ii)g là hàm khả vi Fréchet tại X và V g ( x ) = X * .
Định lý 1.80 (Xem [7]. Định lý 1.26). N ế u íĩ' D í ì t h ì
N p ( ư , x ) с N F ( ỉ l , x )
Định lý 1.81 (Xem [ĩ]- Định lý 1.27). Cho íĩ e X và íỉ = ÍỈ1+0.2,
X = X ị + x 2 , X i e f l ị , i = 1 , 2 . K h ỉ đ ó
Np (íỉ, ж) с Np(rỉi, ж) -b Np(Г^2)ï).
Định lý 1.82 (Xem Щ. Định lý 1.28). Cho ù = {(cư,cư) : ÜJ € íỉ}, X = (ж, X). Khi
đó
N F ( n , x ) = { ( x l , x * 2 ) G X * X X * : x l + x * 2 G N F ( n , x ) }
Định lý 1.83 (Xem [7]. Định lý 1.29). Cho X = Xị X x2,íỉ = ÍỈ1 X ÍỈ2, X = (æi, X2), Xi G íỉị с Xi, ỉ = 1, 2. Khi đó
N p ( f l , x ) = N p ( f l i , x ) X Np(£ì2, x ) .