Có một số cách để phát triển các công cụ của giải tích dưới vi phân để có thể áp dụng cho hàng loạt các vấn đề. Borwein, Treiman và Zhu đã sử dụng quy tắc tổng mờ không địa phương như một công cụ cơ bản; Clarke, Ledyaev, Stern và Wolenski lại sử dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng là công cụ chìa khóa; Ioffe bắt đầu với quy tắc tổng mờ địa phương, trong khi đó Mordukhovich và Shao chọn nguyên lí cực trị như một công cụ chính. Thực tế chỉ ra rằng tất cả các kết quả cơ bản đều là tương đương, đều khai thác vấn đề theo hai cách khác nhau
(a) Nguyên lí biến phân trơn
(b) Bổ đề tách đã được sử dụng bởi Crandall và Lions trong chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt.
với xuất phát điểm là quy tắc tổng mờ không địa phương. Trong chương này, các khái niệm và các kết quả ta chỉ xét trên các hàm nửa liên tục dưới. Nếu không nói gì thêm thì ta luôn giả thiết X là một không gian Banach thực, X* là không gian đối ngẫu của X .
Ta gọi đường kính của một tập slà số
diam()S') := sup {||a; — yII : x , y € S } .
Định lý 2.1 (Xem [BJ. (Quy tắc tổng mờ không địa phương)). Cho ỉii • ••; ỈN '■
X —► R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới với
> < +00.
Khi đó, với bất kì £ > 0, tồn tại xn,n = 1,N và x*n € D p f n ( x n) thỏa mẫn
diam(zi,..., XN) • max(l, II^ĨỊỊ ,\ \ x *N\ \ ) < £
(2.1)
V à
N í N
E/.(*.) < liminí { T f n ( y n ) : diam(y1,y N ) < ĩ ị
*■—' 77—> 0 *■—' n=1 V n=1 / s a o c h o N 0 e ^ x*n + E Bx*. 71 = 1
Chứng minh. Với số thực bất kì ỉ > 0 ta định nghĩa
N N
U i { y i , . . . , y N ) := ỵ 2 f n { y n ) + i \ \ V n - y m t
71=1 n,m = 1
và Mị := infcưj. Khi đó Mị là một dãy tăng và bị chặn bởi í N
lim inf < f n ( x n ) : diam(xi,XN) < T Ị > .
77—> 0 ' V 71=1 > (2. > + £ (2.2) {N y 2 f n { yn) : d i & m ( y1, 2/at) < ĩ ] z —'
Đặt M := lim Mị. Để ý rằng không gian tích X N (với chuẩn Euclide)
i — > o o
cũng có một chuẩn trơn Fréchet tương đương. Cho mỗi i , áp dụng định lí nguyên lí biến phân trơn của Định lý|l.7l|đối với hàm (jjị, ta nhận được một hàm ệị e c1 lồi và điểm x n i , n = 1, N sao cho ùúị + ệ i đạt được cực tiểu địa phương tại ( x i Ịị, ...,xN ĩi), IIV ộ i { x i Ạ , xN ịì ) \ \ < e / N và
1 1
u ) i { x iẠ, XN Ạ) < inf CƯ; + ỹ < M + 7-
i i
Với mỗi n , ta có hàm
y ^ *£71—1,ĨJ Vỉ 3'n+l, 11 •••■> -EN1 Ại %n — l,ii Ui *^n+l,i) •••1 *EN,i)
đạt một cực tiểu địa phương tại y = x n ị . Do vậy, với n = 1,2
N l i • •••)%N,i) ^ ' '^7II* II {xnẠ ẽ Dpfn {xnịj. m=1 Từ đây suy ra N
nên tổng ở vế trái phải triệt tiêu, hay
N
0 € Ỵ^x*n i + £Ì?X*.
n=l
X
N lẠi ^ ^ ^ /„ r\ n,m= 1 ' ' 1 % A « 2 n,m = l
Viết lại (2.5) dưới dạng i^m=1 ||a;nji - xm>i ||2 < 2(M; - Mi/2 + y) ta
dẫn tới
N
lim i Ỵ2 \\xnẠ - xmji\\2 = 0. i—
>00 ' ^
n,m=l
Vì vậy,
lim diam(^iíj, ...,xN ìi) = 0
và
lim diam(a:i j, . . . , xN ị Ì) ■ max(||a;* II ,\\x*N ị\\) = 0.
ĩ->oc " ’ " II I " Do đó, {N y'/n(:rn) : diam( x i , . . . , xN) < T Ị > í—ẩ n= 1 , N
< lim inf ^2fn{xnji) = lim inf Lúị(xiẠ, ...,xN j i) < M
ỉ—>oc f * ỉ—>00 71=1 hay {N V fn{xn) ■ diam(xi,XN) < 77 n= 1 >
Lấy xn = xnị và x*n = x*n i, n = l,2...,./v với i đủ lớn ta có điều phải chứng minh. □
M
Theo định nghĩa của Mị chúng ta có
Nhận xét 2.2. Các điều kiện /i,...,/jv : X —»• M là các hàm bị chặn dưới và
{N
y^ĩniVn) ■ diãm(y1,...,yN) < 77 > < oo
71=1 >
không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương. Điều này có thể chỉ ra thông qua các hàm trên M. Hai hàm f i ( x ) = X và f 2 ( x ) = 0 không thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì /i không bị chặn dưới. Hai hàm f i ( x )
= <5{0}(:r) và Ĩ 2{ % ) = ^{Ì}^) cũng không thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì thiếu điều kiện
lim inf {/1(2/1) + /2(2/2) : \ \ y i — 2/2II < v } < °0.
77—> 0
Kết quả (2.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự như trong quy tắc tổng mờ (địa phương) thông thường. Tuy nhiên, kết quả (2.1) chỉ cho chúng ta biết các điểm x n là gần nhau, điều này khác với quy tắc tổng mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với điểm cực tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý
rằng, kết quả (2.1) còn cho phép ta kiểm soát "cỡ" của các dưới đạo hàm tham gia trong tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận
(Ị 2 . 2 Ị ) cho ta điếm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng, điều này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm xn. Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
Ví dụ 2.3 (Tính trù mật của tập các điểm dưới khả vi). Cho / : X —> M là một hàm nửa liên tục dưới, X G dom(f) và £ € (0,1). Áp dụng Định
lý 2.1 đối với /1 = / + ỏx+Bx và /2 = Ố/XỊ ta có: tồn tại X ị và x2sao cho||Ж1 - х2\\ < £, О G D p f i f a i ) + D p ỏ { x } ( x 2) + Е В Х* và
f i ( x i ) + ỗ{ x }( x2) < f ( x ) + e .
Bất đẳng thức cuối suy ra x2 = X và do đó X i phải thuộc phần trong của X + B x
nên D p f i ( x i ) — D p f ( x 1). Chứng tỏ, d o m ( D p f ) trù mật trong d o m ( f ) . Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tự động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các không gian trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.