+oo nếu trái lại, \
trong đó l = 1,2,....
Khi đó (/15/2) không nửa liên tục dưới đều địa phương tại 0. Thật vậy, với mọi h > 0, gọi l là một số nguyên dương nhỏ nhất sao cho J < h.
Ta có
0 = infxehB(/i + /2)(z)
- 2> liminf {/i(a;i) + f 2 { x 2) : ||a;i - x2\\ < r ] , x ! , x 2 e h B } = — > liminf {/i(a;i) + f 2 { x 2) : ||a;i - x2\\ < r ] , x ! , x 2 e h B } = —
rỊ—>0 l
Dễ thấy rằng D p f 1 ( e i / l ) = D p f 2 ( ( e ị + ei/ ỉ ) / l ) = X * nên quy tắc tổng mờ địa phương thỏa mãn tại X = 0.
2.3. Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng
Với X € X và Y c X , kí hiệu [ x , Y ] là bao lồi của {x} u Y, tức là
[ x , Y ] : = { x + t ( y - x ) : t e [0,1] , y e Y } v ầ d ( Y, x ) := inf {\\x - y\\ : y
e Y} là khoảng cách từ X tới Y. Bản chất của bất đẳng thức giá trị trung bình (GTTB) đa hướng được minh họa qua trường hợp lồi sau đây của kết quả đó. Định lý 2.12 ( Xem [ÖJ. (Bất đẳng thức GTTB đa hướng lồi)). Cho X là
một không gian Banach, và cho Y c X là một tập khác rỗng, đóng và lồi, X e X và f : X -ỳ- M là hàm lồi liên tục. Giả sử f bị chặn dưới
trên [X , Y ] v à
in Ị f ( y ) - f ( x ) > r . y C Y
K h i đ ó , v ớ i b ấ t k ì £ > 0 , t ồ n t ạ i z e [X, Y ] v à z * e d f ( z ) — d ư ớ i vi phẫn lồi của f tại z, sao cho
r < ( z * , y — x ) + £ \\y — x\\ , \/y e Y. Hơn nữa, chúng ta có thể chọn z thỏa mẫn
f { z ) < inf / + |r| + £ .
[*,ÿ]
Chứng minh. (1) Trường hợp đặc biệt.
Giả sử
inf f(y) > f(x) và r = — £ < 0.
ytY
Đặt f := f + ô[x У]. Khi đó / bị chặn dưới trên X. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
£ < in f f { y ) - f { x ) .
y £ Y
Theo nguyên lý biến phân Ekeland, tồn tại 2 sao cho:
7(z) < inf/ + E (2.9)
Và
/(w) > f { z) - E \ \ U - Z \ \ . Điều đó có nghĩa là ánh xạ
и -> f { u ) + 5[Ж1у](м) + e II U - Z
đạt cực tiểu tại z . Theo (2.9), f ( z ) < +00 nên z ẽ [ж,у]. Do [ x , Y ] lồi nên theo quy tắc dưới vi phân của tổng các hàm lồi, tồn tại £ d f ( z )
sao cho 0 < ( Z * , U J — z ) + £ ||cj — zII , Vcư e Có thể lấy £ nhỏ hơn (nếu cần), ta có với 0J Ỷ z ,
0 < ( z * , U ) — z ) + £ IItư — 2II , Vcư e [a;, y] \ {z} . (2.11) Hơn nữa, từ (2.9) ta có f ( z) = f ( z) < /(z) + £ < infy / nên z Ệ Y. Do
đó ta có thể viết z = X + t ( y — x ): trong đó t G [0,1). Với bất kì y G Y, đặt cư = y + t ( y — y ) Ỷ z trong (2.11) ta nhận được
0 < ( z * , y - x ) + e \\y - z|| , Vy € Y. (2.12) (2) Trường hợp tổng quát.
Xét Ixl với chuẩn ||(a;,r)|| = ||a;|| + \r\. Lấy e' € (0,e\2) đủ nhỏ sao cho inf f ( y ) - f ( x ) > r + e '
y € Y
và đặt F ( z , t ) := f ( z ) — ( r + e')t. Rõ ràng F là nửa liên tục dưới, lồi trên X