X R và bị chặn dưới trên [(x,0),y {1}] Hơn nữa,
2.4. Nguyền lý cực trị
Định nghĩa 2.14 (Hệ cực trị). Cho fỉi, íỉ2 là các tập đóng trong không gian Banach
X và X G fil П ÍỈ2- Khi đó X gọi là điểm cực trị địa phương của hệ {íỉi,fi2} nếu
tồn tại một lân cận и của X và các dãy {ữjfc} с X, i = 1,2 sao cho aik —> 0 với ỉ =
1, 2 và
(ÍĨ! - al k) П (ÍĨ2 - a2 k) п и = ф, v/c = 1,2... (2.19) Ta nói các tập ÍỈ1, fỉ2 sinh ra một hệ cực trị (địa phương) {fỉl5 fỉ2} nếu nó có ít nhất một điểm cực trị địa phương.
Định lý 2.15 (Xem [BJ. (Nguyên lí cực trị)). Giả sử rĩi,ÍỈ2 là các tập đóng trong X, X G ÍỈ1 П fi2 là một điểm cực trị địa phương của hệ {rỉi,ÍỈ2} • Khi đó, với
mọi E > 0, tồn tại xn G fĩn п X + sB và x*n G N p ( Ç l n , x n ) , sao cho
l l ^ ĩ l l 511ж211 ^ 1 — £ và l lxĩ + ^2ỊỊ < e. (2.20)
Chứng minh. Ta kí hiệu các phần tử của X X X bởi z — ( z 1 , z 2 ) . Gọi X là một điểm cực trị địa phương của (ÍỈ1, fi2) và x + h B x с и , trong đó и là một lân
cận của X như trong định nghĩa của điểm cực trị địa phương. Giả sử e ' > 0 là một
số dương tùy ý. Lấy a G X sao cho II a II < e ' và fỉifì(rỈ2+«)n(^+/ỉ,Bx) = ф . Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương
của Định lí 2.1 đối với các hàm f i ( z ) := ỐqiXq2(2;) + ị \ z 1 — z 2 — a|| và /
2{ z ) := \ \ z — (ж, ж ) I I2 ta có: tồn tại x n và £ D p f n ( x n ) , n = 1 , 2 thỏa mãn
Và
||ж2- ( х , ж ) | | < f i { x í ) + f 2 { x 2 )
< lim inf {/i(yi) + /2(2/2) : II Vi - 2/2II < Г ) : У1: У2 e (x , x) + /ißjfxjf} + e' 77->0 < f i ( x , x ) + f2{ x , x) + e' = Ị|a|Ị + e' < 2e' (2.22) sao cho ll£i + C2II < £/-
Khi e' đủ nhỏ, các hệ thức (2.21) và (2.22) suy ra \\zị — ж < min( h , e ) .
Lấy e' nhỏ hơn nữa, ta còn có ỊỊ£iỊỊ < e và ỊỊ£2Ị| < £• Hơn nữa, < 00
nên x\ € £li,xị E fỈ2 và do đó ||ж| — x\ — a|| > 0. Do ( £ ỉ , £ i ) = £1 E
D p f i ( x 1) n ê n x \ : = — V l l - l l (x \ — x \ — à ) € N p ( ß i , X i ) và x *2 :=
£1 + V ||.|| (x} — x \ — a ) € TVp(rỈ2J3?2) thỏa mãn kết luận của định lí. □ (2.23
Kết luận
Luận văn đã tìm hiểu và trình bày hệ thống các kiến thức về dưới vi phân, tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương và các ứng dụng của nó để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng và nguyên lý cực trị.
Do điều kiện thời gian hạn chế và trình độ có hạn nên Luận văn không tránh khỏi việc có những thiếu sót nhất định. Kính mong nhận được những góp ý đóng góp của các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp.
Tài liêu tham khảo
[A]Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.
[2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), G i ả i tích lồi, NXB Khoa học kỹ
thuật Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (1979), Giải tích hiện đại: 1, 2, 3, NXB Giáo dục.
[5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[B]Tài liệu tiếng Anh
[6] J. M. Borwein and Q. J. Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus
with applications, Journal nonlinear analysis, Vol. 38, p. 687-773.
[7] A. Ya. Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp. 3325-3358.