Quy tắc tổng mờ địa phương là một kết quả quan trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng các quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Định nghĩa 2.4 (Nửa liên tục dưới đều). Cho : X —>• M là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập con đóng của X . Ta nói bộ (/ij •••)
Ĩ N ) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu
ự 1 5 ***5 J iV Ị ^ N inf J 2 f n ( x ) < xeE *—J n= 1 N ^2fn{Xn) ■ I I Xn - Xm\\ < V : Xn, Xm G E , n, m = 1, ...,N к n= 1
Chúng ta nói (/1,fN) là nửa liên tục dưới đều địa phương tại X G
N
П d o m ( f n ) nếu (/1, / j v ) là nửa liên tục dưới đều trên một hình cầu n= 1
đóng tâm tại X nào đó.
lim inf
Nhận xét 2.5. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (/1; ...,/at) là nửa liên tục dưới đều địa phương tại X là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm /n liên tục đều trong một lân cận của x \
(b) Có ít nhất một trong các hàm fn có các tập mức compact trong một lân cận của
X.
Định lý 2.6 ( Xem [6J. Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh). Cho f i j -1 ỈN '■ X
—> M là các hàm nửa liên tục dưới. Giả sứ ( / i , / i v ) nứa N
liên tục dưới đều địa phương tại X và Y2 ỉn đạt cực tiểu địa phương tại X.
n= 1
Khi đó, với mọi £ > 0 , tồn tại xn € x+eB và x*n e D p f n ( x n ) , n = 1, N s a o c h o If n { xn) - f n { x) I < £ , d i a m ( ^ i , . . . , ^ i V ) . m a x ( | | x ĩ | | , | | x ^ | | ) < £ , n = 1 , 2 , N v à N í n=1 • N ^2ĩn{yn) : II Vn Um II < 'Hi Vnì Vm G X + hB x ,n,m = 1 •. n= 1 Lấy e' < min(£:/2, e2/8N2) là một số dương đủ nhỏ sao cho
N N £ / » ( * ) < i n f { E / n ( z / n ) • I IV n U m I I — & ) n=1 n=1 (2.6) Vn,Vm ex + hBx, n , m = 1 J V } + E2/ 8 N2. X < < lim inf
Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương của Định lý
với f n + II- — ж||2, n = 1, N ta có các điểm x n , n = 1, N và y* G
D F ( f n + II- - x\\2)(xn)) = JDF/n(xn)+V||.||:i(æn-æ) thỏa mãn diam^!, ...,xn) <
diam(zi, . . . , XN) . IIy*n\\ < e', n = 1, ...,N
N
sao cho
N
Ệ
n=l
Kết hợp (2.6)và (2.8) ta có ỊỊ^n — ;cỊỊ2 < e2/4iV và do đó chuẩn của vy^-ã) bị chặn bởi s / 2 N . Vì thế cho nên x * n := y* — V||.||2(xn—x ) G D p f n i x n) thỏa
mãn kết luận của định lý. □
Kết quả này là quy tắc "mạnh" vì nó khẳng định các dưới đạo hàm gần nhau theo chuẩn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Quy tắc tổng mờ yếu sau chỉ yêu cầu các hàm thành phần nửa liên tục dưới nhưng kết luận thì liên quan đến tôpô yếu* và các giả thiết về tính cực tiểu được nới lỏng. đ 2 (2. v < £
Định lý 2.7 (Xem [5J. Quy tắc tổng mờ địa phương yếu). Cho /i,f N : X — ► R l à
c á c hàm n ử a liên t ụ c d ư ớ i . G i ả s ử X * € E D p ( Y 2N= 1 f n ) (x) - K h i đó vôi bất kì £ > 0 và bất kì lân cận yếu * V của 0 trong X*, đều tồn tại xn <E X + eB, x*n € D ~ f n ( x n ) , ĩ i = 1, N s a o c h o I f n { x n ) - f n { x ) \ < £ , ||x* II diam({xi,X N } ) < £ , n = 1, 2, N v à
N
e£< + v.
Tí— 1
Chứng minh. Giả sử £ > 0 và V là một lân cận yếu * của 0 trong X*. Cố định r > 0 và L là một không gian con hữu hạn chiều của X chứa X sao cho L1 + 2rBx* c V. Vì X * € Dp(^2n= I f n ) { x) nên tồn tại một c1— hàm lồi g sao cho V g ( x ) = X *
và Ỵ2n=i ỉn ~ 9 đạt cực tiểu địa phương tại X . Chọn 0 < ĩ ] < min(e,r) sao cho \ \ y — x|| < 77 < £, ta có ||v<7(z) — V g ( y ) \ \ < r và gọi ỏ L là hàm chỉ của
L . Khi đó