đạo hàm cảm sinh trên đại số và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

Trang 1

MUC LUC

Muc luc 1

Lời nói đầu 2

1 Đại số và đạo hàm trên đại số 4

11 Dais6 2.0 Q Q Q QOQ Qui 4

1.2 Dao ham trén dais6 2 ẶẶ SỐ 11

2_ Đạo hàm cảm sinh trên đại số và ứng dụng 16

2.1 Dais6cdmsinh 2.2 16

2.2 Đạo hàm cảm sinh trên đạisố 22

2.3 Dại số Lie trên đu xxx va 26

Kết luận 30

Trang 2

No

LOI NOI DAU

Hiện nay lý thuyết đại số đã được trình bày trong nhiều tài liệu được viết bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Serre, Helgason, và một phần mở đầu của nó được trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp học chuyên ngành Hình học-Tôpô ở các trường đại học

Đại số và đạo hàm trên đại số, có nhiều ứng dụng trong các lý thuyết Toán học hiện đại Đạo ham cam sinh trên đại số cũng đã được nghiên cứu bởi A.Ya.Sultanov

Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về đạo ham cam sinh trên đại số Vì vậy luận văn được mang tên "Đạo hàm cẩm sinh trên đại số và ứng dụng"

Luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 Đại số và đao hàm trên đại số

Chương này được xem như phần trình bày các kiến thức cơ sở để tạo điều kiện cho việc trình bày các kiến thức ở chương 2 Vì vậy chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại số, đồng cấu đại số và các tính chất của nó

Chương 2 Đạo hàm cẩm sinh trên đại số và ứng dụng

Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn: trong chương này, chúng tôi trình bày chỉ tiết các khái niệm và tính chất về đại số cảm sinh, đạo hàm cảm sinh trên đại số; phát biểu, chứng minh một số tính chất của đạo hàm cẩm sinh trên đại số Ngồi ra, chúng tơi cũng trình bày một số

ứng dụng của đạo hàm cảm sinh trên đại số vào đại số Lie trên B

Luận văn này được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại

Trang 3

Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu, cảm ơn các Thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ bảo những vấn đề có liên quan đến đề tài

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo khoa toán,

khoa sau đại học và Ban giám Hiệu trường Đại học Vĩnh, cán bộ giáo viên

trường THPT DTNT Tương Dương 2, tập thể K17 Hình học-Tôpô, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ động viên chúng tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Trang 4

CHUONG 1

DAI SO VA DAO HAM TREN DAI SO

Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của đại số, đạo hàm trên đại số; đồng cấu đại số, ánh xạ vi phân trên đại số

1.1 Đại số

Như ta đạ biết (xem [3|), một môđun Œ trên vành giao hoán, có đơn vị 1 (1 Z 0) khác không, đó là một nhóm cộng Aben Œ với phép nhân với một vô hướng

KxG—G (av) > aa Thỏa mãn các tiên đề

1 a(a+ y) = ax + ay; VaC€ K;+,€ GŒ 2 (a+ b)x = ax + ba; Va,b€ K;+zcŒ

3 (a.b)+ = a(bz); Va,b€ K;zcŒ

4 1a =a; VeeG

Trang 5

1.1.1 Định nghĩa (Xem [I]) Giả sử G là một môdun trên trường K khi đó Œ được gọi là một đại số trên K, néu Œ được trang bị một phép toán mới ”e”: G xG — Œ, được xác định bởi (a,b) > ab, (phép todn ” e” : được gợi là tích trong) và có tính chất song tuyến tính Nghĩa là:

+) a(b+c) = ab+ac; Ya,b,c EG

+) (a+ b)c = ac + be; Va,b,c € Œ +) (aa)b = a(ab) = a(ab); VabcŒG.acK

Ta chú ý rằng nếu tích trong có tính chất giao hoán thì Œ được gọi là đại số giao hoán; Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì Œ được gọi là đại số kết hợp; Nếu ab = 0:Va.b € GŒ, thì Œ được gọi là đại số tầm thường

1.1.2 Ví dụ

Trang 6

Vay figt+h)=fotfh: Vf.ghe L(G) (f+ a)h)(x) = (f +9)(2)h(2) f(x) + g(x) h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x)) fh)(x) + (gh)(ô) fh+gh)(2); Vx ơ a ¬ ¬ Vậu (ƒ + g)h = ƒ.h+g.h: VƑ,g.h€ L(G) ((œ./)g)(œ) — (a./)(z)ø(z) = œ.J(z)ø(z) = f(x).a.9(x)) = f(x)(a.g)(2) = (f(a-g))(«) (a(f.g))(2): Va e G Vậy (a.ƒ)g = ƒ(œ.g) = o(fg): — Vƒ,g,h€ L(G);YacR Do dé L(G) là một đại số trên TR 2 Giá sử M la mot da tap kha vi thuc n chiéu Khi đó, tập hợp các hàm số kha vi trén M la mét dai sé trén R

Trang 7

- Phép tich trong ä(M) x8(M):M —› (f,ø(+) =—> ƒ(3).ø(z); Vƒ,øg€ 8(M) Tu kiểm tra §(M) là một đại số trên IR Thật uậy: *)|[J(ø+h)|&) =_ ƒ(z)(g+ h)(z) ƒ(z)|g(œ) + h)] ƒ(z)ø(+) + ƒ(+)h(+) (ø)(z) 1 (h)Œ) (fg + fh)(«); Vae M =[ƒ(w+h)] = fo+ fh: vf,ø.h €8(M) *)| + ø)hJ(z) = [(f + a)h] *)|(œ./)ø](+) > (a.J)g (+ ø)(z)h(+) [f(x) + ø(+)]h(+) ƒ(+)h(z) + g(x)h(+) (ƒh)(+) + (gh)(+) (ƒh + gh)(+): fh+ gh; (a.f)(x)9(x) a f(x).9(x) a(ƒg)(): a(fg) f(a.9); Vƒ,ø,€ 8(M Vc EM Vƒ.g,h € 8(M) Vee M );Va ER Vay 3(M) la mét dai s6 trén R

x) Nhu ta da biét (Xem [2]) gid sit G 14 mot dai s6 trén K,A 1a mot môđun con của Œ Khi đó A dudc goi 1A dai s6 con cia G nếu Va,b € A thi

a.b€ Â

Trang 8

con và với moi a € A: € G thi ax € A(wa € mathbbA)

*) A dugc gọi là Iđêan của Œ nếu A vừa là Iđêan trái, vừa là Iđêan phải *) Bây giờ ta ký hiệu G/H = {g+ H|g e G}: trong đó ïT là một Iđêan của Œ, ta đưa vào G/H một phép cong (gi: + H) + (go + H) = (øi 1 ø) + H và phép nhân vô hướng (øi + FÏ)(ø + TT) = (m0) + H: với m + H € G/H và %œ + HGGJH: khi đó G/H được gọi là đại số thương của đại số Œ theo Idéan H

1.1.3 Định nghĩa Giá sử G,, Gy la hai dai 86 trén truéng K Mét anh

za tuyén tinh f tu mddun G, sang médun Gy được gọi là một ánh xạ đồng

cau ctia dai s6 G, sang dai s6 Gy Néu voi moi x1, 29 € G; thi f(x1.22) = f (21) f (x2) 1.1.4 Mệnh đề (Xem|2|) Cho ƒ : Œ¡ —> G¿ là toàn cấu đại số Khi đó: 1 f71(0’) 1a Idéan cia G4 2 Gi/f0) &G Chitng minh: 1 Ta da biét f-!(0’) là một môđun con của Œ¡ V+ € ƒ~!(0'),Vụ € Gy ta có: f(xy) = ƒ(+)ƒ(0) = 0'f(y) — 0

(do z € ƒ~!(0)) Từ đó suy ra z € ƒ~!(0) Tương tự œ € ƒ~!(0') Vậy ƒ~!(0) là Iđêan của Gi

2 Xét ánh xạ

h:GŒ¡/ƒ }1(0) — Gs

Trang 9

— Ta chỉ ra h là đồng cấu "Thật vậy: Với mọi a,b € Gi, với Vơ, Ø8 € Ta có h(a(at ƒ }'(0))16( 1 Ƒ '(0))) = h(aa + Bb + f-'(0')) = ƒ(œa+ 5b) = af(a) + Bf(b) = ah(at f7'(0')) + Bh(b + f7'(0)) ((a+ ƒ'(0))(6+ ƒ }(0))) = hlab+ f-'0)) = f(ab) = fla)f(b) = h(a+ ƒˆ(0)).h(b + f-'(0"))

Vậy h là đồng cấu đại số

— 'Ta chứng minh h là song ánh

Trang 10

10

Chitng minh:

Trước hết ta chitng minh A/H 1a Idéan cia G/H That vay, ta da biết K/H 1a médun con của G/1H Với mọi (+ † H) € K/H và | He G/1H, ta có (z+ H)(u+ H) = zụ + H€ K/H (vì zụ K) (+ H)(œ+ H) = ya + He KJH (vì a € K Vay K/H la Idéan cia G/H Dat h:G/H 3 G/K e+H »w «+k I Khi dé

- h là ánh xa tuyén tinh That vay, Vr, y € G,Va, 8 € K, ta co:

Trang 11

11 h((œ {+ H)(u+ H)) = h(xzu+ H) = zU+K = (z+K)(u+ K) = h(x+ H).h(y+ H) Vậy h là đồng cấu - h là toàn ánh "Thật vậy với mọi z + € G/# thì z€ Œ nên h(z † HH) =xz 1 K Vậy h là toàn ánh Ta có Kerh = {+z+ H|h(z + H) = K} = ‡z+ Hị|xz + 1= K} = {x+H|x € Kk} = N/H

Áp dụng kết quả (2) của mệnh đề (1.1.4) ta suy ra Œ/K (G/H)/(K/H) 1.2 Đạo hàm trên đại số

1.2.1 Định nghĩa (Xem|3]) Giả sử Œ là đại số trên trường K Mot

phép đạo hàm D : Œ -> Œ là một ánh xạ K tuyến tính, có tính chất D(a.y) = D(«).y+ «-D(y)

1.2.2 Vi du Trong không gian RẺ, vi tich wy = x Ay lay x € R? va cố

dinh x Xét anh xa

D,:R? —

Trang 12

R6 ring Dy la tuyén linh Mặt khác, uới mọi z, € RỲ, ta có: D,(y.z) = «A(yAz) = —w(zA #)— 2(ery) = (zAz)A+(zAw)Az = =¿(2)A—z^ D;(w) = D,(Az+w^ D,(z) = D,(y).2 + y-Dz(2)

Vi vay D, la mét dao ham trén R’

1.2.3 Ménh dé (Xem{3]) Ky hiéu D;, D> 1a cdc Anh xa đạo hàm trên đại số G Khi đó 1 aD, + 6D2,Va, 6 € K la mot anh xa dao ham 2 D, 0 Dz — ¿co Dị cũng là ánh xạ đạo hàm Chitng minh: 1 Dat f = aD; + BDo, Ya, 8 € K Ta can chttng minh f 1a 4nh xa dao ham Dễ thấy ƒ là ánh xạ tuyến tính và với mọi z,/ € Œ ta có: f(eg) — (œ.Di+8.D;)( 4) = a.D,(x-y) + Ø.Da(+z.0)

= aD, (x)-y + £.Di(y)) + B(D2(x).y + x-Do(y)) = aD, (x).y + 8D2(x).y + &.aD,(y) + £6 Do(y)

= (aD, + BD2)(x).y + %(aD, + BD2)(y)

= ƒ(z)u+z.ƒf)

Trang 13

13

2 Di 0 Dz — D;¿o D) là ánh xạ đạo hàm, thật vậy:

Với mọi z, € Œ,Va, 3€ K, ta có:

(DịoDạ— Đạo Dị)(a# + 8y) = DI(Dạ(az + By)) — Do(Di (ax + By)) = Di(alD;(z) + 8Da()) — Da(œDh\(+) + 8D1(0))

=a(D; 0 Dy — D2 0 DỊ)(#) + B(D, 0 Dz — Dz 0 D;)(y)

Vay D; 0 Dz — D2 0 D, 1a Anh xa tuyén tinh Mat khae: (Dị 0 Dy — Dy 0 Di)(x-y) = Di(Do(u-y)) — Do(Di(x-y))

= D,(D2(x).y + &.D3(y)) — Da(Di(x)-y + «.Di(y))

= D,(Do(x).y + Dy(x.Do(y)) — Do(Di(x).y) — Do(x.Di(y)) = D, 0 Da(x).y + Do(2).Di(y) + Di(x).Do(y) + xD, 0 Do(y)

— Dy 0 Di(x).y — Dy (x).Do(y) — Do(x).Di(y) — x.D2 0 Dy(y) = Dịo ](z) + + 0 Do(y) — Dz 0 Dy (x).y — x.D2 0 Dy(y) = (D, 0 Dz — D2 0 D,)(x).y + «(Dy 0 Dz — Dz 0 Dy)(y)

Vậy Dị o Dạ — Dạ o Dị cũng là ánh xạ đạo hàm

1.2.4 Mệnh đề Ký hiệu erG là tập hợp tất cả các ánh xạ đạo hàm của GŒ Khi đó DerG là một đại số với phép nhân [ƒ, gÌ = ƒø — 9ƒ

Chứng minh Ta cần chứng mình [f, 9] thuộc DerG

e That vay

f.gl:G > G

x —> [ƒ.ø|(a)

Là ánh xạ tuyến tính vì Vz, € G,Va, 8 € K ta c6

[ƒ.øl(œx + Øu) = (fø— øƒ)(az + By)

= fglax + By) — gflax + By

= a.fg(x) + 8.fg(y) — agf(x) — B.g fy) = a(fg—gf)(x) + Bf9 — of)(y)

Trang 16

16

CHUONG 2

DAO HAM CAM SINH TREN DAI SO VA UNG DUNG

2.1 Đại sô cảm sinh

Giả sử P là một trường và A là một đại số giao hoán trên PP, kết hợp với don vi J, dimA =m Ta dat A* = {a*|a* tuyén tinh: A > P}

Trên Â* được trang bị các phép toán sau:

(1) (@ 4+ Ba = aa +b x ; véi x € A;a*,b* € A* (2) (ka*)z = @*(kz) = k(a*z) — : với k€P,z€ Á,a' CA" (3) a*.E(œ) = a*(z).P'(z) : VỚI z € Â,dœ° € A*

Khi đó với 3 phép toán trên A* lập thành một đại số trên IP Thật vậy: Với

Trang 18

18

2.1.1 Mệnh đề Với ba phép toán (1), (3), (4) thì A* lập thành một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên A

Trang 19

19

+) a*.0(a) = a* (0.2) = a* (x); Var => a*.d = a*; trong đó ở là đơn vị cua A*

L] 2.1.2 Định nghĩa Dai số A* thỏa mãn các tính chất trên được gọi là đại số cảm sinh trên A Ta cũng ký hiệu A

Giả sử A có cơ sở e* — {e!,=?, e"} và Ä* có cơ sở đối ngẫu với cơ sở fe} là ea = {£1,a en }

Nghĩa là (2) = đj= J Ì "ê ?—7.plieP

0 nếu ¿Z7 Ta luôn có = ¡2y £7, hay

Trang 20

Gia stt B 1A dai s6 trén A cé tinh giao hoán, kết hợp và có đơn vị, B là đại số trên trường P có tính giao hoán, kết hợp và có đơn vị Xác định một ánh xạ

7T:Â xB B

(a', f) > ra’ f)

có các tính chất sau: với a*,b* € A*,bE A, f,g EB

1 r song tuyến tính đối với P tức là

T(a*"+*, ƒ) = T(a*, ƒ) + T(b*, ƒ)

T(Aa.ƒ)=A.T(a ,ƒ) ; vớiAcP

T(4*,AÀ.ƒ) = Ar(q*", f)

2 t(a*.b, f) =7(a*,bf) ; Vb€A

3 r(a*, fg) = yaa T(a*-e*, f)-T(Ea5 9)

4 Néu r(a* f) =0 ; Vat € A* thi _ =0

Trang 21

Chitng minh

(1) Theo (*) ta c6 r(a*.b, f) = 0) = Siar) = T(a*, bf) = bfary (2) Theo tinh chat (3) va (**) ta cé

Trang 22

h2 h9 (3) Áp dụng (2) với ƒ,ø € B ta có (/ølwy — (9f)) n _ (a) p(a) = 90) -fa) a=1 (a) (2) = Df a=1 (3) Áp dụng định nghĩa và (**) trên ta có (følg) = r(M,a.Ƒg) =_T(E',(ag).ƒ) n = S(ag)\ fee) a - fi (a): ee

2.2 Dao ham cam sinh trén dai sé

Giả sử B là dai sé trén A B là đại số trên trường PP và B giao hoán, kết hợp, có đơn vị Trong mục này ta luôn giả thiết rằng, nếu :

Xfi) = 0; VX € DerB, Va‘ € A*, f € B, thi X = 0 va véi moi

a € A,X € DerB, lun co X) € DerB, sao cho:

X fo) =(KAG) =: VE EB, Vb" Ee AY

Trang 23

That vay gid stt c6 X’ nita ta cé: Aer = (X@)—X“)ƒ@y¿=0 ; Vf eB vbt Ee At = X@)_—X®)=0 = xa = xa) xX’) fy.) Vậy XI) là duy nhất 2.2.3 Mệnh đề Xét ánh xa: Ax DerB > DerB (a.X) WH X®)

Khi đó ánh xạ trên có tính chất sau:

1.(X+ Y)) - Xe) + y@)

2 (AX) = \(X), vei XE P

3 (bX) = xlba

Trang 26

= yi (X!) ga) m = SOU ƒ)X gu); Vago) o=l m = (FX) =P FHx” o=1 3 Thay ø = ổ vào (1) của mệnh đề (2.2.3)ta có: ° m ° (fx)? = /„xte” o=1 m = SƑ„X o=l m = Shox” o=l

2.3 Đại số Lie trên B

Trang 28

on

Trang 30

30

KET LUAN

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau đây:

1 Hệ thống một số khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh

đề về đại số, đạo hàm trên đại số (Mệnh đề 1.1.4, Mệnh đề 1.2.3)

2 Trình bày cách xây dựng đại số cảm sinh Phát biểu và chứng minh một số tính chất về đại số cảm sinh (Mệnh đề 2.1.1) 3 Trình bày một số ứng dụng của ánh xạ 7 vào đại số B(Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5) 4 Chứng minh một số tính chất của đạo hàm cẩm sinh trên đại số (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4) 5 Trình bày một ứng dụng của đạo hàm cảm sinh trên đại số vào đại số Lic trên B (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.2)

Trang 31

31 TAI LIEU THAM KHAO TIENG VIET [1] Nguyén Viet Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie và nhóm Lie, Dại học Vĩnh [2Ì Ngơ Thúc Lanh (1982), Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng đại số Lie và nhóm Lie, Dai học Vĩnh

[4| Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng da tạp kha vi, Đại học Vĩnh [5] M.Xpivak (1985), Giải tích toán học trên đa tap, NXB dai hoc va

trung học chuyên nghiệp

[6] Thái Viết Thao (2005), Vé dai s6 Lie lũy linh va đại số Lic giải được, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vĩnh

TIENG ANH

|7| T.Y Lam (1998), Lectures on Modules and Rings, Grad.Texts in Math, vol.189, Springer-Verlag, Berlin