Thông tin tài liệu
MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU .2 Chương I ĐẠI SỐ LIE I Đại số………………… …… II Đại số Lie …… .5 III Đồng cấu Lie 10 IV Đạo hàm đại số Lie 13 Ch¬ng II ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC……… 19 I Đại số Lie lũy linh 19 II Đại số Lie giải .23 III Định lý Lie 27 IV Áp dụng định lý Lie .30 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Lêi mở đầu Nh chỳng ta ó bit, s phỏt triển Tốn học ln xảy hai q trình song song, phân chia thành nhiều ngành để có nghiên cứu ngày sâu sắc, mặt khác có kết hợp ngành Tốn học khác để có thành tựu lớn Có thể nói: Lý thuyết đại số Lie đại số Lie giải kết hợp chuyên ngành Hình học – Tơpơ, Giải tích Đại số Do đại số Lie phận quan trọng tốn học đại trở thành công cụ hữu hiệu nghiên cứu đa tạp Vào cuối kỷ 19 xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann cơng trình chủ yếu Phêlix Klein (1849 – 1925) Xôphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết đại số Lie đại số Lie giải được ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử cỏc ngnh khỏc ca toỏn hc Đại số Lie giải vấn đề quan trọng đại số Lie Trên sở số kết nhà toán học lớn Serre, Helgason…, số tài liệu nghiên cứu theo hướng trên, hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang nghiên cứu đề tài: “ Về Định lý Lie ứng dụng” Nội dung luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie giải số ứng dụng Luận văn chia làm hai chương: Chương I Đại số Lie Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm số tính chất đại số Lie Các tính chất chứng minh cách chi tiết Nội dung chương để phục vụ cho việc trình bày chương II Nội dung chương gồm có: I Đại số II Đại số Lie III Đồng cấu Lie, IV Đạo hàm đại số Lie Chương II Đại số Lie giải được: Trong chương tác giả trình bày số tính chất đại số Lie giải ứng dụng Nội dung chương gồm có: I Đại số Lie lũy linh II Đại số Lie giải III Định lý Lie IV Áp dụng định lý Lie Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong suốt thời gian học tập nghiên cứu, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ tận tình thầy, giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trường đại học Vinh, bạn bè lớp Cao học K19 ngành Hình học-Tơpơ Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô bạn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc thân đến thầy giáo tổ Hình học, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tác giả hồn thành khóa học luận văn Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ LIE Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie, đạo hàm Lie Ở ta giả thiết K trường 1.1 ĐẠI SỐ 1.1.1 Định nghĩa: Một không gian vectơ L trường K gọi đại số K ta trang bị cho L phép toán thứ ba (gọi phép tốn tích trong) [,] : L L L (x, y) [x, y] thỏa mãn tính chất song tuyến tính Nghĩa là: +) [a, (b + c)] = [a, b] + [a, c] +) [(a + b), c] = [a, c] + [b, c] +) [ a, b] = [a, b] = [a, b] a, b, c L, K 1.1.2 Chú ý: i) Mỗi đại số có ba phép tốn (hai phép tốn khơng gian vectơ phép tốn tích trong) ii) Nếu phép tốn thứ ba có tính chất giao hốn L gọi đại số giao hoán iii) Nếu phép toán thứ ba có tính chất kết hợp L gọi đại số kết hợp iv) Nếu [a, b] = 0; a, b L L gọi đại số tầm thường 1.1.3 Ví dụ a, Kí hiệu M n (R) = {A | A ma trận vng thực cấp n} Khi M n (R) với phép tốn thơng thường ma trận đại số kết hợp khơng giao hốn Chứng minh: +) M n (R) với phép cộng ma trận, phép nhân ma trận với số lập thành khơng gian vectơ +) Phép tốn thứ ba (nhân hai ma trận với nhau) thỏa mãn tính chất song tuyến tính Thật vậy, A, B, C M n (R) ; K Theo tính chất biết ma trận ta có ) A(B + C) = AB + AC ) (A + B)C = AC + BC ) ( A)B = (AB) = A( B) b, Ta kí hiệu L(G) tập hợp tất dạng tuyến tính môđun G, L(G)={f:G R/ f tuyn tớnh} Ta đưa vào L(G) phép toán sau: 1,(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; f, g L(G), x G 2,( f)(x) = f(x) ; f L(G), x G 3,(f.g)(x) = f(x).g(x) ; f, g L(G), x G Khi L(G) đại số trªn R Chứng Minh: Dễ thấy với phép tốn (1), (2) L(G) khơng gian véc tơ Ta có + f (g+h)(x)=f(x) (g+h)(x)=f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) =(fg+fh)(x) x G , suy f(g+h)=fg+fh + (f+g) h (x)=(f+g)(x) h(x)=(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)=(fh+gh)(x) x G suy (f+g)h=fh+gh +( f) (x)= f(x) g(x)= f(x).g(x)= (f.g)(x); x G suy f.g= fg 1.2 I S LIE: 1.2.1 Định nghĩa Gi s G đại số K G gọi đại số Lie tích trong[,] ca G thoả mÃn tính chất phản xứng đẳng thức Jacobi Nghĩa lµ: i) [x, y] = -[y, x]; x, y G ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = ; x, y, z G Chó ý: §iỊu kiƯn i cã thĨ thay thÕ b»ng [x, x] =0 ; x G 1.2.2 Nhận xét: a) Mọi đại số tầm thường G đại số Lie b) Cho G không gian véc tơ n - chiều trường K Cấu trúc đại số Lie G đươc xác định tích Lie cặp vectơ thuộc sở n {e1, e2, , en} chọn cho trước G sau: [ei, ej ] = c k ,1 i j n ij k 1 k Thật x xiei , y y j e j th× x, y xi yj ei ,ej xi yj xj yi cij ek i j i, j i j k Các hệ số c k ij ,1 i j n gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.2.3 VÝ dô a) Ta xét G = B ( R n ) tập tất trường véc tơ khả vi R n Ta đưa vào G tích Lie [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( R n ) Khi G đại số Lie Chứng minh : Ta biết rằng: B ( R n ) trang bị hai phộp toỏn: (+) Phộp cng trường véc tơ Với X : p X p ; Y : p Yp , với p thuộc R n thì: X + Y : p X p Y p , p R n (+) Phép nhân trường véc tơ với số Với X : p X p ; n R ; p R p X p Khi B ( R n ) không gian véc tơ trường R Mặt khác, theo hình học vi phân tích Lie [X, Y] = D X Y D Y X có tính chất song tuyến tính nên B ( R n ) trở thành đại số Ở ta kiểm tra điều kiện phản xứng jacobi [,] Với X thuộc B ( R n ), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = Với X, Y, Z thuộc B ( R n ), f thuộc F( R n ), xét [X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]] = X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]] Hoàn toàn tương tự ta có: [Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] [Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] Cộng vế theo vế ta có [X, [Y, Z]] [f]+ [Y, [Z, X]][f] +[Z, [X, Y]][f]= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]+ Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] + Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] =0, f thuộc F( R n ) b) Không gian R với tích có hướng thơng thường đại số Lie thực 3chiều Hiển nhiên R không gian vectơ trường số thực nên ta cần kiểm tra tính chất móc Lie [,] ; [x, y] = x y x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R , λ1, λ2 ∈ R, ta có: + [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y) z = λ1x z + λ2y z = λ1[x, z] + λ2[y, z] [x, λ1y + λ1z] = x (λ1y + λ1z) = λ1x y + λ2x z = = λ1[x, y] + λ2[x, z]+ [x, x] = x x = + Sử dụng tọa độ ta có: [[x,y],z]=(x y) z = (x3y1z3 − x1y3z3 − x1y2z2 + x2y1z2,, x1y2z1 − x2y1z1 − x2y3z3 + x3y2z3,, x2y3z2 − x3y2z2 − x3y1z1 + x1y3z1) [[y,z],x]=(y z) x = (y3z1x3 − y1z3x3 − y1z2x2 + y2z1x2, y1z2x1 − y2z1x1 − y2z3x3 + y3z2x3, y2z3x2 − y3z2x2 − y3z1x1 + y1z3x1); [[z,x],y]=(z x) y = (z3x1y3 − z1x3y3 − z1x2y − 2+ z2x1y2, z1x2y1 − z2x1y1 − z2x3y3 + z3x2y3, z2x3y2 − z3x2y2 − z3x1y1 + z1x3y1) (1) Suy [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 1.2.4 Mệnh đề Tích trực tiếp hữu hạn đại số Lie đại số Lie Chứng minh Giả sử G1, G2, , Gn đại số Lie Đặt G = g1 × g2 × × gn Khi G không gian vectơ Ta xét: [, ] : g × g → g (X, Y ) [X, Y ] = ([X1, Y1], , [Xn, Yn]) Trong đó, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn),Xi, Yi ∈ gi, i = 1, , n ta kiểm tra [.,.] l ánh xạ thỏa mãn điều kiện trở th nh tích Lie: + X, Y, Z ∈ G, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn), Z = (Z1, ,Zn), α, β ∈ K, ta có: [αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], , [αXn + βYn, Zn]) = (α[X1, Z1] + β[Y1, Z1], , α[Xn, Zn] + β[Yn, Zn]) = α[X, Z] + β[Y,Z] Tương tự: [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z] + X ∈ G, [X,X] = ([X1,X1], , [Xn,Xn]) = + X, Y, Z ∈ G [[X, Y ], Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X], Y ] = ([[X1, Y1], Z1], , [[Xn, Yn], Zn])+([[Y1, Z1],X1], , [[Yn, Zn],Xn])+([[Z1,X1], Y1], , [[Zn,Xn], Yn]) = ([[X1,Y1],Z1]+[[Y1,Z1],X1]+[[Z1,X1],Y1], ,[[Xn, Yn], Zn]+[[Yn, Zn],Xn]+[[Zn,Xn], Yn])= (0, ,0) = 1.2.5 Nhận xét : a, Giả sử G đại số kết hợp trường K Ta đặt [a, b] = a.b b.a ; a, b G Khi G đại số Lie Thậy :Ở đây, ta kiểm tra tính chất phản xứng đẳng thức Jacobi [,] Ta có [a, a] = a.a a.a = Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba] = abc – acb – bca + cba +bca– bac– cab+acb+cab – cba – abc+ bac= Vậy G đại số kết hợp trường K, với [a, b] = ab – ba; a, b G G l i s Lie b, Giả sử V không gian vec tơ K Xét tích Lie : [f,g] = f g-g f víi f,g End(V) Khi End(V) đại số Lie K ( End(V) tập tự đồng cÊu tuyÕn tÝnh V V) Thậy :+End(V) víi hai phép toán cộng ánh xạ nhận ánh xạ với số thực thông thường lập thành không gian véctơ thực [f, f] = fof f0f = [[g, f], h] + [[f,h], g] + [[h, g], f] = gfh – fgh – hgf + hfg + fhg – hfg – gfh +ghf +hgf – ghf – fhg + fgh = 0, f, g, h End(V) 1.2.6 Định nghĩa i) Một không gian vectơ N G gọi đại số Lie L [N, N] N ii) Không gian vectơ N G gọi Iđêan G nếu: [G, N] N iii) Một Iđêan N G thỏa mãn [G, N]= N gọi tâm G 1.2.7 Mệnh đề Giả sử M, N Iđêan G Khi [M, N] m, n / m M , n N Iđêan G Chứng minh: +) Do M, N Iđêan G [M, N] không gian vectơ G +) [G, [M, N]] [M, N] Thật vậy, sử dụng bao hàm thức nhận xét thứ ba ta được: [G, [M, N]] [M, [N, G]] + [N, [M, G]] Do M, N Iđêan G nên: [G, M] M; [G, N] N; Suy ra: [G, [M, N]] [M, N] + [N, M] = [M, N] [M, N] Iđêan G 1.3 ĐỒNG CẤU LIE 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử G, G’ hai đại số Lie trường K Ánh xạ tuyến tính : G G’ gọi đồng cấu Lie nếu: [a, b] = [ (a), (b)]; a, b G 1.3.2 Ví dụ a) Cho G đại số Lie trường K Khi ánh xạ đồng G đồng cấu Lie b) Ta xét G = (0, 0, x3 , x4 , x5 ) x3 , x4 , x5 R Trên G ta trang bị phép tính tích Lie sau: Với x, y thuộc G x, y = (0; 0; x4 y5 x5 y ; x5 y3 x3 y5 ; x3 y4 x4 y3 ) : G R3 Khi ánh xạ đồng cấu Lie (0, 0, x3 , x4 , x5 ) ( x3 , x4 , x5 ) Thật vậy, dễ thấy G với tích Lie xác định đại số Lie Mặt khác, ánh xạ : G R3 ánh xạ tuyến tính (0, 0, x3 , x4 , x5 ) ( x3 , x4 , x5 ) :với y (0, 0, y3 , y4 , y5 ) G ; , K , tacó: ( x y ) ( x y ; x y ; x y ) = ( x) ( y ) Lại có x, y = ( 0; ; x y x5 y ; x5 y x3 y ; x3 y x y ) nên x, y ( x4 y5 x5 y4 ; x5 y3 x3 y5 ; x3 y4 x4 y3 ) Mặt khác ( x ) ( x3 , x4 , x5 ) ; ( y ) ( y3 , y4 , y5 ) ; 10 Chương II ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC Trong chương chúng tơi trình bày cách có hệ thống khái niệm , chứng minh tính chất đại số Lie giải chứng minh chi tiết định lý Lie, đồng thời xét số ứng dụng Cũng chương ta giả thiết G đại số Lie hữu hạn chiều trường K có đặc số G tác động lên không gian véctơ V 2.1.ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH Cho đại số Lie G Ta ký hiệu: C = G ; C = [G,C1] ; ; C n = [G,Cn-1] Ta có dãy giảm Iđêan C1 C2 Cn 2.1.1.Định nghĩa Đại số Lie G gọi đại số Lie lũy linh tồn n cho C n = {0} 2.1.2.Ví dụ a) Với G đại số Lie giao hốn G đại số Lie lũy linh vì: C = G , C2=[G,C1]=[ G,G]= x, y \ x, y G = (do G đại số Lie giao hốn) b) G đại số Lie có chiều với sở e1 , e2 , e3 với tích Lie xác định bởi: e1 , e2 e3 ; e1 , e3 ; e , e3 Khi G đại số Lie lũy linh Thật vậy: Với x , y, z G mà x = x e + x2e2 + x3e3 ; y = yxex + y2e2 + y3e3 ; z = z1e1 + z2e2 + z3e3 Có: [y,z] = [y1 e1+y2e2 +y3e3, z1e1+ z2e2 +z3e3] = y z [e , e ] + y z [e l , e ] + y z [e , e ì ] + y z [e , e l ] + y z [e , e ]+ y z [ e , e ]+ y z [e , e ]+ y z [e , e ] + y z [e , e ]= ( y z - y z )e [ x, [ y, z ]]= [ x e + x e + x e , ( y z - y z )e ] = x ( y z - y z ) [e , e ] 19 + x ( y z - y z )[ e , e ]+ x ( y z - y z ) [e , e ] = Suy G có dãy Iđêan hữu hạn C1 C C C1 = G ; C2=[G,C1] = [G,G]= x, y \ x, y G C3=[G,C2]=[G,[G,G]]= x y, z \ x, y , z G 2.1.3 Bổ đề: G đại số Lie dãy giảm Iđêan G G A1 A2 An Khi Ai/Ai+1 nằm tâm G/Ai+1 [G , Ai ] Ai 1 ; i=1,2,3, ,n Chứng minh: Ta gọi tâm G/Ai+1 N [G/Ai+1 ,N] = Do Ai/Ai+1 N nên [ G/Ai+1 , Ai /Ai+1] = hay [x+ Ai+1, y + Ai+1 ] = 0, x G, y A [x,y] + Ai+1 = , x G, y A i [x,y] Ai+1, x G, y A i [G,Al] Al+1;i=l,2, ,n 2.1.4 Định lý: Với G đại số Lie phát biếu sau tương đương: a,G đại số Lie lũy linh b,Tồn n để [x1, [x2,[ ,[xn-1,xn ] ]= 0, x1,x2, ,xn G c,Tồn dãy Iđêan hữu hạn A1,A2, ,An G thỏa mãn: G A1 A2 An Ai/Ai+1 nằm tâm G/Ai+1 Chứng minh: Ta chứng minh định lý theo sơ đồ (a) (b) (a) (c) • (a)(b): Ta có: 20 G lũy linh có dãy (Cn ) có n N để Cn =0 có n N để [G,Cn-1] = [x1,y1] = , x1 G, y1 C n1 [x1,[x2,y2]] = , x1 , x G, y C n Cứ tiếp tục ta [x1,[x2,[ ,[x n-1,x ] ] = 0, x1,x2, xn G • (a)=>(c): G lũy linh có dãy (Cn ) có n N để Cn= Lấy A = Cn => G A1 A2 An Với x G,y Ci, i = l,2, ,n tích Lie đại số thương G/Ai+1 ta có: [y + Ci+1,x+ Ci+1] = [[x+y] + Ci+1], [x+y] Ci+1 = [Ci+1] = [0] tức có Ai/Ai+1 T(G/Ai+1 ) (Ở T(G/Ai+1) tâm G/Ai+1) • (c)=>(a): Giả sử có dãy Iđêan thỏa mãn (c), ta chứng minh Ci Ai ;i= 1,2, ,n An =0 Dùng bổ đề 2.1.3 ta chứng minh Ci Ai ;i= 1,2, ,n quy nạp Với i = l có C1 = G = A1 suy C1 A1 Giả sử Ci-1 Ai-1 có Ci = [G,Ci-1] = [G,Ai-1] Ai i= 1,2,3 ,n Mà An = suy Cn = Vậy G lũy linh 2.1.5 Định lý: Giả sử G đại số Lie lũy linh G ' đại số Lie, : G G ' đồng cấu Lie Im đại Lie lũy linh Chứng minh: Vì G lũy linh nên có n N cho x1, x2, ,xn G có [x1,[x2,[ ,[xn-1,xn] ] = Lấy y1,y2, ,yn tùy ý thuộc Im tồn a1,a2, ,an G cho ai y i ; i=1,2,3, ,n Do điều kiện suy có [a1,[a2,[ ,[an-1,an] ]= Hơn đồng 21 cấu Lie nên 0 , suy có [a1 , [a , [ ,[a n1 , a n ] ] [ a1 , [ a , [ ,[ a n 1 , a n ] ] [ y1 , [ y , [ ,[ y n1 , y n ] ] Vậy Im đại số Lie lũy linh 2.1.6 Định lý: Cho G đại số Lie lũy linh Khi đại số con, đại số thương G đại số lũy linh Chứng minh: a) Giả sử X đại số G Trước hết ta chứng minh X k G k , k N +) Với k = X1 = X G = G1 +) Ta có xk+1 = [G,xk] [G,Gk] = Gk+1 Vì G lũy linh nên tồn n để Gn = {0} suy xn = {0} Vậy X lũy linh b,Với H Iđêan đại số Lie lũy linh G Xét toàn cấu : G —> G/H x x+H Do G lũy linh nên có n để [x1,[x2,[ ,[xn-1,xn] ] = 0, x1,x2, ,xn G Suy [ x1 , [ x2 , [ , [ xn1 , xn ] ] => [ x1 , [ x , [ ,[ x n1 , x n ] ] => [xl +H,[x2 +H,[ ,[xn-1 + H,xn +H] ] = 0; x1+H,x2+H, ,xn+H G/H => G/H lũy linh 2.2.ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 2.2.1 Định nghiã: a, Cho G đại số Lie Dãy giảm Iđêan G G A1 A2 A3 An , gọi dãy giải Ai/Ai+1 giao hoán b, Đại số Lie G gọi đại số Lie giải G tồn dãy giải hữu hạn G A1 A2 A3 An 2.2.2.Ví dụ.: 22 a b a, Đại số Lie G a c / a, b, c R đại số Lie giải 0 a1 Thật vậy: Xét G G, G đó, với X 0 a2 Y 0 a1 b1 c1 G , b2 0 a1b2 a b1 c G Ta có X , Y 0 a1c a c1 0 a2 0 b G 0 c / a, b, c R 0 0 b1 0 b2 Ta xét G G ,G , với X 0 c1 G , Y 0 c G 0 0 0 0 1 Ta có [X,Y]=XY-YX=0 từ suy G đại số Lie giải b, Mọi đại số Lie giao hoán, đại số Lie lũy linh đại số Lie giải chúng có dãy giải hữu hạn c, Giả sử V không gian vectơ hữu hạn chiều K n F Vi i 1 cờ V Ta ký hiệu B ( F ) f EndV / f (Vi ) Vi 1 Khi B(F) với [f,g]=gf-fg đại số Lie giải Thật vậy: chọn sơ Vn: {e1,e2,e3, ,en}; cho ei Vi , i=1,2,3, ,n Giả sử f : e1 e1' e2 e 2' en en' Ta có e1’= 0e1+0e2+ +0en e2’=a21e1+0e2+ +0en e3’=a31e1+a32e2+0e3+ +0en 23 en’=an1e1+an2e2+an3e3+ +ann-1en-1+0en 0 a 21 Ma trận f A a31 a n1 an2 a nn1 a32 0 0 0 0 Vậy B(F) đồng với tập hợp ma trận A với R 0 b 21 Tương tự ta có ma trận B b31 bn1 bn bnn1 b32 0 0 0 , ta có 0 [A,B]= AB-BA=0, từ suy B(F) đại số Lie giải Bây ta ký hiệu D1 G, D2 D1 , D1 , D3 D2 , D2 , dãy Di gọi dãy dẫn xuất Ta có mệnh đề sau 2.2.3: Mệnh đề : Giải sử G đại số Lie Khi khẳng định sau tương đương a, G đại số Lie giải b, Dãy dẫn xuất G thỏa mãn G D1 D2 Dn 0 Chứng minh (a) (b): G đại số Lie giải nên G A1 A2 A3 An 0 Để chứng minh (b) ta cần chứng minh Di Ai, i=1,2,3, ,n A1 =G [G,G]=D2 A2=[A1,A1] [D2,D2]=D3 A3=[A2,A2] [D3,D3]=D4 24 An-1 Dn An Dn+1 suy Dn+1=0, D1 D2 Dn+1=0 (b) (a): Hiển nhiên ta lấy Ai=Di Ta cần chứng minh {Di} giải Ta có Di idean Di Di 1 giao hốn : Di D x Di 1 / x Di ta xét i 1 x Di 1 , y Di 1 x, y Di1 Di1 0; x, y Di Suy Di D giao hoán, {Di} giải i 1 2.2.4 Mệnh đề : Giả sử G đại số Lie , A Idean G Nếu A G/A đại số Lie giải G giải Chứng minh: Từ G/A đại số Lie giải , DGn 0 A A n 1 Ta chứng minh DGn A Thật , ta có DGn DGn1 , DGn 1 với a,b thuộc DG a+A , b+B thuộc D Gn / 1A a, b A a A, b A DGn / 1A , DGn/ 1A DGn / A A a, b A Vậy DGn A Mà A đại số Lie giải DAm 0 DDm 0 DGm n 0 n G suy G đại số Lie giải 2.2.5 Mệnh đề: Giả sử G đại số Lie giải được, a, Mọi đại số G đại số Lie giải 25 b, I idean G G/I đại số Lie giải c, Giả sử đại số Lie H giải G H giải Chứng minh: a,Giả sử G đại số Lie giải được, tồn dãy giải Ai in1 Ta xét : B1= A1 A B2=A2 A B3=A3 A Bn=An A Ta cần chứng minh Bi dãy giải Thật vậy: Bi , i=1,2,3 ,n đại số (vì giao đại số đại số con) [A1,B1] [G,B1] A1; [A2,B2] [G,B2] A2 , , [Ai,Bi] [G,Bi] Ai suy [A,Bi] A Vậy [A,Bi] (Ai A)=Bi Bi Bi 1 B b Bi 1 / b Bi ta xét [b1+Bi+1,b2+Bi+1]=[b1,b2]+Bi+1=Bi+1=0, b1 , b2 Bi Vậy Bn An=0 suy Bi B giao hoán i 1 b, Gọi I Idean G, G giải nên DGn 0 :G G I g gI toàn cấu , nên DGn I DGn / I I G / I đại số Lie giải Thật vậy: Ta có G I x I / x G G giải nên tồn dãy D1 D2 Dn Lấy M G I M M , M G I , G I x I , y I / x G , y G x, y I / x G , y G D2 I 26 M D3 I M n Dn I I suy G I đại số Lie giải c, Vì G,H đại số Lie giải nên ta có G D1 D2 Dn , H H H H m Ta xét G H với dãy dẫn xuất K G H D1 H K D2 H K n Dn H n Ta đặt r max m, n suy K r Dr H r Vậy G H đại số Lie giải 2.3 ĐỊNH LÝ LIE Để thuận lợi cho việc trình bày chứng minh định lý Lie ta chứng minh số bổ đề sau Trong mục ta giả thiết K trường đóng đại số , V khơng gian véc tơ hữu hạn chiều K G đại số Lie EndV 2.3.1 Bổ đề : Giả sử v véc tơ không gian véc tơ V, H Idean G ánh xạ :H K ; thõa mãn hv h v; h H Khi x ,h 0, x G h h Chứng minh: Ta lấy x G , x ký hiệu Vi không gian véc tơ V sinh véc tơ v, xv, , x i 1v Với V0 27 V1 v V2 v, xv V3 v, xv, xx(v) Vn v, xv, ,x n1 (v) Dễ thấy , ta có dãy tăng sau V0 V1 V2 Vn Gọi n số nguyên dương bé thõa mãn Vn=Vn-1, ta suy dimvn=n Vn+k=Vn , k Bây ta chứng minh với h H có hệ thức h x iV x iV mod Vi 1 ( nghĩa h( xiV ) x iV ; Vi 1 ) Ta chứng minh khẳng định phương pháp quy nạp theo i Với i=1 rõ ràng khẳng định , theo giả thiết bổ đề h( x 0v ) h(v) h v; h H Giả sử khẳng định đến tới i-1, ta chứng minh khẳng định tới i Thật vậy, ta có h x i v h x.x i 1v xhx i 1v x, h x i 1v (1) Theo giả thiết quy nạp hxi 1v h xi 1v ' , x, h x i 1v x ,h x i 1v '' ', '' Vi 2 Từ kết hợp với (1) ta suy h x iV h x iV mod Vi 1 Theo nguyên lý quy nạp khẳng định chứng minh Từ khẳng định ta suy , ánh xạ h : V V , h H sở v, xv, , x v Vn ma trận tam giác với phần tử đường chéo i 1 h Trh n. n Thay h x, h H , ta nhận n. x ,h Tr x, h Tr xh hx x,h suy bổ đề chứng minh 2.3.2.Bổ đề 2: Giả sử G đại số Lie giải trường K EndV Khi V có véc tơ v véc tơ riêng x, x G 28 Chứng minh : Ta chứng minh bổ phương pháp quy nạp theo chiều G Nếu dimG=0 bổ đề hiển nhiên Giả sử bổ đề với G với dim G n ta nhận thấy D G , G G ( G giải ) Xét không gian véc tơ H G , D1 H dimH=dimG-1 ta có G, H G, G G G, H H Vậy H Idean G từ suy H giải Áp dụng giả thiết quy nạp H , véc tơ riêng v V để h v h v; h H ta ký hiệu w= u V/h u hu, h H dễ thấy w không gian véc tơ v Ta chứng minh w bất biến G ( nghĩa g (w) w,g G ) Thật vậy, với u thuộc w ta có hgu ghu g , h u n gu g ,h u n gu (theo bổ đề 3.2.1.) Điều chứng tỏ g u w Tiếp tục chứng minh Bổ đề, ta chọn x G : x H K trường đóng đại số nên ánh xạ X : w w có véc tơ riêng u0 w u0 véc tơ riêng cần tìm nói Bổ đề Thật g G có biểu diễn g x h, K , h H g (u0 ) x h u0 x u0 h(u0 ) x u0 h u0 x h u0 suy bổ đề chứng minh 2.3.3.Định lý Lie (Xem [ 4]) Giả sử G đại số Lie giải trường K G EndV V tồn cờ F Vi cho G B F Chứng minh: Ta nhận thấy định lý tương đương với bổ đề (3.2.2) ta chứng minh tương đương 29 (3.2.2) (3.2.1) G B F , nên g G có g Vi Vi ta thấy v Vi , v ta có g (v ) g v, g G (3.2.1) (3.2.2) Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp theo chiều V Giả sử dimV=1 cờ F= 0, v1 G B F Giả sử khẳng định với V khác 0, mà dimV=n-1 ta chứng minh khẳng định với dimV=n Theo bổ đề (3.2.2) V có véc tơ v mà g v i vi , g G Ta có V V Vn 1 áp dụng giả thiết quy nạp cho Vn-1 cờ F 0, w1 , , wn1 , cho g ( wi ) wi 1 ; i 1, 2, , n F 0; w1 , w1 v , , wn1 v g v v i i 1 ta thấy cờ ; i 1,2, , n 2.4.ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LIE Ở mục ta xét V= G từ ta có ứng dụng sau 2.4.1 Bổ đề: G đại số Lie giải được, G0 ad x | x G G0 đại số Lie giải G Chứng minh: Ánh xạ ad x : G G y x, y Xét phép toán ad x ad y ( z ) ad x y x y , z x, z y , z ad x ( z ) ad y ( z ) kad x ( z ) k x, z k ad x ( z ) ad x , ad y ( z ) ad x ad y ad y ad x ( z ) D1 G0 D2 D1 , D2 ad x , ad y | x; y G Dn Dn 1 , D n1 Thật D , ad x , ( z ) x, z 30 D2 , ad x1 , ad x2 , ( z ) ad x1 , ad x2 ( z ) ad x1 ad x2 ( z ) ad x ad x1 ( z ) x1 , x , z x , x1 , z ad x1 , x2 ( z ); z Ta có x1 , x , z x , z , x1 z, x1 , x x1 , x2 , z x1 , x2 , z x , x1 , z x1 , x , z x1 x , z x , x1 , z ad ad x1 , x2 ( z ) ad x1 ad x2 ad x2 ad x1 ( z ); z G ad x1 , ad x2 x1 , x2 Suy DGn ad D G0 đại số Lie giải G n 2.4.2 Mệnh đề 1: Giả sử G đại số Lie giải trường k đóng đại số Khi G tồn cờ gồm Idean G Chứng minh: Theo bổ đề (4.2.1) |Khi G0 ad x | x G đại số Lie giải được, nên có cờ F 0 G1 G Gn G G cho ad x (Gi ) Gi , i 1, n (theo định lý Lie) Mặt khác ad x G i x, Gi Gi , x G G , Gi Gi Gi Idean G 2.4.3 Mệnh đề 2: Giả sử G giải trường K Khi G, G lũy linh Chứng minh: G đại số Lie giải theo định lý Lie G có véc tơ riêng g x G nghĩa ( ( g ) x ( g ) ) Ta có x, y g x, y , g y , g , x g , x , y xyg yxg x y g x y g 0, x, y G Như z G , G , ta có z(g)=0 hay ad z Gi Gi 1 ( dãy Gi mệnh đề 4.2.2) Do dãy Gi dãy giảm nên adx ánh xạ lũy linh Vậy G, G lũy linh 31 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung sau - Trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất đại số Lie chứng minh chi tiết tính chất đại số Lie (Mệnh đề 1.2.4), đồng cấu Lie (Mệnh đề 1.3.3), đạo hàm đại số Lie (Mệnh đề 1.4.2, mệnh đề 1.4.9 ) - Trình bày số tính chất đại số Lie lũy linh, chứng minh chi tiết (Định lý2.1.4, Định lý 2.1.6) -Trình bày cách hệ thống khái niệm, tính chất đại số Lie giải số ví dụ Chứng minh chi tiết tính chất (Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.5, Định lý 3.2.3, Bổ đề 4.2.1) - Chỉ vài áp dụng định lý Lie ( Mệnh đề 4.2.2, Mệnh đề 4.2.3) - Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu thêm ứng dụng khác đại Lie giải 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chun đề cao học chun ngành Hình học – Tơpơ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý lượng tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, i hc Vinh [6] Nguyễn Thị Huệ (2010), ánh xạ đạo hàm đại số lie, Lun thc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications 33 ... cứu đề tài: “ Về Định lý Lie ứng dụng? ?? Nội dung luận văn trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie giải số ứng dụng Luận văn chia làm hai chương: Chương I Đại số Lie Trong chương... Lie giải được: Trong chương tác giả trình bày số tính chất đại số Lie giải ứng dụng Nội dung chương gồm có: I Đại số Lie lũy linh II Đại số Lie giải III Định lý Lie IV Áp dụng định lý Lie Luận. .. Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [6] NguyÔn Thị Huệ (2010), ánh xạ đạo hàm đại số lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh
Ngày đăng: 28/10/2015, 08:52
Xem thêm: Về định lý lie và ứng dụng Luận văn Thạc sĩ toán học, Về định lý lie và ứng dụng Luận văn Thạc sĩ toán học
