Mục lục Lời nói đầu 2 1 Đại số Lie 4 11 Đại§Số Q Q Q Q Q Q Q Q Q v v2 12 Dais6Lie 20220220202 200 9
2 Dinh ly Engel va tng dung 21
Trang 2Lời nói đầu
Vào cuối thế kỷ 19, trong các công trình của Xôphux Lie (1842-
1899) và Phêlix klein (1849-1925) đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riman
Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết
mới, đó là lý thuyết nhóm Lie và đại Lie Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và dại số Lie là sự kết hợp của các chuyên ngành Hình học-Tôpô,
Giải tích và Dại số Do đó đại số Lie là một bộ phận của toán học
hiện dại
Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong
các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học Đặc biệt nó dược xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp
Riemamn
Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã dược trình bày trong các tài liệu và được viết bởi các nhà toán học nổi tiếng như Serre, Helgason, và
một phần mở dầu dược trình bày trong các bài giảng về dại số Lie
và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình học -Tôpô ở các
trường đại học
Trang 3Chương 1 Đại số
Chuong 2 Dinh ly Engel va tng dung
Nội dung của chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về
đại số như idean dại số, đồng cấu đại số và một số tính chất về dại số
Lie
Noi dung của chương 2, chúng tôi trình bày chứng minh chỉ tiết định lý Engel và một số ứng dụng của định lý đó Nội dung chương 2 được chia làm ba phần:
2.1 Đại số Lie luỹ linh 2.2 Dinh ly Engel
2.3 Ung dung
Luận văn được hoàn thành tại khoa sau đại học Dại học Vĩnh, dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác
giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo của thầy trong quá
trình học tập và nghiên cứu tại trường
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo đã giảng dạy tác
giả học tập và nghiên cứu tại khoa Sau dại học trường Dại học Vinh
Trường THPT Bán công Nông Cống, gia đình và bạn bè đã tạo điều
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
Trang 4Chương 1
Đại số Lie
Trong chương này, ta luôn giả thiết K là trường có đặc số 0, G là
một môdun trên trudng K
11 Đại số
Định nghĩa 1.1.1 (zem/4)) Gia sử G là một môđun trên trường K Nếu ta trưng bị ào G một ánh zạ song tuyến tính
GxG—G
(x,y) > vy
phép toán toán đó gọi là phép nhân, lúc dó G được gọi là một đại số
Ví dụ 1.1.1
1 Kí hiệu Afn(K) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n
trên trường ϧ, với các phép todn A+ B,A.B,a.A với A,B € Mn(R),a € K Khi do Mn(K) 1a mot dai s6
2 Gỉa sử MI là đa tạp khả vi thực n chiều Khi đó, tập hợp các hàm
số khả vi trên MI là một đại số trên ÏR
e Thật vậy ta kí hiệu F(M) = {/|/ : M — R, f khả vi } là tập các
ham kha vi trén da tap M Cac phép toán được trang bị trên /(MI)
Trang 6> Nhu ta da biét (Xem/3/)
e Gỉa sử G là một đại số trên K, 4 là một môdun con của G Khi
đó 4 dược gọi là đại số con của G nếu Va,b € 4 thì a.b € A e Dại số con 4 của G được gọi là iđêan trái (phải) của G nếu 4 là
môdun con và với Va € Á,z € G thì az € A(aa € A)
e« 4 được gọi là iđêan của G nếu 4 vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải e Gia sử A là một idêan của G, G/A là môdun thương G/A = {z++A x € G} vii: - Phép cong (v7 + 4) +(y+ 4)=z++4A - Phép nhân (z + 4)(u+ 4) =z+ A
œ+A,u+AcG/4; khi đó G/A được gọi là đại số thương của
đại số G theo iđêan A
Định nghĩa 1.1.2 (cem/3]) Gia sit G.G' la hai dai số trên trường K,
một ánh xạ tuyến tính ƒ từ dại số G đến đại số G' được gợi là đồng
cấu đại số Nếu V+z, € G thà ƒ(ụ) = f(x) f(y)
Chú ý
e Nếu f là đơn ánh thì f dược gọi là dơn cấu Nếu f là toàn ánh thì
£ được gọi là toàn cấu và nếu f là một song ánh thì f được gọi là
một đẳng cấu
Trang 7Mệnh đề 1.1.1 (zem (3j) Cho Ƒ:G —¬ GI là một toàn cấu khá đó: 1 kerf 1a idéan ca G voi kerf = {x € GI f(x) = 0} = f71(0) 2 G/kerf =G
Chứng minh
1 Ta có kerƒ là môdun con của G Thật vậy Vz,€G.Vae,3e€K
taco f(ax + By) = af (x) + Bf(y) =0 > ax + Øụ = ƒT}(0) suy ra (ax + By) € kerf
Voi Vx € kerf, Vy © G ta c6 f(xy) = f(x) f(y) = 0.f(y) = 0 suy ra xy € f-+(0) Tương tự ta có € ƒ~!(0) Vậy kerƒ là iđêan của G Oo 2 Xét ánh xạ g: G/ker f’ — G’ u+kerf > f(x) Ta có ø là ánh xạ đồng cấu tuyến tính thật vậy, với V#,y € G,Vœ, Ø € K ta có:
g|la(œ + kerƒ) + 8(w + kerƒ)] = g(a + Øụ + ker Ƒ)
= f(ax + By) ( f tuyến tính)
= ag(œ + kerƒ).3g(u + ker ƒ)
Vậy g là đồng cấu
Ta chứng minh g là song ánh thật vậy:
Trang 8Véi Vz € G’, vi f la toan Anh, do đó 3z € G để ƒ(z) = z khi đó
g(a + kerf) = z Vậy g la toan ánh (2)
Từ (1) và (2), ta có ø là song ánh Vậy G/ker ƒ = G’ L] Mệnh đề 1.1.2 (Xem {3]) Gia sử A, B là bai iđêun của đại số G
va AC B Khi dé B/A = {b+ Alb © B} là idéan của G/A tà (G/A)/(B/A) = G/B
Chứng minh
e B/A la idéan cia G/A Ta có B/A là môdun con của G/A thật
vậy: Vhị + A,ba + AC H/A,a,Ø€ K ta có a(bị + 4) + 0(b¿ + 4) = ab; + bo + A € B/A
V6i Vb) + A, bo + A € B/A khi do:
-(by + A)(b2 + A) = bjbo + A € B/A
Trang 9=J+ 4).[0+ 4)
+ f là toàn ánh: Với Vw + B € G/B,zc€ G ta có z+ 4c G/A dé f(x+A)=(x+B) suy ra f là toàn ánh * Tìm Kerf Ta có Kerf = {x +A | f(x+A)=B} = {z+ Alz+ B= B} = {x+ Alx € B} = B/A Ap dụng mệnh đề (1.1.1), ta e6 (G/A)/(B/A) & G/B L] 1.2 Đại số Lie
Định nghĩa 1.2.1 (+em/4]) Một đại số G cùng uới phép nhân (%, ) > [#.], nếu thoả mãn các điều kiện sau:
¡ Với Vw GŒ thì|x,+] =0 (Tính chất phản dối xúng)
ii Voi Vx,y,2 € G thi [w, [y, z]] + [u [z.+]] + [z [>.]] = 0 (Tinh chat Jacobi )
Vi du 1.2.1
1 Trong khong gian Oclit G = R? véi [a,b] = a Ab la mot dai sé Lie
trén R (A 1a tich có hướng trong ïR)
2 Gia stt G = M,,(R) véi tich Lie [A, B] = AB — BA là một đại số
Lie trén R
e Thật vậy ở đây ta kiểm tra (2) ta có G = M,(R) là một đại số trên
Trang 10- [A+ B,C] =(A+B)C—C(A+B) = (AC — CA) + (BC — CB) = [A,C]+ [B.C] - (C,A+ B] = C(A+ B)-(A+B)C =(CA— AC) + (CB — BC) =[C, A] +[C,B] - [@A, B] = (aA)B — B(a@A) = a(AB) — a(BA)
=a{A,BỊ voi VA, B,C € M,(R),a ER
¢ Ta chttng minh M,,(R) 1a dai sé Lie:
i Voi VA € M,(R) ta c6: [A, A] = A.A- AA=0
ii V6i VA, B.C € G thi [A, [B.C] + [B [C, Al] +[C, [A, B]] = 0 =[A, BƠ — CB) +[B,CA~— AC] + [C, AB — BA]
= A(BC — CB) — (BC — CB)A + B(CA — AC) — (CA - AC)B + C(AB — BA) — (AB — BA)C
= ABC — ACB — BCA —-— CBA+ BCA —- BAC — CAB — ACB + CAB — CBA — ABC — BAC =0
Vay G = M,,(R) 1a dai sé Lie L]
Nhận xét 1.2.1
G là một đại số Lie, khi đó uới V+,,z € G ta có:
1 [x,y] = —[y, 2]
Trang 113 Đại số cơn, đại số thương, tích trực tiếp của các đại số Lie là các dai s6 Lie
4 Dai sd doi ctia dai 86 Lie la dai s6 Lie
(G la dai 86 Lie vdi phép nhan (x,y) — [x,y] thi dại số đối của
dai s6 G la G' vdi phép nhan (x,y) — [y, a])
ð Cho V là không gian téc tơ trên K Chitng minh End(V) la dai sé
Le uới phép nhân (ƒ, g) —— LÍ g] = fq— gÏ uới VỊ, g € End(Ÿ) Chứng mình 1 Với Vz, € G ta có [# + ,# + ] = 0 (x, 2] + [x,y] + [y.#] + [y y] = 0 © [x,y] + [ụ,z] = 0 © [x,y] = —[y 2] L 2 Theo hệ thức Jacôbi ta có: (x, [y, 2]] + Íø |z #]] + [= Íz.]Ì = 0 = l>, |u z]] = —[y- [2,2] — [z, fe yl]
Mat khac ta c6 [A, B] + [A,C] = [A, [B,C] do đó
[u [z z]] + ly [2,21] = ly fe z] + [z, zÌÌ
= [y, 0] = 0
suy ra |#, [y.z|] = [y [2,2] + [ley], zÌ: Oo 3 Goi A là đại số con của đại số Lie G khi đó A ổn định với phép nhân |z, ý] V+, € G Do do
i Ta c6 [a,a] =0
ii.{a, [b, cl] + [b, [c, a] + [e, [a, b]] = 0 Vai Va, b,c € A
Trang 12e Ga sử A là iđêan của đại số Lie G ta chứng minh G/A là đại số Lie
với phép nhân [a + A, + 4] = [z, |] + A Thật vậy:
i Vi Va + Avy t+ A € G(A ta có: [# + Ava + A] = [xz] + A= A .Với Vư + A,u+ A,z+ AC G(A ta có:
l# + A.[u+ A,z + All = lz+ A.Í[ø z] + A] = |>.|u.z]+ A (1) ly + A [z + A,a + Al] = [y+ A, [z, 2] + A] = [y [z, a] + A (2) [2 + A, [x + A,y + Al] = [2 + A, [x,y] + A] = [2, [x,y] + A] (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ thức Jacôbi Vậy G/A là đại số Lie
e Gọi (G); là họ các đại số Lie với phép nhân [z;, 1] Xét G = [] G = {w = (%)|œ¡ € G¡, Ví € J} là tích trực tiếp của (G,), ta định nghĩa phép nhân trên G là [z,g|] = ([(;) (;)])¡ Ta có: ] ] *G là đại số với phép nhân [x,y] «Va = (0) € GŒ ta có [œ,#] = ([a¡,#¡;])¡ = (0); =0 *Vữ = (%), = (¡).z = (2) € G ta có: [z lø z]Ì = [@): (lu 4]›)]Ì ([[xi yi] zi])i + (Ly [ai zal): = [i,1:])( z2):] + [)¡ ([e¿, s]):]
=[ [x,y], 2] + [u [œ, z]] suy ra thỏa mãn hệ thức Jacobi Vay G là dại số Lie với phép nhân [z,#] = ([z¡, #;): Oo 4.Gia stt G’ lA dai sé déi cia dai sé Lie G thi G’ 1A dai sé Lie véi phép
Trang 135 /nd(V) là đại số Thật vậy !nd(V) là một môdun trên KK, ta có: End(V) x End(V) —> End(V)
(f.g) > [f,g] lA mot anh xa song tuyén tinh *V6i Vf, g,h € G ta có: lf +g hl =(F+g)h— hf +9) = (fh —hf) + (gh — hg) = [fA] + [g, A] {hf +g) = h(E +9) — (f+ g)h = (hf — fh) + (hg — gh) = [h f] + [hg] las,9] = (a9 — gas) =a(fg—gf) =alf,g],a €K
Tương tu ta c6 [f,ag] = alf,g],a € K
e//nd(V) la dai s6 Lie That vay, véi Vf,g,h € End(V) ta cé:
iS =Sf-sf =
ia [f, [g,h]] + [ø [h: f]] + [h [7 all
= [0h — hạ] + |g.hƒ — fg] + [h ƒø — g1
= [gh—fhg—ghf+hgf+ghf—gfh-hfgt+fhgt+hfg—hgf-fghtgfh
= 0 Vay 1⁄nd(V) là đại số Lie với phép nhân [f, g]=fg-gf L] Định nghĩa 1.2.2 (zem/4j) Gia sitG va G' la hai dai số Lie, ánh xạ
@:G —>GI được gọi là một đồng cấu Láe nếu ¿ là ánh xạ tuyến tính
tà #[#,| = [¿(z) (0)Ì
Trang 141 Nếu ¿ là đồng cấu Lie và ¿ là song ánh thì ¿ được gọi là đẳng cau Lie + + £ : ` sas 2 4 4 Z z 4 ˆ 2 Hai dại số Lie G và G7 được gọi là dang cấu nếu có đẳng câu Lie œ:G —> G7 khi đó ta viết G ~ G' 3 Kí hiệu L = {¿ | ¿ là các đẳng cấu Lie } Khi đó L là một nhóm với các phép tích các ánh xạ Định nghĩa 1.2.3 (+em/4j) Gia sửG là đại số trên K, D la phép bién đổi tuyến tính D:G—G rr D(x)
D duoc goi la énh xa vi phan néu D(x.y) = D(x)y+xD(y) ;Vx,y € G
Mệnh đề 1.2.1 Gia sử Gìị,G¿ là các 0i phân trên G khi dó
1.œDi+ ga là một vi phân trên G tới œ, 3 € J
2 D= DịDạ— D;Ù\ cũng là một ui phân trên G
Chứng minh
1 Dat f = (aD, + 8D») ta chttng minh f là ánh xạ vi phân tuyến tinh, véi Vx, y € G ta cd
f(x,y) = (aD, + BD2)(x,y) = aD, (x,y) + BDo(x, y)
= a(D() + zDi(0)) + 8(Da()y + zD3(0))
= (aD (x) + BD2(x))y + x(aDo(y) + BPo(y))
= (aD, + BDo)(x)y + «(aD + Do) (y)
= f(x)y+af(y) Vay f la mot ánh xa dao ham L]
Trang 15CÓ:
D(ax + By) = (Di D2 — Di D2)(ax + By)
= (Dy Dy — D,D2)(ax) + (Di D2 — DỊHD2)(8Øu)
= a(1D1D; — Dị Do) (a) + BD, Da — Dị D2)(y)
=aD(«)+ 8D(y)
Ta chứng mình D là ánh xạ vi phan, that vay véi Vx,y € G ta có:
D[r,] = (DịDa — DayDn)[z, ]
= D,(Dalx, ]) — Da(DI[z+, g]Ì)
= D,([Do(x), y] + [x, Da(y)] — Do({[Pi(z) y] + [x Pr(y)] = D,[D2(x), y] + Di[x, Da(y)] — D2[Di(x),y] + Dax, Di(y)] = [Di D2(2),y]+[D2(2), " )]+[Pi(a), Do(y)| + lw, Di Po(y)] ~[D›sTDi(#) w] — [IDì() Da(w)| — [Da(+), D1(w)] — [#, D2 Piy)] = [(Di[D2 — D2D1)(x), ủ- [x, (Di[D2— D2Di)(y)]|
Vậy D là một vi phân trên G oO
Ménh dé 1.2.2 Ta ky hiệu DerG = {D|D là vi phan trén G} Khi
đó DerG uới phép nhân [Dì, Da] = Dị.Dạ — Dạ.Dị là một dại số Lác
trên K
Chứng mình
eTa có DerG là dại số
Thật vậy, 2erG là một môdun trên K, ta có:
DerG x DerG —> DerG
(D;, Dz) +> [Di, Do] là một ánh xạ song
tuyén tinh
x V6i VD, Do, Ds € G ta có:
Di + Do, D3) = (Di + Dz) D3 — D3(D1 + D2)
Trang 16= [D,, D3] + [Do, D3] 1D, Dị + Do| = D3(D1 + Do) — (Di + Do)Ds = (D3), — DD3) + (D3D2 — D2D3) = Dạ, Dị] + [Dạ, D3] an, Dạ| = (øD1)D¿ — Do(af) = a(DD¿ — D;]) =a|D\, Da],œ € K
Tương tự ta có [Dị,œDa] = a[D\, Da], œ € K
eV6i VD), Do, Dạ € DecrG ta có: i (D1, Di] = D\D1 — DD, = 0 ii [D}.[D2, Dạ]] + [Da [Dạ Dị] + [D3 [D1 Dal] =[Dị.DạDạ — DạD;] + (D2, D3D, — Dy D3] + (Dy, D D2 — D2Dy) = DỊD¿D;— Dị Dạl¿— Dạ + D; ¿Dị + D2 D3D, — D2), D3 —- D3D, D2 + Dy D3D2 + D3D1D3 — D3D2D\, — Dy D2D3 + DD, D3 = 0
Vay DerG la dai s6 Lie véi phép nhân [Dị, Dạ] = DịDạ T— DạD.T » Gỉa sử Œ là đại số Lie, với mỗi z € Œ ta xét ánh xa ad,
ad,;:G—+>G
yr ad,(y) = [x,y] Khi d6 anh xa ad, có các tính chất
Dinh ly 1.2.1
1 ad, 14 4nh xa dao ham
2 Anh xa f : G — DerG xác định bởi ƒ(z) = ad, là một đồng
cấu đại số Lie
Chứng minh
Trang 17= [ley] v] + [u [z ÌÌ
= [adz(w) z] + [u ad„(2)]
Suy ra ad, € DerG L]
2.Với Vư, € G,a, Ø € K ta có f(az+zy) = @d(or4gy) tuyén tính Thật vậy Ví € G ta có ad(¿z;z„)(†) = [az + đụ t]
= laz.f] + ly
= alz,f] + Ø|{u, t]
= aad,(t) + Ø8ad,()
= (aad, + Øad,)(L)
Suy ra ad(ar4gy) = aad, + Bady Mat khac adr ye) = [[z y], 4
= [x, [y 4] — [y, fe, 4] = |x, ad,(t)] — [y,ad.(t)]
= ad,(ady(t)) — ad,(ad,(1))
= ad,ady — adyad;
Suy ra f((0 yl) = adjay) = adsady—adyad, = (ad,,ady) = [f(2), (0)
Vậy f la dong cau Lie oO
Dinh lý 1.2.2 Néu D € DerG thi [D, ad,] = ad},,,Vx € G Chứng mình Vue € G ta cé: [D, ad,]¢) = (Dad, — ad; D)«) = Dix, t] — [x, Diy] =l#, Dạ] + [Dụ), t] — [> Đụ]
=[D¿).t]= adø,„(t) Vậy [D, ad,] = adp,,- O > Gia stt A, B là hai tập con của dại số Lie G trên trường K, ta ki
Trang 181 Gia st A la môđun con của đại số Lie G, A được gọi là iđêan của
G nếu [A,G] C 4A
2 Gia sử A là một idêan của G Khi đó 41 dược gọi là tâm của G
nếu và chỉ nếu 4 là iđêan cực đại và [4, G] = 0 Nhận xét 1.2.2
Nếu A, B,C là các không gian uéc tơ con của G thà:
1 [A+ B,C] Cc [A,C] + [B,C] 2 [A, B] = —[B, A]
3 [G, [A, B]] ¢ [[G, A], B] + [A [G, B]]
4 Néu A,B la hai idéan ctia dai sé Lie G thi [A, B] cting la mét
iđêun của G Chứng minh
Ở dây ta chứng mình (4) thật vậy, [A, ] là môdun con của dại
s6 Lie G Ta c6 [[A, B],G] [[A.G], 8] + [A.[B.G]] do[A.G]c A4, [B.G] CB suy ra [L4,G], B] C [A, BỊ và [A.[B G]| C [A, BỊ
Vay [[A, B],G] c [A, B] suy ra [A, B] 1a idéan cia G L]
Nhận xét 1.2.3
a Gia sử (G uà G' là hai dại số Lie va anh ca gy : G —> G' la một
dong cau Lie Khi dé Kery = {x € Gl¢(x) = 0} la mét idéan cia G
b Ga = {ad,|a € G} khi dó G, la mét idéan ctia DeG
c Xét énh tay : G — G,
—> ad,
Trang 191 @ là một đồng cấu Lic
2 Kerg la tam ctia G(Kery = Teg)
1 pới w la ding cau tu G dén G
3 ad(2) = y.ad py”
Chứng mình
a Véi Vx € Kery,y € G xét [x , y] ta cd:
gle y] = [¢(x) o(y)]
= [0, o(y)] = 0
Vay [x,y] € Kerg suy ra Kerg 1a idéan cia G L]
b Lấy D bat ky, D € DerG và ad, € Gu, Va € G Ta c6 [D, ada] = Ga suy ra D € G, ( dinh ly 1.2.2) Vay G„ là mot idéan cla DerG O c Ta chi ra ¿ là đồng cấu Lie * Ta có ¿ là ánh xạ tuyến tính Thật vậy: #(# +) = adw.„)(2) =lz + 2] = [x, z] + [y, 2] = ad,(z) + ad,(z) = (ad, + ady)(z) Suy ra v(x + y) = ¢(x) + #(0) V6i AX € R, x,y € G ta C6 #(A.#)0) = adz(0) = [Az, y] suy ra p(At)(y) = Me] = d.adz(y) = A.o(x)(y)
xTa chứng minh ¿ là đồng cấu Thật vậy, ta cần chỉ ra Vz € G thì:
Trang 20[x.y], <] = (ad,, ad, — ad,ad,)(z) = ad,([y, z]) — ady([x, z])
Trang 21Chương 2
Định lý Engel và ứng dụng
Trong chương này, ta giả thiết G là đại số Lie hữu hạn chiều trên
trường K có đặc số 0
2.1 Đại số Lie lũy linh
Định nghĩa 2.1.1 Cho G là đại số Láe Một dãy giảm các iđêøn của
G G= A, D Ay D Ay ^ được gọi là dãy tâm, nếu A;/A;,\ thuộc
vao tam của G/A;¿
Bồ đề 2.1.1 Ga sửG là đại s6 Lie va dãy giảm các iđêun của G G =
Ay D Ag D An D khi dé Aj/Aiyi thuéc ào tâm của G/A;¿¡ ©
[G, Ai] Cc Ajai
Chứng minh
Ta có: 4;/4;;¡ thuộc vao tam của G/4;,¡
Trang 22Với G là dai s6 Lie:
1 Day gidm cac idéan cia G :G = Ở! 5 Ở2 5 5 C" được gọi là dãy tâm dưới của G nếu G = C1, C2 = [C1,GỊ, C!*! = [Œ', G|,
2 Dãy tăng các idéan của G uới G = By C BoC C By C được
gọi là dãy tâm trên nếu B;+1/H; là tâm cia G/B; vdi Vi = 1, 2 n Bồ đề 2.1.2 Cho G la dai số Lic Nếu trong G có dãy tâm hữu hạn
G= 4ì > Ap ` An = {0} thì:
1 CC 4; uới G= Œ!5 C25 5C" ={0} (1)
2 An-i+1 C B; tới {0} = BỊC BạC .C B„= G (2)
Chứng minh
1.Với ¡=1 ta có Cl = Aj Gia sit (1) dang véi i = k ta c6 C* C Ag khi
đó ta cần chứng minh (1) đúng với i =k +1,C**! C Aga That vay
Ags D [G, Ag] D [G, C*] = C*†1!, Vậy C# CA, & CC Aj L]
2.Ta có 4¿ = {0} = Họ C Bị = (2) dúng với i=l Gỉa sử ta có As-;+i C B; ta can chitng minh A,_; C Bist
That vay, xét anh xa
f :G/A,-inn —> G/B; g + Anita > g + Bi
Theo mệnh đề (1.1.2) ta có Kerf = B;/Aa_¡+n
Mặt khác 4;-;/A;_;;i C tâm G/Aa_;+1
=> f(An-i/An-i41) C tam G/B; => A,-;+ B)/B; Cc tam Bi44/B;
=> (A,-i; + Bi)/B; C Biss /B;
= Ayit Bi C Bi
Trang 23Dinh nghia 2.1.3 Dai sé Lie G được gọi là đại số Le lũy linh, nếu
trong G tồn tại một dãy tâm hữu hạn G = Ái Ð 4a D Ay = {0}
Nhận xét 2.1.1 Moi dại số Lúc giao hoán đều là dại số Lác lũy linh
Ví dụ 2.1.1
Đặt G = RỶ = {(zx,y, z)|v,y,2 € R?} vdi tich Lie nhu sau [A, B] =
(0.0, 2142 — toy) Khi d6 G là đại số Le lũy linh Chứng minh e G là dại số Lie Gỉa sử A(zi,zs,z+3) Bi 9a, 93), Ở(2ì, z2, z3) € G Ta có: 1A, 4] = (0.0,#1.-2 — #a2.#1) = Ô ii.[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 Vi [[A, B], C] = [(0.0.,#1.2 — #2.1/1) (a1, z2, Z3)] = 0.22 — 0.2; = 0 Tương tự ta có: [[B, C], A] =0
[C 4].B] =0 Vậy G là dại số Lic
eG là đại số Lie lũy linh Thật vậy với n=3 ta có:
[LA BỊ, C] = [(0.0.#1.2 — #2.1) (21, z2 Z3)]
= 0.22 — 0.2; = 0 > G = R? là dại số Lie lũy linh oO Định lý 2.1.1 (xem[{]) Gia sit G là dai số Lie, các phát biểu sau là tương đương
1 G là dại số Lic lũy lành
8 Tồn tại n để Œ" =0
Trang 24Chứng minh e«(1) = (2) G là đại số Lic lũy linh do đó tồn tại một dãy tâm hữu han G = C19 C25 C3 3 0" = {0} e(2) = (3) Ta có C? = [G,C™]] =IG.(G,C""?] = Œ [G [G, Œ"~?|]] = [G [G.| [G, G]]]] = 0 Lay x; € G ta c6 [21 [x2 [%n-1, Lp] = 0, Vx; € G
(3) => (1)Ta có [z |zs |#„—t,#a]] = 0,V#¿ € Œ nên tồn tại n để
7" =0 suy ra lũy linh L]
Dinh ly 2.1.2 Dat U(F) = {u € ndV|u(V;) C V;_1.Vý > 1} nghĩa là V„ —> V„-¡ —> W —>0 Khi đó U(F) la dai 86 Lie lity linh
Chứng minh
Đặt U(F) = GŒ, xét dãy Œ = Ở! 5 Œ2 5 Œ3 5 C” = {0} trong do:
7! ={u€ EndV|u(V:) C V,—t} C? = {u € EndV \u(V;) C Vi-2}
C8 = {u € EndV |u(V;) C Vi-s} C! = {u € EndV |u(V;) C Vi-j, 3 < i}
Ta cần chứng mình dãy G = Ở! 5 C2 5 Œ3 ¬ Œ" = {0} là dãy tâm
của Œ Thật vậy:
0(C", C2] = {[a, bla € C',b € CF} = {ab — ba|a € C'¿b€ C?} e[C!,Œ?](V.) = Cl.CH(V;) — C2.C1(V;) mat khac ta co:
Trang 25Tit (1) va (2) suy ra C1.07 — 07.01 C OFF}
=> |C!,Œ1] c Œ1
= (G.ci] ccm
=> C/C!** thudc tam ciia G/Cj44 «
Suy ra G = C1D 0? D C8 DC” = {0} là dãy tâm Vay U(F) la
đại số Lie lũy linh L]
Mệnh đề 2.1.1 Cho Œ là đại số lũy linh Khi dó đại số con của G là một dai sd Lie lug linh Chứng minh Gia sử Ñ là đại số con của G Ta có: NicG=C! N? = [N,N] C[G,G] =C? N3 =[N,N”] € [G, C?] = C3 ẠN" =[N,N"-!] C[G,C"~1] =Œ" =0
Vậy Ñ là dại số Lie lũy linh Oo
Mệnh đề 2.1.2 Cho G là đại số lấy linh, A la idéan ctia G Khi dé
Trang 26Mệnh đề 2.1.3 Gia sử G,G' la hai dai sé Lie liiy linh, ¢ :G —> G'
là mét dong céu Lie Khi dé ¿(G) là một dại số Le lũy lính Chứng minh G là đại số Lie lũy linh nên 3ø để [zi, [zs |#„_1,#„]| = 0,V#¿ € G ta lấy \,9›, „ € @(G) ta có: ¿@:G—>G" ị — Yi = @(¡) Ta cần chứng mình [y1, [yo- -.[Yn—1, Yn]] = 0 Thật vậy: [yr [y2 -[Yn—1, á]] = [Z(31): [#(32) -[(#s—1) #()]] = [¿(#1), |g(#a) £[#a—; #u]] [(Œ1), #[#a [#»— 1; 2n |] œla¬ [xa [#„—1: #n |] ¿(0) = 0 suy ra [¿(G)]” =0
Vậy ¿(G) lũy linh L]
Định lý 2.1.3 Gia si V la không gian 0uéctơ trên K, ƒ € EndV la
Trang 27= 4-3291 +34? + gJ”
Tiếp tục quá trình này ta có:
ead}(9) = [FULL alll)
= f'g—nf"lgf +nfgf?l+gf" =0dondi
lớn và n € N*
Vậy ad; = 0 Vƒ € EnđV suy ra ađ lũy linh oO
Mệnh đề 2.1.4 Gia sử G là dại số Lie cé dimG = 3, c6 co sé la {ei,es.ea} càng uới phép nhân [e1,e2] = es, [e1, e3] = [ea,ea| = 0 Khi
dé G la dai sé Lie lay linh Chứng minh G là đại số Lie lũy linh © [2, [y, z]] = 0 voi Vr, y,z € G That vay {e1,€2, €3} la cd sd cia G ta có: X= Xe, + Lo€g + ©3€3 Ụ = 161 T 262 + 1363 Z = ZI€1 + Z2©a T+ 2363 .*[J, #Ì = [yer + yoes + yses, 11 + Z26a + 2a6a] = [yi22 — s21] x(x, [y, 2]] = [#i€ -F #a€a -F #3€3 yize — yor] = #1(122 — 9221)|€1 €ã] + #2(1#2 — yoz1)[e2, €3] +3(/122 — yo21)[e3, €2] = 0 Vậy G là đại số Läe lũy linh oO 2.2 Dinh ly Engel
Trang 28khái niệm, tính chất về chuẩn hoá và iđêan cực đại trong G
Định nghĩa 2.2.1 (xem/3]) Gia sử G là dại số giao hoán trên lK, một idéan cuc dai ( toi dai ) trong G la mét idéan A ¥ (1) sao cho khéng
ton tai mot idéan I 4 (1) nao thuc su chita A
Ménh dé 2.2.1 (xem/3]) Mot idéan A ctia dai số giao hoán G là tối
dai néu va chi néu G/A là một trường
Chứng minh
(=) Gia sử 4 là tối đại Vì 4 # (1) nên G/A # {0} Vậy ta cần phải
chứng minh mọi phần tử khác không của G/4 dều khả nghịch Gỉa sử 0 # x € G/A vì x # Ũ nên z £ G Vậy A-+G+z thực sự chứa 4A Do đó, vì 4 là tối đại nên A + Ga = G Vậy tồn tại m € 4 và € G sao
cho m + y = 1 Từ đó suy ra m + # =m +ÿS=yX=I Vậy x là khả
nghịch Do đó G/A là một trường
(©) Nếu G/A là một trường thì mọi phan tit 0AkE G/A déu kha
nghịch, tức là y€ G/A sao cho ÿX=l Vậy 1 € #ÿ + A Từ đó suy ra
G=2G + A Điều này xảy ra với mọi z £ 4 vậy A là tối đại Oo
Mệnh đề 2.2.2 (zem/j)
Moi idéan I # (1) của đại số giao hoán G # {0} đều bị chứa trong
một idêan tối đại A
Chứng minh
Xét tập 8 các iđêan của G #Z 1 và chứa L, sắp thứ tự bao hàm Gỉa
sử , là một tập con của 8, sắp thứ tự toàn phần Khi đó với mọi cặp chỉ s6 i, j ta có Ö; C ; hoặc Ö; C B; Ta dat B= UBi, dé thay B
Trang 29là một cận trên của Ö; Áp dung b6 dé Zorn, ta có một phần tử tối
đại đó là một iđêan tối đại của G chứa / oO
Ménh dé 2.2.3 (xem/3]) Gia sti G, G' la đại số giao hodn va f la toan cấu ƒ :Œ — Œ' Khả đó nếu A là iđêan tối dại trong G thi f(A) = A’
la idéan toi dai trong G’ Chứng minh
Thật vậy, ta có A4 = ƒ~1!() là một idêan của Œ Rõng ràng ta có
A!’ # G Vậy chỉ cần phải chứng minh 4 C Ö, với # là một iđêan của
G,A # {1} thì B = A Gia sit A = f-1(A) C B Vif là toàn ánh
nén ff—1(A’) = A’ C f(B) voi f(B) la mot idéan cia G’ Vi A’ 1a
tối đại trong Œ' và ƒ(B) # G’ nén A’ = f(B) Suy ra A = f71(A) =
f-lf(B) 2D B vivay A= B 0
Nhận xét 2.2.1 Moi dai sé giao hodn déu c6é idéan cuc dai
Dinh nghia 2.2.2 Gia stt H la mot dai s6 con ctia dai s6 Lie G Tap
U = {+ € Gi|[œ, H] C II} được gọi là chuẩn hoá của HH Nhận xét 2.2.2 (zem/4j)
1 HC
2 U là một đại số
3 H la mét idéan ctia U
Thật vậy, ta xét [[z, g], h| = —[[ h].#] — [[h, 2], y] Do [y,h] € H và
[h,+| € H, nên [[z,|,h] € !I,Vh Vậy [[z.],H] C 11 = H Ia idéan
Trang 30Nhận xét 2.2.3 Gia sử Œ là đại số Lie lity linh, H là đại số con thực
sự trong Œ va U la chuẩn hoá của H Khi đó L là đại số con lớn nhất
của G nhận H lam idéan va U # HI Chứng minh
Gia stt c6 dai s6 con U’ C G nhan FH 1a idéan, khi đó ta có VU" thi
[(U', 1] CH do d6 U' CU
Mat khac do G lity linh ta co day G= C!D C? 5 C8 > OC” = {0}
Goi k 1a sé nguyén 1én nhat, sao cho Ch + H # H
Khi đó [C* + H] C [C®, H] +[H, H] C Ớ*†+! + H = H(do k lớn nhất)
Suy ra Ch + H CU Vay ta có H C (C* + H) CŨ L]
Nhận xét 2.2.4 Trong dai s6 Lie lũy linh n chiều luôn có iđêqn (n-1) chiéu H
Chứng minh
Gia sử H 1a dai s6 con thue su, cuc dai trong G, H # G Ta goi U la chuẩn hoá của // Theo nhận xét (2.2.3) ta cd U 1a dai s6 con chtta H và U # H Vậy nên U = G do do A 1a idéan trong G
Ky hiéu y=f{Ay + h|A € Rh € H,ụ © Gy ¢ HW} Ta thấy ÿ là một đại số con của G chứa H => ÿ= G Từ đây ta suy ra Vợ € G ta có thể viết g = Ay +h voi Vy € H,y ¢ H Vay dimH =n -—1 L] Dinh lý 2.2.1 (Định lý cơ bản của đại số Le lãy linh)(xem/4])
Gia sử G là một dại số Láe trong EndV tà z lug linh, Vx € G (V la
một không gian oéctơ hữu hạn chiều) Khá đó có một 0ectd € V,» #0
sao cho z(0) =0.V+ € G
Chứng minh
Ta chứng mình định lý này bằng phương pháp quy nạp theo chiều
Trang 31eVéi dimG = 1 Ta xét x € G,x 4 0 Do x luỹ linh nên có ò 40,1 € V
sao cho x(v)=0 Với x bất kỳ y € G ta có y có sự biểu diễn ¿ = À# => y(v) = Ax(v) = 0
eGỉa sử định lý đúng với mọi đại số Lie con của G với đimG < n— 1
Ta chứng mình dịnh lý dũng với G mà đưnG = n
Thật vậy vì G luỹ linh nên có iđêan H với dinmH=n-l khi đó ta có
sự biểu diễn của G =< > @H,y £ H, áp dụng giả thiết quy nạp đối với H ta có € V,ò # 0 thoả mãn h(v)=0, với h € H Ký hiệu W =({u€ V|h(u) =0.Vh € H}, với u € W ta có:
[u.h](u) = uh(u) — hụ(u) = h(y(u)) = 0.Vh € THÍ => g(u) € Wu EW
Do y lũy linh nên ta có uy 4 0,up € W dé y(uo) = 0 Gia sit
g € H thi g có sự phân tích g = À + h = g(uo) = (Ay + h)(uo) = Ay(uo) + h(uo) = 0
Vậy uạ là véctơ cần tìm oO
Dinh ly 2.2.2 (Engel) (xem[8]) Gia sit p : G — EndV la mot dong
cau Lie sao cho p(x) là lay linh doi moi x € G Khi do trong V c6 ca
F = [Vj] thoả mãn p(G) C U(F)
Chứng minh
Ta cần chứng mình định lý (2.2.1) tương đương với định lý ( 2.2.2) e(2.2.2) = (2.2.1) Ta c6 p(G) 1a dai s6 con trong EndV Thật vậy với
Va, € K và Vz, € G ta có:
œp(#) + Øp(u) = p(a#) + p(8y) = plax + By) € p(G)
Vậy ø(G) là không gian véctơ con của E’ndV
Trang 32(z)ø(0) — p(0)ø(#) (z) — p(w+) (xy — yx) = p[x,y] € p(G) (F) Ve € G = p(x)(V;) = 0.Ve eG > p p 0 Theo gia thiét p(x) € U p(x)(v) = 0,Ve € Gv £0
(2.2.1) = (2.2.2)Ta chứng minh quy nap theo chiều củaV
Véi dimV = 1 ta lay 1a cd trong F = {0,V;} Vì ø(2)(W;) = 0.V+ €
G = p(x) € U(F).Vz e G
Gia stt (2.2.2) dang moi W ma dimW = k — 1 ta chttng minh (2.2.2) đúng véi dimV = k(W C V) That vay , gid stt trong V cé vécto v £0, p(x)(v) = 0, V2 € G Ta xét V =< v > QW véi dimW=k-1, áp dụng giả thiết quy nạp cho trong W có lá cờ # = {W;},0 CC W C Wạ CC C Mĩ, = W và 0(#)(W?) C W;_, Ví = 1,2 — 1 Ta lay 14 cd F trong V Ia 0c Vi C Vo C V3 C Vy = V với V =< v > QWs Khi dé
p(x)(a) = p(a)(Av + w) = p(x)(w) € Vi-y với œ €V,_1,@ € W;_
Vay p(a) € U(F) Vx EG L]
2.3 Ưng dụng
Trong phần này, chúng tôi chỉ ra một số bài toán giải được bằng việc sử dụng định lý Engel
Mệnh đề 2.3.1 Dai 86 Lie luỹ linh khi va chi khi biểu diễn liên hợp
ad, ltiy linh véi Vx € G Chứng minh
Trang 33t= =k, =X
e Diéu kién du Gia sit ad, lay linh véi Vx € G Khi do ap dung
định lý Engel đối với biểu diễn liên hợp, khi đó tồn tại dãy iđêan
0c Ay C Ag C Az C Ay C CA, = G sao cho [G, Aj] C A,,,
G lũy linh Oo
suy ra
Ménh dé 2.3.2 Gia sử V là không gian 0éctơ, G là đại số Láe hữu hạn chiều của EndV mà các phần tử của G lũy linh Khi dó G la dai 86 Lie lũy lĩnh
Chứng minh
V6i Vx € G theo gia thiét ta c6 ad, là lũy linh, theo mệnh đề (2.3.1)
suy ra G là dại số Lie lũy linh O
Mệnh đề 2.3.3 Gia sti G la dai sé Lie, A la idéan thuéc Z@ sao cho G/A la dai s6 Lie lay linh Khi d6 G la dai số Lie lity link (Zc la tam của G)
Chứng minh
Với g € G ta chỉ ra ad, luỹ linh Thật vậy , vi G/A là đại số Lie lũy linh
suy ra ød¿ 4 luỹ linh Do đó 3n € Ä sao cho [ad(y¡a)}” = A => Vx € G
ta có:
[ad„:s]"( + 4) = A
=> |adqxa|Ï"~ (ad aj( + 4)) =
Trang 34[G (adg)"(x)] = 0 = (ad,)"*1(x) = 0.Va € G Suy ra (ad,)"*! = 0
Vay ad, la lity linh do do G la dai số Lie luỹ linh oO
Ménh đề 2.3.4 Gia sử G la dai s6 Lie, H la idéan ctia G thod man G/H tà ad,|H la dai s6 Lie lug linh véi moi x € G Khi dé G la dai
86 Lie lug linh Chứng minh
Với g bat ky g € G ta chitnh minh ad, 1a dai s6 Lie luỹ linh Thật vậy vi G/H lay linh suy ra ad, luỹ linh, nén dn € N dé [adig44))” = H suy ra véi Vx € G ta c6 [adiy,4)|"(u + H) = H
Chứng minh tương tự như trong mệnh đề (2.3.3) ta có (ad,)"(x) € H,
vì ad,|„ lũy lĩnh nên tồn tại m € AẢ để [ad,]”((ad,)(z)) = 0 > (ad,)"*" (x) = 0.Va € G = (ad)"*” = 0 = ad, liy linh suy ra G lity
linh L
Mệnh đề 2.3.5 Gia sử G là đại số Lie luỹ lính, H la idéan cia G,
Zo là tâm của G Khi đó H{Zc # {0} Chứng minh
Với mọi # € G ta xét
ady : HH — H
h — [x,h]
Ta có ad, € EndH vi G lity linh nén ad, lity linh Theo dinh ly Engel thi ton tai h € H,H # 0 để ad;(h) =0.Vœc€G= h€ Zc=bh€
Trang 35Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã đạt được các kết quả sau:
1 Trình bày một cách hệ thống chi tiết các khái niệm, tính chất cơ bản của đại số, đại số Lie và chứng minh chỉ tiết các tính chất đó như mệnh đề (1.1.1), (1.1.2) 2 Trinh bày hệ thống đồng cau Lie, Anh xa vi phan, anh xa ad, va 4, 'ˆ Zz 4, 4 2 x x ⁄ ^ x chứng minh chỉ tiết các tính chât ở phần này như các mệnh đề (1.2.1), (1.2.2) và định lý (1.3.1), (1.2.2) 3 Trình bày các tính chất cơ bản của đại số Lie lũy linh và chứng mỉnh các tính chất này như định lý (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) 4 Trình bày chứng minh chỉ tiết định lý Engel và chỉ ra mối liên hệ
giữa chuẩn hoá và iđêan cực đại (2.2.9), (2.2.9), (2.2.11)
5 Trình bày các ứng dụng của định lý Engel: (2.3.1), (2.3.2), (2.3.4),
(2.3.4), (2.3.5)
6 Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục tìm thêm các bài toán ứng
dụng định lý Engel
Trang 36Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng việt:
{I] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết dại số ác tà nhóm Lie
(Tài liệu lưu hành tại Dai hoc Vinh )
[2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Húe, Bài giảng chuyên đề cao
học chuuên nghành Hành học -Tépé , Dat hoc Vinh
[3] Ngo Thiic Lanh (1982), Dai sé ( gido trinh sau dai hoc ) Nha suất bản giáo đục
[4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bai giang Dai so Lie va nhém
Lie, Dai hoc Vinh
[5] Nguyén Quéc Thi (2004), Dai sé Lie, Bai giang chuyén dé
cao học chuyên nghành Hành học -Tôpô, Dại học Vĩnh
Tài liệu tiếng Anh:
versity pres
[7] Helgason(1978), Differential Geometry Lie Groups, anh Sym-
metri Space.Academic Press New York
[8] Knapp A W(1999), Lie Group Beyond an introduction Progress
Mathematics Vol 140