Lý thuyết độ đo là chủ đề quan trọng của tốn học, đặc biệt là các chuyên ngành tốn giải tích Lý thuyết độ đo cĩ nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật, khoa học xã
hội Từ khi lý thuyết độ đo được xây dựng chính xác bằng hệ tiên đề
vào khoảng cuối thế kỷ 19 bởi Lebesgue, Carathedory, nĩ đã phát triển mạnh mẽ và là cơng cụ quan trọng hàng đầu để phát triển các lĩnh vực tốn học khác Tuy nhiên, những bài tốn trong lý thuyết độ đo vẫn rất
phong phú và khơng mất đi tính thời sự Do đo Haar là lớp độ đo Borel
quan trọng, nĩ được xây dựng trên các nhĩm tơpơ Những tính chất tốt
của độ đo Haar được thể hiện thơng qua sự kết hợp giữa cấu trúc tơpƠ và cấu trúc đại số của nhĩm tơpơ Do đo Haar cĩ những ứng dụng đặc
biệt quan trọng trong nghiên cứu những lớp nhĩm tơpơ như: nhĩm Le, nhĩm tơpơ compact địa phương nhĩm tơpơ giải được,
Với mục đích tìm hiểu khái niệm, sự tồn tại, các tính chất và một số
ứng dụng của độ đo Haar trên nhĩm tơpơ compact địa phương, chúng tơi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: Độ do Haar trên nhĩm tơpơ compact dia phương uà một uài ứng dụng
Nội dung chính của luân văn là trình bày các kiến thức cần thiết để xây dựng khái niệm độ đo Haar, một phương pháp chứng minh sự tồn tại độ đo Haar trên nhĩm tơpơ compact địa phương, và một số vài ứng
dụng trong nghiên cứu một lớp đại số Banach và một số tính chất của
Trang 3Chương 1: Một số kết quả uề độ đo uà nhĩm tơpơ
Nội dung của chương này trình bày những kiến thức về độ đo và nhĩm tơpơ là cơ sở cho việc xây dựng độ đo Haar
Chuơng 2: Độ đo Haar uị một uài ứng dựng
Nội dung của chương trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ đo Haar trên nhĩm tơpơ compact địa phương và một vài ứng dụng trên nhĩm tơpơ compact
Luận văn được thực hiện tại trường Dại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS Kiều Phương Chỉ Tác giả
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa tốn Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cơ giáo trong Khoa tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặt dù đã cĩ nhiều cố gắng,
nhưng luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sĩt Chúng tơi
rất mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của các thầy, cơ giáo và bạn
bè để luận văn được hồn thiện hơn
Vịnh, thứng 12 năm 2011
Trang 4CHUONG 1
MOT SO KET QUA VE DO DO VA NHOM TOPO
Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả cơ bản của lý thuyết độ đo, nhĩm tơpơ cần dùng về sau
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này chúng tơi trình bày hệ thống những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhĩm, khơng gian tơpơ khơng gian định chuẩn cần dùng về sau
Các kết quả này cĩ thể tìm thấy trong [1]
1.1.1 Định nghĩa Cho Œ là một tập hợp khác rỗng và một phép tốn
hai ngơi (z,z) H zy tt Gx G > G Ta gọi G là một mhớm nếu phép tốn thoả mãn các điều kiện sau:
1) Phép tốn là kết hợp, tức là a(be) = (ab)c với mọi a, b và c € G; 2) Tồn tại e € Œ sao cho è = ae = a với mọi ø € Œ;
3) Với mọi a € Œ tồn tại b € Œ sao cho ab = ba = e
Khi đĩ e là duy nhất và được gọi là đơn vị của nhĩm Œ; phần tử b thoả mãn 3) là duy nhất được gọi là phần tử nghịch đảo của ø và ký
hiệu là b :— a~! Dễ thấy (ab)~! —= b~!a~!, Nhĩm Œ được gọi là Aben néu ab = ba với moi a.b € G
1.1.2 Dinh nghĩa Tập con 7ƒ của nhĩm Œ được gọi là một nhớm cơn
Trang 5ab-! € H véi moia.b € H
1.1.4 Vi du 1) R” 1a một nhĩm Aben với phép tốn là phép cộng thơng thường (theo toạ độ)
2) Đặt F = {ze(: |z| = 1} = {e⁄ : œ € [0.2z]} là một nhĩm Aben
với phép tốn cảm sinh từ phép nhân thơng thường các số phức Nhĩm này cịn gọi là nhĩm, đường trịn
Sau đây ta nhắc lại một số vài khái niệm và ví dụ về tơpơ cần dùng về sau
1.1.5 Định nghĩa Cho X Z Ú, họ 7 các tập hợp con của X được gọi
là một fơpơ trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau 1) Ú,X €7;
2) Nêu UỊ,Ủạ € 7 thì Uị 1U; €7;
3) Với mọi họ {Ua}aer C 7 đều cĩ Uacr;U„ €7
Khi đĩ (X,7) là một khơng gian tơpơ, mỗi U € 7 được gọi là tập mở, tap A được gọi là đĩng nếu X \ 4 là mở
Cho (X,7) là một khơng gian tơpơ, z € X Mỗi tập hợp V được gọi la lan can cla xv néu t6n tai tap md U saochox CU CV
Cho X z Ú Ký hiệu Ð(X) là họ tất cả các tập con của X
Khi đĩ P(X) là một tơpơ trên X và (X, ?(X)) được gọi là khơng gian topo ror rac
Ho {Ua}acr CT goi la phi mé cia A C X néu A C Uge Ua Tap con
AC X dude goi la compact néu méi phủ mở của nĩ đều cĩ phủ con hữu hạn Khơng gian tơpơ X gọi là compact nếu nĩ là tập compact Khơng gian tơpơ X goi lA compact dia phương nếu với mỗi z € X tồn tại lân
Trang 61.1.6 Định nghĩa Cho #2 là khơng gian tuyến tính trên trường K Hàm
I-||: Z —> R được gọi là một chuẩn trên Ƒ nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) |lz|| > 0 với mọi z € # và ||+|| = 0 © z = 0; 2) ||Azll = |Alllz||, với mọi À e K và với mọi z € F;
3) |lz + yl < llzll + |lu|| với mọi +, € Khi đĩ (#, |.||) được gọi là
A A : - 3
một khơng gian định chuẩn
Khơng gian định chuẩn là khơng gian metric với metric sinh bởi chuẩn
d(z, y) = ||#— w||, Y+, € Khơng gian định chuẩn # được gọi là khơng gian Banach néu E day đủ với metric sinh bởi chuẩn
1.1.7 Ví dụ Cho X là khơng gian tơpơ compact Khi đĩ
C(X)={1ƒ: X—(Œ:ƒ _ là hàm liên tục}
là một khơng gian Banach với chuẩn
l/ll = sup |/Z(+)| rex
Cho X,Y là các khơng gian định chuan Ky hiéu L(X,Y) 1A tap hop các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y” Ta đã biết L(X, Y) là khơng gian định chuẩn với chuẩn
l/ll= a, /(+)l| Yƒ e L(X.Y) zll=
Nếu Y là khơng gian Banach thi L(X,Y) 1A khong gian Banach Dac biệt r(X, K) = X* là khơng gian liên hợp thứ nhất của X cũng là khơng gian Banach Mỗi phần tử của X* ta gọi là một dang tuyến tính liên bục
1.1.8 Định nghĩa Cho X là một khơng gian tơpơ và hàm số ƒ liên tục
trên X GŒ/á của hàm ƒ được ký hiệu suppƒ là tập hợp đĩng nhỏ nhất
Trang 7Ta ký hiệu C,(X) là tập hợp tất cả các hàm số liên tục giá compact
trên X Với các phép tốn cộng và nhân vơ hướng theo điểm thì X là
khơng gian tuyến tính Nếu X là khơng gian compact địa phương thì
Œ„(X) là khơng gian lồi địa phương với tơpơ sinh bởi họ nửa chuẩn {px}, K chạy qua khắp các tập compact của X, trong đĩ
px(f) = sup |f(x)|, Vf € Ce(X)
zcK
Các kết quả trên cĩ thể tìm hiểu trong [7]
1.1.9 Định nghĩa Hàm thực ø : C¿(X) — lR được gọi dạng tuyến tính
đương nêu thoả mãn các điều kiện sau: 1) ø là tuyến tính, tức là
o(af + Bg) = ae(f) + Bolg) Vf.g € Ce(X), Va, 8 ER;
2) Nếu ƒ > 0, tức là ƒ(+) > 0 với mọi z € X thi d(f) > 0
1.2 Độ đo và định lý biểu diễn Riesz
Mục này chúng tơi trình bày hệ thống những kiến thức cơ bản về lý thuyết độ đo Các kết quả này được trích từ các tài liệu [1] va [7]
1.2.1 Định nghĩa Cho X # J và 4 là họ các tập con của X Ho A được gọi là một đạ¿ số nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) 0, X € A;
2)Néu AE Athi X\AEA; 3)Néu A,BeE Athi AUBEA
Họ 4 được gợi là một ø-đạ¿ số nếu thoả mãn 1), 2) và
3) Nếu {An}, CA thi UX, Ap € A
1.2.2 Nhận xét I) Mỗi ơ-đại số là đại số Ngược lại là khơng đúng
Trang 8tập hữu hạn hoặc cĩ phần bù hữu hạn của X Khi đĩ, dễ dàng kiểm tra
được 4 là một đại số Tuy nhiên, xét 4„ = {z¿„} với mỗi = 1,2, Khi do Ay € A véi moi n va US, An # 4 Do đĩ 4 khơng phải là một o-dai sé
2) Giả sử {.4a]}aer là họ các đại số (ơ—đại số) các tập con của X
Khi đĩ 14a ={A: A=n4a, 4a € 44a} là một đại số (ơ-đại số)
Rõ ràng, họ tất cả các tập con ?(X) của X là một ơ—đại số Do đĩ,
từ nhận xét trên ta cĩ thể định nghĩa
1.2.3 Định nghĩa 1) Cho Ø là họ các tập con tuỳ ý của X Giao của
tất cả các ơ-đại số chứa 8 được gọi là ø-đạ¿ số sinh bởi B
2) Cho X là khơng gian mêtric ø-đại số sinh bởi các tập mở của X
được gọi là ơ-đạ¿ số Borel Ta ký hiệu ơ—đại số Borel của X là 8(X) và
mỗi tập thuộc 6(X) được goi la tap Borel
1.2.4 Định nghĩa Cho 4 là một đại số các tập con của X Z Ú Hàm tập uw: A> R được gọi là một độ đo trên X nếu thoả mãn: 1) /() — 0; 2) (4) > 0 véi moi A € A; 3) V6i moi {Ap} C A sao cho Am» NM An = Y véi moi m A n và Urey An € A thi we) An) = So (An) n=1 n=1 1.2.5 Định nghĩa Cho X là khơng gian tơƠpơ và / là một độ đo trên X
1) , được gọi là độ đo Borel nếu mọi tập Borel là /-đo được;
2) là chính quy Borel nếu nĩ là độ đo Borel và với mọi tập Borel A
tồn tại tập mổ A sao cho /(4) = p(B);
Trang 9Trong tồn bộ luận văn này các tích phân được hiểu là tích phân Lebesgue Sau đây chúng ta phát biểu định lý biểu diễn Riesz Đây là kết quả quan trọng được sử dụng nhiều lần trong chương sau Chứng minh
của định lý này cĩ thể tìm đọc trong [1] hoặc [7]
1.2.6 Định lý Nếu X là khơng gian tơpơ comjpactL địa phương Khả đĩ,
mọi phiếm hàm liên tục dương ộ trên Cạ(X) đều tồn tại duy nhất một
dé do Radon p trén X sao cho
olf) = / [ân
tới mot f € C.(X)
1.3 Nhĩm tơpơ
Mục này trình bày hệ thống kiến thức cơ bản về nhĩm tơpơ cần dùng
để xây dựng độ đo Haar về sau Các kết quả trong mục này cơ bản được
trình bày từ [1]
1.3.1 Định nghĩa Một ø„hĩm tơpơ là một nhĩm Œ được trang bị một tơpơ 7 sao cho phép tốn (z, ) > ry và ánh xạ z => #~! từ Œ x Œ —› GŒ va G —> G là liên tục
1.3.2 Ví dụ 1) Cho Œ là một nhĩm tuỳ ý và trên Œ ta xác định topo rời rạc IKhi đĩ, Œ là một nhĩm tơpơ và được gọi là nhĩm ¿ơpơ rời rac
2) Cho 7 là khơng gian định chuẩn Khi đĩ, # là một nhĩm với phép tốn cộng Vì các phép tốn cộng và nhân vơ hướng trong # là liên tục
với tơpơ sinh bởi chuẩn nên F 1a mot nhĩm tơpơ Tổng quát hơn moi
khơng gian véctơ tơpơ là nhĩm tơpơ với phép tốn cộng Đặc biệt R* với phép cộng thơng thường (theo toạ độ) là một nhĩm tơpơ
3) Xét nhĩm đường trịn T = {e? : 0 < Ø < 2z} Với tơpơ sinh bởi
mêtric cảm sinh từ €, tức là
Trang 10
10
thi D là một nhĩm tơpơ compact
1.3.3 Mệnh đề Giả sử Œ là một nhĩm tà 7 là một tơpơ trên Œ Khả đĩ
(Œ,7) là nhớm tơpơ khi tà chỉ khả ánh œạ (a,b) > ab~ là liên tục trên
GxG
Chitng minh Néu (G,7) 1& một nhĩm tơpơ thì theo định nghĩa (a, b) 4 ab và ánh xạ a > œ1 từ G x G — G và G — G là các ánh xạ liên tục Khi đĩ vì ánh xạ ngược của ánh xạ ø -> ø~! là chính nĩ nên nĩ là một
đồng phơi Do đĩ trong ánh xạ (ø, b) +> ab ta cĩ thể thay b bởi b1 Suy ra ánh xạ (ø,b) c> ab~† là liên tục trên Œ x G
Ngược lại, giả sử ánh xạ (a,b) r> ab~T là liên tục trên Œ x Œ Khi đĩ,
ánh xạ (e, b) + b~† là liên tục (trong đĩ e là đơn vị của phép tốn trong GŒ) Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ (e,ø) => ø là một đồng phơi Suy ra
anh xa at} a7! lién tuc Vi Anh xạ ngược của ánh xạ ø -> a7! là chính nĩ nên nĩ là một đồng phơi Do đĩ ta cĩ thể thay b~! bởi b trong ánh xạ (a,b) => ab~! Suy ra ánh xạ (a, b) => ab liên tục Vậy Œ là một nhĩm
topo L]
xiả sử G là một nhĩm tơpơ, 4, Ø C Œ và a € Œ Ta định nghĩa
tA=fary:ye Ay; Av =fyr:ye A}; Al=t{z!:xe4}
va AB ={ry: x € A,y € BY Ta noi A 1a déi ximg néu A“! = A
1.3.4 Mệnh đề Cho GŒ là một nhớm tơpơ Khi đĩ, các ánh zạ sau là đồng phơi:
1) Phép tịnh tiến phải R„ : Œ — Œ theo một phần tử a € Œ cho trước, được xác định bởi lầ„(%) = xa v6i moi x € G;
2) Phép tinh tién tréi La : G 4 G theo mét phan tit a € G cho truéc, được xác định boi Lg(a) = ax véi moi x € Œ
Chứng mình Từ định nghĩa nhĩm tơpơ suy ra Lạ Rg lién tuc Dé thay (Lạ)~= L„ + Do đĩ (EL¿)~† liên tục Suy ra 7x là đồng phơi Tương tự
Trang 111.3.5 Mệnh đề Cho Œ là một nhĩm tơpơ Khi đĩ, ta cĩ các kết quá Sau:
1) Với mỗi lân cận U của e, ton tai lan can V đối xứng của e sao cho V CU
8) Với mỗi lân cén U cia e ton tai lân cậu V của e sao cho VV CU 3) Nếu H là nhớm cơn của Œ thà H citing vay
4) Mỗi nhĩm con mở của Œ là đĩng trong G
ð) Nếu K\, K› là các tập cơn compact của Œ thà Kk, K citing la tap compact cia G
6) G là khơng gian tơpơ chánh quy
Chứng mứnh 1) Vì ánh xạ a r> a~Ì liên tục nên nĩ liên tục tại e Từ đĩ suy ra, với mọi lân cận U của e tồn tại lân cận VW của e sao cho W-! CU Dat V = WnNW7! Khi do V lan can đối xứng của e và VCŨU
2) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ liên tục và tính liên tục của,
phép tốn tại (e, ©)
3) Giả sử a,b € H Ta cần chứng minh ab € H và a Ì € H That
vậy, giả sử U là lân cận ab Khi đĩ, tồn tại lân cận V của e sao cho
aVbV C U Vì a,b€ HĨ nên tồn tại z € Ïï sao cho +z € øV và € bV
Suy ra zy € aVbV Rõ rang zy € H Suy ra UN H # với mọi lận cận U cia ab Vay ab € H
Giả sử a € H va U là lân cận tuỳ ý của a1 IKhi đĩ, tồn tại lân cận
đối xứng V của e sao cho Va~!C U Từ a€ H suy ra aVfđnH #0 Do
đĩ tồn tại z € H và € V sao cho z = œ/ Suy ra z !=#/ -!a~!, Vì V đối xứng nên
£ 1= !1ạ~1= VaT1CU
Vay UN HAO Vi U là tuỳ ý nên a~! € ï1
Trang 12mở với mọi z € Œ Mặt khác ta cĩ
G\H= (Jon xéH
Thật vậy, nếu z € Œ \ 7 thì z = zøe € z1 Suy raŒ\ HC Usen +„H Ngược lại, nếu € Uren œH thi tén tai x ¢ H sao cho y € xH Khi do,
tén tai z € H sao cho x = yz Suy ra y ¢ H, bởi vì nếu ngược lại thì
œ€ H Vậy cŒ\ H, tức là Uren e1 CŒ\H Vậy G\H= |J eh
x¢H
Suy ra /ƒ đĩng
5) Từ tính compact bảo tồn qua ánh xạ liên tục và phép nhân trong
Œ liên tục suy ra điều phải chứng minh
6) Theo Mệnh đề 1.3.3 ta cĩ với mọi lân cận U của e tồn tại lân cận V của e sao cho VW~! C U Ta chứng minh V C U Thật vậy, nếu a € V thì từ aV là lân cận của a suy ra øV 1V z# 0 Suyraaœ€ VV! EU Vậy V C U Từ đĩ suy ra e€ V C U Do đĩ GŒ là khơng gian chính quy
L] 1.3.6 Mệnh đề Vếu nhĩm tơpơ Œ là Tìị— khơng gian thà GŒ là khơng
gian Hausdorff
Chứng mưnh Giả sử Œ là Tì-khơng gian Khi đĩ, với mỗi z # ¿ € G ta
cĩ z—! # e và tồn tại lân cận U cua e sao cho xy~! € U Theo Ménh
đề 2.2, tồn tai lan can V ctia e sao cho VV C U Do do xy"! ¢ VV Suy
ra zV va yV lần lượt là các lân cận rời nhau của z và y
L]
Từ nay về sau ta giả thiết các nhĩm tơpơ là Tì-khơng gian
Trang 131) Phép tịnh tiến trái của ƒ bởi ụ là ánh xạ Ly ƒ được xác định bởi
Ly f(x) = fly")
2) Phép tinh tién phdi ctia ƒ bởi là dnh xa R,f due xdc dinh béi
Ry f(x) = f(xy)
3) ƒ được gọi là liên tục đều bên trái (tương ứng bên phải) nêu với
mỗi e > 0 tồn tại lân cận V của đơn vị e sao cho
Lyf — fll = sup |Ly f(x) — f(a)| <¢
„cG
với mọi € V (tương ứng, ||yƒ — ƒ|| = supzee |R„ƒ(z) — ƒ(+)| < >) 1.3.8 Định lý ([1]) Nếu ƒ là hàm liên tục giá compact trên nhĩm topo G thà ƒ liên tục đều uề bên trái uà bên phải
Chiing minh Ta chứng mình ƒ liên tục đều về bên phải Giả sử ƒ € C.(G) Khi d6 K := suppf 1A tap compact Với mỗi e > 0, với mỗi
« € K tit f lién tue suy ra ton tai lan can U ctia x sao cho £ lf#)= ƒœ)I<5 với mọi z € U Đặt z = zø và suy ra = #~!z Khi d6, Up = x7 !U IA lân cận của e và lsu) = FOL <5
Trang 1414 Do đĩ |ƒ(œw) — ƒ(z)| < Flay) — ƒ()| + [ƒ() — ƒ()| < ‡ (1.1) Nếu z £ K thì ƒ(z) = 0 Với mọi € V ta cĩ z ý K hoặc zø € K C jhị #2, Nếu xu £ K thì [ƒ(zw) — ƒ(3)| = 9 (1.2) Néu zy € K C Uz, aiVz, thi tén tai i sao cho xy € +;Vz, Suy ra aha à xu, ry € Vz, và wjyte = x; ! ayy”! € Ve,V C VaVe, C Us: Do đĩ, [f(; +) — ƒ(œ)| < 5: Suy ra |ƒ(%¡)| < = Vi vay Lf (ou) — f(ø)| = LP e)| = Lfley) — Fe) + Fed < 54+ 5 == (13) Tw (1.1), (1.2) va (1.3) suy ra 2
Ry f — fl] = sup |Ry f(x) — f(x)| = sup |f(ay) — ƒ()| zcŒ zcŒ
Vậy, ƒ liên tục đều về bên phải Chứng minh tương tự ta cĩ ƒ liên tục
đều về bên trái
L]
Trang 15DO DO HAAR VA MOT VAI UNG DUNG
Nội dung của chương trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ đo Haar trên nhĩm tơpơ compact địa phương và một vài ứng dụng trên nhĩm tơpơ compact
2.1 Dộ đo Haar
Mục này trình bày khái niệm, tính chất và sự tồn tại độ đo Haar Các kết quả chính được trích ra từ [1]
2.1.1 Định nghĩa Cho Œ là nhĩm tơpơ compact địa phương Một độ do Radon /¿ khơng tầm thường trên Œ được gọi là một độ đo Haar trái
(tương ứng phđ;) trên Œ nếu /(+#) = (E) (tương ứng +) = (E))
với mọi z € G và € 8(G)
2.1.2 Nhận xét Giả sử / là một độ đo trên Œ và € L1(G, js) Khi do,
anh xa I: L'(G,p) —> C xác định bởi
1ƒ) = / Ƒ(z)du(z)
là dạng tuyến tính bị chặn Hơn nữa, điều kiện (2) = ,(P) tương đương với Ï(œzx,) = I(xg) hoặc tương đương ƒ(Uxxg) = I(xz) Do tập hợp các hàm đơn giản trù mật trong ”!{GŒ, ,) nên điều kiện bất biến trái
Trang 1616
2.1.3 Vi du a) D6 do Lebesgue trén R” là một độ đo Haar trái và phải trên nhĩm topo R”
b)Cho G là nhĩm tơpơ rời rạc Khi đĩ, độ đo đếm trên G là một độ
đo Haar trái và phải trên Œ
c) Độ đo Haar / trên nhĩm các đường trịn được xác định bởi
[to Jar = Pai e940
Ký hiệu Cj(Œ) = {ƒ € C.(G): f(z) > 0, Vw EG va |lf|| > 0}
Dinh lý sau trình bày một số tính chất cơ bản của do do Haar
2.1.4 Định lý Gid sui G là nhớm lơpơ compactL địa phương Kh¿ đĩ ta
cĩ các kết quả sau:
a) D6 do Radon ju la d6 do Haar trái khi 0à chỉ khí độ đo đ rác định bởi đ(E) = n(E~}) là một độ do Haar phai
b)Độ đo Radon khơng lầm thường ụ trên Œ là độ đo Haar trái khi va chỉ khi
Jri= Ji
véi moi f € C!(G) va vdi moi y € G
c) Néu là một độ đo Haar trái trên Œ thà đ(U) > 0 vdi moi tap mé
khác rỗng U C GŒ tà [ ƒdu > 0 tới mọi ƒ € Cự (G)
d) Nếu 4 là độ đo Haar trái trên Œ thà w(K) < 00 khi va chi khi K
là tập compact
Chiing minh a) Gia sit là độ đo Haar trái Dễ dàng kiểm tra được đ
là một độ đo Với mọi z € Œ, # € (G) ta cĩ (E+)~! = z~!E~! Do đĩ
ji( Bax) = H((E#) `) = (a EO") = p( BO") = đ(P)
Vi vay, ji 1A do do Haar phải Chứng minh chiều ngược lại là tương tự
Trang 17Với mỗi hàm đơn giản ø ta cĩ
m
9= 0 axa,
m
trong đĩ 4; € B(G) với mọi ¿ = 1,2 ,im, 4; f1 A¿ = Ú với ¡ # j7 và XA,
là hàm đặc trưng của tập 44; Khi đĩ, với mọi ¿ € Œ ta cĩ Ly g(x) = Lanal te) Vi vay m J Lygdp = So aint( Ai) = / gửu i=1 / frdp = / Ly fndy
véi moi n Tit fp 7 f hau khap noi trén G suy ra Ly fn 7 Lyf hau khap
nơi trên Œ Từ đĩ suy ra limpoo f Lyfndp = J Lụƒdụu Ta thụ được f Lyfdu = J ƒdu
Ngược lại, giả sử [ Uyƒdu = f fdu voi moi f € CJ(G) Khi đĩ )i= fLyfdu = ƒ fdu :— ®(ƒ) là các dạng tuyến tính dương trên
Œ,(G) Theo định lý biểu diễn Riesz, thì tồn tại duy nhất một độ đo sao cho
®„(ƒ) = ®(J) = tw = [tw
Mặt khác
/ Lyfdp= fre +)dụ(z cụm )du(u 2= [ft )du(œ
Suy ra (EF) = (#2) với mọi € B(GŒ
Trang 1818
c) Vì y 1a dé do Radon nén tồn tai K C Ga tap compact sao cho 0 < u(K) < œ Giả sử U là tập mở Khi đĩ, từ (zU) = (UV) suy ra
ta cĩ thể giả thiết U là lân cận của đơn vị e của Œ Khi đĩ {zU} là phủ
mở của ƒÝ Tồn tại z1, z2 z„ sao cho C Ủ? 1z¡U Suy ra n So ula) > (Kk) > 0, i=1 và vì thế /(U) — (œ¡ÙU) > 0 với ¡ nào đĩ Với mợi ƒ € Œ*(G) đặt Tu, U = fe: Fle) > 3IIFI Khi đĩ U là tập mở và ‘ 1 [Tá > 3l) >0
d) Nếu Œ là compact thi (G) < +00 Ngược lại, giả sử (G) < +s%
nhung G khong compact Khi đĩ tồn tại lân cận mở V của e sao cho
G khong thể phủ bởi hữu hạn các tập cĩ dạng +zV Do đĩ tồn tại dãy {n}n=1 C G sao cho
n-1
rn ¢ U 4V
i=1
Goi U 1a lan can cia e thod min UU~! C V Véimoim 4 n € N taco thé
gia thiét m > ø Khi đĩ, nếu z„U n1z„U # Ú thì z„ € z„UU~!C z„V Diều này mâu thuẫn với cách chọn dãy {+„} Vậy {z„} là dãy rời nhau Do U là tập mở nên (œ»;U) = (U) > 0 Suy ra
œ
8G) 3>” n(myU) = +00
n=-1
Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy Œ là compact L]
Trang 19một điểm chung của các phương pháp là phải sử dụng định lý biểu diễn
Riesz, cụ thể là các phương pháp đều phải xây dựng một phiếm hàm tuyến tính dương và bất biến trái trên Œ«(G), sự khác nhau chỉ là cách
xây dựng phiếm hàm Một phương pháp chứng minh quen thuộc chúng
ta cĩ thể tìm đọc trong [1] Ở đây, dựa vào ý tưởng chứng minh định lý
Hahn-Banach và tham khảo một số tài liệu tham khảo [4], [5], chúng
tơi trình bày một phương pháp chứng mỉnh khác Để thuận lợi trong chúng trình bày cho trường hợp Œ là compact Trường hợp tổng quát được suy ra từ trường hợp này kết hợp với sử dụng phân hoạch đơn vị 2.1.5 Định lý Mỗi nhĩm tơpơ compact địa phương Œ đều cĩ một độ đo Haar trái Chứng mnh Gọi O(G) là khơng gian các hàm thực liên tục trên Œ Với mỗi ƒ € Cg(ƒ) đặt M n Yaad : a; € Gia; > 0, $0 aj = 1} m
(Son f:a@ EG, oa dant}
Goi L(f) va R(f) lần lượt là bao đĩng của Z(ƒ) ®(ƒ) trong Cp(G)
Khi do, ttt Lay = Lely, Rey = ly ly và JL„ = y7 ta nhận được £(Lzƒ) = £(1).®(R„ƒ) = ®(1),J£Z(ƒ) = RUS),
LIA) = ALP), RAF) = AR(f)
với mọi A € lR, với mọi z € Œ, với mọi ƒ € Œp(G) Hơn nữa, nếu f khong
am thi moi phan tit cia L(f) va R(f) là khơng âm
Tiếp theo, ta tĩm tắt các bước chứng minh của định lý như sau: 1)Z) và ®(ƒ) là tap compact cia Cp(G)
2) Z(ƒ) và ®(ƒ) chứa hằng
Trang 2020
3) Tồn tại duy nhất một hàm hang c(f) € L(f) A R(f)
4) Anh xa I : Cp(G) — IR xác định bởi /(ƒ) = " là dạng tuyến
tính xác định dương
5) Sử dụng định lý biểu diễn Riesz để thu được độ đo Haar
Sau đây là chứng minh chỉ tiết
Khẳng định 1 Z(ƒ) là tập compact trong Cp(G)
Dat ||f|| = supzce |ƒ(e)| với mi ƒ € Cs(G) Ta cĩ
lL„/ll = sup [f(a 'y)| = sup |f(2)| = Ill ụcG zcGŒ với mọi ø € Œ Khi đĩ, với mỗi ƒ € Cp(Œ) n I oat fll= So aillbo, fl = Sailfl = Ill < Lo ¿=1 i=1 Vi vay Z(ƒ/) là tập bị chặn trong €g(G) và do đĩ £(ƒ) cũng là bị chặn
Tiếp theo ta chứng minh Z(ƒ) là họ đồng liên tục của Cp(GŒ) Với mỗi
e >0, do tính liên tục đều của ƒ (theo định lý Cantor) ta chọn được lân cận V¿ của đơn vi e sao cho
Iƒ(œ) — ƒ(8)| <= với mọi œ, 8 thoả mãn œ~! € V¿ Dể ý rằng
Trang 21Với mỗi ƒ € Z(ƒ) luơn tồn tại dãy {ƒ¿} € Z(ƒ) hội tụ đều tới nĩ Do đĩ,
từ bất đẳng thức trên đúng cho các ƒ; và lấy giới hạn ta nhận được Iƒ(œ) = ƒ(8)| <£
với mọi œ,Ø € Œ mà œ 1Ø e V¿ Vậy L(f) dong lién tuc Theo dinh ly Arzeta-Ascoli, L(f) là tập compact Chứng minh tương tự R(f) la tap compact Khẳng định 2 Z(ƒ) chứa hàm hằng Với mỗi ƒ € Cg(G), đặt M(f) = max{f(x): 2 € G}, m(ƒ) = min{ƒ(z) : z € G} vf) = MU) = (J)
Khi do v 1a ham sé lién tuc va khong 4m trén Cp(G) Trén tap compact
L(f), v dat gid tri nho nhat tai f, Khi do, œ(ƒ.) — 0 nếu ƒ, là hàm hằng hoặc %œ(ƒ.) #0, tức là M(ƒ,) > m(ƒ.) Ta chứng minh khả năng sau là
khong xay ra That vay, gid sti M(f.) > m(f.) Khi do
P= {neG: f(x) > “19) >8),
là tập mở khác rỗng của Œ Khi d6 {aF}acg 1a phi mé cia G Vi G
Trang 22ii) + i M(fx) = (f.) = max— > a f«(2) — La, fx i= + < 28/40 +) i= = = Domes # = M{(ƒ.) n
iti) m(f.) > m(fe) + 5th) Thật vậy, với mỗi z € Œ tồn tại 1 <
my <n-sao cho x € su 'Suy ra œ!+z € Ƒ Từ định nghĩa cha tap F m suy Ta ; fila! x) > M(fs) > m( fe) Do đĩ fala) = = fal (aj, x) yh (a; 12) * * 1 2 „ HƯU Em) sàn fe) = 5-M( fs) + a —m( fe) = (fs) + 5-0 fs) 2, 42 Lo x 1
Bat dang thức trên đúng với mọi x € G, suy ra m( fx) > m( fe) + n6): n
Tit ii) va iii) ta được
u(x) = M(ƒ,)—=m(ƒ,) < M{Ä)~m(ƒ.)+z-w(1,) < Mƒ,)=m(J,) = (fe) Điều này mâu thuẫn với v đạt giá trị nhỏ nhất tại ƒ, và ƒ, € £(ƒ) Vậy 0(ƒ.) = 0 và ƒ là hàm hằng Chứng minh tương tự ta được R(f) chita
ham hang
Khổng định 3 Tồn tại duy nhất một hàm hằng c(ƒ) € R(f) 9 L(f)
Ta chi ra rang, néu / va r 1a các hàm hằng tuỳ ý lần lượt thuộc vào
Trang 23va By € G, bj > 0, j =1,2 ,n sao cho SY", a; = » b;j = 1 và m li= 3 2s:a,fll< 5: ny Ra fll <5- £=1 Dac biệt, với mỗi 1 < j < m ta cĩ m max |Ï — 2~/(a¡ +) < 3 ‡? Suy ra n m " DSP aid flor 1 eB; )| = om L Larter 1B) j=l wl 7 1 i=l n £ € <» > rs8j| €3 bã = 5 jaa ¬ (2.1) Hồn tồn tương tự ta cĩ m m - ¡ „hi i f (ay 125) |< 5 (2.2) i=l j
Tw (2.1) va (2.2) suy ra |l—r| < © Vie tuy y nén 1 =r Nhu vậy, với mỗi f € Œp tồn tại duy nhất ham hing c(f) € R(f) NL(f)
Xét anh xa J : Cp(G) > R xac dinh boi
với mọi ƒ € Cr(G)
Khẳng định 4 I là dạng tuyến tính dương liên tuc va I(Lzf) = I(f)
Từ £(1„/) — £() suy ra Z(L„ƒ) — £(ƒ) Do tính duy nhất của c(ƒ)
nên ta duoc I(Lzf) = I(f)
Néu f > 0 thi g > 0 với mọi ø 6 £(/) suy ra !(ƒ) > 0 với mọi ƒ > 0 Tw L(Af) = AL(f) véi moi \ € R suy ra L(Af) = AL(f) Ti do suy ra
Trang 2424 Ta cần chứng minh /(ƒị + J3) = I(ƒi) + 1(/2) với mọi jh, fo € Cr(G) > 0 chọn a; € G, a; > 0, ¢ = 1 m sao cho Thật vậy, với mỗi « ai = 1 va m (2.3) Wht) — So aiLa,fila)| < 5: i=1
Dat @ — Wailea, f2 Khi đĩ ĩ € L(f2) Do đĩ L(4) C £(/5) Suy ra
Trang 25(fi) + If) SI ab fla a8 1z)| < e
j=l i=1
Vi 377đ ng a¡bj J(dj `8; `3) € /(ƒi + ƒ) suy ra !(ƒfi) + 1() €
£Z(7¡ + ƒ) Từ tính duy nhất của các hằng số c(ƒ) suy ra I(ƒ1) + T(ƒ) = I(f + fo) Hon nữa, từ cách xác định của c(ƒ) ta cĩ
If()|= le(/)|< max|7(e)| = II:
Vay ï liên tục Khang định được chứng minh
Cuối cùng, áp dụng đỉnh lý biểu diễn Riesz tồn tại độ đo Radon /
n= | fad
véi moi f € C.(G) Tw tinh chat /(Lzf) = I(f) va Nhan xét 2.1.2 ta cĩ
trén G sao cho
(cE) = n(E)
với mọi œ € Œ Vậy / là độ đo Haar cần xây dựng Oo
Dinh lý sau chứng tỏ các độ đo Haar trên một nhĩm tơpơ compact địa phương chỉ sai khác nhau một hằng số Chứng minh của định lý cĩ
thể tìm thấy trong [1]
2.1.6 Định lý Nếu yu uà là các độ đo Haar trên nhĩm tơpơ comjpact địa phương Œ thà tồn tại bằng số c > 0 sao cho Hi = CU
2.1.7 Nhận xét 1) Nếu / là độ đo Haar trái trên Œ thì với mỗi z € G
uz(E) = HỆE+)
với mọi tap Borel # C Œ là một đơ đo trái trên Œ Thật vậy, từ / là một do do dé dàng suy ra /„ là một độ đo Bởi vì ¿ là độ đo Haar trái nên
Trang 2626
với mọi y € G Suy ra juz 1a độ đo Haar trái
2) Từ Định lý 2.1.6 suy ra với mỗi z € X tồn tại A(z) > 0 sao cho Hz = A(x) Néu pe va v 1a cdc độ đo Haar trên X thì tồn tại e > Ư sao
cho = cứ Do đĩ, từ pe = A(x) va vy = (+) suy ra À() = À'(+)
với mọi « € G Nhu vay, ta cĩ thể xác định ánh xa
rEGr X(x) € (0,00)
và gọi là hàm modular cia nhĩm G
Ta cĩ các tính chất sau của hàm modular
2.1.8 Ménh dé Ham modular la một đồng cấu từ nhém G lên nhĩm
nhân (0, +00)
Chitng minh V6i do do Haar trai sz trén nhém G ta c6 Hay(E) = w(Exy)
va
(Hz)y(E) — My(Bx) = w( Bay)
véi moi F € B(G) Vay piry = (uy) Vì „ = À(z) va pty = A(y)pe nén
(Ha)y = A(y)Ma = My)A(w)E-
Mat khac
Hay = A(vy) ft
Suy ra A(ay) = A(x)A(y) Vay A 1a mot đồng cấu nhĩm Oo
2.1.9 Nhận xét 1) Từ tính chất của đồng cấu nhĩm ta suy ra À(e) = 1
và A(g~!) = — với mọi g € G
X(g)
2)V6i moi f € C.(G), ta c6
/ Ri fdu = / Ref u)dy(y) = [iu - J f()d(wz—)
Trang 27Nếu À(+) = 1 với mọi z € G thi ta goi G 14 nhom unimodular Rõ ràng, mọi nhĩm aben là nhĩm unimodular Người ta cịn chứng minh
được nhĩm compact là unimodular Ta đã biết, nếu / là đơ đo Haar trái
thì đ() = mð(ET}) với mọi Z € B(G) là độ đo Haar phải Hơn nữa, ta cĩ thể xác định ji thong qua ham modular nhu sau dji(x) = A(a~!) u(x) (xem [1])
2.2 Một vài ứng dụng của độ đo Haar
Mục này chúng tơi trình bày một ứng dụng của độ đo Haar để xây dựng một lớp đại số Banach quan trọng thường gọi là đại số nhĩm Chúng ta luơn giả thiết Œ là một nhĩm tơpơ compact địa phương, Hausdorff và u là độ đo Haar trái trên Œ
Trước hết ta chỉ nhắc lại khái niệm về đại số Banach, và vài tính chất cơ bản của nĩ Các kết quả chuyên sâu hơn về đại số Banach cĩ thể tìm
thay trong [6]
2.2.1 Định nghĩa Một đạ¿ số phức A là một khơng gian véctơ 4 trên
trường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện:
1) x(yz) = (ay)z, Vr,y.z € A;
2) e(y+z)=aytauz, (œ+)z=xzz+z, Va,y,z€ A
3) (ax)y = ary, Vr,y € A,Va EC
2.2.2 Dinh nghia Mot dai sé Banach A là một đại số phức thoả mãn các điều kiện
1) A là một khơng gian Banach với chuẩn ||.|| nào đĩ cho trước 2) |lz»ll < ll+zllllu|| với mọi z e A
Đại số Banach A là cĩ đơn ư¿ nếu tồn tại e € A sao cho ez = #e = x, Wx € A va |le|] = 1 Nếu phép nhân trong trên 4 là giao hốn thì ta
gọi A là đại số Banach giao hốn
Trang 28A sao cho
thì z~! được gọi là phần tử khả ngịch của + Dễ dàng kiểm tra được phần tử khả nghịch của z nếu tồn tại thì đĩ là phần tử duy nhất
2.2.3 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach Hàm ø € 4 > a* € A
được gọi là một phép đối hợp nêu thoả mãn các điều kiện sau:
ia“ =a;
ii) (a+ b)* = a* +; iii) (\a)* = Aa*;
1v) (ab)* = b*a*, với mọi ø,b€ A và À€ €
Rõ ràng phép lấy liên hợp trong đại số C là một phép đối hợp
2.2.4 Định nghĩa Dại số Banach A được gọi đối zứng nếu trên 4 tồn
tại phép đối hợp và ||a|| = ||a*|| voi moi a € A
Ký hiệu L! := L!(G) là khơng gian các hàm đo dude a: G —> C với
Trang 29Hao = | f aceon *spau(nyfatay < [ [ lá) 12)Mda(0ávt0)
=f { [rondutay) atria
= [Lf vautar) ate
= lIi| / la(h)|dya(h) = IIIllall
Như vay L! 1a dai s6 Banach
2.2.5 Nhan xét Néu G 1A nhom gido hốn thì mỗi độ do Haar 1a trai
và phải Khi đĩ, nếu đặt w = h~!g thi h = gu7! va du(h) = du(u) Do
do
(ab)(g) = J a(h)b(h~'g)d(h)
-|/ b(u)a(gu")u(u) = / b(u)a(u-4g)u(u) = ba(g)
Vì vậy 7! là đại số Banach giao hốn
Nĩi chung 7! là đại số Banach khơng cĩ đơn vị Định lý sau sẽ khẳng định điều này
2.2.6 Dinh lý L! chứa đơn vi khi va chỉ khả G là nhĩm tời rac
Chứng mnh Giả sử GŒ là nhĩm tơpơ rời rạc Khi đĩ, tập chỉ chứa một
phần tử của Œ là cĩ độ đo dương và cĩ thể giả thiết bằng 1 (độ đo đếm)
Gọi e là đơn vị của Œ và xét hàm sau
E0) -{ 0 véigFfe 1 véig=e Khi do, véi méi a € L!, véi moi g € Œ, ta cĩ
Trang 3030
va
(Ea)(g) = [ riblath duct = a(g)0({E}) = a(g)
Suy ra ak = Ea =a Vay E 1a don vi cha L!
Ngược lại, nếu L! chita don vi L(g) Khi do, đầu tiên ta chứng minh
mọi tập mở U của G đều cĩ độ đo dương Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả thiết U chứa đơn vị e của Œ Nếu U cĩ độ đo 0 thì
I |B(g)ldulg) <2 <1
Gọi V là lận cận cân của e sao cho VoV C Ù wa yy 1a ham dac trung của V Khi đĩ, với g € V ta cĩ
xv(8) = (sxv)(ø) = / e(h)xv (hg) duh)
=J e(h)du(h) < | |e(h)|d(h) < s < 1
WV U
Mâu thuẫn với xy(ø) = 1 Vi vay U cĩ độ đo dương và từ chứng minh
suy ra tồn tại ổ > 0 sao cho /(U) > 6 véi moi tap mé U
Bây gid tit tinh compact địa phương của Œ suy ra tồn tại lân cận mở W của e sao cho W là compact Vì độ đo Haar là độ đo Radon nên
u(W) = ¢ < oo Chon số tự nhiên n sao cho na > c Nếu IW chứa vơ hạn phần tử {zi,za, ,z;, } thì bằng phương pháp quy nạp và tính
Hausdorff cia Œ ta tìm được các lận cận VỊ, V„ của e sao cho các tập ;M¡ C W rời nhau Khi đĩ, ta cĩ
n n
c= 0W) 3 ,((J #¡M¡) = 3 n(z/) > na >é
i=1 i=1
Ta nhan dudc su mau thuan Vay W la tap hitu han Vi W 1a tap mé
nên tơpơ trên Œ là tơpơ rời rạc L]
Trang 31được xác định như sau
(ab)(g) = 3 `a(M)b(b— `a) heG 2) Nếu Œ = (—oe,+oe) = R thì phép nhân trong 7! là tích chập thong thường +00 (ab)(x) = / a(y)b(a — y)dy —œ Tiếp theo ta nghiên cứu một vài tính chất của đại số Ƒ! Trước hết với mỗi z € l! và gọ € Œ ta xác định các hàm ##(g) = #(g00), #a(0) — #(gụ `9) với mọi g € G 2.2.8 Ménh dé Cac ham Tq, va x lién tục theo biến gụ trong khơng gian LÌ
Chiing minh Với mỗi e > 0, vì tập hợp các hàm liên tục, giá compact
trên Œ trù mật trong L¡ nên ta tìm được x’ € Œ¿(G) sao cho |lz — z'l|< a wl m Khi do lÌiz; — z.| < wl ™
với mọi g € G Tit tinh lién tuc déu cta 2’ trén G ta cĩ, tồn tại lân cận
Trang 32Suy ra w| = hl =f heyls) —ch(sdis) < sa | d6) - khi d6, véi h,g € U ta cĩ
len — tall < Ilan — 24, + Ue, - +2|| + IIx, - #gÌÌ< s sts 3 = 5 =e, Bat ding thttc ching t6 2g lién tục (theo biến ø) trong khơng gian 1 Chứng minh tương tự ta nhận được kết quả cho z# L] 2.2.9 Chú ý 1) Với mỗi lân cận của đơn vị e của Œ Ta ký hiệu
zy € L' là hàm khơng âm với giá trong U sao cho „0900 = Véi moi x € LI, ta cĩ (aus)(g) = Í 2u()s(0 "0d = [ s(M)znd(M) Suy ra =a [ Goz)(6) —x(a)idula) = Í Í zv(E)eady) = sla)ldklø) NT n < / J au (h)|en(g) — z(g)|d(h)dy(g) = [ [ len) — z(0)l0m0ø)]2 004i) = [hen zl Í sr(R)dy@) = li —3|}
Từ chứng minh của Mệnh đề 2.2.8 với mỗi z > 0, ta cĩ thể chọn U sao cho U sao cho
Trang 33với mọi h € U Suy ra ||zyx — «|| < e Điều này cĩ nghĩa chúng ta cĩ thể xấp xỉ mỗi z € L! bởi các phần tử cĩ dạng zz 2) Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwatz và kết quả trên suy ra với mọi z€ Lˆ(G) ta cĩ |zu+ — z|l› = / |(su+)(g) — #(g)P4p(g) < e với lận cận compact của e Với mỗi a € LÌ, ta đặt a*(g) = [A(g)|*a(g-}),
trong đĩ A là ham modular trén Œ Ta cĩ các tính chất sau
2.2.10 Mệnh đề Với mỗi a € L! ta đều cĩ a* € T} tà ||a*|| = lal]
Hơn nữa, ánh zạ œ € LÌ c> q* € LÌ là phép đối hợp trong LÌ
Chiing minh V6i méi a € LÌ, ta cĩ
Is'll= [ie la"(9) aug) a
= fir \\dper(g cee )A(g)dur(g) = | la(g)|dp(g) = llal| < +00 Suy ra a* € LÌ, Với mỗi a € L*, ta cĩ suy ra —x/ -1 al(qnzl)-1) „ a(g ) — 1 aĐg `) &"”{g) = = _1 à-33) = ) =a(g) Mg) -A(g)_ A(g7)
Trang 3434 a,b € A Ta cé ab)(g71 "a(h)b(b~1g~1)du(h (ab)*(q) — { He )_ fath) we )dp(h) 27) Mặt khác (ba*)(g) = | (h)a*(h`ø)du(h) | = [aut = [a aa) | A(h)_ A(h-'ø) A(h)A(h~'g) b(h~1)a(g~1h) dụ() Ag) Dat u = g7'h Khi đĩ h~! = g7!u7! Hon nia, vi bất biến trái nên đu = dh Suy ra HE 0 yin) — | ID yy (bra )(g) = / XG) Ng) — b(g !h~!)a(h) , [Sg an Tw cng thtic (2.7) va cOng thitc (2.8), ta nhan duge (ab)* = bea* OO (2.8)
Ta dễ dàng nhận được hệ quả sau
2.2.11 Hệ quả ”Ì là một đại số đối xứng
Cuối cùng ta nghiên cứu một số ánh xạ bất biến với phân bố trên
nhĩm tơpơ compact
2.2.12 Định nghĩa Một phân bố trên nhĩm tơpơ compact G 1a dạng tuyến tính liên tục u: C.(G) > R Nếu ƒ € Œ,(G) thì giá trị của wu tai f, ky hiéu u(f)
Cho f : G > Gla anh xa riéng lién tuc va u 1a phan bé trén G Khi đĩ ánh xạ ƒ,u : được xác định bởi:
Trang 35với mọi ¿ € C¿(G), trong đĩ ánh xạ riêng nghĩa là nghịch ảnh của tập compact la tap compact
2.2.13 Định nghĩa Một phân bố được gọi là bat biến trái (tương ứng
bất biến phẩi) trên G nếu (D„)xu = u (tương ứng (Rạ)xu = ư,) Vụ € G
Một phân bố u được gọi là song bất biến trên G nếu nĩ vừa bất biến trái
và bất biến phải trên G
xiả sử Œ là nhĩm t6p6 compact Khi d6, d6 do Haar ¿ trên Œ là độ đo trái và phải Hơn nữa, vì nĩ là độ đo Radon nên là độ đo hữu hạn Do đĩ, ta cĩ thể giả thiết (Œ) = 1 Ta dùng ký hiệu đø thay cho đ(ø)
Với mỗi phân bố wu, ta dat
roulf) = [((,).9)(f)dụ,Yƒ € CA@), (2.9)
G
Định lý sau đưa ra một số tính chất thú vị của hàm 7e
2.2.14 Định lý Giá sử u là phân bĩ trên trên nhĩm tơpơ compact Œ Khi đĩ
i) œ là ánh zạ tuyến lính 1l) xeu bắt biến trái trên Œ
1i) Nếu u bất biến trái trên GŒ thà mœu = u
Trang 3636
Do đĩ me@(au + Bug) = œngtui + Ømœua Vay 7@ 1a anh xạ tuyén tinh
ii) Gia uy, ug 1a cdc phan bé trén G, Vf € C.(G),Vg.h € Œ, ta cĩ: ((La)ezau)(f) I 3 gu(ƒ 9 Lạ) ((Lp)xu)(ƒ 0 Lg)dh a ae 2ơ 8 (Lg)ô(((Ln)xu)(f))dh (Lg 0 Ln)au)(f)d(gh) Lựy).0)(1)d(gh) = = zqu(ƒ).Vƒ e C„(G) Suy ra (Ly)«m@u = Feu Vay meu bat biến trái trên G
1i) Giả sử œ là phan bố bất biến trái trên Œ va moi f € Œ¿(Œ), ta cĩ:
Trang 37KET LUAN
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1) Trình bày hệ thống các vấn đề cơ sở về nhĩm tơpơ, độ đo để xây
dựng độ Haar trên nhĩm tơpơ compact dia phương Chứng minh chỉ tiết
các một số kết quả mà tài liệu khơng chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt như Mệnh đề 1.3.3 Mệnh đề 1.3.5
2) Trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản của độ đo Haar
Chứng minh chỉ tiết một số kết quả mà tài liệu chứng minh vắn tắt như
Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.6, Nhận xét 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8 Trình bày
một phương pháp chứng khác với tai liéu [1] về sự tồn tại độ đo Haar
trên nhĩm tơpơ compact địa phương, Định lý 2.1.5
3) Dựa vào độ đo Haar, chúng tơi trình bày cách xây dựng một lớp đại số Banach (cịn gọi là đại số nhĩm) Chứng minh một số kết quả liên quan đến đại số nhĩm mà tài liệu đưa ra nhưng khơng chứng minh như tính chất về đơn vị (Định lý 2.2.6), tính đối xứng (Mệnh đề 2.2.10) Đưa
ra một tính chất về tính bất biến của phân bố trên nhĩm topo compact
Trang 3838
TAI LIEU THAM KHAO
[1] Nguyén Van Khué va Lé Mau Hai (2002), Cơ sở lý thuyết hàm va giải tích hàm, Tập ï NXB Giáo Dục
[2] Bourgade P (2009), Conditional Haar measures on classical com-
pact groups, Ann Probab 37, no 4, 1566-1586
[3] Dedic L (1990), On Haar measure on SL(n,R), Publ Inst Math
(Beograd) (N.S.) 47(61), 56-60
[4] Kushnirsky E (2004), On some Haar measures on reductive groups, Amer J Math 126, no 3, 649-670
[5] Milnes P (1992), Haar measure and compact right topological
groups, Bull Austral Math Soc 45, no 3, 399-413
[6] Naimark, M A (1972),Normed algebras, Translated from the sec- ond Russian edition by Leo F Boron Third edition Wolters- Noordhoff Series of Monographs and Textbooks on Pure and Ap- plied Mathematics Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen
[7] Rudin W (1987), Real and complez analysis, Third edition,