BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
HOÀNG THỊ NHUNG
ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC `
Người hướng dẫn khoa học
Trang 2Nghệ An, 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
HOÀNG THỊ NHUNG
ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG
Chuyộn nganh: DAI sO VA LY THUYET sO
MA sộ: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
Trang 3Nghệ An, 2011 MỤC LỤC
Trang
0070 0 2
CHUONG I: KIEN THUC CHUĂN BỊ S- 2-2 2225522 cc+s+s 4
1.1 Iđờan nguyờn tố Idộan cực đại lđờan nguyờn sơ - 4
1.2 Phố của vành c1 1021111111111 111 1111121111155 11252582 x x22 4 1.3 Giỏ của mụễđun ch nh siy 4 1.4 Tập cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết của mụđun - 555555552 5
1.5 Độ dài mụđun -. -< < <5 5
1.6 Chiều Krull của mụđun - + 2 2222111111111 EE5555551211 1112 6
1.7 Hệ tham số của mụđun - - cc 22222111111 2111111 111xcctx 7 1n 2 7 1.9 Dóy chớnh quI1 -c cà S2 Sky Đ 1.10 Vành và mụđun cỏc thương - << + << <++ 9 1.11 Vành Iđờan húa " wll
1.12 Mụđun đối đồng điều địa phương 222cc sẻ 12
1.13 Mụđun Cohen-Macaulay và mụđun Cohen — Macaulay suy rộng 13
CHUONG II: ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG 555552 14
2.1 Mụ đun cỏc thương suy rộng -< << 14
2.2 Độ dài thương suy rộng - -<cc cà à set 16
15 D8 OS 0) OF K kg 30
Trang 4MỞ ĐÀU
Trong suốt luận văn, chỳng tụi luụn giả thiết (, m) là vành Noether,
địa phương với iđờan tối đại duy nhất là m va M⁄ là một R-mụđun hữu hạn
sinh với chiều Krull là đ
Trong [II], R.Y.Sharp và Zakeri đó xõy dựng một K-mụđun gọi là mụđun cỏc thương suy rộng Với mỗi số nguyờn dương ẫ, cỏc tập /am giỏc trong Rf được định nghĩa bởi Sharp và Zakeri đúng vai trũ như cỏc tập đúng nhõn trong lý thuyết quen biết về vành và mụđun cỏc thương Vỡ thế lý thuyết mụđun cỏc thương suy rộng cú thể xem như là mở rộng của lý thuyết địa
phương húa thụng thường Lý thuyết mụđun cỏc thương suy rộng cú ứng
dụng rộng rói trong Đại số giao hoan Chang hạn, Giả thuyết Đơn thức của M
Hochster cú thờ được phỏt biểu lại dưới dạng: với mỗi hệ tham số (x, ,x„)
của M⁄ độ dài của thương suy rộng 1/(x,, ,x,,1) khac khong
Với mỗi hệ tham số (%, x„) của Ä⁄ và mỗi bộ ( 71„) gồm d số
nguyờn dương, chỳng ta xem độ dài của thương suy rộng 1/(x;', ,x/“,l) như là một hàm theo cỏc biến nguyờn đương m, ,n, Rẹ Y Sharp và M A
Hamieh [9] đó hỏi rằng: liệu hàm độ dài
4 (n) = 1(1/07, x721))
cú phải là một đa thức theo biến H,, „ với hệ số hữu tỷ khi H,, „ đủ lớn? Trong [9], R Y Sharp và M A Hamieh mới chỉ chứng minh được rằng
Trang 5Đến năm 2003, N T Cường, M Morales and L T Nhàn [6] đó chỉ ra phản vớ dụ cho cõu hỏi trờn của R Y Sharp và M A Hamich Mục đớch của
Luận văn là trỡnh bày lại một cỏch tường minh phản vớ dụ này
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo nội dung của luận văn được chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Trong chương
này chỳng tụi trỡnh bày một số khỏi niệm cơ sở của Đại số giao hoỏn cú sử
dụng trong luận văn Chương II: Độ dài thương suy rộng Chương này là nội
dung chớnh của luận văn Trong chương này chỳng tụi trỡnh bày cỏc vấn đề sau:
- Khỏi niệm độ dài thương suy rộng
- Cõu hỏi mở của R Y Sharp và M A Hamieh về độ dài thương suy
rộng
- Phản vớ dụ cho cõu hỏi mở trờn
Luận văn được hoàn thành vào thỏng 10/2011 tại Trường Dai hoc Vinh
dưới sự hướng dẫn của cụ giỏo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhõn dịp này tỏc
giả xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc đến cụ, người hướng dẫn nhiệt tỡnh, chu
đỏo, và nghiờm khắc trong suốt quỏ trỡnh học tập và nghiờn cứu Cũng nhõn
dịp này tỏc giả xin trõn trọng cảm ơn cỏc thầy cụ giỏo trong Khoa Toỏn và
Khoa Sau đại học đó giỳp đỡ trong suốt quỏ trỡnh học tập và hoàn thành luận
văn Tỏc giả xin cảm ơn cỏc anh chị, cỏc bạn trong lớp Cao hoc 17- Đại số và
Lý thuyết số đó giỳp đỡ động viờn trong suốt quỏ trỡnh học tập
Luận văn được hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản
thõn song vẫn khụng trỏnh khỏi những thiếu sút Chỳng tụi rất mong nhận được ý kiến đúng gúp của cỏc thầy cụ giỏo và bạn đọc đề luận văn được hoàn
thiện hơn
Nghệ An, thỏng 11 nam 2011
Trang 6CHƯƠNG I
KIEN THUC CHUAN BI
Trong chương này, chỳng tụi trỡnh bày một số khỏi niệm của Đại số
giao hoỏn nhằm làm cơ sở cho việc trỡnh bày nội dung chớnh của luận văn
Chỳng tụi sẽ trỡnh bày những vấn đề sau: iđờan nguyờn tố, iđờan cực đại,
iđờan nguyờn sơ, phổ của vành, giỏ của mụđun, tập cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết của mụđun, độ dài của mụđun, chiều Krull của mụđun, hệ tham số của mụđun, số bội, dóy chớnh qui, vành và mụđun cỏc thương, vành iđờan húa, mụđun đối đồng điều địa phương
1.1 Iđờan nguyờn tố Iđờan cực đại Iđờan nguyờn sơ
(0) Iđờan 7 của # được gọi là iđờan nguyờn tố nếu 7 ## và Vx,yeR maxy el thỡ x c/ hoặc y e1
(ii) Idộan J cua R duge goi la idộan cực dai nộu/ #R va khụng ton tai idộan J
#RsaochoJ dIlvaJ #1
(ii) Iđờan 7 của R duge goi là iđờan nguyờn sơ nếu 7 ## và Vx,ye# mà xy e1 và x ứ! thỡ tỒn tại ứ sao cho y" e7
1.2 Phố của vành Kớ hiệu SpecR là tập tất cả cỏc iđờan nguyờn tố của vành
R SpecR được gọi là phổ của vành đ
Với mỗi iđờan 7của đ ta kớ hiệu ƒ(7)={Pe SpecR|P Dl}
1.3 Giỏ của mụđun Tap con Supp M={Pe SpecR|M, # 0} cua SpecR duge
goi la gid cha mộdun M Với mỗi xe M ta kớ hiệu
Amng(x) = {a e Rịax = 0):
Trang 7Ta cú Amn,(x) và Ann,M (hoặc Amm(x) và AnnM nếu khụng đề ý đến vành
đ) là những idộan cua vanh R, Ann,M được gọi là nh húa tử của mụđun M Hơn nữa, nếu M 1a R-mụđun hữu hạn sinh thỡ
SuppM =V(Ann,M) = {Pe Spec R| Amn,M PỊ 1.4 Tập cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết cỳa mụđun
1.4.1 Định nghĩa Cho M là một #-mụđun Ta gọi iđờan nguyờn tố p của #
là một iđờan nguyờn tố liờn kết của M nờu một trong hai điều kiện tương
đương sau được thỏa món:
(i) Tộn tai phan tit x €M sao cho Ann(x) = p
(ù) M chứa một mụđun con đắng cấu với #0
Tập cỏc iđờan nguyờn tố liờn kết của M duoc ki hiộu 1a AsspM (hoac AssM
nếu khụng đề ý dộn vanh R)
1.4.2 Mệnh đề A4ss¿M G SuppgM và mọi phõn tử tối tiếu của SuppyM đều thuộc AssgM
1.4.3 Mệnh đề Nếu M la R-mộdun Noether thi AsspM là tập hợp hữu hạn 1.5 Độ dài của mụđun
1.5.1 Định nghĩa AMộ/ dóy hợp thành của một R-mụọun M là một dóy giảm
gụm một sụ hữu hạn cỏc mụđun con
sao cho M;,⁄M; là mụđun đơn với mọi ¿ = 7, 2, , ứ Khi đú ứ được gọi là độ
đài của dóy hợp thành này Mụọun Mớ cú một dóy hợp thành được gọi là mộ: mụđun cú dóy hợp thành
1.5.2 Định nghĩa Nếu R-mụđun 4⁄ cú một dóy hợp thành cú độ dài ứ, thỡ tất
Trang 8Nếu R-mụđun M khụng cú dóy hợp thành thỡ ta quy ước độ dai | (M)=ứ và
được gọi là mụđun cú độ dài vụ hạn
1.5.3 Mệnh để Cho M, N, P là cỏc R-mụẩun, khi đú ta cú cỏc tớnh chất sau:
(i) Một R-mụọun M cú độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là mụđun Noether
vura la mộdun Artin
(ii) Cho day khộp ngan cdc R-mộdun 0——>N——>——>P_— 0 Khi đú M cú độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P cú độ dài hữu hạn, va ta luụn cú 1,(M)=1,(N) +1,(P) (iii) Nộu N la R-mộdun con cia R-mộdun M va M co dộ dai hitu han thi 1,(M)=1,(N)+1,(M/N)
(iv) Nếu R là vành Noether va M la m6t R-mộdun cú độ dài hữu hạn thi Assr(M) = Suppr(M)
1.6 Chiều Krull của mụđun
Một dóy giảm thực sự cỏc iđờan nguyờn tố của R: Py) > Pi >> P, được gọi là một xớch nguyờn tú cú độ dai bang n Cho p €SpecR Chan trộn của độ đài của cỏc xớch nguyờn tố với pạ = p được gọi là độ cao của p Kớ hiệu là ⁄(p) Nghĩa là:
ht(p) = Sup {d6 dai cỏc xớch nguyờn tố với pạ = p} Cho 7 là một Iđờan của đ Khi đú ta định nghĩa:
ht(1) = inf {ht(p)/ p € SpecR, p21
Chặn trờn của cỏc xớch nguyờn tụ trong # được gọi là chiờu Krull của vành R
Ki hiộu la: dimR
Gia sir M1a mot R-mộdun Khi do dim(R/Ann(M)) duge gọi là chiều Krull của
Trang 91.7 Hệ tham số cỳa mụđun
Cho Ä⁄ là mụđun hữu hạn sinh vội dimM = d trộn vành giao hoỏn, địa phương, Noether (&, 7) Một hệ cỏc phần tử x=(%, x„) cua m sao cho
ly(MG, x,)M)<+â được gọi là một hộ tham sộ cita M Nộu
x= (x,,-.%,)la một hệ tham số của M thi cac phần tử (xĂ.x; x,) gọi là một
phõn hệ tham số với mọi Ă = 1, 2 d lđờan ạ = (xị, xz)R được gọi là iđờan tham số của M
Sau đõy là một số tớnh chất của hệ tham số:
(i) đim (MÁxĂ., ,X)M) = d—Ă với mọi Ă = T, ,d
(1) x;Ă : Ă; #p với mọi p e4ssg(M(xĂ ,x¿)Mf) thỏa man dim (R/p) = d-— i trong
đú Ă= 1 ,d— 1
(iii) Nộu x= (x,, -.,) là một hệ tham số của Ä⁄ và „= (n, n„) là bộ gồm d
s6 nguyộn duong thi x(m) =(x/",x}", ,x}’) cũng là hệ tham số của 1
(iv) Mọi hoỏn vị của hệ tham số của mụđun Ä⁄ cũng là một hệ tham số của M
1.8 Số bội
Cho # là một vành giao hoỏn, địa phương, Noether với idộan cuc dai
duy nhất m; M 1a một R-mụđun hữu hạn sinh cú chiều Krull dimM =đ >0 Khi đú một hệ cỏc phần tử x:= (x, x,) của 7z cú I(M/ (xị ,x,)ÄMf)< œ
được gọi là một hệ bội của M; & day nộu Â=0 thi ta hiểu điều kiện này cú nghĩa là I(Ä⁄) < â Chỳ ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhưng điều
ngược lại núi chung là khụng đỳng Ta luụn cú />đ Khi đú ký hiệu số bội
e(x;M)cua modun M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo / như
sau:
Giả sử /=0 tức là 1(M)<o Khi do dat e(O,M)=1(M) Voi >0,
Trang 10„23,)Ä) < œ ta suy ra I((0:„ x,) /(3; x,)(0:„ xị))<œ, tức là (x;, ,x,) là
hệ bội của mụđun con 0:,,x, Vay theo giả thiết qui nạp thỡ e(x, x,;M /x,M) và e(x, x,;0,„x,) đó được xỏc định Khi đú ta định nghĩa:
e(%¿ ,X,; MỸ) = e(%¿ ,x,; ME / x,M)- e(3; ,x,;ệ:„ Xị)
Sau đõy là một tớnh chất cơ bản của số bội e(x; M⁄) :
@) 0< eG, x,;M)<1(M/(x; x,)M) Đặc biệt, nếu tồn tại ¿ sao cho
x/M =0 với ứ là một số tự nhiờn nào đú thỡ e(x, ,x,; M)=0
(1) e(x, x,; 4) =0 khi và chỉ khi />đ là cỏc số nguyờn (1) e(x”' x;';M) =mị n,e(x,, X„;M) VỚI n, n, dương (0v) Cho dóy khớp ngắn cỏc R- mụđun 0—> M/' —> M — M' >0
Ta cú, x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của Ä⁄Z và A⁄” Hơn nữa
e(x;M) =e(x; M)) +e(x; Mè)
1.9 Dóy chớnh qui
Một phần tử ze Rđược gọi là phẩn tử chớnh qui của M hay M-chớnh qui nếu ax # 0với mọi xe M, x (0 Day cỏc phần tử XxX, €7 được gọi là
dóy chớnh qui của M hay cũn gọi là M -đấy nếu cỏc điều kiện sau được thỏa
man:
(i) M/(%, x,)M #0
(ii) x, la M/(x,, ,x,,)M - chinh quy vội moi i=/,2, .,n
Chỳ ý rằng ze# là phan tử chinh quy cia M khi và chỉ khi a#p.VpeAssM Do đú (x, x„) là dóy chớnh quy của M khi va chỉ khi
Trang 11Cho 7 là một iđờan tựy ý của R và (x, ,x„) là một dóy Ä⁄-đóy trong
1 Khi đú (x, x„) được gọi là một đấy chớnh qui cực đại trong I nếu
khụng tồn tai y / sao cho (x, x„,y) là dóy chớnh qui của Ä⁄ Ta biết rằng mọi dóy chớnh qui cực đại trong cựng một iđờan 7 đều cú cựng độ dài và
được gọi là độ sõu của Mớ đối với iđờan 7, ký hiệu là depth, M Dac biột,
nếu 7 =z thỡ depth, M được gọi là độ sõu của M và ký hiệu là đepớh Mĩ Nếu (x, x,) là một dóy chớnh qui của Ä⁄ thỡ nú cũng là một phần hệ tham số của M⁄ Do đú đeph M < dim M
1.10 Vành và mụđun cỏc thương
1.10.1 Vành cỏc thương
Cho # là một vành giao hoỏn, cú đơn vị Một tập con Š của đ được gọi là đập nhõn đúng của R nếu 1eS và với mọi a,be Š thỡ abeS
Trang 12r' rr’ (ii) Phộp nhõn: + ơ SS als a
Với hai phộp toỏn cộng và nhõn noi trộn thi S’R lap thanh một vanh giao
hoỏn cú đơn vị Vành S'R được gọi là vành cỏc thương của R theo tập nhõn
dong S
Dac biột cho p € SpecR Tap S = R\ p 1a tap nhan dong cua vanh R Khi
do ta ky higộu R, thay cho S'R R, = E Ss Vanh R, 1a vanh dia phương nộn R, được gọi là vành địa phương húa của R rere), tại iđờan nguyờn tố p 1.10.2 Mụđun cỏc thương
Cho S la tap nhõn đúng của vành #, khi đú ta cú vanh thuong S’R Cho M là R — mụđun Trờn tớch Đề - cỏc Ä⁄ xŠ ta xỏc định một quan hệ hai ngụi
: : VỚI (m, s) va (m',s') € MxS:
(m, s) : (im',s') <> At €S sao cho: t(s'm—sm')=0
Trang 13„ 1è _ r
V6i —,—eS'M ;—
8 t eS'R
Khi dộ vội hai phộp toan cng va nhan vội v6 hudng noi trộn thi S'M
la SR - mộdun va gọi là mụđun cỏc thương của Ä⁄ theo tập nhõn đúng S
1.11.Vành iđờan húa
1.11.1 Định nghĩa Cho (#,) là một vành Noether địa phương và M 1a mot R-mụđun hữu hạn sinh chiều đ Trang bị cho tớch trực tiếp Rx M phộp cong và phộp nhõn như sau: với mọi (z„z:), (s,z) e Rx M⁄, đặt
(r.m) + (s,n) = (r + s,m +n),
(r,?n).(s,n) = (rs,rn + sm)
Khi đú Rx M⁄ trở thành một vành, được gọi là vành Ăđờan húa của Mớ (trờn R) và duoc ki higu R* M Vanh idộan hoa R* M 1a mot vành Noether địa phương
với đơn vị là (1,0) và iđờan cực đại duy nhất của nú là mx M Chiộu Krull
của vành iđờan húa chớnh 1a dim R
Cú một toàn cấu chớnh tắc ứ:xÄ⁄— R được xỏc định bởi ứ((r,m))=r
và một phộp nhỳng tự nhiờn Z: #—> đ <M xỏc định bởi ứ(z) =(r,0) Những
ỏnh xạ này là cỏc đồng cấu và chỳng ta cú thể coi mỗi đ-mụđun như là một
R+ M -mụđun thụng qua đồng cấu tự nhiờn và ngược lại, chỳng ta cú thộ coi
mỗi # x M -mụđun như là một R-mụđun thụng qua đồng cấu ứ Chỳ ý rằng với mỗi R- mụđun, cấu trỳc của cỏc #đ-mụđun cảm sinh qua đồng cấu hợp thành ứứ là trựng với cấu tric R-mộdun ban dau
1.11.2 Mệnh đề Cho c là một iđờan của R XM Khi đú c là (mxM)- nguyờn sơ nếu và chỉ nếu (â) là m-nguyờn sơ Đặc biệt, nếu x =Œx: X„)
là một hệ tham số của R thỡ (x,0)= ((4Ă.0) (x„.0)) là một hệ tham số của
Trang 141.12 Mụóun đối đồng điều địa phương
Cho 7 là một iđờan của 8 Khi đú hàm tử 7 - xoắn T,(—) từ phạm trự
cỏc #-mụđun vào phạm trự cỏc #-mụđun được xỏc định bởi
T,()=U(0: „7") là hàm tử cộng tớnh, khớp trỏi, hiệp biến trong phạm trự
n=l
cỏc R-mụđun với ham tir dan xuat phai thir i 1a RT,(-) @ = 1,2,3 )
Mụđun đối đồng điều thir i cia M ki higu Hi(M) duge xdc dinh bởi
Hi(M)=RT,(M)
Từ định nghĩa trờn ta cú thể xdc dinh H;(M) nhu sau: Trước hết ta lấy
lời giải nội xạ:
I:0 ad! 7° d° ủ dy Ti d m di!
của Ä⁄ Khi đú cú một # — đồng cấu ứ: ———>7° sao cho day: i+] M—2>5/° a0 Hủ Lả H_ự y4 là khớp Từ đú ta nhận được phỳc: 0 Tứ”) Tứ) "““ rd) T(d') rai) Ta cú: H;(M)= KerT,(đ2“')/ImT,(đ')
Cần chỳ ý rằng H,(M) khụng phụ thuộc vào việc lựa chọn lời giải nội
xạ của M Dễ thấy #?(M)=T,(M) do đú HP(M) là một mụđun con của M
Ta cú một số tớnh chất sau đõy của mụđun đối đồng điều địa phương
(i) Nộu ƑM = 0 với một số tự nhiờn ứ nào đú thỡ H?(M)= M và
H,(M)=0 (>0)
Trang 15(iii) Khi J = m 1a idộan cuc dai cua R thi ⁄/„(M) là R—- mụđun Artin, hơn nữa H„(M) =0 với mọi Ă > d
1.13 Mụđun Cohen-Macaulay và mụđun Cohen — Macaulay suy rộng
Cho x=(x, x„) là hệ tham số của Ä⁄Z Ký hiệu I(x) =1(M/xM)- e(x;M) Khi d6 /,,(x)>0 Dat 1(M)=Supl,,(x) voi sup lấy trờn tập tất cả cỏc hệ tham số của M 1.13.1 Định nghĩa ()_M được gọi là mụẩun Cohen—Macaulay nờu T„(x) =0 với mọi hệ tham số x của Mớ
đi) M được gọi là mụấun Cohen-Macaulay suy rộng nờu I(M) <œ
(iii) Vanh R duge goi la vanh Cohen—Macaulay (tuong ting Cohen—Macaulay
suy rộng) nếu R là mụđun Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) trờn chớnh nú
1.13.2 Mệnh đề Cỏc phỏt biểu sau là tương đương:
() M lamộdun Cohen-Macaulay
(ii) dim M = depthM
(iii) Tụn tại một hệ tham số x của M để T„(x)=0 (v) H„(M)=0 với mọi Ă # dim M
1.13.3 Mệnh đề Cỏc phỏt biểu sau là tương đương: (i) M là mụọun Cohen-Macaulay suy rộng
Trang 16CHƯƠNG II
ĐỘ DÀI THƯƠNG SUY RỘNG
2.1 Mụđun cỏc thương suy rộng
Trong [II], R Y Sharp và H Zakeri đó xõy dựng một đ-mụđun gọi là mụđun cỏc thương suy rộng Với mỗi số nguyờn đương #, cỏc tập con tam giỏc trong đ đúng vai trũ như tập nhõn đúng trong Lý thuyết vành và mụđun
cỏc thương Vỡ thế Lý thuyết mụđun cỏc thương suy rộng cú ứng dụng rộng
rói trong Đại số giao hoỏn Chẳng hạn, mụđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H(M) cú thể xem như là một mụđun cỏc thương suy rộng của Ä⁄ ứng với một tập con tam giỏc trong #“*' và người ta đó dựng kết quỏ này dộ
nghiờn cứu Giả thuyết đơn thức của M Hochster
Trong tiết này chỳng tụi trỡnh bày việc xõy đựng mụđun cỏc thương suy rộng
2.1.1 Tập con tam giỏc Cho ứ là một số nguyờn dương Kớ hiệu D„(#) là tập tất cả cỏc ma trận tam giỏc dưới cấp ứ x ứ với hệ tử trong ẹ Một tập con tam giỏc của R” là một tập con khỏc rỗng U của R” sao cho hai điều kiện sau được thỏa món: () Nếu (0, z , un) €U thỡ (uf! ,uS?, ,u% )eU với mọi bộ số nguyờn duong Q, ,a,- (ii) Nộu (wy, u2, 5 Un) €U và (Vv), V2 Vn) €U thi tồn tại (w„, wằ, , w„) eU va H, K €D,(R) sao cho:
Aluty, U2, 2, Un]! = [Wy W oe Wal! = K[vp Vx we Val
(Ở đõy kớ hiệu [ ]ẽ để chỉ ma trận chuyền vị)
Trang 17(ii) Cho R là vành giao hoỏn, địa phương, Noether và M⁄ là một # — mụđun hiru han sinh, dimM = d (d = 1) Khi do tap hop
U = {x ., 3a)|(Xi , x4) là hệ tham số của MỊ
là một tập con tam giỏc của ”
Tập hợp U(M)u+ Ă = {Ú¿ y4 1) eR“*f |Ä7, 0 <7 < đ, sao cho ỚĂ, ,
yj) la mot phan hệ tham số của M va Wj+i= =ya= 1} là một tập con tam
giỏc trong Rf” °
2.1.2 Xõy dựng mụđun cỏc thương suy rộng
Khi cho trước một tập con tam giỏc U, Sharp và Zakeri [I1] đó xõy
dựng một #-mụđun U”M⁄/ và họ gọi đú là mụđun cỏc thương suy rộng của M⁄
ứng với tập con tam giỏc U như sau
Trờn tớch Đề-cỏc Ä⁄x U ta xột quan hệ hai ngụi : : Với b, e eM và = (ụ, , #z); v = (Vụ vạ) 6U, (b, (tụ, , ộ„)) : (e, (vụ, , vạ)) khi và chỉ khi tồn
tại (w, ,w„) eU và H, K eD,(R) sao cho: H[u,, ưạ]” = [w, w„]” =
K[vi v„]” và ii=|xice| Š Rw, )w Khi đú quan hệ : là một quan hệ
i=l
tuong duong trộn Mx U Cho b €M, u = (uy , Un) € U Ki hiộu ( ) là
Lỗ
lớp tương đương chứa (, (z, , z„)) và Ư”M tập thương của Mx Ũ theo
Trang 18a bo |H|b+|K\a (s, ,) (n, t,} - Gn, ,) VỚI (0¿, , Un) € Uva H, K €D,(R) thoa man: Hs = u = Kt ara (S,, 9„) S, 5„)
Hai phộp toỏn trờn khụng phụ thuộc vào việc chọn đại diện và với hai phộp
toỏn trờn, Ƒ”M trở thành một R-mụđun gọi là mụẩun cỏc thương suy rộng
của M theo tap con tam giỏc Ù
2.1.3 Vớ dụ () Khi ứ = 7 thỡ U =Š với Š là tập con nhõn đúng Khi đú cỏc
phộp toỏn trờn 'M trựng với cỏc phộp toan trộn S 'M That vay: ° Phộp cộng: VỀ, es'M ta cú: ru erren |Rèr+|K|r sos ss! u voi |H|=s'; K| =s;u=ss'va |H|s = ss'= |K|s' ° Phộp nhõn với vụ hướng: ra A Ag ` , a Voi —eS'M và reR taco: r—=— s ss
Vay voin =/ thi U'M=S'M
(ii) Cho # là một vành giao hoỏn, địa phương, Noether Ä⁄ 1a một R-mddun, dimM = d U = {(x, Xx„) | ( x, x„) là hệ tham số của Ä⁄} là tập con tam giỏc của R“ Khi đú mụđun Ư“A⁄ là mụđun cỏc thương suy rộng theo tập con tam giỏc Ù
2.2 Độ dài thương suy rộng
2.2.1 Định nghĩa Cho x=(x, ,x,)là một hệ tham số của M va n=(n, n„) là một bộ cỏc số nguyờn dương Kớ hiệu Ä⁄(1/(xĂ`, ,xz“,l)) là
Trang 19bị lĩnh húa tử bởi 4z M +(x" ,x/)R Vỡ thế 1(M(1/(x* ,x/',l))<sœ Để thuận tiện ta đặt xg (2) = 1 (M (1/41, 1) Theo Sharp và Hamieh, độ dài g, „(ứ) được gọi là độ đài thương suy rộng 1/(x" x/“„Ù)
Sau khi định nghĩa độ dài thương suy rộng, Sharp và Hamieh [9] đó đặt ra cõu hỏi sau đõy
Cõu húi mớ: Cú tồn tại hay khụng một đa thức F(X) của d biến X,, ,X„
với hệ số hữu tỷ sao cho q,„„(n)= FỢn, n„) khi mị, ,n„ đủ lớn?
Mặc dự chưa đưa ra được cõu trả lời cho cõu hỏi trờn nhưng Sharp và
Hamieh đó chỉ ra cõu trả lời đỳng cho cõu hỏi trờn trong một số trường hợp
đặc biệt Cụ thể là cỏc kết quả đưới đõy đó được chứng minh trong [9] chỉ ra
cõu trả lời đỳng khi đ7z# <2 hoặc đ là vành Cohen — Macaulay suy rộng
2.2.2 Dinh ly Gia sw’ dimR=I và x, là một hệ tham số của R Khi đú với
moi n, la sỐ tự nhiờn ta cú:
1(Rq/(x".1))) =e(x,)m,
Chứng minh Ta cú tồn tại /e# sao cho (0:m')=(0 cm”) VieƠ
Do R/(0:m') cú độ sõu dương, theo [9, 2.1] ta cd thể giả sử rằng độ sõu của
R duong Vi vay trong truong hop dimR = 1, R 1a vanh Cohen— Macaulay Theo [7; 3.15] ta cú
1{R{L/(x'.1))è=1(R/ Rv')
Và theo [3, p.31 1] ta cú:
Trang 202.2.3 Định nghĩa Cho L là một #-mụđun Artin Giả st L=C,+ +C,,
(>0) là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L, với CĂ là p- thứ cấp với mọi
h
i=l, ,h Dat L, = > C, Mộdun con Lạ khụng phụ thuộc biểu diễn thứ cấp ớ=1
pm
tối thiểu của L và được gọi là thang du cia mộdun L Chu y rang Ly 1a mộdun
con bộ nhất của L sao cho 1(L/L,) < Khi đú l(L/L,) gọi là độ dài thăng
dự của L Số nguyờn khụng õm nhỏ nhất s= s(U) sao cho m`LC Lạ được gọi
là chỉ số ổn định của L
2.2.4 Định lý Gi¿ sử diưnR =2 và là độ dài thặng dự của mụẩun Artin
H)(R), s là chỉ số ổn định của H)(R) và x,,x, là một hệ tham số của R Khi
đú với mọi số tự nhiờn NN, 2s taco:
1(Rq/(x*".x;?.Ú))) = e(x,,x,)mn, — f
Chứng minh Luụn tồn tại số nguyờn dương t sao cho (0:m')=(0:m'"),
voi moi ie Ơ Nộu thay vanh R bang R/(0:m') khong làm thay đổi giỏ trị của # và s Do R/(0:m’) cú độ sõu dương nờn ta cú thộ gia sir depthR>0
Chọn cỏc số tự nhiờn n,,n, sao cho n,,n, 2s Dat S = AssR U(Att(H! (R)) \ {m}) là một tập hữu hạn cỏc iđờan nguyờn tố khụng cực đại của R Do do Rx" + RP BU p pis Khi đú tồn tai a,i R sao cho y,= a,x! + x,f Up Dodo y, và tất cả cỏc pis
lũy thừa dương của nú khụng là ước của khụng trờn R
Trang 21> |: SHEE Sb = ằ a x= ll oro Do #?",x;?,)” = (x",y?,D” và theo [9, 2.5] ta cú L/Gp',x2¿D= 1/@7,y2,D= - 1/(y#,x”,), Mặt khỏc Rx,+ Rx,= Ry, + Rx, nộn e(x,,x,)= e(y,,x,), do do 1(Rq/Œ.x",D)) = e(¿,x,)mụn; — f Vỡ y* khụng là ước của khụng trờn R, do đú ta đặt R= đ/Ry; Từ [9, 2.2] ta cú một # -đồng cấu: n`:U(R), R->U(R); R
sao cho 7(2/(z,,l))=a/(y?z,,l) với mọi ae R và hệ tham số {z.} cua R
Ta cũng chỳ ý rằng kerr?` x }(R)/ y?H)}(R) và bởi cỏch chọn y„,y°H) (4)
Trang 221(q/G7,x",))) = e(y;.xị)mn; — vậy
1(Rq/(x*".x;?.,1))) = e(x,.x;)mn, — f W
2.2.5 Hệ quả Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương cú số chiều là 2 và {x.x,} là một hệ tham số của R Khi đú với mọi số nguyờn
'(R)) taco
m
đương m.,n, 3 s(H
1(Rq/Œ7*,x?,1))) =e(x,„x;)mn, —L(H)(R))
2.2.6 Chỳ ý Cho dóy khớp cỏc đ- mụđun N > P—@Q va b,c là iđờan của
R sao cho bV =0=cQ Khi đú beP =0 Đặc biệt, nếu M,P,O đều cú độ dai
hữu hạn thỡ s(P) = s(N)+s(ể)
2.2.7 Hộ qua Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương và
x,€m khụng là úc của khụng trờn R Khi do voi moi i= 1, ,d- 2 taco: SCH jp, (RIM R))Ê 8CH,,(R))+ 8H, '(R)).- 2.2.8 Mệnh đề Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương va xị X„ là một hệ tham số của R Đặt jlaj- lệ , t=a fi „(H,(đ)) =1 SỈ ~ lỡ Lấy rè % Khi đú
Once UŒ¿ ig EL ROM a7 VD),
Chứng minh Ta chứng minh bằng phương phỏp qui nạp Trong trường hợp
d=1 kột qua được suy ra từ [9, 2.8], [10, 3.5] và [11, 3.2] Do đú chỳng ta giả
sử rằng Z >1 Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử đepzhR >0 Khi đú với mọi
x khụng là ước của khụng là một phần của hệ tham số của R, tit [8, 3.3] với
Trang 23(0:„ x)c(0:„z”)=0,
từ Chỳ ý 2.2.6 và Hệ quả 2.2.7 taco R/xR 1a mot vanh Cohen — Macaulay suy rộng, địa phương cú chiều Z—l
Lấy a@eU(R) AIR sao cho m’a=0 Theo [11, 3.6], ton tai ae R va
cỏc số nguyờn dương ứứ,„ ,w„ để œ =a/(x/", x7“,1) Ký hiệu R= R/x"'R là
một vành Cohen - Macaulay suy rộng, địa phương cú chiều đ—l và _:R#->R là một đồng cấu tự nhiờn Theo [Đ, 2.2] ta cú đóy khớp 0—> H'(R)/x" H2'(R) > UR), RU (RY R, trong đú 1/0 +„„l))= b((x*".y; y„„è) với mọi be và mọi hệ m tham sộ {V,, 3,} cla R Dat s=s(H2"(R)) Khi do m’kern™' =0 va m’™* (G(X x7, 1))=0 Do vay, tồn tại a, € R sao cho a a trong đú Ni s(H;(R)) T ses
va m la idộan cuc dai cha R Tr Hộ quả 2.2.7 ta cú + <ứ, ỏp dụng ?“'
Trang 24Định lý sau đõy cho thấy rằng khi R là vành Cohen-Macaulay suy rộng thỡ ta cú cõu trả lời đỳng cho cõu hỏi của Sharp và Hamich
2.2.9 Dinh ly Cho R là vành Cohen-Macaulay suy rộng, địa phương và xị x„ là một hệ tham số của R Đặt fli 16 =a — 9(H,,(R)) lỡ irl Khi đú với mọi số nguyờn dương m „3 t đ-]1 d _ 1 VR 0 XD) = CO) Xe Na Si 1 ) (H,@)) i=l —
Chứng minh Ta chứng minh bằng phương phỏp qui nạp Khi đ=1 hoặc
=2 kết quả đó được chứng minh trong Định ly 2.2.2 và Hệ quả 2.2.5 Do
đú ta giả sử rằng Z >2 Từ [6, 2.1] ta cú thể giả sử rằng đep¿h R >0, với mọi
x khỏc khụng là một phần của hệ tham số của # sao cho R/xR 1a mot vanh Cohen — Macaulay suy rong, địa phương cú chiều đ—]
Chọn ứụ, m,eŸ sao cho n, >t, voi i=l, ,d Ky hiệu R=R/x"R
và :->k là một xạ ỏnh tự nhiờn, và chỳ y rang x"H2"(R)=0 Khi d6
ton tại một đồng cầu
nh:U(R)7TR—>U(R)7?-'R,
sao cho, với mọi aeR và Œ; „„ 1) c U(R),, thỡ
9° (AMVs Vs) = AMX, Voss Vas):
Hơn nữa, ker?/”' = //⁄'(R)/xH⁄"'(R) Ta cú dóy khớp
0—> H#'(R)—>U(R)¿°R—1?—šU(R)7R,
và m`kerr"''=0, trong đú s=s(H7 '(R)) Do đú từ Mệnh đề 2.2.8 ta cú
Trang 25{2(d4-2 = = VỚI f >>| 1 june, (va m la idộan cực đại của đ) Từ Hệ quả 2.2.7 iat LE ta cú 7+ s<¿ứ, do đú ker""c R(/Œ° x?“,D), từ đú chỳng ta cú dóy khớp ngắn cỏc đ- mụđun cú độ dài hữu hạn sau 0—> Rq/Œ?, x*,)) => R(/(x7',x?, x7“2D) — 0 r ⁄ „>f taco Từ giả thiết quy nạp, với Ny 5.050 D1 /(xm =n 1 > = &(d-2 1((/G° x;',l))) = e;Œ Xu) — 3” " i=l ene, Theo [3, 7.4.2, 7.4.3] va [3, p.11], suy ra eG;, , X„) = Cy (AP Xp, yee Ty) = MCp (Xs Xq 500%) Do đú ta cú d-l G(d-2 PB 1(Rq/G7'; , xz',l))) = e(Xị, x„)m n¿T—T(H, (R))— 3 ;—1 ) ;(H„(R)) i=l — Từ dóy khớp ngắn 0> R—">R> RO 0, ta cú dóy khớp cỏc mụđun đối đồng điều địa phương sau 0 H°(R) > H} (R)—*—>H Hˆ(R)—> m m '(R) > H1(R) > H2(R)—* m m > H2(R) > trong đú cỏc tự đồng cấu của /7/ (R)(VI<Ă<đ—1)sinh ra bởi phộp nhõn với
x" 1a khong : điều này bởi vỡ ứ, > s(Hj(R)) với mọi Ă =l, đ —1 Do đú
1(1,(R) =1(H,(R))+1(H7'(R))- Vi=I, d—2
Vậy
d2(q—2 _ d-1(q—|
Trang 26Cỏc bước quy nạp được hoàn tất Vậy ta cú với m, ,w„>ớ thỡ €(4—1
{ROI nD) =n) S ial " 1 }eta(đ) ụ
Nam 2003, N T Cuong, M Morales va L T Nhan [6] đó đưa ra phản
vớ dụ chứng tỏ rằng nhỡn chung cõu trả lời cho cõu hỏi mở của Sharp và
Hamieh là phủ định Tiếp sau đõy chỳng tụi trỡnh bày lại phản vớ dụ này cho
một vành # chiều Z >3 tựy ý
2.2.10 Bỗ đề Củo (R.m) là một vành Noether địa phương và M là một R-
module hitu han sinh voi dunM = d Cho x =(xị x„) là một hệ tham số của M Dat Ox; M) = 0 DM ty, Xe Xt >0 Khi do ta cd M/Q(x;M) = M(1/(x,, ,X,,1)- Chứng minh Đặt V„:M Í(x,, ,x„)MŒM———>M Í(x””, , x„, )MM với >1, ta biết rằng m lim(M /(x,, %,)M) = H2(M) Xột anh xa ⁄:M (Gị, x„)M —>U(M)¿ ` M
xỏc định bởi /Ă( + (xị ,x„)M) =/(xị ,x„.l) với mọi we M Do do ta cd
(xụ, ,x„)Ä Cc kerf, ta cd biểu đồ sau giao hoỏn
MÁ(, x,)M— #“—š M (x
Trang 27Khi đú tồn tại một đồng cấu #:H“(M) —>U(M);" ÄM sao cho biểu đồ sau m giao hoỏn MÍG, x,)M—*—>H“(M) U(M)¿, M Từ biểu đồ trờn ta nhõn được ker ƒĂ =kerự Mà kerự = ể(x;M) nờn M /(1G x„.)) = lm f ,= M/kerw =M/QO(x;M)
Vậy bồ đề được chứng minh W
Từ nay cho đến hết phần này, chỳng ta luụn giả thiết đ>3 và 0<y<đ~2 là cỏc số nguyờn dương
2.2.11 Bồ đề Kớ hiệu S = K[x, x„] là vành đa thức của cỏc biến xị x,
trờn một trường K và mị n„ là một bộ cỏc số nguyờn dương Khi đú với mỗi số nguyờn dương t> 74 ta co " (x EM M(H XX yee Ky WS ty XP = (XN ES Chứng minh Đặt B= (a MY — xu yeu )Š by A5218 Khi đú ta cú a C0 09596 acl etal
Vỡ (x"2", ,x"“)j$ là một iđờan đơn thức nờn mỗi đa thức trong S là một
õn tử thuộc (x/"””", x”“““)$ nờu và chỉ nờu cỏc từ của nú đều là bội của
hõn tử th man xó
một trong cỏc đơn thức x””, x”°”', Vỡ thế ta cú
mị+, nyt+n, + yHứ — mat mt nạt
Trang 28nyt
Từ đú suy ra 4 c(x" x/“)S Ngược lại, vỡ d—v>2, nộn chung ta kiểm tra được xa, với mọi Ă#2 Đặt
“+ „+
Da (OM YX, — ye Xo pee Xy, )S-
Khi đú ta cú
nyt+ny nt nst nyt \myt+ny
x 2 x 1 XS ey =X} (4) =X — ni-l inst a FO ngt nyttny mt—l inst d ngt+1
nyt+ny mt nyt
Do do ta cd xf" xj" xy" xii” eb nộu và chỉ nờu
myl+ny nit-l nyt ngttl x a Eb nyt+ny Vi thộ sau ny bước ta nhận được x;?”°x/“x‡” x”“eéb nờu và chỉ nờu nyt+ny mự Hạ Natt XP XU eb 3 a HA nyt ngttmt Vi nt2n,,nộntacd xP" x x â b Suyra nottny nt nst nạt xe c6 é và do đú x;? ca W
Trang 29(x, +x,)" wT cag XM eb
Vi thộ chi can ching minh x}? €b 1a du Chỳ ý rằng luụn tồn tại một đa thức
f sao cho
mien, (4, +x) a = XP XY nt xe, Hạt — nyt+ny mt xt Saxe ngt+ny nsf ngt+nt
cac cai xi,
Taco xx" xy" f €a Hon nita, vi nt >n,, nộn ta cd
not+ny mst ngttnt
x Ca
nt mt
Suy ra x;“”(x+x,)"“x.xea và do đú x?eéb Ngược lại, cho
ƒ(w,.x, x,) là một đa thức tựy ý trong b Bang cach thay x, =x,-x, X;=X;; ; x„=x„, đa thức ƒ(x,Ă — x„.x; ,x„) phải thuộc vào Iđờan
G9 n9 22G — X„Ă sA, v)9 1/922
Vỡ thế ƒ(x,—x,,x;, ,x„) e(/”,xz2, x/)Š$ theo Bồ đề 2.2.11 Lại bằng cỏch thay x,=x, + X„; X; =x;; ; X„ =x„, ta nhận được
ƒ(Ă.x; x„) €((xị +x„)”,12?, XZZ)S
Vậy bồ đề được chứng minh W
2.2.13 BO dộ Kớ hiệu S = K[x, x„] là vành đa thức của cỏc biến xị, X,
trờn một trường K Gọi m = (x, x„)S là iđờan tối đại thuần nhất duy nhất
và R=S,, là vành địa phương húa cua Š ứng với iđờan m Đặt
Trang 30O(G +x¿)*,x;”, Xu SM) = (Ị, Xu „)Sm (GI + Xz)”;X;” 2 Sin
Từ đẳng tức này và theo Bồ đề 2.2.10 ta nhận được
4 (0) = TC X„ „5, Á› .X„ „5m ((X, + X„)”,xX;”, XS)
V(X pene Kyi y Mee eee d~y,*d-v+ (1 +,” Sy)
1 (Spy MC, +X) oy" sees Xf" Soy) — (Spy MX genes epg Kee geen AIMS), ay Xa nel
Vi S,, là vành Cohen-Macaulay nờn ta cú
agra (2) = CCX, + Xp) 5g" see Hy" Sy) — CM sees My MI oe Sy)
= N Ny — Nyy.) min {nny}
Vậy bổ đề được chứng minh W
2.2.14 Bỗ đề Giỏ sử dim M =dimR =d Gọi x=(x, ,x„) là một hệ tham
số của R Cỏc mụẩun con O(x;R); Q(x;M) và O((x;0); R <M) xỏc định như
trong Bồ đề 2.2 10 Khi đú ta cú
ICR XM/Q((x;0) ; RXM))=1(R/ Q(x, R)) +1(M/ Q(x; M))
Chứng minh Với mỗi phần tử (z,) e đôM và với mỗi số nguyờn đương ứ,
ta kiểm tra được (x,,0)' (%,,0) (7,7) = (Xị Xỳr,xị Xum) Thờm nữa ta cú ((x,0)7°, ,(x,,0)/”) RkM =(x.”'.„x)Rx(x 2x )M với mọi số nguyờn đương / >0 Vỡ thế ta cú ỉ@(;0); R< M}=O(x:R) x ể(x; M)
Từ cỏc kết quả trờn ta cú một dóy khớp cỏc # x M -mụđun
Trang 31trong đú ta kớ hiệu Ê' (tương ứng ứ') là đồng cấu cảm sinh bởi cỏc đồng cấu ộ:M—>R <M định nghĩa bởi e(m)=(0,m) voi moi me M (tuong ứng là đồng cấu cảm sinh bởi phộp chiếu tự nhiờn ứ) Do đú ta cú
1( RKM/Q((x;0) ; RXM))=1(R/ Q(x, R)) +1(M/ Q(x; M))
Vậy bổ đề đó được chứng minh W Những bổ đề trờn là cụng cụ để chứng minh định lý tiếp theo đõy, đú
cũng chớnh là cõu trả lời cho cõu hỏi mở của Sharp và Hamich mà N T
Cường, M Morales và L T Nhàn đó trỡnh bày trong [6]
2.2.15 Định lý Cho đ>3 và 0<v<d-2 là cỏc số nguyờn Goi
Š =Kix, x„] là vành ẩa thức của cỏc biến Xị X„ trờn một trường K Gọi
M=(X,, ,X,)S là iđờan tối đại thuan nhất duy nhất của S và R= S„ là vành
địa phương húa của S tương ứng với m Đặt M =(xị x„,)R và kớ hiệu
R M là vành iđờan húa của M Khi đú (x.,9) = ((x, + x„.0),(x,,0), ,(x,,0))
là một hệ tham số của R M và
đ(x0);RkM() = 21\Ny.Ny — Nyy aye Ny MIN {N,N},
với mọi bộ số nguyờn dương m, ỳ„ >1 Vỡ thộ qQœo);Rx(n) khụng là một ẩa thức khi n = (m, n„) đủ lớn
Chứng minh Vỡ R là vành Cohen-Macalay và (x, + x„}”,x;°, ,x¿“ là một hệ
tham số của R nờn (x+x„)”,x7, x¿' phải là một dóy R-chớnh quy Vỡ thế
ta cú
O(%, +x„)”".x¿? x7“:R) = (KH + XY) XP MIR
Bõy giờ ta sử dụng Bồ đề 2.2.10 ta cú q,Ún; ,n„)=m, ,n„, trong đú
x=(x,+x„,x;, x„) Từ đõy, định lý được suy ra theo Bồ đề 2.2.10, Bổ đề
Trang 32KẫT LUẬN
Trong luận văn này chỳng tụi đó trỡnh bày lại một cỏch tường minh cỏc
kết quả trong bài bỏo [6], [9], [11] Cụ thể là chỳng tụi đó hoàn thành được
những việc sau:
1 Trỡnh bày cỏch xõy dựng mụđun cỏc thương suy rộng
2 Trỡnh bày lại cõu hỏi mở của Sharp và Hamieh về độ dài thương suy rộng và cõu trả lời đỳng trong một số trường hợp đặc biệt khi đ„R<2 hoặc # là
vành Cohen-Maccaulay suy rộng
Trang 33TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giỏo trỡnh Đại số hiện đại, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia
J2l Dương Quốc Việt (2003), Cơ sở lý thuyết module, Nha xuat ban Dai hoc su pham
Tiộng Anh
[3] D G Northcott (1968), Lessons on Rings, Module and Multiplicities, Cambridge Univ Press, Cambridge
[4] H Matsumura (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin
[5] M Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass
[6] N.T Cuong, M Morales and L T Nhan (2003), Length of generalized fraction, Journal of Algebra, 265(1), 100-113
[7] N T Cuong and V T Khoi (1999), Modules whose local cohomology
modules have Cohen-Macaulay Matlis duals, Jn Proc Of Hanoi Conf on Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computaional Methods (Editor D Eisenbud), Springer, 223-231
[8] P Schenzel, N V Trung and N T Cuong (1978), Verallgemeinerte Cohen- Macaulay-Moduln, Math Nachr, 85, 57-73
[9] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Length of certain generalized
fraction, J Pure Appl, Algebra 38, 323-336
[10] R Y Sharp and H Zakeri (1982), Local cohomology and modules of generalized fraction, Mathematika 29, 32- 41
[II] R Y Sharp and H Zakeri (1982), Modules of generalized fraction,