Về môđun các thương suy rộng luận văn thạc sỹ toán học

TRNG I HC VINH KHOA TON HC TH HNG PHNG MễUN CC THNG SUY RNG luận văn thạc sỹ toán học Ngh An, 2011 TRNG I HC VINH KHOA TON HC TH HNG PHNG V MễUN CC THNG SUY RNG luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.05 Ngi hng dn khoa hc TS NGUYN TH HNG LOAN Ngh An, 2011 MC LC M U Cho R l vnh giao hoỏn, cú n v Trong [6], R.Y.Sharp v H.Zakeri ó xõy dng mt R- mụun gi l mụun cỏc thng suy rng Vi mi s nguyờn dng k, cỏc tam giỏc Rk c nh ngha bi Sharp v Zakeri úng vai trũ nh cỏc nhõn úng lý thuyt quen bit v vnh v mụun cỏc thng Vỡ th lý thuyt mụun cỏc thng suy rng cú th xem l m rng ca lý thuyt a phng hoỏ thụng thng Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng cú nhiu ng dng i s giao hoỏn Chng hn, cho M l mt R- mụun vi dim R = n, mụun i ng iu a phng H mn ( M ) cú th c xem nh l mt mụun cỏc thng suy rng ca mụun M ng vi mt tam giỏc Rn+1 v ngi ta ó dựng kt qu ny nghiờn cu Gi thuyt n thc ca M Hochster Mc ớch ca Lun l da vo cỏc ti liu tham kho trỡnh by li khỏi nim mụun cỏc thng suy rng v tỡm hiu mt s ng dng ca mụun cỏc thng suy rng vic nghiờn cu mt s i s giao hoỏn Ngoi phn M u, Kt lun v Ti liu tham kho, Lun c chia thnh ba chng Chng I: Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by v vnh v mụun cỏc thng thy c khỏi nim mụun cỏc thng suy rng l mt s m rng ca khỏi nim mụun cỏc thng Ngoi ra, chng ny, chỳng tụi cng trỡnh by mt s kin thc c s ca i s giao hoỏn nhm phc v cho chng minh cỏc chng sau Chng II: Mụun cỏc thng suy rng Trong chng ny, chỳng tụi s trỡnh by v cỏch xõy dng mụun cỏc thng suy rng v trỡnh by mt s vớ d v mụun cỏc thng suy rng Chng III: Mt s ng dng ca lý thuyt mụun cỏc thng suy rng Mụun cỏc thng suy rng cú nhiu ng dng i s giao hoỏn Nhiu nh toỏn hc trờn th gii ó s dng Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng nh l cụng c chớnh nghiờn cu nhiu i s giao hoỏn Vỡ khuụn kh cú hn ca Lun nờn chng ny, chỳng tụi ch trỡnh by nhng sau: - Cho M l mt R- mụun vi dim R = n Mụun i ng iu a phng H mn ( M ) cú th c xem nh l mt mụun cỏc thng suy rng ca mụun M ng vi mt tam giỏc Rn+1 - Mi quan h ca mụun cỏc thng suy rng vi Gi thuyt n thc ca Hochster Lun c hon thnh vo thỏng 10 nm 2011 ti trng i hc Vinh di s hng dn ca cụ giỏo TS Nguyn Th Hng Loan Nhõn dp ny tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n cụ, ngi ó hng dn nhit tỡnh, chu ỏo v nghiờm khc sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Cng nhõn dp ny tỏc gi xin trõn trng cm n cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn v khoa Sau i hc ó giỳp sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc anh ch, cỏc bn lp Cao hc 17 - i s - Lý thuyt s ó giỳp ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Lun c hon thnh bng tt c s n lc v c gng ca bn thõn, song lun khụng trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v bn c lun hon thin hn Vinh, thỏng 10 nm 2011 Tỏc gi CHNG I KIN THC CHUN B Trong ton b lun vn, vnh luụn c gi thit l giao hoỏn v cú n v 1.1 Iờan nguyờn t v iờan cc i (i) Iờan p ca R c gi l iờan nguyờn t nu p R v x, y R m xy p thỡ x p hoc y p m ca R c gi l iờan cc i nu m R v khụng tn ti iờan J R cho J m v J m (ii) Iờan 1.2 Vnh a phng 1.2.1 nh ngha Vnh R c gi l vnh a phng nu R ch cú nht mt iờan cc i m 1.2.2 Vớ d (i) Trng l vnh a phng vi iờan cc i nht l { 0} i (ii) Vnh cỏc chui ly tha hỡnh thc K Đ x ă = x / K l vnh a i =0 phng vi iờan cc i nht l iờan x sinh bi x ml mt iờan thc s ca R Khi ú R l vnh a phng vi iờan cc i nht l m v ch mi phn t x R\ m u kh 1.2.3 nh lớ Gi s nghch vnh R 1.3 Vnh v mụ un cỏc thng 1.3.1 Tp nhõn úng Cho R l mt vnh v S R S c gi l nhõn úng ca vnh R nu S v a, b S thỡ ab S Cho p l mt iờan nguyờn t ca vnh R Khi ú S = R\ p l mt nhõn úng ca vnh R Tht vy, R\ p Vỡ nu R\ p hay p thỡ a.1 = a p, a R Khi ú p = R iu ny l mõu thun Vy R\ p Mt khỏc, a, b R\ p tc l a, b p ta cú ab p p l iờan nguyờn t Do ú ab R\ p Suy R\ p l nhõn úng ca vnh R Nu R l mt nguyờn thỡ R* = R\ { 0} l mt nhõn úng ca vnh R 1.3.2 Xõy dng vnh cỏc thng Cho S l nhõn úng ca vnh R Trờn tớch cỏc R x S ta xột quan h hai ngụi : ( r, s ) : ( r , s ) t S : t ( rs sr ) = , , , , D thy l mt quan h tng ng trờn R x S Vi (r,s) R x S, ký hiu r/s l lp tng ng cha (r,s) v S-1R l thng ca R x S theo quan h tng ng : S-1R = {r/s | r R, s S} Trờn S-1R trang b hai phộp toỏn l phộp cng v phộp nhõn nh sau: a b at + bs a b ab + = ; = s t st s t st D thy quy tc cng v nhõn trờn khụng ph thuc vo cỏch chn phn t i din ca cỏc phn t S-1R, vỡ th nú l phộp toỏn trờn S-1R Cựng vi hai phộp toỏn ny, S-1R l mt vnh giao hoỏn, phn t khụng l 0/1, phn t n v l 1/1 Vnh S-1R c gi l vnh cỏc thng ca R theo nhõn úng S Mi iờan ca vnh S-1R cú dng S-1I = {a/s | a I, s S}, ú I l iờan ca R Ta cú S-1I = S-1R I S Do ú S-1I l iờan thc s ca S-1R v ch I S = Mi iờan nguyờn t ca vnh S-1R cú dng S-1 p, ú p l iờan nguyờn t ca R khụng giao vi S Cho p l mt iờan nguyờn t ca vnh R Khi ú S = R \ p l mt nhõn úng ca vnh R Vnh S-1R trng hp ny l vnh a phng, ký hiu l Rp , vi iờan cc i nht pR p = S 1p = { a / s a p, s R \ p} nờn c gi l vnh a phng hoỏ ca vnh R ti iờan nguyờn t p 1.3.3 Xõy dng mụun cỏc thng Cho S l nhõn úng ca vnh R Khi ú ta cú vnh cỏc thng S-1R Trờn tớch cỏc M x S, xột quan h hai ngụi : ( m, s ) : ( m , s ) t S : t ( ms sm ) = , , , , Khi ú l quan h tng ng trờn M x S Do ú M x S c chia thnh cỏc lp tng ng, ký hiu thng ca M x S theo quan h tng ng l S-1M v ký hiu lp tng ng cha (m,s) l m / s Nh vy S-1 M = { m / s | m M, s S} Trờn S-1M trang b phộp cng v phộp nhõn vi vụ hng: m / s + m '/ s ' = ( s ' m + sm ' ) / ss ', m / s; m '/ s ' S M v r / t.m / s = rm / ts, r / t S R, m / s S M Quy tc cng v nhõn trờn khụng ph thuc vo cỏch chn phn t i din Khi ú S M cú cu trỳc l mt S R -mụun v gi l mụun cỏc thng ca M theo nhõn úng S S M cng cú th xem l mt R-mụun vi phộp nhõn vụ hng nh sau: r x / s = rx / s , vi mi r R, x / s S M Cho p l mt iờan nguyờn t ca vnh R v S = R \ p Khi ú mụun S M c gi l mụun a phng hoỏ ca M ti iờan nguyờn t p, ký hiu l Mp Nh vy Mp cú th xem nh l Rp -mụun hoc l R-mụun 1.3.4 nh lớ Cho S l nhõn úng ca vnh R Khi ú vi mi dóy khp ngn cỏc R mụun M ' M M '' thỡ dóy S 1M ' S 1M S 1M '' l dóy khp cỏc S-1R mụun 1.4 Ph, giỏ, cao v chiu Krull ca mụun 1.4.1 Ph ca vnh Ký hiu Spec R l tt c cỏc iờan nguyờn t ca vnh R Khi ú Spec R c gi l ph ca vnh R Vi mi iờan I ca R ta ký hiu V (I ) = { p SpecR p I } 1.4.2 cao ca iờan Mt dóy gim cỏc iờan nguyờn t ca vnh R : p0 p1 pn c gi l mt xớch nguyờn t cú di n Cho p Spec R , cn trờn ca tt c cỏc di ca cỏc xớch nguyờn t vi p0 = p c gi l cao ca p, ký hiu l ht ( p) , ngha l: ht ( p) = sup { di cỏc xớch nguyờn t vi p0 = p} Cho I l mt iờan ca R, ú cao ca iờan I c nh ngha: ht ( I ) = inf { ht ( p) p Spec R, p I } 1.4.3 Chiu Krull ca mụun Cn trờn ca tt c cỏc di ca cỏc xớch nguyờn t R c gi l chiu Krull ca vnh R , ký hiu l dim R Cho M l mt R mụun Khi ú linh húa t ca mụun M: AnnR M = { a R aM = 0} = { a R ax = 0, x M } l mt iờan ca M Chiu ca vnh thng dim ( R / Ann R M ) c gi l chiu Krull ca mụun M, ký hiu l dimRM (hoc dim M) { } 1.4.4 Giỏ ca mụun Tp Supp M = p SpecR M p ca Spec R c gi l giỏ ca mụun M Nu M l R-mụun hu hn sinh thỡ Supp M = V (Ann R M ) = { p SpecR p Ann R M} 1.5 Tp cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca mụun 1.5.1 nh ngha Cho M l mt R mụun Ta gi iờan nguyờn t p ca R l mt iờan nguyờn t liờn kt ca M nu mt hai iu kin tng ng sau c tha món: (i) Tn ti phn t x M cho AnnR(x) = p ú: AnnR x = { a R ax = 0} ; (ii) M cha mt mụun ng cu vi R/ p Tp cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M c kớ hiu l AssRM hoc AssM nu khụng ý n vnh R 1.5.2 Mnh AssRM SuppRM v mi phn t ti tiu ca Supp RM u thuc AssRM 1.5.3 Mnh Nu M l R mụun Noether thỡ AssRM l hp hu hn 1.6 di ca mụun 1.6.1 nh ngha Mt dóy hp thnh ca mt R mụun M l mt dóy gim gm mt s hu hn cỏc mụun M = M M M n = { 0} cho Mi-1 / Mi l mt mụun n vi mi i = 1, 2, , n Khi ú n c gi l di ca dóy hp thnh Mụun M cú mt dóy hp thnh c gi l mt mụun cú dóy hp thnh 1.6.2 nh lớ Nu R-mụun M cú mt dóy hp thnh cú di n, thỡ tt c cỏc dóy hp thnh ca M cng cú di n Hn th na, mi dóy tng hoc gim thc s cỏc mụun ca M u cú di khụng vt quỏ di ca cỏc dóy hp thnh, v u cú th m rng thnh mt dóy hp thnh Khi ú di ca cỏc dóy hp thnh ca M c gi l di ca mụun M v kớ hiu l lR ( M ) Nu R-mụun M khụng cú dóy hp thnh thỡ ta quy c di lR ( M ) = v c gi l mụun cú di vụ hn 1.6.3 c trng ca mụun cú di hu hn (i) Mt R mụun M cú di hu hn v ch M va l mụun Noether va l mụun Artin (ii) Cho dóy khp ngn cỏc R mụun N M P Khi ú M cú di hu hn v ch N v P cú di hu hn v ta luụn cú lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( P ) (iii) Nu N l R mụun ca R mụun M thỡ lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( M / N ) (iv) Nu R l vnh Noether v M l mt R mụun cú di hu hn thỡ AssR(M) = SuppR(M) 1.7 H tham s Cho M l mụun hu hn sinh vi dim M = d trờn vnh giao hoỏn, a phng, Noether (R, m) Mt h gm d phn t x = ( x1 , x2 , , xd ) ca m cho lR (M/(x1,x2, ,xd)M) < + c gi l mt h tham s ca M Nu x = ( x1 , x2 , , xd ) l mt h tham s ca M thỡ cỏc phn t ( x1 , x2 , , xi ) gi l mt phn h tham s vi mi i = 1, 2, , d Iờan q = (x1, , xd)R c gi l iờan tham s ca M Ta cú mt s tớnh cht sau ca h tham s i) dim (M/(x1,x2, ,xi)M) = d i vi mi i = 1, ,d ii) xi + p vi mi p AssR(M/(x1,x2, ,xd)M) tha dim (R/ p) = d i vi mi i = 1, ,d iii) Nu x = ( x1 , x2 , , xd ) l mt h tham s ca M v n = ( n1 , n2 , , nd ) l b ( ) n n n gm d s nguyờn dng thỡ x(n) = x1 , x2 , , xd d cng l h tham s ca M iv) Mi hoỏn v ca h tham s ca mụun M cng l mt h tham s ca M 1.8 Mụun i ng iu a phng Gi thit (R, m) l vnh giao hoỏn Noether a phng Mt dóy cỏc R mụun v cỏc ng cu R mụun f f L M i M i M i +1 L i i c gi l mt i phc nu Im f i Ker f i vi mi i Nu dóy ny l mt i phc thỡ mụun Ker f i / Im f i c gi l mụun i ng iu th i ca i phc ny Dóy trờn c gi l khp ti mt th i nu Im f i = Ker f i Ta gi dóy ny l khp nu nú khp ti mi mt Mt dóy khp cú dng f g M ' M M " 10 Mt khỏc X ( H a + K b) + Y c ( v '1, , v 'n ) = = XH a + XK b + Y c ( v '1, , v 'n ) XH a + ( XK b + Y c ) I n ( v '1, , v 'n ) = XK b + Y c a + ( s1 , , sn ) ( v '1 , , v 'n ) = a b c + + ( s1 , , sn ) ( u1 , , un ) ( t1, , tn ) (vỡ XHs = Xv = v = Inv) ữ ữ (vỡ XKu = Xv = v= Yt) Phn t khụng l U n M vỡ ( u1 , , un ) I a + In a 0 a a + = + = n = ( u1, , un ) ( u1, , un ) ( u1, , un ) ( u1, , un ) ( u1, , un ) ( u1, , un ) Vi mi a a U n M thỡ tn ti phn t i l U n M Tht vy ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) I a + I n (a ) a a + = n = ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) ( s1, , sn ) Gi s H a+ K b a b + = (vi ( v1 , , ) U v H , K Dn ( R ) : ( s1 , , sn ) ( u1, , un ) ( v1, , ) Hs = v = Ku) Ta cú H a+ K b K b+ H a = ( v1, , ) ( v1 , , ) Ku = v = Ht Suy H a+ K b b a = + ( v1 , , ) ( u1 , , un ) ( s1, , sn ) 18 Vy a b b a + = + ( s1 , , sn ) ( u1 , , un ) ( u1, , un ) ( s1 , , sn ) Do ú U-nM vi phộp cng l mt nhúm giao hoỏn Xột ỏnh x: R ì U n M U n M a r , ( s1 , , sn ) Vi mi r1 , r2 R; ữ ữa ( s1, , sn ) a b , U n M : ( s1 , , sn ) ( u1 , , un ) H a+ K b a b r1 + = r1 ( v1 , , ) ( s1 , , sn ) ( u1 , , un ) (vi ( v1 , , ) U v H , K Dn ( R ) : Hs = v = Ku) = = ( r1 + r2 ) r1 ( H a + K b ) ( v1 , , ) = H r1a + K rb ( v1, , ) r1a rb a b + = r1 + r1 ( s1 , , sn ) ( u1 , , un ) ( s1, , sn ) ( u1 , , un ) a ( r + r ) a = r1a + r2a = ( s1, , sn ) ( s1, , sn ) ( s1, , sn ) = I n r1a + I n r2 a r1a r2 a = + ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) (vỡ Ins = s = Ins v I n = ) ( r1.r2 ) a ( r r ) a = r1 (r2a) (r2 a ) a = = r1 = r1 r2 ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) a 1.a = = ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) ( s1, , sn ) Vy U-nM l mt R mụun 19 ữ ữ 2.2.4 nh ngha Mụun U-nM c gi l mụun cỏc thng suy rng ca M theo tam giỏc U 2.2.5 B Cho U l mt tam giỏc ca R n, gi s m M v (u1, ,un) U cho un m m = U-nM Khi ú =0 ( u1 , , un ) ( u1 , , un ) Chng minh Tn ti ( w1 , , wn ) U v H = hij Dn ( R ) cho Hu = w v n1 H un m Rwi ữM Khi ú i =1 n n1 hij wn hniui ữm Rwi ữM i =1 i =1 i =1 n n1 h h w m Do ú theo [7, 2.2] 11 n 1n n Rwi ữM Khi ú, theo [7, 3.3(ii)] i =1 h11 hn1n1wn m =0 ( w1, , wn1, wn2 ) U-nM Suy h11 hn1n1wn m = H M = ( w1, , wn1, wn ) Kt hp vi Hu = w ta cú m =0 ( u1 , , un ) 2.3 Mt s vớ d 2.3.1 Vớ d Khi n = thỡ U S vi S l mt nhõn úng ca vnh R Khi ú cỏc phộp toỏn trờn U-1M trựng vi cỏc phộp toỏn trờn S-1M Tht vy: Phộp cng: vi r r' r r ' s ' r + sr ' H r + K r ' , S 1M ta cú: + = = s s' s s' ss ' u vi H = s ' ; K = s ; u = ss ' v H s = ss ' = K s ' Phộp nhõn vi vụ hng: vi a a S 1M v r R ta cú: r = s s s 20 Vy vi n = thỡ U-1M S-1M 2.3.2 Vớ d Cho R l mt vnh giao hoỏn, a phng, Noether; M l mt R mụun, dim M = d Tp hp U(M)d+1 = {(x1, , xd,1) Rd+1 : j, j d, (x1, , xj) l mt phn h tham s ca M v xj+1 = .=xd = 1} l tam giỏc ca Rd+1 Khi ú mụun U (M ) d d +1 l mụun cỏc thng suy rng theo tam giỏc U n 2.3.3 Vớ d Gi s f1, , fn l n phn t c nh ca R, t f = ( f1 , , f n ) R , M l mt R mụun Cho Uf = {( f 1 ) } , , f n n : i Ơ , i = 1, , n n Khi ú U f l tam giỏc ca Rn v mụun U f M c kớ hiu l Mf l mụun cỏc thng suy rng theo tam giỏc Uf 21 CHNG III MT S NG DNG CA Lí THUYT MễUN CC THNG SUY RNG Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng cú nhiu ng dng i s giao hoỏn Do khuụn kh cú hn ca lun vn, chng ny chỳng tụi ch trỡnh by ng dng ca Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng vic nghiờn cu mụun i ng iu a phng v Gi thuyt n thc Cỏc kt qu trỡnh by chng ny l ni dung chớnh ca Sharp v Zakeri [8] 3.1 Mụun cỏc thng suy rng v mụun i ng iu a phng Cho (R, m) l vnh giao hoỏn, a phng, Noether vi dim R = n; M l mt R-mụun Trong mc ny, chỳng ta s thy mụun Hnm(M) cú th biu din qua mụun cỏc thng suy rng 3.1.1 B Gi s R l vnh Noether, I l mt iờan ca R, U l tam j k giỏc ca Rk cho uk I vi mi (u1, ,uk) U Khi ú H I ( U M ) = vi mi j Chng minh Cho f = ( f1 , , f k ) U , nh [7, 3.4], ly Uf = {( f 1 } ) , , f1 k : i Ơ , i = 1, , k k Khi ú Uf l tam giỏc ca Rk, v U f M c kớ hiu bi Mf Mt h qu d thy ca Mnh 2.2.5 l phộp nhõn bi fn l mt t ng cu ca Mf Vỡ f k I j nờn H I ( M f ) = vi mi j Theo [7, 3.5] U k M lim uuuuur M f , f U 22 j k v ú t [8, 7, 3.2] ta cú H I ( U M ) = vi mi j Ta ó bit vi mi i hp Ui = {(s1, , si) Ri | j, j i, cho (s1, , sj) l mt phn h tham s ca R v sj + = = si = 1} l mt tam giỏc Ri Ly ( Vi ) iƠ l h cỏc hp cho: (i) Vi U i v Vi l tam giỏc ca Ri vi mi i Ơ ; (ii) Nu (u1, , ui) Vi vi < i Ơ thỡ (u1, , ui-1) Vi 1; (iii) Nu (u1, , ui) Vi vi i Ơ thỡ (u1, , ui ,1) Vi + 1; (iv) Tn ti mt h tham s y1, , yn ca R cho (y1, , yn) Vn; (v) (1) V1 V11M v ei : Vi i M Vi+1i 1M vi 3.1.2 B Tn ti ng cu e : M mi i > cho e ( m) = m (1) ( m M ), m m ei ữ= (u1 , , ui ) (u1 , , ui ,1) ( m M , (u1 , , ui ) Vi , i > 0) Hn th na, 1 i e e e e M V11M V22 M Vi i M Vi +1i1M l mt phc cỏc R-mụun v cỏc R-ng cu T õy chỳng ta s kớ hiu phc b trờn bi C(V,M) vi V l h (Vi)i1 Chỳ ý rng Vi-iM = vi mi i> d+1 3.1.3 B Gi s i l mt s nguyờn cho i n Khi ú dim ( ker ei / imei ) < n i 23 Chng minh Khi i = d thy cú iu cn chng minh Vỡ vy ta gi s rng i > Chỳng ta cn chng minh rng nu p Ass(ker ei/im ei -1) thỡ dim R/ p < n i Nh vy p cú tớnh cht l tn ti Do m ker ei cho (u1 , , ui ) m i im e : ữ = p ( u , , u ) i m = 0, tn ti H = [ hrs ] Di +1 ( R ) v ( t1 , , ti +1 ) Vi +1 cho (u1 , , ui ,1) H = [ u1 , , ui ,1] = [ t1, , ti , ti +1 ] T i v H m Rt j ữM j =1 i h h t m Do ú, theo [7, 2.2], chỳng ta cú 11 ii i +1 Rt j ữM Theo [7, 3.3(ii)] ta cú j =1 ti +1m h h t m = 11 ii i +1 im ei ( u1 , , ui ) ( t1 , , ti ) Ngoi ra, vi mi j = 1, ,i, chỳng ta cú t jm ( u1 , , ui ) = h11 hiit j m ( t1 , , ti ) im ei Do ú Rt1 + + Rti +1 p Vỡ vy t1, , ti, ti + l mt h tham s ca R 3.1.4 H qu (i) Vi mi i = 0, ,n H mj ( ker ei / imei ) = vi mi j n i (ii) Vi mi i = 1, ,n H mj ( Vi i M ) = Nhc li rng (R, vi mi j m) l vnh giao hoỏn, a phng, Noether vi dim R = n; M l mt R-mụun nh lý sau õy cho thy mụun i ng iu a phng H mn ( M ) cú th c xem nh mt mụun cỏc thng suy rng ca M ng vi mt tam giỏc ca Rn+1 3.1.5 nh lớ Vn+n11M H mn ( M ) c bit U n+n11M H mn ( M ) ng cu t nhiờn 24 n+1 : Vn+n11M U n+n11M m m m n+1 = ữ ữ ( v1 , , vn+1 ) ( v1 , , +1 ) vi mi m M v (v1, ,vn+1) Vn+1 l mt ng cu Chng minh Kớ hiu U l h ( U i ) i1 v C(U, M) l 1 i d d d d M U11M U 22 M U ii M U i+i11M i i U i i M m Vi mi i cú mt ng cu : Vi M m m i = ữ ữ ( v1 , , vi ) ( v1 , , vi ) M l ỏnh x ng nht vi mi m M v (v1, ,vi) Vi Nu ta ly : M ú C(U, M) = ( )i0 : C(V, M) l mt phc cu x Trong nhng phn sau chỳng ta s vit tt C(V, M) bi C(V) v C(U, M) bi C(U) Nú s thun tin cho phộp V00 M v U 00 M biu th M Vi mi i = 0, , n, t Ki = Vi i M / ker ei , Li = U i i M / ker d i , i ' : co ker ei co ker d i , Hi(C(U)) i* : Hi(C(V)) v i + : K i Li l ng cu cm sinh bi Do ú ta cú biu giao hoỏn K i Vi i M co ker ei i 1+ i i' Li U ii M co ker d i 25 (1) vi i = 1, , n v Hi(C(V) co ker ei K i * i' i+ (2) Hi(C(U) co ker d i Li 0 vi i = 1, , n-1 T (1) v H qu 3.1.4 (ii) trờn ta suy cú mt biu giao hoỏn H mni (coker ei1 ) H mni+1 ( K i ) H mni ( i ' ) H mni +1 ( i1+ ) (3) H mni (coker d i1 ) H mni+1 ( Li ) m mi dũng l mt ng cu, vi mi i =1, , n Tng t t (2) v H qu 3.1.4 (i) cú mt biu giao hoỏn H mni (coker ei1 ) H mni ( K i ) H mni ( i ' ) H mni ( i + ) (4) H mni (coker d i1 ) H mni ( Li ) m mi dũng l mt ng cu, vi mi i =1, , n T biu (3) v (4) chỳng ta cú biu giao hoỏn H mn (coker e ) H m0 (coker e n1 ) H mni ( ' ) H m0 ( n ' ) H mn (coker d ) H m0 (coker d n1 ) m mi dũng l mt ng cu Tuy nhiờn, t 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3 ta cú biu giao hoỏn 26 (5) n n +1 n e e e Vnn1+1M Vn n M Vn+n11M n n1 n+1 n (6) n +1 n d d d U nn1+1M U n n M U n+n11M Hn th na theo [7, 3.3(ii)], mi phn t ca Vn+n11M v ca U n+n11M c linh t hoỏ bi mt ly tha no ú ca m Nh vy t (6) ta cú biu giao hoỏn H m0 (coker e n1 ) Vn+n11M H m0 ( n ' ) n+1 (7) H m0 (coker d n1 ) U n+n11M m mi dũng l mt ng cu Do = Id M I l ỏnh x ng nht t M vo chớnh nú, t (5) v (7) chỳng ta cú biu giao hoỏn H mn ( M ) Vn+n11M H mn (id M ) n+1 (8) H mn ( M ) U n+n11M m mi dũng l mt ng cu nh lý trờn mụ t mụun H mn ( M ) thụng qua mụun cỏc thng ca tt c cỏc h tham s ca vnh R H qu sau õy cho thy cú th mụ t H mn ( M ) ch thụng qua mt h tham s 3.1.6 H qu Gi s x =(x1, ,xn) l mt h tham s ca vnh R Khi ú H mn ( M ) U ( x) nn+11 M , vi 27 U ( x) n+1 = {( x 1 } ) , , xn n ,1 : j,0 j n cho , , n N ; j +1 = = n = n U n+n11M l mt ng cu c bờt, ng cu t nhiờn U ( x) n+1 M 3.2 Gi thuyt n thc Gi thuyt n thc c M Hochster a [5] õy l mt gi thuyt ln liờn quan n nhiu i s n nay, cỏc nh toỏn hc mi ch gii quyt c mt s trng hp c bit m cha a c cõu tr li trn cho gi thuyt ny Cỏc kt qu mc ny cho thy cú th dựng cỏc thng suy rng mụ t Gi thuyt n thc Ni dung ca Gi thuyt n thc c phỏt biu nh sau 3.2.1 Gi thuyt n thc (M Hochster [5]) Cho x1, , xn l mt h tham s tựy ý ca vnh R Khi ú, x1j .xnj Rx1j +1 + + Rx nj +1 vi mi j 3.2.2 nh lớ Gi s x1, ,xn l mt h tham s ca vnh R Khi ú thng suy rng ca U n+n11R khỏc v ch x1j xnj Rx1j +1 + + Rx nj +1 vi ( x1 , , x2 ,1) mi j Chng minh ( ): Gi s = U n+n11R Khi ú theo [8, 3.6] ta ( x1 , , x2 ,1) cú: = U ( x) n+n11 R ( x1 , , x2 ,1) Theo [8, 3.1] tn ti , , n Ơ v H Dn+1 ( R) cho: n H[x1, , xn, 1] = x , , x ,1 v H ' Rxi i i =1 T T n n 1 c c Ly c = max { i : i = 1, , n} Xột cỏc ma trn ng chộo diag ( x1 , , xn n ,1) , ta thy tn ti H Dn+1 ( R) cho: n c H[x1, , xn, 1] = x , , x ,1 v H ' Rxi i =1 T c c n 28 T c c Tuy nhiờn nu D l ma trn ng chộo ( x1 , , xn , 1) thỡ T D[x1, , xn, 1]T = x1c , , xnc ,1 c c Do ú nu E biu th ma trn ng chộo ( x1 , , xn ,1) thỡ: ED EH Rx12 c + + Rxn2 c n 2c Mt khỏc: EH = x x H Rxi Vỡ vy c c n i =1 ED = x12 c1 xn2 c Rx12 c + + Rxn2 c n j j j +1 ( ): Nu vi mi j ta cú: x1 xn Rxi , ú theo [7,3.3] cú: i =1 x1j xnj = U n+n11R j +1 j +1 ( x1 , , xn ,1) j j +1 Mt khỏc, ma trn ng chộo D = diag ( x1 , , xn ,1) tha món: D [ x1 , , xn ,1] = x1j +1 , , xnj +1 ,1 T T Do ú, U n n +1 x1j xnj = R : j +1 j +1 ( x1 , , xn ,1) ( x1 , , xn ,1) Vỡ vy = U n+n11R ( x1 , , xn ,1) T nh lý trờn, Gi thuyt n thc cú th c phỏt biu li nh sau 3.2.3 Gi thuyt n thc Vi mi h tham s x1, .,xn ca R Phn t ca U n+n11R khỏc ( x1 , , xn ,1) 3.2.4 H qu Cho y1, , yn l h tham s ca R Khi ú tn ti t Ơ cho vi bt kỡ h t thỡ h tham s x1 = y1h , , xn = ynh ca R tha Gi thuyt n thc 29 Chng minh Theo [8, 3.6], v vi kớ hiu trc trờn õy, U ( y ) n +n11 R H mn ( R) Do ú tn ti , , n Ơ cho ( U ( y ) n1 R n +1 y , ., ynn ,1) 1 Do ú, theo [8, 3.6] ( U n1R n n +1 y , ., yn ,1 1 ) Ly t = max { i : i = 1, , n} p dng nh lớ 3.2.2 ta cú iu cn chng minh 30 KT LUN Trong lun ny, chỳng tụi ó trỡnh v Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng da trờn cỏc bi bỏo [6], [7], [8], [9] ca R.Y Sharp and H Zakeri C th l chỳng tụi ó hon thnh c nhng vic sau: Trỡnh by vic xõy dng mụun cỏc thng suy rng Trỡnh by mt s ng dng ca Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng: - Cho M l mt R-mụun vi dim R = n Mụun i ng iu a phng H mn ( M ) cú th c xem nh l mt mụun cỏc thng suy rng ca mụun M ng vi mt tam giỏc Rn+1 - Mi quan h ca mụun cỏc thng suy rng vi Gi thuyt n thc ca Hochster 31 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn T Cng (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, Nh xut bn i hc Quc gia [2] Dng Quc Vit (2008), C s lý thuyt module, Nh xut bn i hc s phm Ting Anh [3] M Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison Wesley, Reading, Mass [4] N T Cuong and N Minh (2000), Lengths of certain generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Camb Phil Soc (2) 128, 269-282 [5] M Hochster (1973), Contracted ideals from integral extensions of regular rings, Nagoya Math J., 51, 25 43 [6] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Lengths of certain generalized fractions, J Pure Appl Algebra 38, 323-336 [7] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Modules of generalized fractions, Mathematika 29, 32-41 [8] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Local cohomology and modules of generalized fraction, Mathematika 29, 296-306 [9] R.Y Sharp and H Zakeri (1982), Generalized fraction and the Monomial conjecture, Mathematika 29, 380-388 32 [...]... giác của Rn và môđun U f M được kí hiệu là Mf là môđun các thương suy rộng theo tập con tam giác Uf 21 CHƯƠNG III MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán Do khuôn khổ có hạn của luận văn, trong chương này chúng tôi chỉ trình bày ứng dụng của Lý thuyết môđun các thương suy rộng trong việc nghiên cứu môđun đối đồng... cần chứng minh 30 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã trình về Lý thuyết môđun các thương suy rộng dựa trên các bài báo [6], [7], [8], [9] của R.Y Sharp and H Zakeri Cụ thể là chúng tôi đã hoàn thành được những việc sau: 1 Trình bày việc xây dựng môđun các thương suy rộng 2 Trình bày một số ứng dụng của Lý thuyết môđun các thương suy rộng: - Cho M là một R -môđun với dim R = n Môđun đối đồng điều... đồng điều địa phương và Giả thuyết Đơn thức Các kết quả trình bày trong chương này là nội dung chính của Sharp và Zakeri [8] 3.1 Môđun các thương suy rộng và môđun đối đồng điều địa phương Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim R = n; M là một R -môđun Trong mục này, chúng ta sẽ thấy môđun Hnm(M) có thể biểu diễn qua môđun các thương suy rộng 3.1.1 Bổ đề Giả sử R là vành Noether, I... ) có thể được xem như là một môđun các thương suy rộng của môđun M ứng với một tập tam giác trong Rn+1 - Mối quan hệ của môđun các thương suy rộng với Giả thuyết Đơn thức của Hochster 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] M Atiyah... hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R – môđun đến phạm trù các R – môđun Hàm tử Γ I ( − ) được gọi là hàm tử I - xoắn Một R – môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N → M và mỗi đồng cấu g: N → E, tồn tại một đồng cấu h: M → E sao cho g = hf Cho E là một R – môđun và M là môđun con của E Ta nói E là một mở rộng cốt yếu của M nếu M ∩ L ≠ 0 với mọi môđun con L ≠ 0 của E Ta nói E là... phương, Noether; M là một R – môđun, dim M = d Tập hợp U(M)d+1 = {(x1, , xd,1) ∈ Rd+1 : ∃ j, 0 ≤ j ≤ d, (x1, , xj) là một phần hệ tham số của M và xj+1 = .=xd = 1} là tập con tam giác của Rd+1 Khi đó môđun U (M ) − d −1 d +1 là môđun các thương suy rộng theo tập con tam giác U n 2.3.3 Ví dụ Giả sử f1, , fn là n phần tử cố định của R, đặt f = ( f1 , , f n ) ∈ R , M là một R – môđun Cho Uf = {( f α1 1 )... được M Hochster đưa ra trong [5] Đây là một giả thuyết lớn liên quan đến nhiều vấn đề trong Đại số Đến nay, các nhà toán học mới chỉ giải quyết được một số trường hợp đặc biệt mà chưa đưa ra được câu trả lời trọn vẹn cho giả thuyết này Các kết quả trong mục này cho thấy có thể dùng các thương suy rộng để mô tả Giả thuyết Đơn thức Nội dung của Giả thuyết đơn thức được phát biểu như sau 3.2.1 Giả thuyết... Xây dựng mô đun các thương suy rộng Khi cho trước một tập con tam giác U, trong bài báo [7] Sharp và Zakeri đã xây dựng một R – môđun U-nM và họ gọi đó là môđun các thương suy rộng của M ứng với tập con tam giác U như sau 14 2.2.1 Quan hệ tương đương trên M x U Trên tích Đề - các M x U ta xét quan hệ hai ngôi : : với b, c ∈ M và u = (u1, , un); v = (v1, , vn) ∈ U: (b, (u1, , un)) : (c, (v1, , vn)) khi... Với mọi i = 1, ,n H mj ( Vi − i M ) = 0 Nhắc lại rằng (R, với mỗi j ≥ 0 m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim R = n; M là một R -môđun Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương H mn ( M ) có thể được xem như một môđun các thương suy rộng của M ứng với một tập con tam giác của Rn+1 3.1.5 Định lí Vn−+n1−1M ≅ H mn ( M ) Đặc biệt U n−+n1−1M ≅ H mn ( M ) Đồng cấu tự nhiên 24... = r1 = r1  r2 ( s1 , , sn ) ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) ( s1 , , sn )  ( s1 , , sn ) a 1.a ra = = ( s1 , , sn ) ( s1, , sn ) ( s1, , sn ) Vậy U-nM là một R – môđun 19  ÷ ÷  2.2.4 Định nghĩa Môđun U-nM được gọi là môđun các thương suy rộng của M theo tập con tam giác U 2.2.5 Bổ đề Cho U là một tập con tam giác của R n, giả sử m ∈ M và (u1, ,un) ∈ U sao cho un m m = 0 trong U-nM Khi đó =0 ( u1 , ...TRNG I HC VINH KHOA TON HC TH HNG PHNG V MễUN CC THNG SUY RNG luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S Mó s: 60.46.05 Ngi hng dn khoa hc TS NGUYN TH... trỡnh by v cỏch xõy dng mụun cỏc thng suy rng v trỡnh by mt s vớ d v mụun cỏc thng suy rng Chng III: Mt s ng dng ca lý thuyt mụun cỏc thng suy rng Mụun cỏc thng suy rng cú nhiu ng dng i s giao hoỏn... v mụun U f M c kớ hiu l Mf l mụun cỏc thng suy rng theo tam giỏc Uf 21 CHNG III MT S NG DNG CA Lí THUYT MễUN CC THNG SUY RNG Lý thuyt mụun cỏc thng suy rng cú nhiu ng dng i s giao hoỏn Do khuụn