Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
1,4 MB
Nội dung
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG ĐÌNH HẠNH MƠĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ MƠĐUN HU TA NI X luận văn thạc sỹ toán học Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ 1.1 Một số kiến thức chuẩn 3 bị 1.2 Môđun cốt yếu …………………………………………… 1.3 Môđun A – nội xạ ……………………………………………… 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ CHƯƠNG MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ 12 16 KẾT 24 LUÂN TÀI LIỆU THAM 25 KHẢO MỞ ĐẦU Việc mở rộng lớp môđun vấn đề nhà nghiên cứu lý thuyết vành môđun quan tâm Đặc biệt, môđun nội xạ trụ cột lý thuyết mơđun, từ ứng dụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện môđun nội xạ mạnh số lớp vành khó đặc trưng Vì người ta mởi rộng nghiên cứu lớp môđun thập kỷ 80 90 nhà khoa học đạt nhiều kết tốt việc nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Năm 1989, Yoshitomo Baba Manabu Harada đưa khái niệm lớp môđun nội xạ môđun hầu nội xạ Với tính chất chúng Mặc dù lớp môđun nghiên cứu thập kỷ qua nhiều tính chất thú vị hữu ích khơng ý Năm 2009 Adel Alahmadi S K Jain tiếp tục nghiên cứu mở rộng lớp môđun này, thu nhiều kết quả, số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Các kết đăng tạp chí Math J Okayama Univ năm 2009 Dựa kết báo “ A note on almost injective modules” Adel Alahmadi S K Jain (xem [2]) luận văn nhằm tìm hiểu số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Vì chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Môđun tựa nội xạ môđun hầu tựa nội xạ” Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương Chương Môđun tựa nội xạ Trong chương chúng tơi trình bày tính chất mơđun cốt yếu, mơđun A – nội xạ, môđun nội xạ môđun tựa nội xạ Chương Môđun hầu tựa nội xạ Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà thầy giáo cô giáo khác chuyên nghành Đại số tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy cô giáo bạn học viên Nghệ An tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa Môđun B môđun A gọi hạng tử trực tiếp A có mơđun C A cho A B C Môđun A khác khơng gọi khơng phân tích A hạng tử trực tiếp A 1.1.2 Định nghĩa ( Các điều kiện Ci môđun) (C1) Mọi môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Mọi môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3) M1, M2 hạng tử trực tiếp M, M M 0 M M M (1 – C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 1.1.3 Định nghĩa * M thỏa mãn (C1) gọi CS – môđun * M thỏa mãn (C1) (C2) gọi môđun liên tục * M thỏa mãn (C1) (C3) gọi môđun tựa liên tục * M thỏa mãn (1 – C1) gọi (1 – C1) môđun 1.1.4 Định nghĩa Cho A môđun mơđun M * A gọi đóng M A * B M A B * A gọi phần bù M tồn B M , A tối A B 0 1.1.5 Mệnh đề (i) A đóng M A phần bù M (ii) Bao đóng ln tồn theo nghĩa cho A môđun mơđun M, T gọi bao đóng A M A cốt yếu T T đóng M 1.1.6 Định nghĩa Đơn cấu : A B R môđun gọi chẻ Im hạng tử trực tiếp B Toàn cấu Ker hạng tử trực tiếp B 1.1.7 Mệnh đề : B C gọi chẻ (i) Đồng cấu môđun : A B đơn cấu chẻ tồn đồng cấu : B A cho id A Khi B Im Ker (ii) Đồng cấu : B C toàn cấu chẻ tồn đồng cấu : C B cho idC Khi B Ker Im 1.1.8 Định nghĩa Dãy khớp ngắn A B C Được gọi chẻ Im Ker hạng tử trực tiếp B 1.1.9 Mệnh đề Đối với dãy khớp ngắn A B C Các phát biểu sau tương đương (i) Dãy khớp ngắn chẻ (ii) đơn cấu chẻ (iii) toàn cấu chẻ 1.1.10 Định lý Cho dãy khớp ngắn A B C Khi dãy sau khớp 1) Hom(M , A) Hom(M , B) Hom(M , C ) * * * * 2) Hom(C , M ) Hom( B, M ) Hom( A, M ) M R mơđun tùy ý , * Hom(id M , ), * Hom( , id M ) tương tự với * * 1.1.11 Định nghĩa Vành R gọi địa phương tập tất phần tử khơng khả nghịch R đóng kín phép cộng 1.1.12 Định lý Cho vành R, gọi A tập tất phần tử không khả nghịch R Khi điều kiện sau tương đương (i) R vành địa phương; (ii) A iđêan hai phía R; (iii) A iđêan phải thực lớn nhất; (iii)’ A iđêan trái thực lớn nhất; (iv) Trong R tồn iđêan phải lớn nhất; (iv)’ Trong R tồn iđêan trái lớn nhất; (v) r R r – r khả nghịch phải; (v)’ r R r – r khả nghịch trái; (vi) r R r – r khả nghịch 1.1.13 Mệnh đề Cho mơđun M, vành End(M) địa phương M mơđun khơng phân tích 1.2 Mơđun cốt yếu 1.2.1 Định nghĩa Môđun N R – môđun M gọi mơđun cốt yếu M, kí hiệu N * M Nếu với môđun khác khơng K M ta có K N 0 Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N Nếu môđun mơđun M cốt yếu M gọi môđun 1.2.2 Bổ đề Cho A môđun mơđun M Khi A * M với phần tử m M tồn rR cho mr A Chứng minh Giả sử A *M , m 0 m M mR 0 A mR 0 Từ suy tồn rR mà mr A Ngược lại, B môđun khác không M, lấy m B tìm r R cho mr A mr B B A 0 A * M 1.2.3 Hệ Cho A môđun mơđun M R Khi A *M Rx A 0 x M Chứng minh ( ) Hiển nhiên ( ) Lấy X M 0 x X cho A Rx 0 mà Rx X A X 0 A * M 1.2.4 Mệnh đề Nếu môđun M có dãy mơđun A B C ta có A * B A * C * B C Chứng minh Nếu A * C X C ta có X A 0 A B X B 0 B * C Lấy X B X C X A 0 (vì A * C ) A * B A * B Vậy A C * B C * A * B Nếu ta chứng minh A * C Lấy X C X B 0 (vì B * C ) * B C Vì X B B ( X B) A 0 (do A * B ) Và A B nên X B A X A 0 A * C 1.2.5 Mệnh đề Cho f : M N đồng cấu R – môđun Khi A * N f ( A) * M Chứng minh Giả sử X môđun khác không M ta chứng minh X f ( A) 0 Thật vậy, f ( X ) 0 f ( X ) A X f ( A) Nếu f ( X ) 0 , A * N nên ta có f ( X ) A 0 x X , x 0 cho f ( x) a với a A, a 0 x f ( A) tức x X f ( A) X f ( A) 0 Vậy f ( A) * M 1.2.6 Mệnh đề Cho B môđun khác không môđun M, A * M A B * B Chứng minh Giả sử X môđun khác không mơđun B, X M Do A * M nên A X 0 , a A X a X a A a B a ( A B ) X ( A B ) X 0 A B * B 1.2.7 Mệnh đề Cho A B M Nếu ( B / A) * ( M / A) B * M Chứng minh X môđun khác không M Nếu B X 0 A X 0 Tồn tổng trực tiếp X A A Vì B / A * M / A ( X A) A M / A nên ( B / A) ( X A) A 0 c A mà c A B / A ( X A) / A c A b A x a A (với a A, b B, x X ) x b a a ' , a ' A Ta có a a ' A B nên b a a ' B x B x 0 b A c A A c A mâu thuẫn với giả thiết c A Vậy B X 0 B * M n n i 1 i 1 1.2.8 Mệnh đề Nếu Ai * Bi i i, n , Ai , Bi M Ai * Bi n * Đặc biệt Ai * M Ai M i 1 n * Bi X Bi i i, n mà Ai Bi X Ai 0 Chứng minh Lấy X i 1 n * Ai ) 0 hay Ai Bi Lúc X ( i 1 1.2.9 Mệnh đề Cho Ai * M i , M i M i I Khi tồn I Ai tồn M i Ai * M i I I I 10 Chứng minh Trường hợp 1: I n hữu hạn Quy nạp theo n cần chứng minh n = Cho A1 * M , A2 * M A1 A2 * Ta có theo Mệnh đề 1.2.8 A1 A2 * M M M M M1 M 0 M M + Xét đồng cấu chiếu f1 : M M M x1 x2 x1 f : M1 M M x1 x2 x2 1 * * Do A1 * M1 theo Mệnh đề 1.2.5 f1 ( A1 ) M1 M hay A1 M M M * 1 * Do A2 M f ( A2 ) M M M A2 * M M Dùng tính chất giao A1 M M A2 * M1 M A1 A2 * M M n = Trường hợp 2: I vơ hạn + Chứng minh tồn I M i Lấy x IM i Có biểu diễn x = x1 + + xk , xi M i (*) x M + + M k hữu hạn M + + M k M1 M M k Do chứng minh trường hợp 1, suy biểu thị (*) nhất, M I i M i I + Chứng minh Ai * M i I I M i x X có phân tích Lấy X I 13 Theo bổ đề Zorn ( B, ) tối đại X B A mở rộng Ta chứng minh B = A Chứng minh B A B * A 0 C A mà B C 0 có B C B Xét : B C N a b (b) đồng cấu mở rộng ( B, ) ( B C , ) vơ lý với tính chất tối đại (B, ) Nếu B A a A B a 0 Đặt K {r R B} Khi Ka 0 Ka Ra B mà B * A, Ra 0 suy Ra B 0 + Định nghĩa : Ka N ka (ka ) Do N Ra - nội xạ nên tồn mở rộng : Ra N + Ta có B Ra Ù B Xác định : B Ra N b (b) (ar ) Kiểm tra đồng cấu Ka Ra N biến phần tử thành phần tử Nếu b 0 b ka (b ra) (b) (ra) (b) (ra) (b) (ra) (b ra) (0) 0 Vậy ( B Ra, ) ( B, ) mâu thuẫn B A 14 Ai - nội xạ N Ai - nội xạ i I 1.3.5 Mệnh đề N I Ai - nội xạ N Ai - nội xạ Chứng minh N I Ai - nội xạ mà Ai Ai nên theo Mệnh đề 1.3.3 suy N A i - nội Do N I I xạ với i I Ngược lại, giả sử N Ai – nội xạ với i I Đặt Ai Ai , X A : X N đồng cấu môđun Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4 Bổ đề Zorn ta giả sử không mở rộng thành đồng cấu từ X’ vào N với môđun X ' A mà X’ chứa X Khi đó, X môđun cốt yếu A Do X A nên j I a Aj cho a X , mà N Aj - nội xạ j I N aR - nội xạ, a A (Mệnh đề 1.3.4) Tương tự Mệnh đề 1.3.4 ta mở rộng đồng cấu thành đồng cấu : X aR N , điều mâu thuẫn với tính tối đại Ai - nội xạ Vậy N A - nội xạ hay N I 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho R M , M gọi nội xạ M A - nội xạ với môđun A Định nghĩa Môđun M gọi tựa nội xạ M M - nội xạ Ví dụ: Z - mơđun Q nội xạ Z – môđun Z không tựa nội xạ khơng nội xạ 1.4.2 Định lý ([1] Định lý 4.5) 15 Cho R M , M nội xạ Mọi iđêan phải I R R - đồng cấu f : I M tồn đồng cấu h : R M cho hi f i phép nhúng từ I vào R 1.4.3 Mệnh đề Một môđun A nội xạ A hạng tử trực tiếp môđun chứa Chứng minh Nếu A nội xạ A hạng tử trực tiếp môđun chứa Thật A nội xạ A B , ánh xạ đồng A mở rộng thành đồng cấu f : B A Khi đó, B A Kerf Tức A hạng tử trực tiếp môđun B chứa A Ngược lại giả sử ta có mơđun A B cho B A Kerf Khi A B tồn đồng cấu f : B A mở rộng phép đồng idA Vậy A - nội xạ 1.4.4 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R nội xạ Chứng minh Giả sử X tổng trực tiếp U va V R, X nội xạ Để chứng minh mệnh đề, ta chứng minh U nội xạ Cho đơn cấu g : A B đồng cấu f : A V gọi j : U X phép nhúng tự nhiên h : X U phép chiếu tự nhiên Khi X nội xạ nên tồn đồng cấu k : B X cho k g j f Xét đồng cấu hợp thành h k : B U ta có h k g h j f f U nội xạ 1.4.5 Định lý Với môđun tùy ý X R tự đồng cấu đồng i : X X phát biểu sau tương đương a) X nội xạ b) Mọi dãy khớp ngắn O g f X U V O chẻ c) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ R 16 d) Với đơn cấu g : A B ta có g * Hom( g , i ) : Hom( B, X ) Hom( A, X ) toàn cấu e) g f A B f* l dãy khớp ngắn C g* Hom(A,X) Hom(B,X) Hom(C,X) với f * Hom( f , i ) g * Hom( g , i ) dãy khớp ngắn X Theo định nghĩa, tồn h : U X thỏa mãn h g i h i Chứng minh a) b) Giả sử X nội xạ xét biểu đồ sau X f U theo kết luận dãy khớp điều kéo theo dãy khớp ngắn sau chẻ f X U g V b) c) Gọi U mơđun nội xạ chứa X ta có dãy khớp ngắn X f U g U/X Trong g : U U / X phép chiếu tự nhiên Theo chứng minh a) b) dãy chẻ X hạng tử trực tiếp U c) a) Từ Mệnh đề 1.3.3 a) d) Theo định nghĩa g* = Hom(g,i) toàn cấu phần tử f : A X Hom(A,X) tồn phần tử h : B X Hom(B,X) cho g*(h) = ihg =hg = f Tức a) xảy X nội xạ 1.4.6 Bổ đề Môđun N A – nội xạ ánh xạ đồng cấu : E ( A) E ( N ) ln có ( A) N Chứng minh Vì E(N) môđun nội xạ nên cần xét Hom( A, E ( N )) Điều kiện cần Đặt X {a A (a) N } Vì N mơđun A – nội xạ nên X mở rộng thành đồng cấu : A N Ta chứng minh N ( )( A) 0 Thật vậy, giả sử n N a A cho n ( )(a) (a) (a) n 17 phần tử N Do a X Từ n (a) (a) (a) (a) 0 Thế N ( )( A) 0 Do ( )( A) 0 N * E ( N ) Vậy ( A) ( A) N Điều kiện đủ Giả sử X A : X N đồng cấu E(N) nội xạ nên mở rộng thành đồng cấu : A E ( N ) Theo giả thiết ( A) N , đồng cấu từ A đến N mở rộng Vậy N A – nội xạ 1.4.7 Hệ Môđun Q tựa nội xạ với End ( E (Q)) ln có (Q) Q 1.4.7 Hệ Giả sử A B môđun nội xạ lẫn ( tức A B – nội xạ B A – nội xạ) Nếu E ( A) E ( B) A B Hơn f : E ( A) E ( B) đẳng cấu f A đẳng cấu từ A lên B; A B tựa nội xạ Chứng minh Giả sử f : E ( A) E ( B ) đẳng cấu f ( A) B f ( B ) A (Bổ đề 1.4.6) Do B ( ff )( B) f ( f ( B)) f ( A) B f ( A) B Vì f A tồn ánh Từ suy f A đẳng cấu từ A lên B Từ A B – nội xạ A B nên A A - nội xạ, A tựa nội xạ 1.4.8 Mệnh đề ([9] Mệnh đề 1.17) M M tựa nội xạ M i M j nội xạ với i, j 1, Nói riêng, hạng tử trực tiếp mơđun tựa nội xạ tựa nội xạ CHƯƠNG MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ Cho M N hai R môđun phải M gọi hầu N - nội xạ (almost N – injective) môđun X N đồng cấu f :X M , tồn đồng cấu g cho biểu đồ (1) giao hoán tồn đồng cấu h cho biểu đồ (2) giao hoán (1) X i N (2) X i N N1 N 18 f f g M M h N1 hạng tử trực tiếp khác không N, : N N1 N1 phép chiếu lên N1 biếu đồ gọi biểu đồ (1) biểu đồ (2) tương ứng M gọi hầu tựa nội xạ M hầu M – nội xạ Một vành R gọi hầu tựa nội xạ phải tựa nội xạ mơđun phải Vành hầu tựa nội xạ trái định nghĩa tương tự Trong suốt phần này, trừ có quy định khác, R vành có đơn vị 0 Và tất mơđun mơđun phải có đơn vị Một mơđun M gọi CS phần bù môđun hạng tử trực tiếp M Nếu M n CS với n, M gọi CS hữu hạn Vành R gọi vành CS phải R môđun phải CS Vành CS trái định nghĩa tương tự R gọi Utumi vành thương phải tối đại trùng với vành thương trái tối đại M i gọi trao đổi hạng tử trực Mỗi phân tích M iI M i' N với M i' M i tiếp M, M iI Sau tìm hiểu số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ 2.1 Bổ đề Một môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích tựa liên tục, Chứng minh Rõ ràng M mơđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích nên M môđun tựa liên tục Ta chứng minh M mơđun đều.Vì M tựa liên tục nên với môđun U M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Mà M môđun khơng phân tích nên M có M hạng tử trực tiếp M U cốt yếu M hay M môđun 2.2 Mệnh đề Cho M N môđun M hầu N - nội xạ 19 f Hom( E ( N ), E ( M )) f ( N ) M f đẳng cấu f ( M ) N Chứng minh Giả sử M hầu N - nội xạ Cho f Hom( E ( N ), E ( M )) X {n N f (n) M } Khi f X : X M Vì M hầu N - nội xạ, hình (1) hình (2) Nếu (1) , tồn g : N M cho f X g X Chúng ta thấy M ( g f )( N ) 0 Thật Lấy m M cho m = (g – f)(n) , với n N Khi f (n) g (n) m M Do n X suy m = g(n) – f(n) = M * E ( M ) nên (g – f)(N) = Suy f (N ) M Nếu (2) tồn h: M N cho h f 1X Khi f tương ứng một Do f đẳng cấu E(N) nội xạ E(M) mơđun khơng phân 1 tích rõ ràng h f ( X ) f f (X ) Chúng ta thấy N ( f h)(M ) 0 Thật vậy, lấy m' N cho n' ( f h)(m' ) với m' M Khi f (m' ) h(m' ) n' N Áp dụng f hai vế m' f ( f (m' )) f (h(m' ) n' ) với m' f ( X ) 1 Do n' ( f h)(m' ) 0 Bởi h f ( X ) f f (X ) m' f ( X ) Kết điều chứng minh N * E ( N ) , ( f h)( M ) 0 Do đ ó f ( M ) h(M ) N 2.3 Mệnh đề Cho R vành với lũy đẳng khơng tầm thường Khi R hầu nội xạ phải c E ( RR ) c R tồn r R cho cr 1 Chứng minh Giả sử R hầu nội xạ phải Khi RR Bổ đề 2.1 Cho c E ( RR ) lC : R E ( RR ) phép nhân trái đồng cấu Khi tồn f: E ( RR ) E ( RR ) cho lc R f R Bởi Mệnh đề 2.2 f ( R ) R f đẳng cấu f ( R) R Nếu f ( R) R , c R Nếu f đẳng cấu f ( R) R tồn r R cho f(r) = nên cr lC (r ) f (r ) 1 20 Giả sử c E ( RR ) , c R tồn r R cho cr 1 Chúng ta có E(RR) Nếu e End ( E ( RR )) lũy đẳng e(1) R tồn r R cho e(1)r = Nếu e(1) R e(1) lũy đẳng R giả thiết e(1) = e(1) = Do e = e 1E ( R ) R * E ( RR ) Nếu e(1)r = R với r R e(r) = e(1) = e(e(r)) = e2(r) = e(r) = Vì e R 1RR R Chúng ta tiếp tục chứng tỏ e 1E ( R ) Ngược lại tồn x E ( RR ) cho R e( x) x Khi e( x) x 0 Vì R * E ( RR ) tồn r ' R cho (e( x) x)r ' 0 (e( x) x) r ' R Vì (e( x) x)r ' R , (e( x) x) r ' e(e( x) x)r ' 0 Mâu thuẫn với (e( x) x) r ' 0 Bởi e 1E ( R ) Điều chứng minh E ( RR ) không phân tích R kết RR Bây cho f End ( E ( RR ) Khi giả sử khác f (1) R f(r) = với r R, f (r ) R kéo theo f ( R) R Nếu f(r) = r R f rR : rR R đẳng cấu Bởi E(RR) nội xạ, f đẳng cấu E(RR) f ( R) rR R Theo Mệnh đề 2.2, R hầu tựa nội xạ. 2.4 Hệ Cho D miền nguyên Q vành tối đại thương Khi D hầu tựa nội xạ phải c Q c c D 2.5 Định lý Nếu M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích Khi End(M) địa phương Để chứng minh định lý ta chứng minh hai bổ đề sau 2.6 Bổ đề Cho M môđun hầu tựa nội xạ khơng phân tích Khi với f , g S End ( M ) (i) Nếu Ker(f) Ker(g) Sg Sf (ii) Nếu Ker(f)=Ker(g) Sf Sg Sg Sf ... Ai - nội xạ Vậy N A - nội xạ hay N I 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho R M , M gọi nội xạ M A - nội xạ với môđun A Định nghĩa Môđun M gọi tựa nội xạ M M - nội xạ Ví dụ:... M gọi hầu tựa nội xạ M hầu M – nội xạ Một vành R gọi hầu tựa nội xạ phải tựa nội xạ mơđun phải Vành hầu tựa nội xạ trái định nghĩa tương tự Trong suốt phần này, trừ có quy định khác, R vành có... (xem [2]) luận văn nhằm tìm hiểu số tính chất mơđun hầu tựa nội xạ Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu luận văn ? ?Môđun tựa nội xạ mơđun hầu tựa nội xạ? ?? Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn chia