Linh hóa tử trái và vành cấu xạ luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐỨC BIÊN LINH HÓA TỬ TRÁI VÀ VÀNH CẤU XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2011 1 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Theo định lý đồng cấu vành, ta luôn có R/l(a) ≅ Ra, trong đó l(a) là linh hóa tử trái của phần tử a. Tuy nhiên, R/Ra ≅ l(a) thì không phải bao giờ cũng đúng. Năm 1976 Erlich đã đưa ra lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra ≅ l(a), lớp vành này được gọi là lớp vành cấu xạ trái. Từ đây ông đã đưa ra định lý: Nếu α là một tự đồng cấu môđun M, khi đó M là môđun chính quy khả nghịch khi và chỉ khi M/im( α ) ≅ ker( α ) (xem [5]). Nhưng việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện này tỏ ra không hiệu quả. Năm 2004 W.K.Nicholson và E. Sánchez Campos đã đưa ra điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hóa tử (xem [4] Lemma 1). Khi đó các điều kiện được phát biểu thông qua linh tử hóa trái (hoặc phải). Sử dụng các điều kiện mới này việc nghiên 2 cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra rất hiệu quả. Trên cơ sở của bài báo [4], luận văn tìm hiểu các tính chất của linh hóa tử trái và vành cấu xạ, trình bày chi tiết chứng minh một số bổ đề và định lý tương đương, qua đó tìm hiểu mối liên hệ của lớp vành này với các lớp vành cổ điển. Luận văn còn tìm hiểu thêm về tính chất của các phần tử đặc biệt thuộc lớp vành này. Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: Các khái niệm mở đầu. Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các khái niệm cơ bản, các định lý, các mệnh đề và bổ đề nhằm phục vụ cho luận văn. Cụ thể chúng tôi trình bày tóm tắt các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản của các phần tử đặc biệt trong vành, các lớp vành thường gặp. Chương 2: Linh hóa tử trái và vành cấu xạ. Chương này là nội dung chủ yếu của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày về linh hóa tử trái và vành cấu xạ. Các tính chất của lớp vành cấu xạ, tìm hiểu tính cấu xạ của các phần tử đặc biệt trong vành, tính cấu xạ của các vành cổ điển. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại học. Các thầy cô trong tổ Đại số, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp. 3 Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản liên quan đến luận văn. Các định nghĩa, các ký hiệu này chúng tôi dựa vào các tài liệu Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận [1], W.K. Nicholson, and E. Sánchez Campos [4]. Các vành luôn giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị, các môđun trên vành hiểu là môđun phải unita. 1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành 1.1.1 Phần tử khả nghịch. Cho vành R, có đơn vị là 1. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử khả nghịch (unit invertible regular element) trong R nếu tồn tại phần tử y ∈ R sao cho 1 == yxxy . 1.1.2 Phần tử chính quy. Cho vành R. Phần tử a trong vành R được gọi là phần tử chính quy (regular element) nếu tồn tại phần tử b ∈ R sao cho aaba = . 4 1.1.3 Phần tử chính quy khả nghịch. Cho vành R. Phần tử a trong vành R được gọi là phần tử chính quy khả nghịch (unit regular element) nếu tồn tại phần tử khả nghịch b ∈ R sao cho aaba = . 1.1.4 Nhận xét. Phần tử chính quy khả nghịch là phần tử chính quy, nhưng điều ngược lại không đúng. 1.1.5 Phần tử lũy đẳng. Cho vành R, phần tử e ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng (idempotent element) nếu 2 e e= . 1.1.6 Lũy đẳng trực giao. Hai phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi là lũy đẳng trực giao (orthogonal idempotents) nếu 0 == feef . Mối liên hệ giữa phần tử chính quy và phần tử lũy đẳng được thể hiện qua mệnh đề sau: 1.1.7 Mệnh đề. Nếu a là phần tử chính quy trong vành R và a = axa với x ∈ R thì ax và xa là các phần tử lũy đẳng. Chứng minh. Đặt axe = thì eeeaxxaxaaxaxe =⇒==== 22 )(. . Hay e là phần tử lũy đẳng. Đặt xaf = , chứng minh tương tự ta có f là phần tử lũy đẳng.  1.2 Định lý phân tích vành tổng quát 1.2.1 Định lý. Cho vành R có đơn vị. a. Nếu R có sự phân tích bên trái R R = với A i R R, ∀ i ∈ I thì: i. I = I 0 = {1,2, ., n} là tập hữu hạn. ii. Mỗi i ∈ I 0 , A i = Re i trong đó: - e i lũy đẳng. 5 - 1 = e 1 +e 2 + . +e n - e i .e j = 0 ∀ i≠j ∈ {1,2, .,n} (Hệ thoả mãn 2 điều kiện 1 và 3 trên gọi là hệ luỹ đẳng trực giao). b. Ngược lại: Nếu R có họ các lũy đẳng {e 1 , e 2 , , e n } trực giao và 1 = e 1 +e 2 + . +e n thì R R = Re 1 Re 2 . Re n . Chứng minh. (a) Do R R = ⇒ 1 = a 1 +a 2 + . +a n và sự biểu thị đó là duy nhất với a i ∈ A i . Ta sẽ chứng minh R R = A 1 ⊕ A 2 ⊕ . ⊕ A n . Thật vậy: A 1 ⊕ A 2 ⊕ . ⊕ A n ⊆ R R. Mặt khác lấy x ∈ R R thì từ 1 = a 1 +a 2 + . +a n suy ra x = xa 1 +xa 2 + . +xa n với xa i ∈ A i (do A i ∆ R R, a i ∈ A i ). ⇒ x ∈ A 1 ⊕ A 2 ⊕ . ⊕ A n . Vậy R R = A 1 ⊕ A 2 ⊕ . ⊕ A n . ⇒I = I 0 Tiếp theo ta chứng minh A i = Ra i . Do a i ∈ A i ⇒ Ra i ⊆ A i . Lấy x i ∈ A i thì từ 1 = a 1 +a 2 + . +a n ⇒ x i = x i a 1 +x i a 2 + . + x i a n với x i a i ∈ A i . Do sự biểu thị trên là duy nhất suy ra x i = x i a i ∈ Ra i ⇒ x i ∈ Ra i . Vậy A i = Ra i . Ký hiệu a i = e i ∀ i = ⇒ có 1 = e 1 +e 2 + . +e n và A i Re i có e i = e i e 1 + e i e 2 +…+e i e i + … +e i e n . Do sự biểu diễn như trên là duy nhất nên: e i = e i e i ⇒ e i lũy đẳng, e i .e j = 0 ∀ i≠j. (b) Chiều ngược lại. Ta chứng minh R R = Re 1 ⊕ Re 2 ⊕ . ⊕ Re k . Do 1 = e 1 +e 2 + . +e k . Suy ra ∀ x ∈ R ta có x = xe 1 +xe 2 + . + xe k ⇒ R R = Re 1 +Re 2 + . +Re k . Lấy x ∈ Re j ∩∑ Re i với i≠j, ∀ i = thì x = re j = r 1 e 1 +r 2 e 2 + . +r k e k . Trong tổng trên không có thành phần thứ j. 6 Suy ra xe j = re j e j = r = re j = x. Mà r = re j e j = r 1 e 1 e j +r 2 e 2 e j + . +r k e k e j . Trong đó e i .e j = 0 ∀ i≠j, do đó x = 0. Hay Re j ∩∑ Re i = 0.  1.2.2 Hệ quả. Cho vành R. Các điều kiện sau đây là tương đương. i. R R không phân tích được. ii. R R không phân tích được. iii. R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1. Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Giả sử R R = Re 1 ⊕ Re 2 ⊕ . ⊕ Re k . Vì R R không phân tích được nên Re 1 = R R hoặc Re 1 = 0. Nếu Re 1 = R R ⇒ Re 1 e 1 = Re 1 ⇔ R R = R R ⇒ = 1. Nếu Re 1 = 0 ⇒ Re 1 e 1 = 0e 1 = 0 ⇔ R R = 0 ⇒ = 0. Vậy nếu R R không phân tích được thì chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1. Chứng minh tương tự ta có (ii) ⇒ (iii). Chứng minh (iii) ⇒ (i). Giả sử R R = A ⊕ B với A, B ∆ R R. Suy ra theo định lý phân tích vành tổng quát ta có A = Re, B = Rf với {e, f} là lũy hai đẳng trực giao và e+f = 1. Theo giả thiết (iii) ta có: Hoặc e = 0 suy ra A = 0. Hoặc e = 1 suy ra A = R R. Do đó R R không phân tích được.  1.3 Các lớp vành thường gặp 1.3.1 Vành Bun. Vành R được gọi là vành Bun (Boolean ring) nếu mọi phần tử của vành R đều là phần tử lũy đẳng. 1.3.2 Vành chính quy. Vành R được gọi là vành chính quy (regular ring) nếu mọi phần tử của vành R đều là phần tử chính quy. 7 1.3.3 Định lý. Cho vành R. Các khẳng định sau là tương đương: i. R là vành chính quy ii. Mọi Iđêan chính trái sinh bởi phần tử lũy đẳng iii. Mọi Iđêan chính trái là hạng tử trực tiếp trong R iv. Mọi Iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp trong R 1.3.4 Vành chính quy khả nghịch. Vành R được gọi là vành chính quy khả nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của vành R đều là phần tử chính quy khả nghịch. 1.3.5 Nhận xét. Vành chính quy khả nghịch là vành chính quy nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ. Cho trường k và V là không gian véctơ vô hạn chiều trên k. Xét vành R = End(V) là vành các tự đồng cấu của V. Khi đó R là vành chính quy nhưng không là vành chính quy khả nghịch. 1.3.6 Vành hữu hạn trực tiếp. Vành R được gọi là hữu hạn trực tiếp (directly finite ring) nếu với các phần tử a, b ∈ R sao cho ab = 1 thì ba = 1. 1.3.7 Vành nửa đơn. Vành R được gọi là vành nửa đơn (semisimple ring) nếu R = ⊕ R i , i ∈ I với R i là iđêan trái tối tiểu của R. Định lý sau đặc trưng cho vành nửa đơn. 1.3.8 Định lý. Cho vành R. Các khẳng định sau là tương đương: i. R là vành nửa đơn ii. R là tổng hữu hạn các iđêan trái tối tiểu iii. Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp của R 8 iv. Mọi iđêan trái của R sinh bởi phần tử lũy đẳng. 1.4 Vành P – nội xạ 1.4.1 Môđun nội xạ. Cho A là một R - môđun. Môđun N được gọi là A - nội xạ (A - injective) nếu với mỗi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng tới đồng cấu ψ : A → N trong đó X là môđun con của A Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A - nội xạ với mọi môđun A. Để chứng minh môđun N là A – nội xạ ta có định lý sau: 1.4.2 Định lý Môđun N là A - nội xạ khi và chỉ khi N là Ra - nội xạ ∀ a ∈ A. 1.4.3 Môđun P- nội xạ. Cho vành R và M là một R – môđun phải. Môđun M được gọi là P –nội xạ (nội xạ chính phải) (principally injective) nếu mọi R - đồng cấu ϕ : aR → M với bất kỳ a ∈ R đều có thể mở rộng tới đồng cấu ψ :R → M. 1.4.4 Vành P – nội xạ. Vành R được gọi là P- nội xạ (nội xạ chính phải) (right principally injective ring) nếu R R là môđun P – nội xạ, nghĩa là mọi iđêan chính phải aR đều mở rộng được. 9 Chương 2 LINH HÓA TỬ TRÁI VÀ VÀNH CẤU XẠ Năm 1976 Erlich đã đưa ra lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra ≅ l(a), lớp vành này được gọi là lớp vành cấu xạ trái [5]. Năm 2004 W.K. Nicholson, and E. Sánchez Campos đã đưa ra điều kiện tương đương của lớp vành cấu xạ dựa vào linh hóa tử trái như sau: R là vành cấu xạ tương đương với tồn tại phần tử b ∈ R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb. Khi sử dụng điều kiện tương đương này khảo sát vành cấu xạ rất hiệu quả. Trong chương này chúng tôi trình bày về linh hóa tử trái, các kết quả thu được từ linh hóa tử trái với các vành thông thường. Sử dụng khái niệm linh hóa tử trái để tìm hiểu về vành cấu xạ. 10 . linh hóa tử trái và vành cấu xạ. Các tính chất của lớp vành cấu xạ, tìm hiểu tính cấu xạ của các phần tử đặc biệt trong vành, tính cấu xạ của các vành cổ. là cấu xạ trái trong R khi và chỉ khi a i là phần tử cấu xạ trái trong R i với mọi i ∈ I. ii. R là vành cấu xạ trái khi và chỉ khi R i là vành cấu xạ trái