Một số tính chất của môđun liên tục và u liên tục luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRỊNH THỊ PHƯƠNG LAN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN LIÊN TỤC VÀ U-LIÊN TỤC Chuyªn nghµnh : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An, 2011 1 MỤC LỤC Trang Mục lục……………….……………………………….……………… .… 1 Một số ký hiệu trong luận văn………………………………………… …2 Mở đầu………… .………………………… ………………………… ….3 Chương I. Kiến thức cơ sở………… ………………………………… …5 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và phần bù…………… .5 1.2. CS-môđun, (1-C 1 )-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên tục…… ………… .… 6 1.3. Chiều đều của môđun… .……………………………….… .…8 1.4. Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và môđun giả nội xạ… ….….8 Chương II. Một số tính chất của môđun liên tục và u-liên tục… …… 11 2.1. Môđun liên tục và tựa liên tục… .………….…… ………… 11 2.2. Môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên tục………………… .26 Kết luận……………………………………………………………….…….32 Tài liệu tham khảo………………………………………….… .………….33 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN N ⊆ M : N là môđun con của môđun M N ⊆ e M : N là môđun con cốt yếu của môđun M N ⊕ ⊆ M : N là hạng tử trực tiếp của môđun M A ⊕ B : Tổng trực tiếp của các môđun A và môđun B Ii ∈ ⊕ M i : Tổng trực tiếp của các môđun M i với tập chỉ số I Gdim(M): Số chiều đều của môđun M ∏ i ∊ I M i : Tích Đềcác của các môđun M i với tập chỉ số I E(M): Bao nội xạ của môđun M Z : Vành các số nguyên ( là Z - môđun) □ : Kết thúc chứng minh 3 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với lớp môđun xạ ảnh, lớp môđun nội xạ được xem là trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Chính vì vậy mà lớp môđun nội xạ đã được các nhà toán học nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Một trong những hướng quan trọng đó là đưa ra các lớp môđun tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C 1 )-môđun. Sự ra đời của lớp CS-môđun đã có những ứng dụng tốt trong nghiên cứu lý thuyết vành, thúc đẩy lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ. Kết quả theo hướng này đã được N. V. Dung, Đ. V. Huynh, Smith, Wisbaure tổng kết lại trong cuốn sách chuyên khảo “Extending modules”. Ta biết rằng một môđun được gọi là CS-môđun nếu mọi môđun con đóng của nó là hạng tử trực tiếp. Một môđun được gọi là (1-C 1 )-môđun nếu mọi môđun con đóng đều của nó là hạng tử trực tiếp. Như vậy, lớp (1-C 1 )-là mở rộng thực sự của lớp CS-môđun. Hiện nay việc nghiên cứu lớp (1-C 1 )- môđun để đặc trưng cho vành đang được nhiều nhà toán học trong nước và ngoài nước quan tâm. Thời gian gần đây, tác giả Ngô Sỹ Tùng và Thiều Đình Phong đã đưa ra khái niệm về môđun u-liên tục và chứng tỏ rằng môđun M có dạng iIi UM ∈ ⊕= (trong đó U i là môđun con đều với mọi i ∊ I) là liên tục nếu và chỉ nếu nó là u - liên tục (Xem[3]). Môđun M có tính chất mọi hạng tử trực tiếp địa phương là hạng tử trực tiếp và mọi môđun con đóng của M có chứa một môđun con đều thì M là môđun u-liên tục nếu và chỉ nếu M là môđun u-tựa liên tục. Mục đích chính của luận văn là dựa vào các tài liệu [3] và [4] để hệ thống lại một cách chi tiết các tính chất về môđun u-liên tục. 4 Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Nêu lên một số khái niệm và tính chất cơ sở cần thiết cho việc trình bày luận văn. Chương 2: Trình bày một số tính chất về môđun liên tục và môđun tựa liên tục. Trình bày một số tính chất về môđun u-liên tục và môđun u-tựa liên tục. Luận văn bắt đầu thực hiện từ tháng 7 năm 2011, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu và dành cho tác giả sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc. Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai Văn Tư, và các thầy, cô giáo trong khoa Toán chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Vinh, khoa Sau Đại học đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, do khả năng bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quí báu của quý thầy, cô giáo cùng tất cả các bạn đọc. Nghệ An, tháng 10 năm 2011 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không ghi chú gì thêm). 1.1. MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN CON ĐÓNG VÀ PHẦN BÙ 1.1.1. Định nghĩa. Cho R là vành, M là R-môđun, N là môđun con của M 1. Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M, ký hiệu N e ⊆ M, nếu với mọi môđun con K M, K 0 thì K N 0. Ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N. 2. Môđun M được gọi là đều (Uniform) nếu 0 ≠ M và bất kỳ hai môđun con khác không A, B của M ta luôn có 0 ≠∩ BA . 3. Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thật sự. Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K M mà N e ⊆ K thì K = N. 4. Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K. 5. Một môđun con H của M được gọi là phần bù (complement) của N trong M nếu H là tối đại trong M mà H N = 0. 6. Một môđun con H của M được gọi là phần bù trong M nếu tồn tại một môđun con N của M sao cho H là phần bù của N trong M. 1.1.2. Tính chất. Cho M, N, K là các R-môđun phải với K N, N M, ta có: (i) Bao đóng của một môđun con N trong môđun M luôn tồn tại. (ii) Nếu K là phần bù trong N, N là phần bù trong M thì K là phần bù trong M. 1.1.3. Mệnh đề. Cho M, N, K là các R - môđun phải với N M là K N. Nếu N / K e ⊆ M / K thì MN e ⊆ . 6 Chứng minh. Lấy 0 A M. Nếu A = K thì A N = K N = K 0, suy ra N là cốt yếu trong M. Nếu A K , do N/ K e ⊆ M/ K nên (N/ K) ((A + K)/ K) 0 Vì vậy tồn tại các phần tử n N; a A; k 1 , k 2 , k K sao cho n + k 1 = a + k + k 2 . Từ đó suy ra a = n + k 1 – k – k 2 N và a 0. Do đó a A N 0. Vậy N là cốt yếu trong M. 1.1.4. Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là phần bù của K thì (i) L đóng trong M. (ii) L K là môđun con cốt yếu của M. Chứng minh. (i) Gọi N là môđun con của M sao cho L là cốt yếu trong N. Nếu N L thì do L K = 0, L tối đại nên N K 0. Mà N K N và L là cốt yếu trong N nên (N K) L = N (K L) 0. Vì K L = 0 nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy N = L, hay L đóng trong M. (ii) Gọi 0 N M, giả sử N (K L) = 0, suy ra N K = 0 và N L = 0. Do đó (N L) K = 0 ( vì nếu có n + l = k thì n = k –l, hay n N và n K L, mà k – l = 0 nên n = 0). Theo tính chất tối đại của L thì L N = L hay N = 0. Điều này mâu thuẫn với N 0. Vậy N (K L) 0, hay K L là môđun cốt yếu tromg M. 1.2. CS-MÔĐUN, (1-C 1 ) MÔĐUN, MÔĐUN LIÊN TỤC, MÔĐUN TỰA LIÊN TỤC, MÔĐUN U-LIÊN TỤC VÀ MÔĐUN U-TỰA LIÊN TỤC Cho M là một R - môđun phải. Ta xét các điều kiện sau: 7 (C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M, A ≅ B và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C 3 ) Nếu những môđun con A và B là hạng tử trực tiếp của M và 0 =∩ BA thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M. 1.2.1. Định nghĩa. 1. Một môđun M được gọi là CS-môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ). 2. Một môđun M được gọi là có tính chất (U) hay M là (1-C 1 )-môđun nếu mọi môđun con đóng đều của M là hạng tử trực tiếp của M. 3. Một môđun M được gọi là liên tục nếu nó thoả mãn điều kiện (C 1 ) và điều kiện (C 2 ). 4. Môđun M được gọi là u-liên tục nếu M là môđun liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là M có tính chất (U) và thoả mãn điều kiện (C 2 ). 5. Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M là môđun thoả mãn điều kiện (C 1 ) và điều kiện (C 3 ). 6. Môđun M được gọi là u-tựa liên tục nếu M là môđun tựa liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là nếu M có tính chất (U) và thỏa mãn (C 3 ). 7. Vành R được gọi là liên tục phải nếu môđun R R là liên tục. Vành R được gọi là u-liên tục phải nếu môđun R R là u-liên tục. 1.2.2. Tính chất. 1.Môđun M thoả điều kiện (C 2 ) thì cũng thoả điều kiện (C 3 ). 2.Hạng tử trực tiếp của CS-môđun là CS-môđun. 3.Nếu môđun M là CS-môđun thì M cũng là (1-C 1 )-môđun. 1.2.3. Bổ đề. Cho môđun M, những phát biểu sau là tương đương: (i) M thoả mãn điều kiện (C 3 ). (ii)Với những hạng tử trực tiếp P, Q của M, với P ∩ Q = 0, tồn tại môđun con P ’ của M sao cho M = P ⊕ P ’ và Q ⊆ P ’ . 8 Chứng minh. (i) suy ra (ii). Cho P, Q là những hạng tử trực tiếp của M, với P ∩ Q = 0. Khi đó P ⊕ Q là hạng tử trực tiếp của M (theo (i)), hay M = P ⊕ Q ⊕ Q ’’ với Q” là môđun con nào đó của M. Đặt P ’ = Q ⊕ Q ’’ thì M = P ⊕ P ’ và Q ⊆ P ’ . (ii) suy ra (i). Cho K, L là những hạng tử trực tiếp của M sao cho K ∩ L = 0. Theo (ii), M = K ⊕ K ’ với K ’ là môđun con sao cho L ⊆ K ’ . Nhưng M = L ⊕ L ’ với L ’ là môđun con của M. Do đó K ’ = L ⊕ (K ’ ∩ L ’ ), suy ra M = K ⊕ L ⊕ (K ’ ∩L ’ ). Vậy K ⊕ L là hạng tử trực tiếp của M.  1.3. CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN 1. Một môđun M trên vành R được gọi là có chiều đều (hay chiều Uniform) hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại. Số hạng tử khác không lớn nhất của tổng trực tiếp các môđun con đều của M mà cốt yếu trong M là một số bất biến, được gọi là số chiều (hay chiều Uniform) của M và được kí hiệu là Gdim (M) (hay Udim (M)). 2. Cho R là vành, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của R R và chiều đều trái của R là chiều đều của R R. 1.4. MÔĐUN NỘI XẠ, MÔĐUN TỰA NỘI XẠ VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ 1.4.1. Định nghĩa. Cho R là vành 1. Môđun M được gọi là A-nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun con X của A, mỗi đồng cấu f: X → M đều có thể mở rộng tới đồng cấu f * : A → M. 2. Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là M-nội xạ. 9 X A M f f * 3. Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là N-nội xạ, với mọi R- môđun phải N. 4. Bao nội xạ (injective hull) của một R-môđun phải M, ký hiệu E (M) là một môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M. 5. Hai R-môđun phải M, N gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively in-jective) nếu đồng thời M là N-nội xạ và N là M-nội xạ. 6. Môđun N được gọi là M-giả nội xạ (M-pseudo injective) nếu mọi môđun con A của M, mọi đơn cấp ϕ: A → N đều có thể mở rộng tới đồng cấu: ψ : M → N. Môđun N được gọi là giả nội xạ (pseudo injective) nếu N là N-giả nội xạ. 7. Đơn cấu f: M → N của các R-môđun được gọi là chẻ ra nếu Imf là hạng tử trực tiếp của N. 1.4.2. Tính chất. (i) Bao nội xạ E (M) luôn tồn tại với mọi R-môđun phải M. (ii) Theo định nghĩa trên, lớp môđun giả nội xạ là mở rộng thật sự của lớp môđun tựa nội xạ. 1.4.3. Mệnh đề. Nếu N là môđun M-giả nội xạ thì mọi đơn cấu f: N → M là chẻ ra. Chứng minh. Giả sử f : N → M là đơn cấu. Khi đó f (N) ≅ N, giả sử rằng g : f (N) → N là nghịch ảnh của f. Ta có f (N) ⊆ M và N là M-giả nội xạ nên tồn tại đồng cấu f ′ sao cho g = f ′ i. Do cách xác định g nên ta có 10 A M N f(N) M N g f ′ i