Một số tính chất của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ

Trờng đại học vinh Khoa toán ---------------- Nguyễn thị Chung Một số tính chất của môđun xạ ảnh và môđun nội xạ khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán Vinh - 2006 1 Mục lục Trang Mở đầu . 3 Chơng 1. Một số kiến thức cơ sở . 4 1. Môđun . 4 2. Môđun con 5 3. Định lý đồng cấu môđun 5 4. Dãy khớp . 6 5. Môđun tự do . 6 Chơng 2. Môđun xạ ảnh - môđun nội xạ 7 Đ1. Môđun xạ ảnh . 7 Đ2. Môđun nội xạ 14 Đ3. Mối liên hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun nội xạ 21 Kết luận . 22 Tài liệu tham khảo 23 2 Mở đầu Lý thuyết môđun là một trong những lý thuyết phong phú, phát triển mạnh mẽ hiện nay và đã đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc có ý nghĩa. Khoá luận của chúng tôi chỉ xem xét tới những lớp môđun rất cơ bản, là hai trụ cột chính của lý thuyết môđun đó là môđun xạ ảnh và môđun nội xạ. Nghiên cứu các môđun này là cơ sở để hiểu thêm về môđun nơte và actin bởi mối liên hệ giữa xạ ảnh - nội xạ với nơte - actin, đồng thời là cơ sở để nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun xạ ảnh và nội xạ. Nội dung chính của khoá luận đợc thể hiện trong hai chơng: Chơng 1. Một số kiến thức cơ sở. Chơng 2. Môđun xạ ảnh - môđun nội xạ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng đã chỉ bảo tận tình giúp tác giả hoàn thành khoá luận. Qua đây tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Đại số - Khoa toán đã có công dạy dỗ trong những năm học qua. Mặc dù rất cố gắng nhng vì năng lực có hạn nên đề tài còn nhiều khiếm khuyết, rất mong đợc sự góp ý, bổ sung, sự quan tâm chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đọc để đề tài này tiếp tục đợc hoàn thiện. Vinh, tháng 4 năm 2006. Tác giả. 3 Chơng 1 Một số kiến thức cơ sở 1. Môđun 1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán với phần tử đơn vị 1. Một tập X đ- ợc gọi là một môđun trên R (hay R - môđun) nếu trên đó đã trang bị hai phép toán (+) và nhân vô hớng (.) (ta còn gọi là phép tác động) đợc xác định bởi: (+): X x X X (a,b) a + b a,b X (.) R x X X (,a) a R, a X sao cho: i) (X,+) là nhóm aben. ii) (X,.) thoả mãn các điều kiện: (a) = ()a 1.a = a ( + ) a = a + a (a+b) = a +b a,bX; , R; 1 là phần tử đơn vị của R. 1.2. Ví dụ Theo định nghĩa môđun ta có: 1) Z là vành các số nguyên; X là nhóm aben bất kỳ. X là Z - môđun. 2) R là vành giao hoán, có đơn vị. R là R - môđun. 3) R là trờng; X là R - không gian vectơ. X là R - môđun. 4) R là vành giao hoán, có đơn vị; I là iđêan của R. I là R - môđun. 5) R là trờng các số thực; C là trờng các số phức. C là R - môđun. 6) R[x] là tập hợp các đa thức với hệ số trên R. R[x] là R- môđun. 7) M n [R] là tập hợp các ma trận vuông cấp n với các phần tử trên R. M n [R] là R - môđun. 8) Z n là tập hợp các lớp đồng d modn. Z n là Z - môđun. 4 9) R là vành bất kỳ; X = {0}. X là R - môđun. 10) Đặt R n = {(a 1 ,a 2 , .,a n )/a i R} trong đó R là vành có đơn vị. Trang bị cho R hai phép toán cộng và nhân với vô hớng trong R bằng cách thông thờng, cụ thể là: (a 1 , .,a n ) +(b 1 , .,b n ) = (a 1 +b 1 , .,a n +b n ) a(a 1 , .,a n ) = (aa 1 , .,aa n ) a,a i ,b i R.R n là R - môđun. 11) M(m x n, R) là ma trận m hàng n cột với các phần tử trong R là một R - môđun với hai phép toán cộng và nhân vô hớng trong R. 12) Mỗi vành có đơn vị là một môđun trên mọi vành con chứa đơn vị của nó. 13) Tập hợp Map (S,X) các ánh xạ từ S vào R- môđun X là một R- môđun với phép toán: (f+g)(s) = f(s)+g(s) (af)(s) = af(s) f,g Map (S,X); sS; aR. 14) Giả sử : RR là một đồng cấu vành bảo toàn đơn vị, tức là (1) = 1. Khi đó mỗi R- môđun X là một R- môđun, trong đó phép nhân các phần tử của X với vô hớng trong R đợc định nghĩa nh sau: ax = (a) x; aR, xX. 2. Môđun con 2.1. Định nghĩa. Tập con A của môđun X đợc gọi là môđun con của môđun X nếu cùng với phép cộng (+) và phép nhân vô hớng (.) ở trên X thì A cũng là một môđun. 2.2. Tiêu chuẩn môđun con A A md X a,b A,R a-bA aA. 3. Định lý đồng cấu môđun Định lý. Cho f: X Y là toàn cấu môđun. Khi đó tồn tại một đẳng cấu môđun h: X/ker(f) Y sao cho ta có quan hệ giao hoán hog = f trong sơ đồ sau: 5 X Y 4. Dãy khớp 4.1. Định nghĩa. Ta gọi dãy khớp (những môđun) là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn: . X f Y g Z . những đồng cấu của những môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác với hai đầu (nếu có) của dãy. 4.2. Định nghĩa. Một dãy khớp bất kỳ dạng: 0 X f Y g Z0 đợc gọi là một dãy khớp ngắn. 4.3. Định nghĩa. Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn: . X f Y g Z . những đồng cấu của những môđun trên R đợc gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấu vào bị chứa trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) của dãy. 5. Môđun tự do 5.1. Định nghĩa. Ta gọi môđun tự do trên R lên một tập hợp S là một môđun F trên R cùng với một hàm f: SF sao cho với g: SX tồn tại một đồng cấu h: FX để cho ta có quan hệ giao hoán hof = g trong sơ đồ sau: S F 5.2. Định nghĩa. Giả sử X là một R - môđun i) Tập con khác rỗng S của X đợc gọi là một cơ sở của X nếu mỗi phần tử của X đều có biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. ii) Môđun X đợc gọi là môđun tự do nếu nó có một cơ sở hoặc nó là môđun 0. 6 X/ker(f) h (đẳng cấu) g f g h X f (toàn cấu) Chơng 2 Môđun xạ ảnh - môđun nội xạ Đ1. Môđun xạ ảnh 1.1. Định nghĩa. Một môđun X trên R đợc gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: XB và toàn cấu g: AB của những môđun trên R, tồn tại một đồng cấu h: XA thoả mãn goh= f. Ta có thể diễn đạt theo ngôn ngữ biểu đồ nh sau: Một môđun X trên R đợc gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi biểu đồ: X A g B 0 những đồng cấu của những môđun trên R, trong đó dòng là khớp đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán: X A g B 0 ngời ta gọi h là một "nâng" của f theo toàn cấu g. 1.2. Mệnh đề. Mọi R - môđun tự do đều xạ ảnh. Chứng minh. Xét một môđun tự do tuỳ ý X trên R sinh ra bởi một tập hợp S X. Giả sử f: XB là một đồng cấu và g: AB là một toàn cấu tuỳ ý cho trớc của những môđun trên R. Với s bất kỳ thuộc S, tồn tại một phần tử j(s) của A với go[j(s)] = f(s) vì g là một toàn cấu. Sự tơng ứng sj(s) xác định một hàm j:SA. Vì X là môđun tự do trên R lên tập hợp S X nên j mở rộng ra thành một đồng cấu duy nhất h: XA: S X A g B 0 7 f f (đồng cấu) (toàn cấu) h f j h Gọi x là một phần tử tuỳ ý của X. Vì X đợc sinh ra bởi S nên x là một tổ hợp tuyến tính x = ii n i s = 1 với i R và s i S với mọi i = 1,2, .,n. Thế thì ta có go[h(x)] = i n i = 1 go[h(s i )] = i n i = 1 go[j(s i )] = )(][)( 11 xfsfsf ii n i ii n i == == . Vì x là một phần tử bất kỳ của X nên suy ra goh = f. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.3. Mệnh đề. Mỗi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh. Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh rằng: Mọi R - môđun X đều đẳng cấu với thơng của một R - môđun tự do. Thật vậy, giả sử X là một môđun trên R tuỳ ý cho trớc. Ta lấy ra một tập con S của X, sinh ra X, chẳng hạn lấy S = X. Xét môđun tự do F trên R sinh ra bởi tập hợp S thế thì hàm bao hàm g:SX mở rộng ra thành đồng cấu h: FX: S F X vì S = g(s) h(F) và vì S sinh ra X nên ta có h(F) =X do đó h là một toàn cấu. Theo định lý đồng cấu môđun suy ra F/ker(h) X: F X F/ker(h) Từ mệnh đề (1.2) và chứng minh trên ta có mọi R- môđun X luôn đẳng cấu với một môđun thơng của một R - môđun xạ ảnh. Do vậy X là ảnh toàn cấu của môđun xạ ảnh F. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.4. Mệnh đề. Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi dãy khớp ngắn: 0 U f V g X 0 những môđun trên R đều chẻ ra. Chứng minh () Giả thiết X là xạ ảnh và xét biểu đồ những đồng cấu: 8 f h g l (đẳng cấu) h k X V g X 0 Theo định nghĩa, tồn tại đồng cấu h: XV thoả mãn goh = id x . Mặt khác ta đã biết rằng với mọi dãy khớp ngắn: 0U f V g X0 những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra nếu và chỉ nếu đồng cấu f có một nghịch đảo trái hoặc đồng cấu g có một nghịch đảo phải, từ đó dãy khớp ngắn đã cho chẻ ra. () Ngợc lại, giả thiết dãy khớp ngắn đã cho chẻ ra, xét biểu đồ những đồng cấu: X V g X 0 tồn tại nghịch đảo phải h của của toàn cấu g, tức là goh = id x . Theo định nghĩa về môđun xạ ảnh ta có X là xạ ảnh. 1.5. Mệnh đề. X = X i . X là môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu X i là môđun xạ ảnh. Chứng minh. () X xạ ảnh X i xạ ảnh Giả sử X là môđun xạ ảnh. f i : X i B là một đồng cấu. g: AB là một toàn cấu. q i : X i X là phép nhúng tự nhiên. p i :XX i là phép chiếu tự nhiên. Ta có f i op i : XB là một đồng cấu. Vì X là xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu h: XA thoả mãn goh = f i op i : X X i A g B 0 ta có h i =hoq i : X i A. goh i = gohoq i = f i op i oq i =f i . Vậy X i là môđun xạ ảnh. () X i xạ ảnh X xạ ảnh. 9 id x id x iI p i f i h i h Giả sử X i là môđun xạ ảnh và f: XB là một đồng cấu. g: AB là một toàn cấu. q i : X i X là phép nhúng tự nhiên. p i : XX i là phép chiếu tự nhiên. Ta có fo q i là một đồng cấu. Vì X i là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h i : X i A thoả mãn goh i = foq i : X i X A g B 0 ta có h = h i op i : XA. Với x bất kỳ thuộc X ta có (goh ) (x) = Ii ( goh i op i )(x) = Ii ( foq i op i )(x) =f(x) suy ra goh = f. Vậy X là môđun xạ ảnh. 1.6. Mệnh đề. Môđun X là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do (nghĩa là F = X Y trong đó F tự do). Chứng minh () Giả sử X là xạ ảnh, khi đó có môđun tự do F và toàn cấu g: FX, ta có f: ker(g) F là đồng cấu bao hàm. Ta đợc một dãy khớp ngắn chẻ ra: 0ker(g) f F g X khi đó tồn tại h: XF sao cho goh = id x : X F g X 0 Mặt khác ta có: Nếu cái hợp thành h =gof của hai đồng cấu f: XY và g:YZ của các môđun X, Y, Z trên R là một đẳng cấu thì ba phát biểu sau là đúng: + f là một đơn cấu + g là một toàn cấu + Môđun Y phân tích đợc thành tổng trực tiếp của im( f) và ker(g), ký hiệu Y = im(f) ker(g). Suy ra h là một đơn cấu và F = im(h) ker(g) = X ker(g). Vậy X là hạng tử trực tiếp của môđun tự do. 10 q i f h h i id x h . nơte và actin bởi mối liên hệ giữa xạ ảnh - nội xạ với nơte - actin, đồng thời là cơ sở để nghiên cứu các lớp môđun mở rộng của môđun xạ ảnh và nội xạ. Nội. một môđun thơng của một R - môđun xạ ảnh. Do vậy X là ảnh toàn cấu của môđun xạ ảnh F. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.4. Mệnh đề. Môđun X là xạ ảnh