Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== Võ Công Đông số tính chất tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2006 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== Võ Công Đông số tính chất tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ Chuyên ngành: Giải tích Mà số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngêi híng dÉn khoa häc: TS Phan Lª Na Vinh, 12/2006 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng Một số kiến thức lý thuyết ổn định 1.1 Tính ổn định phơng trình vi phân sai phân theo nghĩa Liapunov 1.2 ổn định hệ tuyến tÝnh 1.3 ổn định hệ phi tuyến Ch¬ng Mét sè tính chất Về tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ 2.1 Các khái niệm 2.2 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận 2.3 Mét sè øng dông KÕt luËn Tài liệu tham khảo Lời nói đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kỹ thuật, điều khiển thờng liên quan đến hệ động lực mô tả phơng trình toán học với thời gian liên tục hay rời r¹c d¹ng: x(t) = f (t , x(t),u(t)), t ≥ (0.1) x(k + 1) = f (k, x(k),u(k)),k = 0,1,2 x(.) biểu thức trạng thái mô tả đối tợng đầu ra, u(.) biểu thức điều khiển mô tả đối tợng đầu vào hệ thống Các đối tợng điều khiển mô hình điều khiển hệ thống đợc mô tả nh liệu đầu vào có tác động quan trọng mức độ mức độ khác, làm ảnh hởng đến vận hành đầu hệ thống Nh vậy, ta hiểu hệ thống điều khiển mô hình hóa toán học đợc mô tả phơng trình toán học biểu thị liên hệ vào u(t) x(t) x = f ( t , x, u ) (Hệ điều khiển) mục đích toán điều khiển hệ thống tìm điều khiển (đầu vào) cho hệ thống (đầu ra) có tính chất mà ta mong muốn Thông thờng, việc chuyển hệ thống có điều khiển từ vị trí sang vị trí khác thực nhiều phơng pháp dới tác động điều khiển khác Căn vào mục đích cụ thể hệ thống đầu ngời ta xác định toán điều khiển khác Tính ổn định tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực đợc sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý, toán, kỹ thuật, kinh tế v.v Nói cách hình tợng, hệ thống đợc gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Bài toán ổn định hệ thống đợc nhà toán học, đặc biệt V.Liapunov nghiên cứu đến đà trở thành hớng nghiên cứu thiếu lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Từ năm 60 kỷ XX, song song víi sù ph¸t triĨn cđa lý thut điều khiển nhu cầu nghiên cứu tính chất định tính hệ thống điều khiển, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển Nói cách giải tích cho hệ thống mô tả phơng trình toán học điều khiển, ví dụ dạng (0.1), toán ổn định hóa hệ tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái mà ngời ta thờng gọi hàm điều khiển ngợc) u ( x ) = h ( t , x ) cho hƯ ®éng lùc: x ( t ) = f ( t , x ( t ) , h ( t ) , x ( t ) ) = F( t , x ( t ) ) ổn định ổn định tiệm cận trạng thái cân Cơ sở toán học toán ổn định hóa lý thuyết ổn định Liapunov, cụ thể phơng pháp thứ phơng pháp thứ hai Liapunov Trên sở tài liệu phơng trình lý thuyết ổn định, áp dụng phần phơng pháp thứ hai Liapunov, số bất đẳng thức ma trận, luận văn trình bày điều kiện đủ tính ổn định phơng trình sai phân có trễ, đồng thời đa số ứng dụng Luận văn gồm hai chơng: Chơng Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định gồm nội dung sau: 1.1 Tính ổn định phơng trình vi phân sai phân theo nghĩa Liapunov 1.2 ổn định hệ tuyến tính 1.3 ổn định hệ phi tuyến Chơng Về tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ nội dung luận văn gồm nội dung sau: 2.1 Các khái niệm 2.2 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận ổn định tiệm cận địa phơng 2.3 Một số ứng dụng Luận văn đợc hoàn thành díi dù híng dÉn trùc tiÕp tËn t×nh cđa TS Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo viên hớng dẫn đà dành cho tác giả giúp đỡ tận tình tâm huyết suốt trình học tập nh thời kỳ hình thành hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán khoa Đào tạo Sau Đại học, đặc biệt PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Quang Hải, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Nguyễn Nhụy, PGS.TS Tạ Khắc C, TS Phạm Ngọc Bội thầy cô giáo tổ Giải tích, bạn học viên cao học 12 - Toán, ngời đà giúp đỡ, động viên, bảo suốt thời gian học cao học Vinh, tháng 12 năm 2006 Võ Công Đông Chơng số kiến thức lý thuyết ổn định Chơng trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân hệ phơng trình sai phân Các khái niệm tính ổn định, ổn định tiệm cận tính chất hệ vi phân sai phân đợc trình bày theo [2] 1.1 Tính ổn định phơng trình vi phân sai phân theo nghĩa Liapunov Xét hệ thống mô tả phơng trình vi phân & x = f (t, x) , t ≥ x ( t ) R n véctơ trạng thái hệ, (1.1) f : R+ ì Rn Rn hàm véctơ cho tr- ớc Giả thiết f(t, x) hàm thỏa mÃn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0) = x0, t có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm đợc cho công thức t x ( t ) = x + ∫ f (s, x (s))ds t0 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) đợc gọi ổn định theo nghĩa Liapunov (gọi tắt ổn định) t với mäi sè ε > , t ≥ tån t¹i δ > (phơ thc ε, t ) cho bÊt kú nghiÖm y(t), y(t0) = y0 cđa hƯ tháa m·n y −x < δ nghiệm bất đẳng thức y( t ) −x ( t ) < ε ∀ ≥ t , t Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x(t) đủ gần suốt thời gian t t 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định có số > cho víi y −x < δ th× Lim y( t ) − x ( t ) = t →∞ NghÜa lµ, nghiƯm x(t) ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x(t) t tiến tới vô Nhận xét: B»ng phÐp biÕn ®ỉi ( x − y) z, ( t − t ) τ hƯ ph¬ng trình (1.1) đợc đa dạng quy đổi & Z = F(τ,z) , (1.2) ®ã F( τ , 0) = 0, ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đa nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (1.2) Để ngắn gọn, ta nói hệ (1.2) ổn định thay cho nói nghiệm hệ ổn định Do từ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm không, tức lµ f(t,0) = 0, t ∈R + Ta nãi: - Hệ (1.1) ổn định với ε > , t ∈ R + sÏ tồn số > (phụ thuộc vào số ε, t ) cho bÊt kú nghiÖm x(t): x(t0) = x0 tháa m·n x0 0, δ > cho mäi nghiƯm cđa hƯ (1.1) víi x(t0) = x0 tháa m·n x ( t ) ≤ Me −δ( t −t ) ∀t ≥ t , tøc lµ nghiƯm không hệ ổn định tiệm cận mà mäi nghiƯm cđa nã tiÕn tíi kh«ng nhanh víi tèc độ theo hàm mũ 1.1.4 Ví dụ Xét phơng trình vi ph©n sau R & x = ax, t ≥ nghiƯm x(t), víi x(t0) = x0 cho bëi c«ng thøc x(t) = x0eat, t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) a < Nếu a = hệ ổn định Hơn nữa, hệ ổn định (hoặc ổn định tiệm cận đều) số > chọn đợc không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0 1.1.5 Ví dụ Xét phơng trình vi phân & x(t) = a(t)x , t ≥ , a(t): R+ R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 cho bëi t ∫ a ( τ) dτ x (t ) = x e t Do kiểm tra đợc ràng buộc hệ ổn định nÕu t ∫ a (τ)dτ ≤ µ( t ) < +, t0 ổn định số à(t0) số không phụ thuộc vào t0, hệ ổn định tiệm cận t Lim a ()d = t t0 10 Trên định nghĩa tính ổn định cho hệ với thời gian liên tục Các định nghĩa hoàn toàn đợc định nghĩa tơng tự cho hệ với thời gian rời rạc x(k+1) = f(k, x(k)), f : Z+ × X → X (1.3) k ∈ Z+ lµ hµm cho trớc 1.1.6 Định nghĩa Hệ rời rạc (1.3) gọi ổn định với > , k ∈ Z + , tån t¹i sè δ > (phô thuéc k0, ε ) cho mäi nghiƯm x(k) cđa hƯ víi x ( 0) cho ∀ ∈X x g(x ) ≤ L x , b»ng ®iỊu kiƯn sau: tồn số khẳng định Định lý 1.3.1 vÉn ®óng víi L > tháa m·n ®iỊu kiƯn L< δ K 1.3.2 VÝ dơ XÐt tÝnh ổn định hệ phơng trình vi phân sau & x = − x1 + x1 sin t x = −2x + x sin t & 2 Ta cã: −1 A = , − 2 1 2 x1 sin t ÷ g(t,x) = ÷ x 2sin t ữ ữ A ma trận ổn định 1 4 g ( t , x ) = sin t ( x + x ≤ x , g ( t , x ) = 0( x )) 2 hệ ổn định tiệm cận Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (1.7) ổn định hàm f(t, x) đợc phân tích thµnh tỉng hai hµm sè phơ thc thêi gian 1.3.3 §Þnh lý XÐt hƯ phi tun & x = A(t)x(t) + g(t, x(t)), t ≥ (1.8) 20 Gi¶ sư: i) ii) ∃K > 0, δ > : Φ(t , s ) ≤ Ke −δ (t −s ) , g (t , x) ≤ L(t ) x , iii) Sup L(t ) ≤ µ < t∈R + ∀t ≥ 0, ∀t ≥ s ≥ ∀x ∈ R n K Khi hệ ổn định tiệm cận Có thể xem chứng minh tài liệu tham khảo [2] 21 Ch¬ng mét sè tÝnh chÊt VỊ tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ Trong chơng sử dụng phơng pháp thø cđa Liapunov, chóng ta thiÕt lËp ®iỊu kiƯn đủ cho tính ổn định tiệm cận phơng trình sai phân có trễ Chúng ta thu đợc điều kiện ổn định nhờ hệ thống bất đẳng thức ma trận áp dụng cho số lớp sai phân có trễ Chẳng hạn nh phơng trình đặc biệt, phơng trình có nhiễu, hệ điều khiển hệ mạch có trễ Ta xét lớp quan trọng hệ sai phân gồm có phơng trình sai phân có trễ, việc chậm trễ thêng xt hiƯn nh÷ng hƯ di trun, nh÷ng hƯ Volka - Volterra, hệ liên quan đến phát triển kinh tế toàn cầu Các hệ thờng đợc mô tả hệ phơng trình có thời gian gián đoạn đợc cho x(k + 1) = f(x(k), x(k – h1), x(k – h2), , x(k - hp)), k = 0,1,2, (2.1) x(k) = Φ(k), k ∈ −hp , 0 , ®ã x ( k ) ∈R n , ≤ h1 ≤ ≤ h p , h i ∈ Z, p 1, (k) liệu bắt ®Çu ®a ra, f ( x , x , , x p ) : R n ( p +1) R n hàm n véctơ thỏa mÃn f(0, 0, , 0) = HƯ nµy chØ quan sát thời gian rời rạc có trạng thái t¹i k, k – 1, , k – h p hoàn toàn xác định Sau luận văn trình bày số khái niệm để sử dụng cho phần sau 2.1 Các khái niệm Trong chơng ta dùng ký hiệu R + = [ 0;+) tập hợp số thực không âm, Z+ tập hợp số nguyên không âm; Rn không gian Euclidean n - chiều với chuẩn Euclidean tính vô hớng xTy số; Rn x m tập hợp tất 22 ma trận cấp n ì m; max (A) giá trị riêng lín nhÊt cđa ma trËn A, vµ AT lµ ma trËn chun cđa ma trËn A Ma trËn x T Qx Q R nìm đợc gọi ma trận xác định không âm ( Q ) nÕu víi x ∈ R n NÕu xTQx > (xTQx < 0, t¬ng øng) víi mäi x ≠ Q đợc gọi ma trận dơng kí hiệu Q > (Q < tơng øng) DƠ dµng nhËn thÊy r»ng Q > (Q < tơng ứng) khi: > : x T Qx ≥ β x , ( ∃β > : x T Qx ≤ −β x , ∀x ∈R n ∀ ∈R n x , tơng ứng) 2.1.1 Hàm Liapunov Xét hàm số V = V(x,t) liên tục theo biến t theo biÕn x 1, x2, , xn miÒn Z0, ®ã Z0 = {a < t < +∞} × {x(x1, x2, , xn) ∈ Rn : ||x|| < h} 2.1.1.1 Định nghĩa Hàm thực V(x) đợc gọi hàm xác định dơng i) V(0) = 0; ii) V(x) > 0, với x 2.1.1.2 Định nghĩa Hàm V(t, x) đợc gọi hàm xác định dơng theo nghĩa Liapunov (hay hàm Liapunov), thỏa mÃn điều kiƯn sau i) V(t, 0) = 0; ii) Tån t¹i hàm W(x) xác định dơng V(t, x) W(x), víi mäi x thc l©n cËn ||x || < h 2.1.1.3 Định nghĩa Hàm V(t, x) đợc gọi hàm xác định âm theo nghĩa Liapunov (hay hàm Liapunov), thỏa mÃn điều kiện sau i) V(t, 0) = 23 ii) Tồn hàm W(x) xác định dơng cho V(t,x) ≤ -W(x), víi mäi x thc l©n cËn ||x|| < h B©y giê ta xÐt hƯ thêi gian rêi r¹c x ( k + 1) = f (k , x ( k )), k ∈Z+ (2.2) Ta ký hiÖu Vδ = {x ∈ R n : x < } Sau luận văn trình bày số Bổ đề để dùng cho việc chứng minh phần luận văn 2.1.2 Bổ đề.([4]) Nghiệm không hệ sai phân phi tuyến (2.2) ổn định tiệm cận tồn hàm xác định dơng V( x ) : R n → R + , ∃β > cho ∇V ( x (k )) = V ( x(k +1)) −V ( x(k )) ≤ −β x(k ) Trong trờng hợp điều kiện tháa m·n cho mäi x (k ) ∈ Vδ ta nói nghiệm không ổn định tiệm cận địa phơng Sau dẫn Bổ đề dùng chứng minh sau 2.1.3 Bổ đề.[4] (Định lý bổ sung Schur) Giả sử M, P, Q nh÷ng ma trËn cho Q > 0, Q = QT Khi ®ã ta cã: P T M M 0, ⇔ P + M T Q −1 M < F T ( k ).F ( k ) I , M, N ma trËn h»ng NÕu tån t¹i sè ε > cho εI − M T PM > th× [ A + MF(k ) N] T P[ A + MF(k ) N] ≤ A T (P −1 − MM T ) −1 A + εN T N Sau đây, luận văn trình bày số điều kiện cần đủ để hệ sai phân tuyến tính có trễ hệ sai phân phi tuyến có trễ ổn định tiệm cận 2.2 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận 24 Trong phần trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận hệ (2.1) bất đẳng thức ma trận Đầu tiên xét hệ sai phân tuyến tính có trễ sau đây: p x (k + 1) = Ax (k ) + ∑ A i x ( k − h i ) , k ∈ Z + , (2.3) i =1 n ìm ≤ h1 ≤ ≤ h p ,p ≥ 1, h i Z, A,A i R ma trận Kết sau điểm xuất phát để thu đợc điều kiện ổn định cho hệ (2.3) 2.2.1 Định lý Hệ sai phân tuyến tính có trễ (2.3) ổn định tiệm cận tồn ma trận P > đối xứng cho: p T A PA − P + ∑ A iT PA i + pI i =1 T A PA A T PA p A T PA A T PA .A T PA p−1 A T PA p T T T A PA .A PA p−1 A PA p −I A T PA A T PA .A T PA p−1 p p p Chứng minh Xét hàm Liapunov có dạng: p V ( y( k )) = x ( k ) T Px (k ) + ∑ k −1 ∑x T ( j)Q i x ( j) i =1 j=k −h i ®ã: [ ] y( k ) = x ( k ), x (k − h ), , x ( k − h p ) , Sai ph©n Liapunov hệ đợc định nghĩa Q i = A iT PA i + I −I < (2.4) 25 ∇V ( y(k )) = V ( x ( k + 1)) − V ( x ( k )) = T p p = Ax (k ) + ∑A i x ( k − h i ) P Ax ( k ) + ∑A i x ( k − h i ) − x T ( k ) Px ( k ) + i =1 i =1 p +∑ p k i =1 j=k +1−h i T k −1 ∑x T ( j)Q i x ( j) − ∑ ∑x T ( j)Q i x ( j) = T i =1 i =k −h T T = x ( k ) A PAx ( k ) + x (k − h )A PAx ( k ) + + x T (k − h p ) A T PAx ( k ) + p T + x T ( k ) A T PA x (k − h ) + x T ( k − h ) A PA x (k − h ) + + x T ( k − h p ) A T PA x ( k − h ) p T + x T ( k ) A T PA p x ( k − h p ) + x T (k − h )A PA p x (k − h p ) + + x T ( k − h p ) A T PA p x ( k − h p ) p p p i =1 i =1 + ∑x T ( k )Q i x ( k ) − x T (k ) Px ( k ) − ∑x T (k − h i )Q i x ( k − h i ) b»ng c¸ch nhóm số hạng lại ta đợc p T A PA − P + ∑ Q i i =1 ∇V( y(k )) = y T (k ) T A PA A T PA P A T PA T A PA − Q A T PA P y( k ) T T T A PA p −1 A PA p A PA A T PA A T PA p −1 A T PA p − Q p P P P A T PA A T PA p −1 A T PA p ThÕ A iT PQ i − Q i = −I , ma trËn hệ thức vừa ta thu đợc p T A PA − P + ∑ A iT PA i + pI A T PA i =1 ∇V( y(k )) = y T (k ) T −I A PA A T PA A T PA P P A T PA A T PA p−1 A T PA p y(k ) T T T A PA A PA p−1 A PA p A T PA A T PA p−1 − I P P Theo điều kiện (2.4) tồn mét sè β > cho ∇ ( y( k )) ≤− y( k ) V β Do tính ổn định tiệm cận hệ suy đợc điều kiện (2.4) đợc thỏa mÃn Đó điều phải chứng minh 2.2.2 Hệ Sau ta thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định tiƯm cËn cđa hƯ sai ph©n tun tÝnh cã trƠ sau: x (k + 1) = Ax (k ) + A x (k − h ), k ∈ Z+ (2.5) 26 Dễ dàng suy từ Định lý 2.2.1 trờng hợp p = Hệ (2.5) ổn định tiÖm cËn nÕu: A T PA − P + Q A T PA 0, Q > : T T A PA A PA − Q (2.6) hc T A T PA − P + A PA + I A T PA < ∃P > : T A PA −I BÊt đẳng thức theo Bổ đề 2.1.3 tơng đơng với bất đẳng thức Riccati sau: T T P > : A T PA − P + A PA + I + A PAA T PA < (2.7) Bëi vËy chóng ta cã hệ sau 2.2.3 Hệ Hệ (2.5) ổn định tiệm cận thỏa mÃn điều kiện (2.6) (2.7) Bây thiết lập điều kiện đủ cho hƯ sai ph©n phi tun cã trƠ (2.1) nhê tính ổn định hệ tuyến tính hóa định lý sau: 2.2.4 Định lý Giả sử hàm phi tuyến f khả vi f(0, , 0) = Hệ sai phân phi tuyến có trễ (2.1) ổn định tiệm cận địa phơng điều kiện (2.4) thỏa mÃn, ®ã: A= ∂f (0, , 0) , ∂x Ai = ∂f ( 0, , 0) ∂x i Chøng minh Để đơn giản biểu thức chứng minh Định lý cho trờng hợp p = 1, h1 = h, trờng hợp tổng quát chứng minh tơng tù KÝ hiÖu: λ = λ max (A ) , λ1 = λ max (A ) , λ p = max (P) Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mÃn theo Bổ đề 2.1.3 tồn số > cho: T T A T PA − P + A PA + I + A1 PAA T PA ≤ −2ηI , XÐt hµm Liapunov V( y( k )) = x T ( k ) Px (k ) + k −1 ∑x T (i)Qx (i) i =k −h (2.8) 27 ®ã: Khi ®ã sai phân hàm Liapunov dọc theo nghiệm hệ là: Từ tính khả vi liên tục f f(o, o) = 0, ta cã thĨ biĨu diƠn f nh sau: f(x(k), x(k - h)) = Ax(k) + A1x(k - h) + o(x(k), x(k-h)) hàm o(x1, x2) tháa m·n ®iỊu kiƯn Do (||x1|| + ||x2||) ≥ ||x1|| + ||x2|| ⇒ ||x1|| + ||x2|| ≥ ⇒ 0≤ ⇒ 0≤ ⇒ (2.9) Bëi vËy ThÕ hệ thức vừa thu đợc: Lấy tháa m·n (2.10) tõ ®iỊu kiƯn (2.9) ta suy với tồn số cho tất ta có Suy nên ta có 28 Tơng tự ta có Nhờ nhóm số hạng lại ta thu đợc Nói cách khác Vì P thỏa mÃn bất đẳng thức Riccati (2.8) ta thu đợc: Vậy thì, âm số thỏa mÃn điều kiện (2.11) (2.12) (2.13) Bất đẳng thức (2.13) trở thành điều kiện với ®iỊu kiƯn tháa m·n (2.14) bëi v× Ci cïng kết hợp điều kiện (2.11), (2.12), (2.14) (2.10), ma trận: xác định âm, có số cho: cho tất với điều kiện hệ ổn định tiệm cận địa phơng Điều phải chứng minh Từ Định lý 2.2.4 ta có ý sau 29 2.2.5 Chú ý Định lý 2.2.4 đa điều kịên đủ cho tính ổn định tiệm cËn cđa hƯ sai ph©n cã trƠ phi tun nhê tính ổn định hệ sai phân trễ đà tuyến tính hoá Những điều kiện độc lập thời gian trễ đà mô tả theo quan điểm bất đẳng thức ma trận ổn định Những điều thực cách dùng bổ đề bổ sung Schur thuật toán bất đẳng thức ma trận tuyến tính [4] Sử dụng Định lý 2.2.1 §Þnh lý 2.2.4 ta cã mét sè øng dơng sau 2.3 Một số ứng dụng Trong phần ứng dụng kết điều kiện ổn định cho số lớp phơng trình đặc trng phơng trình sai phân có trễ 2.3.1 Phơng trình sai phân có trễ đặc biệt Xét phơng trình sai phân có trễ tuyến tính dạng sau đây: (2.15) số thực Sử dụng Định lý 2.2.1 có kết sau 2.3.2.1 Định lý Phơng trình sai phân có trễ tuyến tính (2.15) ổn ®Þnh tiƯm cËn nÕu cã mét sè p > cho: (2.16) Sư dơng Bỉ ®Ị bỉ sung 2.1.3 Schur, ®iỊu kiƯn (2.16) dÉn ®Õn ®iỊu kiƯn XÐt trờng hợp phơng trình sai phân trễ trờng hợp nµy, chóng ta cã a0 = a, a1 = b, điều kiện (2.16) trở thành: 30 điều dẫn đến trở thành điều kiện đà đợc biết 2.3.2.2 Phơng trình sai phân trễ bị nhiễu Xét hệ thống sai phân có trễ bị nhiễu có dạng: (2.17) A, Ah ma trận hằng, nhiễu tham số bất định đợc giả thiết có dạng 31 Ei, Hi i = 1, ma trận F(k) ma trận thỏa mÃn Tính ổn định vững hệ thống bị nhiễu tuyến tính (2.17) toán đợc quan tâm năm qua Tính ổn định vững hệ thống (2.17) có ý nghĩa tồn hàm Liapunov đảm bảo tính ổn định tiệm cận nghiệm không cho tất nhiễu, bất định Ta kí hiệu: Định lý sau tiêu chuẩn tìm điều kiện để hệ 2.17 ổn định tiệm cận 2.3.2.1 Định lý Hệ thống sai phân có trễ bị nhiễu (2.17) ổn định tiệm cận có ma trận đối xứng P > số cho: (2.18) Chứng minh Dùng Hệ 2.2.3 hệ thống (2.17) ổn định tiệm cận có c¸c ma trËn P > 0, Q > cho: Chú ý rằng: 32 Mặt khác, theo Bỉ ®Ị 2.1.4 chóng ta cã víi cho R > Do ®ã ta cã: LÊy , chóng ta cã: Tõ ®ã theo Bỉ ®Ị bỉ sung Schur dÉn ®Õn ®iỊu kiƯn (2.18) Bëi vËy, hƯ thèng (2.17) ổn định tiệm cận điều kiện (2.18) thỏa mÃn Điều phải chứng minh Kết luận Các vấn đề luận văn đà trình bày 1.1 Tính ổn định phơng trình vi phân sai phân theo nghĩa Liapunov 1.2 ổn định hệ tuyến tính 1.3 ổn định hệ phi tuyến 1.4 Các khái niệm 1.5 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận ổn định tiệm cận địa phơng 1.6 Một số ứng dụng Các kết luận văn 2.1 Phát biểu chứng minh chi tiết điều kiện ®đ ®Ĩ hƯ sai ph©n tun tÝnh cã trƠ ỉn định tiệm cận 2.2 Phát biểu chứng minh chi tiết điều kiện đủ để hệ sai phân phi tuyến tính có trễ ổn định tiệm cận địa phơng 2.3 Sử dụng kết thiết lập điều kiện đủ để phơng trình sai phân có trễ ổn định tiệm cËn ... Chơng số kiến thức lý thuyết ổn định Chơng trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân hệ phơng trình sai phân Các khái niệm tính ổn định, ổn định tiệm cận tính chất hệ vi phân. .. đây, luận văn trình bày số điều kiện cần đủ để hệ sai phân tuyến tính có trễ hệ sai phân phi tuyến có trễ ổn định tiệm cận 2.2 Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận 24 Trong phần trình bày điều... điều kiện ổn định cho số lớp phơng trình đặc trng phơng trình sai phân có trễ 2.3.1 Phơng trình sai phân có trễ đặc biệt Xét phơng trình sai phân có trễ tuyến tính dạng sau đây: (2.15) số thực