Một số tính chất của môđun m giả nội xạ luận văn thạc sĩ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TỨ HẢI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN M – GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An – 12.2011 2 Mục lục Tr ang Mục lục………………………………………………… .…… . 1 Các kí hiệu dùng trong luận văn………………………………… 2 Lời nói đầu……………………………… .…………………… 3 Chương 1. Kiến thức cơ sở………………………………………. 5 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun đều……………… ……… . 5 1.2. Môđun con đóng và môđun con bù giao……… ……… 7 1.3. Môđun M – nội xạ……………… ……………………… 9 1.4. Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ…… ……………… 17 Chương 2. Môđun M – giả nội xạ……………………………… 22 2.1. Các định nghĩa………………………… ……………… 22 2.2. Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ…………. …. 23 2.3. Môđun M – giả nội xạ và M – nội xạ……………………. 32 Kết luận…………………………………………………………… 38 Tài liệu tham khảo…………………….……………….…………. 39 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N M⊆ : N là môđun con của môđun M. e N M⊆ : N là môđun con cốt yếu của môđun M. ≤ : quan hệ thứ tự. ⊕ : tổng trực tiếp của các môđun. 3 :f N M→ : phép tương ứng từ N đến M. : phép nhúng. A ϕ : thu hẹp của ϕ trên A. M N : môđun thương của M trên N. M N≅ : môđun M đẳng cấu với N. W : kết thúc một chứng minh. Lời nói đầu Lý thuyết môđun đã góp phần không nhỏ đến sự phát triển của chuyên ngành Đại số – Lý thuyết số. Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ đã được nghiên cứu bởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), H.Q.Dinh [3],…; Các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M.Okado, S.H.Mohamed and B.J.Muller, … phát triển, xây dựng mối 4 liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun. Sau khi nghiên cứu và đọc tài liệu “ A note on pseudo-injective modules” của H.Q.Dinh [3], chúng tôi đã tiếp cận được lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ là môđun M – giả nội xạ (với M là môđun cho trước). Mục đích của luận văn là hệ thống lại một số tính chất của môđun M – giả nội xạ. Đề tài luận văn là “Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ”. Ngoài ra, chúng tôi tìm hiểu thêm về môđun tựa – nội xạ và mối liên hệ giữa môđun M – giả nội xạ và môđun M – nội xạ. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương 2. Môđun M – giả nội xạ. 2.1. Môđun M – giả nội xạ, môđun giả nội xạ. 2.2. Một số tính chất của môđun M – giả nội xạ. 2.3. Môđun M – giả nội xạ và M – nội xạ. Luận văn được bắt đầu từ tháng 9/2011 và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự gợi ý và hướng dẫn của thầy PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy hướng dẫn, thầy đã tận tình, chu đáo giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin trong bước đầu nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai 5 Văn Tư, TS. Đào Thị Thanh Hà và các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán, khoa sau đại học trường Đại học Vinh và phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ toán trường THPT Tràm Chim, bạn bè và người thân đã động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để luận văn hoàn thành đúng kế hoạch. Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên do nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn. Nghệ An, tháng 12 năm 2011. Tác giả. Chương 1. Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng ta hệ thống lại các kiến thức cơ sở cần thiết cho việc chứng minh trong chương sau. Tất cả các vành R trong luận văn này đều giả thiết là vành có đơn vị kí hiệu 1 và các môđun là môđun phải unita. 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun đều 1.1.1. Các định nghĩa (1) Cho M là một R – môđun phải và N là môđun con của M. Môđun N được gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu là e N M⊆ , nếu với mọi môđun 6 con K M⊆ , 0K ≠ thì 0N K∩ ≠ . (Một cách tương đương, nếu 0N K∩ = thì 0K = ). Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N. (2) Môđun U được gọi là đều nếu với mọi môđun con khác không trong U là cốt yếu của U. 1.1.2. Ví dụ: - e M M⊆ ; , 0 e n n⊆ ∀ ≠¢ ¢ (xem là ¢ – môđun). - Xét ¢ – môđun ¢ . Khi đó ¢ là môđun đều. - Xét ¢ – môđun ¤ . Khi đó ¤ là môđun đều. 1.1.3. Tính chất. (1) Cho N là môđun con của M. Khi đó ⊆ ⇔ ∩ ≠ ∀ ≠ ∈0, 0 e N M xR N x M . (2) Cho A N M⊆ ⊆ . Khi đó e e e A N A M N M      ⊆ ⊆ ⇔ ⊆ . (3) Cho e A M⊆ và e B M⊆ thì e A B M∩ ⊆ . (4) Cho A N M⊆ ⊆ nếu e N A M A⊆ thì e N M⊆ . Chứng minh. (1) ( )⇒ Do 0 x M≠ ∈ nên 0 xR M≠ ⊆ . Do e N M⊆ nên 0N xR∩ ≠ . ( )⇐ Lấy 0 0A M x A≠ ⊆ ⇒ ∃ ≠ ∈ . Ta có 0N xR∩ ≠ mà 0xR A N A⊆ ⇒ ∩ ≠ . Vậy e N M⊆ . (2) ( )⇒ * Chứng minh e A N⊆ . Lấy 0 X N M≠ ⊆ ⊆ . Do e A M⊆ nên 0A X∩ ≠ . Vậy e A N⊆ . * Chứng minh e N M⊆ . Lấy 0 Y M≠ ⊆ . Do e A M⊆ nên 0A Y∩ ≠ . 7 Mà A N⊆ nên 0N Y∩ ≠ . Vậy e N M⊆ . ( )⇐ Chứng minh e A M⊆ . Thật vậy, lấy 0 X M≠ ⊆ . Do e N M⊆ nên 0N X∩ ≠ . Đặt B N X N= ∩ ⊆ . Do e A N⊆ nên 0A B∩ ≠ . 0 0A N X A X⇒ ∩ ∩ ≠ ⇒ ∩ ≠ . Vậy e A M⊆ . (3) Lấy 0 X M≠ ⊆ . Do e B M⊆ nên 0B X∩ ≠ và B X M∩ ⊂ . Do e A M⊆ nên ( ) 0 ( ) 0A B X A B X∩ ∩ ≠ ⇔ ∩ ∩ ≠ . Vậy e A B M∩ ⊆ . (4) Lấy X M⊆ sao cho 0N X∩ = . Khi đó, ( )N A X A∩ ⊕ = , từ đây ta suy ra ( ) 0N A A X A∩ ⊕ = . Do e N A M A⊆ nên ( ) 0A X A⊕ = hay A X A⊕ = .Vậy 0X = hay e N M⊆ . W 1.2. Môđun con đóng và môđun con bù giao 1.2.1. Các định nghĩa (1) Môđun con A của môđun M là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của M sao cho 0A B∩ = và A B M+ = , khi đó M A B= ⊕ . (2) Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con 0K ≠ của M mà e N K⊆ thì K N= . Ví dụ: A, B là hai môđun con của M thỏa M A B= ⊕ thì môđun B là đóng trong M. 8 (3) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. (4) Cho môđun M và A, B là hai môđun con của M. Môđun B được gọi là bù giao của A trong M nếu B là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa 0B A∩ = . (5) Môđun con B của M được gọi là bù giao trong M nếu A M∃ ⊆ mà B là bù giao của A trong M. (6) Bổ đề Zorn. Giả sử ( ; ), 0X X≤ ≠ là một tập sắp thứ tự thỏa mãn điều kiện: mọi xích của X đều có cận trên thế thì X có phần tử tối đại, nghĩa là tồn tại a X∈ mà , a x x X≤ ∈ thì a x= . (7) Đơn cấu :f N M→ được gọi là chẻ ra khi và chỉ khi Im f M ⊕ ⊆ khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu :g M N→ để 1 N gf = . 1.2.2. Hệ quả. Bao đóng của một môđun con N trong M luôn luôn tồn tại, (xem [5] trang 19). Ví dụ: Xét ¢ – môđun, 2¢ có bao đóng là ¢ . 1.2.3. Mệnh đề. Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại). Chứng minh. ( )⇒ Giả sử K đóng. Ta chứng minh K bù giao. Xét { } 0X M X K ϕ = ⊆ ∩ = . Do 0 ϕ ϕ ∈ ⇒ ≠ ∅ . Sắp thứ tự theo quan hệ ⊆ ta kiểm tra được ϕ thỏa mãn điều kiện bổ đề Zorn. Suy ra ϕ có phần tử tối đại ký hiệu là A. Từ đó ta chứng minh được K là bù giao của A. 9 ( )⇐ Giả sử K bù giao. Chứng minh K đóng. Thật vậy, giả sử e K X M⊆ ⊆ . Ta chứng minh X = K. Do K bù giao A M⇒∃ ⊆ để 0K A∩ = và K tối đại có tính chất đó. Ta có 0X A∩ = (vì nếu 0X A∩ ≠ , , 0a X a A a⇒ ∃ ∈ ∈ ≠ ⇒ ⊆ ;aR X ⊆aR A . Do e K X⊆ 0aR K k⇒ ∩ ∋ ≠ 0A K k⇒ ∩ ∋ ≠ (vô lí 0A K∩ = )). Nếu \ , 0X K x X K x≠ ⇒ ∈ ≠ . Xét xR X⊆ . Khi đó ,K K xR⊄ + ( ) 0K xR A+ ∩ = (vì nếu ( )a A K xR∃ ∈ ∩ + a A⇒ ∈ và a xR∈ ). Do K X k xr X xR X      ⊆ ⇒ + ∈ ⊆ . Suy ra 0a X a∈ ⇒ = (do 0X A∩ = ). Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất 0K A∩ = X K⇒ = . Vậy K đóng. W 1.2.4. Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K. Khi đó: (i) L là môđun con đóng trong M. (ii) L K⊕ là môđun con cốt yếu của M. Chứng minh. (i) Theo Mệnh đề 1.2.3 (ii) Ta cần chứng minh e L K M⊕ ⊆ . Thật vậy, lấy 0 N M≠ ⊆ nếu ( ) 0N K L∩ ⊕ = thì 0N K∩ = và 0N L∩ = do đó ( ) 0N L K⊕ ∩ = (vì nếu n + l = k thì n = k – l hay n N∈ và n K L∈ ⊕ và do đó n = 0 và k – l = 0). Lúc đó theo tính tối đại của L thì N L L⊕ = hay N = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0N ≠ . f g i f -1 g i 10 Vậy ( ) 0N K L∩ ⊕ ≠ hay e L K M⊕ ⊆ . W 1.3. Môđun M – nội xạ 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử M và N là hai R – môđun phải. Môđun N được gọi là M – nội xạ nếu mọi môđun con A của M và mọi đồng cấu môđun : →f A N đều mở rộng thành đồng cấu : →g M N (nghĩa là biểu đồ giao hoán g.i = f, với i là phép nhúng đồng nhất). A M N 1.3.2. Bổ đề. Nếu N là M – nội xạ khi đó mỗi đơn cấu : →f N M đều chẻ ra. Nếu thêm điều kiện M không phân tích được thì f là một đẳng cấu. Chứng minh. Cho N là M – nội xạ và : →f N M là đơn cấu. Ta cần chứng minh f là chẻ ra. Xét biểu đồ: f(N) M N Do N là M – nội xạ nên tồn tại mở rộng : →g M N sao cho g.i = f -1 . Ta chứng minh g.f = 1 N . Thật vậy, ∀ ∈x N ta có: ( . )( )g f x . ( ( ))g i f x= 1 ( ( )) 1 ( ) N f f x x x − = = = . Vậy g.f = 1 N hay f là chẻ ra. Nếu M không phân tích được. Do f chẻ ra Im( )f M ⊕ ⇒ ⊂ . . M c đích của luận văn là hệ thống lại m t số tính chất của m đun M – giả nội xạ. Đề tài luận văn là M t số tính chất của m đun M – giả nội xạ . Ngoài ra,. luận văn được chia la m 2 chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương 2. M đun M – giả nội xạ. 2.1. M đun M – giả nội xạ, m đun giả nội xạ. 2.2. M t số tính