Một số tính chất của môđun m giả nội xạ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TỨ HẢI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN M – GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An – 12.2011 Mục lục Trang Mục lục………………………………………………… …… Các kí hiệu dùng luận văn………………………………… Lời nói đầu……………………………… …………………… Chương Kiến thức sở……………………………………… 1.1 Môđun cốt yếu, môđun đều……………… ……… 1.2 Mơđun đóng mơđun bù giao……… ……… 1.3 Môđun M – nội xạ……………… ……………………… 1.4 Môđun nội xạ môđun tựa nội xạ…… ……………… 17 Chương Môđun M – giả nội xạ……………………………… 22 2.1 Các định nghĩa………………………… ……………… 22 2.2 Một số tính chất mơđun M – giả nội xạ………… … 23 2.3 Môđun M – giả nội xạ M – nội xạ…………………… 32 Kết luận…………………………………………………………… 38 Tài liệu tham khảo…………………….……………….………… 39 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N  M : N môđun môđun M N e M : N môđun cốt yếu môđun M  : quan hệ thứ tự  : tổng trực tiếp môđun f : N  M : phép tương ứng từ N đến M : phép nhúng  A : thu hẹp  A M N : môđun thương M N M  N : môđun M đẳng cấu với N : kết thúc chứng minh Lời nói đầu Lý thuyết mơđun góp phần không nhỏ đến phát triển chuyên ngành Đại số – Lý thuyết số Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun nhà khoa học quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh Trên sở tương tự dựa yếu tố nội xạ, người ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ nghiên cứu S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), H.Q.Dinh [3],…; Các lớp CS – môđun, môđun liên tục Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M.Okado, S.H.Mohamed and B.J.Muller, … phát triển, xây dựng mối liên hệ lớp môđun mở rộng với đưa nhiều kết hữu ích việc phát triển lý thuyết mơđun Sau nghiên cứu đọc tài liệu “ A note on pseudo-injective modules” H.Q.Dinh [3], tiếp cận lớp môđun mở rộng môđun nội xạ môđun M – giả nội xạ (với M mơđun cho trước) Mục đích luận văn hệ thống lại số tính chất mơđun M – giả nội xạ Đề tài luận văn “Một số tính chất mơđun M – giả nội xạ” Ngồi ra, chúng tơi tìm hiểu thêm mơđun tựa – nội xạ mối liên hệ môđun M – giả nội xạ mơđun M – nội xạ Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chương Kiến thức sở Chương Môđun M – giả nội xạ 2.1 Môđun M – giả nội xạ, mơđun giả nội xạ 2.2 Một số tính chất môđun M – giả nội xạ 2.3 Môđun M – giả nội xạ M – nội xạ Luận văn tháng 9/2011 hoàn thành trường Đại học Vinh gợi ý hướng dẫn thầy PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy hướng dẫn, thầy tận tình, chu đáo giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin bước đầu nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư, TS Đào Thị Thanh Hà thầy giáo, giáo khoa tốn, khoa sau đại học trường Đại học Vinh phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp động viên giúp đỡ trình học tập việc hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu, thầy tổ tốn trường THPT Tràm Chim, bạn bè người thân động viên, tạo điều kiện thuận lợi để luận văn hoàn thành kế hoạch Mặc dù cố gắng, nhiên nhiều nguyên nhân, luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở Trong chương hệ thống lại kiến thức sở cần thiết cho việc chứng minh chương sau Tất vành R luận văn giả thiết vành có đơn vị kí hiệu môđun môđun phải unita 1.1 Môđun cốt yếu, môđun 1.1.1 Các định nghĩa (1) Cho M R – môđun phải N môđun M Môđun N gọi cốt yếu M ký hiệu N e M , với môđun K  M , K  N  K  (Một cách tương đương, N  K  K  ) Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Môđun U gọi với môđun khác không U cốt yếu U 1.1.2 Ví dụ: - M e M ; n e , n  (xem – môđun) - Xét – mơđun Khi mơđun - Xét – mơđun Khi mơđun 1.1.3 Tính chất (1) Cho N mơđun M Khi N e M  xR  N  0,0  x  M  A e N N  M  e  (2) Cho A  N  M Khi A e M   (3) Cho A e M B e M A  B e M (4) Cho A  N  M N A e M A N e M Chứng minh (1) () Do  x  M nên  xR  M Do N e M nên N  xR  () Lấy  A  M  0  x  A Ta có N  xR  mà xR  A  N  A  Vậy N e M (2) () * Chứng minh A e N Lấy  X  N  M Do A e M nên A  X  Vậy A e N * Chứng minh N e M Lấy  Y  M Do A e M nên A Y  Mà A  N nên N Y  Vậy N e M () Chứng minh A e M Thật vậy, lấy  X  M Do N e M nên N  X  Đặt B  N  X  N Do A e N nên A  B   A  N  X   A  X  Vậy A e M (3) Lấy  X  M Do B e M nên B  X  B  X  M Do A e M nên A  (B  X )   ( A  B)  X  Vậy A  B e M (4) Lấy X  M cho N  X  Khi đó, N  ( A  X )  A , từ ta suy N A  ( A  X ) A  Do N A e M A nên ( A  X ) A  hay A  X  A Vậy X  hay N e M 1.2 Mơđun đóng mơđun bù giao 1.2.1 Các định nghĩa (1) Môđun A môđun M hạng tử trực tiếp M tồn môđun B M cho A  B  A  B  M , M  A  B (2) Mơđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói khác N gọi đóng M với mơđun K  M mà N e K K  N Ví dụ: A, B hai mơđun M thỏa M  A  B mơđun B đóng M (3) Mơđun K M gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K (4) Cho môđun M A, B hai môđun M Môđun B gọi bù giao A M B môđun tối đại môđun M thỏa B  A  (5) Môđun B M gọi bù giao M A  M mà B bù giao A M (6) Bổ đề Zorn Giả sử ( X; ), X  tập thứ tự thỏa mãn điều kiện: xích X có cận X có phần tử tối đại, nghĩa tồn a  X mà a  x, x  X a  x (7) Đơn cấu f : N  M gọi chẻ Im f  M tồn đồng cấu g : M  N để gf  1N 1.2.2 Hệ Bao đóng môđun N M luôn tồn tại, (xem [5] trang 19) Ví dụ: Xét – mơđun, có bao đóng 1.2.3 Mệnh đề Khái niệm đóng bù giao tương đương (tức K mơđun đóng K bù giao M ngược lại) Chứng minh () Giả sử K đóng Ta chứng minh K bù giao   Xét   X  M X  K  Do      Sắp thứ tự theo quan hệ  ta kiểm tra  thỏa mãn điều kiện bổ đề Zorn Suy  có phần tử tối đại ký hiệu A Từ ta chứng minh K bù giao A () Giả sử K bù giao Chứng minh K đóng Thật vậy, giả sử K e X  M Ta chứng minh X = K Do K bù giao  A  M để K  A  K tối đại có tính chất Ta có X  A  (vì X  A   a  X, a  A, a   aR  X; aR  A Do K e X  aR  K  k   AK  k  (vơ lí A  K  )) Nếu X  K  x  X \ K, x  Xét xR  X Khi K  K  xR, (K  xR)  A  (vì a  A  (K  xR)  a  A a  xR ) K  X  k  xr  X Suy a  X  a  (do X  A  ) Điều Do    xR  X mâu thuẫn với tính tối đại K với tính chất K  A   X  K Vậy K đóng 10 1.2.4 Mệnh đề Nếu K môđun M L phần bù giao K Khi đó: (i) L mơđun đóng M (ii) L  K môđun cốt yếu M Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 1.2.3 (ii) Ta cần chứng minh L  K e M Thật vậy, lấy  N  M N  (K  L)  N  K  N  L  (N  L)  K  (vì n + l = k n = k – l hay n  N n  K  L n = k – l = 0) Lúc theo tính tối đại L N  L  L hay N = Điều mâu thuẫn với giả thiết N  Vậy N  (K  L)  hay L  K e M 1.3 Môđun M – nội xạ 1.3.1 Định nghĩa Giả sử M N hai R – môđun phải Môđun N gọi M – nội xạ môđun A M đồng cấu môđun f : A  N mở rộng thành đồng cấu g : M  N (nghĩa biểu đồ giao hoán g.i = f, với i phép nhúng đồng nhất) i A M f g N 1.3.2 Bổ đề Nếu N M – nội xạ đơn cấu f : N  M chẻ Nếu thêm điều kiện M khơng phân tích f đẳng cấu Chứng minh 26 (3) Cho X môđun A f : X  N đơn cấu Khi X môđun M, N M – giả nội xạ, nên f mở rộng thành đồng cấu f *: M  N Thu hẹp f * : A  N đồng A cấu mở rộng f Do N A – giả nội xạ (4) Giả sử N môđun M – giả nội xạ, N  A  A' Cho X môđun M f : X  A đơn cấu Xác định g : X  N  A  A ' cho g ( x)   f ( x),0 Do g đơn cấu N M – giả nội xạ nên g mở rộng thành đồng cấu g*: M  N Cho  A : N  A  A '  A phép chiếu tự nhiên Thì  A g*: M  A đồng cấu mở rộng f Vì A M – giả nội xạ (5) Cho N M – giả nội xạ đơn cấu  : E(M )  E( N ) Xác định X  m  M : (m)  N  , ta có  X : X  N đơn cấu N M – giả nội xạ nên  X mở rộng thành đồng cấu  : M  N Cho n  N , m  M mà (   )(m)  n   (m)   (m)  n  N  m X Mặt khác n   (m)   (m)   (m)   (m)  (vì m X nên  (m)   (m) )  n (   )(M ) Do đó, N  (   )(M )  n  Theo định nghĩa bao nội xạ ta có N e E( N ) nên (   )(M )  ,  (M )   (M ) Mà  (M )  N nên  (M )  N 27 Đặc biệt, P giả nội xạ P P – giả nội xạ, theo chứng minh ta có  (P)  P (6) Giả sử f : E( A)  E(B) đẳng cấu Ta có B A – giả nội xạ nên f ( A)  B (theo Mệnh đề 2.1(5))     Tương tự f 1(B)  A Ta có B  ff 1 (B)  f f 1(B)  f ( A)  B Vậy f ( A)  B , f A : A  B đẳng cấu Như A  B Ta lại có A B – giả nội xạ B  A nên A A – giả nội xạ Vậy A giả nội xạ 2.2.2 Định lí Nếu M1  M giả nội xạ, M1 M2 nội xạ lẫn Chứng minh Giả sử M1  M giả nội xạ, ta chứng minh M1 M2 – nội xạ, M2 M1 – nội xạ chứng minh tương tự Thật vậy, với A  M , với đồng cấu f : A  M1 Xác định g : A  M1  M cho g (a)  ( f (a), a) (với a  A ) Ta chứng minh g đơn cấu Thật vậy, ta có:   ker ( g )  a  A : g (a)  0  a  A :  f (a), a    a  A : a  0  0 Vậy g đơn cấu Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có M1  M M2 – giả nội xạ, nên g mở rộng thành đồng cấu g*: M  M1  M Nếu 1 : M1  M  M1 phép chiếu tự nhiên 1g*: M  M1 đồng cấu mở rộng f Do đó, M1 M2 – nội xạ 28 M i mơđun giả – nội xạ, Mj Mk – nội xạ 2.2.3 Hệ Nếu i  với i  j, i, j  Chứng minh Suy từ Định lí 2.2.2 2.2.4 Hệ Với số nguyên n  2, M n giả – nội xạ M tựa – nội xạ Chứng minh () Nếu M n giả – nội xạ, theo Hệ 2.2.3, M M – nội xạ, nghĩa M tựa – nội xạ () Nếu M tựa – nội xạ, M n tựa – nội xạ, M n giả nội xạ 2.2.5 Nhận xét Pandeya and Koirala (2001, Corollary 2.10), khẳng định “Nếu M giả – nội xạ tổng trực tiếp hữu hạn M n giả – nội xạ” Tuy nhiên M n giả – nội xạ số n  , theo Hệ 2.2.4 nói M tựa – nội xạ có mơđun giả – nội xạ khơng tựa – nội xạ Ví dụ: Cho R đại số e1,e2 ,e3, n1, n2 , n3, n4 với bảng nhân sau đây: / (2) có sở 29 e1 e2 e3 n1 n2 n3 n4 e1 e1 0 0 n3 e2 e2 n1 0 n4 e3 0 e3 n2 0 n1 n1 0 0 0 n2 n2 0 0 0 n3 0 n3 0 0 n4 0 n4 0 0 R – mơđun phải M  e2 R giả – nội xạ khơng tựa – nội xạ Ví dụ: Cho F  / (2) A  F[X ] Khi A / ( x) ( A / ( x) - A / ( x ) ) – song môđun theo cách tự nhiên  u R   v    0   u, v  A / ( x ),w  A / ( x ) w    vành thông thường Cho M iđian phải    u    0   v  A / ( x ), w  A / ( x ) w    MR giả – nội xạ khơng tựa – nội xạ 2.2.6 Định lí Mọi mơđun giả nội xạ thỏa mãn (C2) Chứng minh Giả sử M môđun giả – nội xạ B môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A M Ta chứng minh B hạng tử trực tiếp M Thật vậy, f : B  A đẳng cấu Khi đó, f đơn cấu từ B vào 30 M Vì M M – giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.2.1(4) A M – giả nội xạ nên B M – giả nội xạ, từ chổ B M – giả nội xạ Do đó, theo Mệnh đề 2.2.1(1) f chẻ ra, nghĩa B hạng tử trực tiếp M hay M thỏa mãn (C2) 2.2.7 Nhận xét Một môđun giả nội xạ không cần thiết CS mơđun: Cho M mơđun có sơ đồ môđun M N1  N2 N2 N1 N1 không đẳng cấu đến N Khi (i) M khơng tựa – nội xạ (ii) M giả nội xạ tự đồng cấu vành Ni đẳng cấu với / (2) Chứng minh (i) Đầu tiên lưu ý R – tự đồng cấu f khác không M R – tự đẳng cấu có ker ( f )  N1  N2 Từ điều này, phép chiếu N1  N2 tới N1 (hoặc N ) mở rộng thành tự đồng cấu M Do M không tựa nội xạ 31 Để chứng minh (ii) giả sử tự đồng cấu vành End( Ni ) đẳng cấu với / (2) Từ chổ Ni khơng – đẳng cấu, đơn cấu N1 , N N1  N2 tới M phải phép nhúng nâng lên ánh xạ đồng M Điều cho thấy M giả – nội xạ Ngược lại, giả sử M giả – nội xạ Giả sử f1, f2 hai phần tử thuộc End(N1) khác khác Xác định R – đồng cấu đồng gi : N1  N2  M cho gi (n1  n2 )  fi (n1)  n2 , n1  N1, n2  N2 , i  1, Khi gi R – đơn cấu nâng lên thành R – tự đẳng cấu hi M Đặt h  h1  h2 Thì h  , h không tự đồng cấu ker(h)  N1  N2 Điều mâu thuẫn với khẳng định thực vào đầu chứng minh Do End(N1)  / (2) Tương tự End(N2 )  / (2) 2.2.8 Hệ Một môđun CS giả – nội xạ môđun liên tục Chứng minh Giả sử M môđun CS giả – nội xạ Theo Định lí 2.2.6 M thỏa mãn (C2) Do M CS môđun nên M thỏa mãn (C1) Vậy M môđun liên tục 2.2.9 Các định nghĩa (1) Cho M R – môđun phải m  M Tập hợp rR (m)  r  R : mr  0 gọi linh hóa tử phần tử m viết gọn r(m), rR (M )  r  R : mr  với m  M gọi linh hóa tử mơđun M, viết gọn r(M) 32 Một môđun M gọi trung thành r(M) = (2) Cho R vành S tập khác rỗng vành R (a) Linh hóa tử phải S R r(S)   x  R : sx  với s  S (b) Linh hóa tử trái S R l(S)  x  R : xs  với s  S Nếu tập S gồm phần tử s  R ta viết r(s) l(s) tương ứng (3) Cho R – môđun phải M Tập hợp ZR (M )   x  M : rR ( x) e R gọi môđun suy biến M Nếu ZR (M )  M ta nói M mơđun suy biến ZR (M ) = ta nói M môđun không suy biến (4) Một PCI – D miền phải miền mà D – môđun cyclic phải nội xạ 2.2.10 Nhận xét Một môđun liên tục không cần thiết môđun giả nội xạ Ví dụ: Cho D PCI – miền phải, khơng phận vành Theo ví dụ Cozzens (1970), D tồn Bây cho E(D) bao nội xạ D (giống vành cổ điển bên phải D) E(D)/D nửa đơn, E(D) có mơđun M tối đại chứa D Khi M D – mơđun phải liên tục (theo Huynh Rizvi (1997)) Rõ ràng, M khơng giả nội xạ, khơng M sẻ nội xạ Hệ 2.3.4 phần Do đó, có mở rộng sau: Nội xạ  tựa – nội xạ  liên tục  tựa – liên tục  CS 33 giaû nôi xạ  (C3 )  (C2 )  Nội xạ  tựa nội xạ    giả nôi xạ + CS  liên tục  tựa liên tục  CS 2.3 Môđun M – giả nội xạ M – nội xạ 2.3.1 Các định nghĩa (1) Gọi m số nguyên không nhỏ –1 Một mơđun X R gọi có số chiều xạ ảnh R (hay số chiều đồng R)  m tồn phép giải xạ ảnh C X thỏa mãn Cn = với n > m Nếu không tồn số ngun thế, mơđun X gọi có số chiều xạ ảnh  ; trường hợp trái lại, số nguyên bé m gọi số chiều xạ ảnh (trên R) môđun X ký hiệu dimR(X) (2) Điều kiện (A2) Mohamed and Muller (1990) định nghĩa sau: Đối với lựa chọn x  M (  I ) mi  Mi cho ta i  I (i  ) cho ann(mi )  ann( x) , in ann(mi ) (n  ) thứ tự tăng dần trở nên đứng yên (3) Một họ  X   môđun môđun M gọi tổng trực tiếp địa phương M X   trực tiếp trực tiếp M với tập hợp hữu hạn F   X tổng  F 34 (4) Một môđun M vành R gọi có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn không tồn tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M Ngược lại, ta nói M có chiều Goldie vơ hạn Giả sử R vành, ta gọi chiều Goldie phải R chiều Goldie R – môđun phải R, gọi chiều Goldie trái R chiều Goldie R – mơđun trái R 2.3.2 Định lí Cho R vành Khi đó: (1) Mỗi R – mơđun phải giả – nội xạ không suy biến tựa – nội xạ (2) Nếu R Noether phải M R – mơđun phải giả – nội xạ khơng suy biến có chứa mơđun tối đại tựa – nội xạ E mà E cốt yếu M Trong trường hợp này, môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M, M  E , nghĩa M tựa nội xạ Chứng minh (1) Giả sử U R – môđun giả – nội xạ không suy biến đều, cho V môđun U, cho f :V U đồng cấu Do U không suy biến nên ker ( f )  ker ( f )  V Nếu ker ( f )  V , f mở rộng thành đồng cấu tầm thường g :U U Nếu ker ( f )  , f đơn cấu U giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu h :U U Do U tựa nội xạ (2) Giả sử R Noether phải cho MR mơđun giả nội xạ khơng suy biến Thì M có chứa mơđun cốt yếu E   Ei iI 35 Ei Ta giả sử Ei mở rộng cốt yếu tối đại M Do M khơng suy biến, Ei xác định mở rộng cốt yếu tối đại (trong M) môđun khác khơng Cho fi : Ai  E j đồng cấu Ai mơđun Ei Nếu f i  f i đơn cấu Do f i mở rộng thành đồng cấu f i* : M  M Như f i* Ei đơn cấu, f i* ( Ei ) với E j  fi* (Ei )  Hơn nửa M /E j không suy biến Suy fi* ( Ei )  E j Điều cho thấy f i* : Ei  E j mở rộng f Do Ei E j Ei – nội xạ với i, j  I Theo Mohamed and Muller (1990, Pro1.18), môđun E   Ei tựa – nội xạ (chú ý phần iI này, ta cần giả sử R có chiều phải hữu hạn) Giả sử có mơđun X  M tựa – nội xạ chứa E Cho F  I tập hữu hạn, cho T   Ei Ta chứng minh quy nạp iF n  F mà T hạng tử trực tiếp X Với n = 1, ta có Ei1 bị đóng M bị đóng X, hạng tử trực tiếp X Giả sử phát biểu với tất tập I với lực lượng < n   Khi X  Ei1  Ei2   Ein1  Y Sử dụng luật modular ta có Ei1  Ei2   Ein1  Ein  Ei1   Ein1  Z   Z  Ei1   Ein1  Ein Y Rõ ràng Z  Ein 36 Cho Z* mở rộng cốt yếu tối đại Z X, cho u : Z  Ein đẳng cấu Thì U mở rộng thành đồng cấu u*: X  X Do u * Z* đơn cấu nên u *(Z *) mơđun chứa Ein Vì Ein đóng M, ta có u *(Z *)  Ein Từ Z = Z*, nghĩa Z hạng tử trực tiếp Y Vậy Ei iI hạng tử trực tiếp địa phương X Theo Mohamed and Muller (1990, Pro.2.18), E hạng tử trực tiếp X Nhưng E cốt yếu X Do E = X Ta xét trường hợp môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Lập luận tương tự ta có Ei iI hạng tử trực tiếp địa phương M Khi R Noether E cốt yếu M ta có M = E 2.3.3 Hệ (Jain and Singh, 1975, Theorem 6) Trên vành R Goldie phải Mỗi M R – môđun phải giả nội xạ khơng suy biến nội xạ Chứng minh M có chứa K môđun nội xạ tối đại Nếu K khơng cốt yếu M, có mơđun khác không U  M mà U  K  Vì R Goldie phải M không suy biến, ta giả sử U Ta giả sử U bị đóng M Theo Định lí 2.3.2(2) ta có U tựa – nội xạ Thì U n tựa – nội xạ cho n  (cf Mohamed and Moller, 1990, Cor.1.19) Hơn nữa, U chứa iđian phải R Cho m chiều đồng RR Từ R vành Goldie phải, U m chứa iđian phải cốt yếu H R, H chứa phần tử 37 quy c  R , mà RR  cR Do U m chứa RR U m nội xạ Do K U nội xạ, mâu thuẩn với tính tối đại K M Do K cốt yếu M, K = M 2.3.4 Hệ Trên D PCI – miền phải, môđun phải giả – nội xạ nội xạ Chứng minh Cho M D – môđun phải giả – nội xạ Vì D – mơđun phải suy biến nội xạ M  Z (M )  M ' Z (M ) mơđun suy biến M ' môđun không suy biến M Nếu M '  , Hệ chứng minh Giả sử M '  theo Hệ 2.3.3 M ' nội xạ Do M nội xạ 2.3.5 Định lí Cho M môđun không suy biến M   M i tổng iI trực tiếp môđun M i Khi M tựa – nội xạ M giả – nội xạ Chứng minh Giả sử M giả – nội xạ Theo Định lí 2.3.2.(1), M i tựa nội xạ Điều theo Hệ 2.2.3 ta có M i M j – nội xạ với i, j  I Cho C  M mơđun đóng Theo Bổ đề Zorn có tập hợp H  I tối đại điều kiện C  S (H )  , S( H )   M i Do M *  C  S (H ) cốt yếu M Nếu M  M * , iH có i  I \ H M i  C Vì H tối đại nên M i  C  Vì M 38 khơng suy biến, ta có M i  C , mâu thuẩn Do M  M *  C  S (H ) Điều cho thấy M CS môđun Theo Hệ 2.2.8, M liên tục Do theo Mohamed and Muller (1990, Theorem 3.16), R thỏa mãn điều kiện (A2) xác định M Thì theo Mohamed and Muller (1990, Pro 1.18), M tựa – nội xạ 2.3.6 Mệnh đề Cho M môđun giả – nội xạ không suy biến tất môđun M CS Thì M tựa nội xạ Chứng minh Cho A  M môđun cho f : A  M đồng cấu Vì A CS, A  B  C C chứa Ker ( f ) mơđun cốt yếu Vì A Ker ( f ) nhúng M, A Ker ( f ) không suy biến Ker ( f ) mơđun đóng A, nghĩa A  B  Ker ( f ) Ta có f B đơn cấu Vì M CS, M  B*  D , B cốt yếu B* Từ chổ B* giả – nội xạ, f B mở rộng thành đồng cấu g : B*  B* Với x  M , ta có x  b  d (b  B*, d  D) Ta xác định ánh xạ f * : M  M cho f * ( x)  g (b) Khi f * đồng cấu mở rộng f Vậy M tựa – nội xạ 39 Kết luận Nội dung luận văn trình bày lại cách có hệ thống làm chi tiết thêm kết liên quan đến môđun giả – nội xạ Cụ thể hồn thành vấn đề sau: Trình bày lại khái niệm môđun M – giả nội xạ, mơđun giả nội xạ Trình bày số tính chất môđun M – giả nội xạ Trong phần cố gắng chứng minh chi tiết tính chất số nhận xét mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt Trình bày số tính chất mối quan hệ môđun M – giả nội xạ M – nội xạ 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2008), Cở sở lí thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh H.Q Dinh (2005), A note on pseudo – injective modules, Communications in Algebra, 33: 361 – 369 [4] F Kasch, (1977), Modules und ringe, Stuttgart [3] [5] S.H Mohamed and B.J Muller, (1990), Continuous and Discrete Modules, Cambritdge Univ.Press ... lại số tính chất m? ?đun M – giả nội xạ Đề tài luận văn ? ?M? ??t số tính chất m? ?đun M – giả nội xạ? ?? Ngồi ra, chúng tơi t? ?m hiểu th? ?m m? ?đun tựa – nội xạ m? ??i liên hệ m? ?đun M – giả nội xạ m? ?đun M – nội xạ. .. 2.2 M? ??t số tính chất m? ?đun M – giả nội xạ 2.2.1 M? ??nh đề (1) Nếu N M – giả nội xạ đơn cấu f : N  M chẻ (2) N nội xạ N M – giả nội xạ với M (3) Nếu N M – giả nội xạ N A – giả nội xạ với m? ?đun A M. .. – nội xạ  1.4 M? ?đun nội xạ m? ?đun tựa nội xạ 1.4.1 Định nghĩa (1) M? ?đun N gọi nôi xạ N M – nội xạ, với m? ?đun M (2) M? ?đun N gọi tựa nội xạ N N – nội xạ (3) Bao nội xạ m? ?đun M, kí hiệu E (M) , m? ?đun