Một số tính chất cơ sở của vành va iđêan trong vành giao hoán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN LÊ NHƯ HẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ SỞ CỦA VÀNH VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH GIAO HOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ Cán hướng dẫn: TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số kiến thức sở vành giao hoán 1.1 Vành 1.2 Các phần tử đặc biệt vành 1.3 Các cấu trúc vành 1.4 Đồng cấu vành 1.5 Vành thương 3 10 13 Các phép toán iđêan 17 2.1 Một số iđêan đặc biệt 17 2.2 Các phép toán iđêan 20 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Vành cấu trúc quan trọng Đại số Hầu hết tập hợp số đối tượng nghiên cứu chương trình phổ thơng có cấu trúc vành Chẳng hạn vành số nguyên Z, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C, vành đa thức Z[x], Q[x], R[x], C[x], Vành đưa vào giảng dạy môn Đại số đại cương chương trình đào tạo đại học Tuy nhiên, sinh viên biết sơ qua cấu trúc vành Vì dựa vào tài liệu tham khảo, khóa luận tìm hiểu sâu cấu trúc vành giao hoán iđêan chúng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung Khóa luận viết thành hai chương Chương trình bày số kiến thức sở vành giao hốn Chương trình bày số iđêan đặc biệt phép tốn iđêan Nội dung Khóa luận tham khảo chủ yếu dựa vào [3] Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày lại kết làm số tập [3] Trong trình viết khóa luận, tác giả hướng dẫn, góp ý nhiệt tình mặt nội dung cách trình bày khóa luận TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả trân trọng gửi tới TS Nguyễn Thị Hồng Loan lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo tổ môn Đại số khoa Toán tạo điều kiện cho tác giả học tập nghiên cứu suốt khóa học Mặc dù cố gắng, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thêm từ thầy bạn để khóa luận trở nên hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành tập hợp R = φ, trang bị hai phép toán phép cộng nhân sau: Phép cộng: + : R×R → R (x; y) → x + y Phép nhân: · : R×R → R (x; y) → xy thỏa mãn điều kiện sau: i) (R, +) nhóm Abel; ii) (R, ·) nửa nhóm; iii) Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, tức là, với phần tử x, y, z ∈ R tùy ý ta có: (x + y)z = xz + yz z(x + y) = zx + zy Ta kí hiệu vành với hai phép toán (R, +, ·) 1.1.2 Nhận xét - Vành R gọi vành giao hốn phép nhân có tính chất giao hốn, nghĩa với x, y ∈ R xy = yx - Vành R gọi có đơn vị phép nhân có phần tử đơn vị - Phần tử đơn vị phép cộng ta gọi phần tử khơng vành kí hiệu 0, phần tử đơn vị phép nhân (nếu có) ta gọi phần tử đơn vị vành kí hiệu - Trường hợp vành R có phần tử đơn vị phần tử khơng, ∀x ∈ R ta có: x=x·1=x·0=0 vành R có phần tử R = {0} ta gọi vành khơng, kí hiệu - Cho R vành giao hốn có đơn vị, tồn số nguyên m cho mx = 0, ∀x ∈ R, ta nói R vành với đặc số hữu hạn Số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn nx = 0, ∀x ∈ R gọi đặc số vành R Nếu n = số nguyên thỏa mãn nx = 0, ∀x ∈ R R gọi vành có đặc số - Trong khóa luận này, xét đến vành vành vành giao hốn có đơn vị 1.1.3 Ví dụ - Cho Z, Q, R, C tập hợp số tự nhiên, số hữu tỉ, số thực số phức Khi với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành tương ứng (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) Hơn chúng vành giao hốn có đơn vị - Cho Zn = {0, 1, , n − 1} tập hợp số nguyên modulo n, với phép cộng nhân là: ∀x, y ∈ Zn ; x + y = x + y, x · y = x · y Khi Zn vành giao hốn có đơn vị 1.1.4 Ví dụ Cho R vành giao hốn có đơn vị - Một đa thức R tổng hình thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn a0 , a1 , , an ∈ R an = n > 0, hệ tử đa thức f (x), a0 gọi hệ tử tự do, an gọi hệ tử có bậc cao nhất, n gọi bậc đa thức kí hiệu deg (f (x)) Khi f (x) = a, a ∈ R, a = đa thức có bậc 0, cịn a = ta nói đa thức khơng có bậc Đặt n R [x] = {f (x) = xi |i ∈ N, ∈ R} n i i=0 x , g (x) Giả sử f (x) = nghĩa hai phép toán sau: - Phép cộng: f (x) + g (x) = = n i=0 i=0 m i i=0 bi x ∈ R [x] , n > m, ta định (a1 + bi ) xi , bi = ∀i > m; - Phép nhân: f (x) g (x) = m+n i=0 ck xk ; ck = aj , k = 1, , n + m i+j=k Khi ta dễ dàng kiểm tra R [x] vành giao hốn có phần tử đơn vị 1R (và phần tử không 0R ) Vành R [x] gọi vành đa thức ẩn x với hệ số R 1.2 Các phần tử đặc biệt vành 1.2.1 Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị Phần tử a ∈ R gọi khả nghịch vành R ∃b ∈ R; cho ab = Phần tử b xác định kí hiệu a−1 gọi phần tử nghịch đảo a Các phần tử khả nghịch vành R lập thành nhóm nhân giao hốn Trong vành R giao hốn có đơn vị, phần tử khác khơng khả nghịch ta gọi vành trường 1.2.2 Ví dụ - Trong vành số nguyên Z có hai phần tử khả nghịch −1 - Trong vành số hữu tỉ vành số thực, phần tử khác không khả nghịch - Trong vành Z [x] , có hai phần tử −1 khả nghịch 1.2.3 Định nghĩa Trong vành giao hoán R, phần tử x gọi ước không x = ∃y ∈ R, y = cho xy = Một vành giao hốn có đơn vị khơng có ước không gọi miền nguyên 1.2.4 Ví dụ - Trong vành Z6 , 2, 3, ước khơng · = 0, · = - Zn miền nguyên n số nguyên tố 1.2.5 Định nghĩa Cho R vành, x ∈ R gọi phần tử lũy linh ∃n ∈ N∗ cho xn = Như phần tử lũy linh ước khơng, ngược lại không 1.2.6 Nhận xét Nếu a phần tử lũy linh vành R ∀x ∈ R, xa phần tử lũy linh vành R Thật vậy, a lũy linh, nên ∃n ∈ Z, an = Mặt khác, R vành giao hoán nên (xa)n = xn an = Như xa lũy linh 1.2.7 Ví dụ - Trong vành R tùy ý, phần tử lũy linh - Trong vành Z8 , 0, 2, lũy linh = 0, = 1.2.8 Mệnh đề Cho x phần tử lũy linh vành R Khi + x phần tử khả nghịch vành R Chứng minh Vì x phần tử lũy linh vành R nên ∃n ∈ Z, xn = ⇒ (−x)n = (−1)n xn = hay −x phần tử lũy linh Ta có: = − = − (−x)n = (1 + x)(1 − x + + (−x)n−1 ) Như + x phần tử khả nghịch 1.2.9 Hệ Cho x phần tử lũy linh, u phần tử khả nghịch vành R, u + x phần tử khả nghịch vành R Chứng minh Vì u khả nghịch nên ∃u−1 , cho uu−1 = Khi đó, u + x = u(1 + u−1 x), theo Nhận xét 1.2.6 suy u + x phần tử khả nghịch 1.2.10 Mệnh đề Giả sử R vành giao hốn, có đơn vị R [x] vành đa thức biến với hệ tử R Cho f ∈ R[x] f = a0 + a1 x + + an xn , n ∈ N Khi đó: i) f khả nghịch R[x] a0 khả nghịch a1 , , an phần tử lũy linh vành R ii) f lũy linh a0 , a1 , , an lũy linh iii) f ước không tồn = a ∈ R, af = Chứng minh i) ( ⇐ ) Giả sử a0 khả nghịch, lũy linh ∀i = 1, n Khi xi lũy linh nên a1 x + + an xn lũy linh Vì a0 khả nghịch nên theo Hệ 1.2.9, f khả nghịch ( ⇒ ) Giả sử f khả nghịch, tìm g = b0 + b1 + + bm cho f · g = Ta có f · g = 1, không nên: = = = = tính tổng qt ta giả thiết n ≥ m a0 b0 an b m an bm−1 + an−1 bm (1) (2) an b0 + an−1 b1 + + an−m bm (m) Nhân hai vế phương trình (2) với an suy = a2n bm−1 Thực liên tiếp việc nhân phương trình thứ (i) với ai−1 , ta suy = am+1 b0 n Vì a0 b0 = nên am+1 = am+1 a0 b0 = Như an lũy linh n n n Vì an lũy linh ⇒ an x lũy linh, f khả nghịch ⇒ f − an xn khả nghịch Làm lại thao tác tương tự với f = f − an xn , f = f − an−1 xn−1 , , ta suy lũy linh ∀i = 1, n ii) ( ⇐ ) Nếu a0 , a1 , , an lũy linh rõ ràng f lũy linh ( ⇒ ) Giả sử f lũy linh f lũy linh nên + f khả nghịch Theo i) suy + a0 khả nghịch lũy linh ∀i = 1, n Mặt khác, f lũy linh nên: ∃m ∈ N, f m = 0, tức (a0 + a1 x + + an xn )m = lũy linh ∀i = 1, n nên a = a1 x + + an xn lũy linh k m−k k ⇒ (a0 + a)m = ⇒ am a =0 + C m a0 k m−k k m ⇒ a0 = −Cm a0 a k m−k k Vì a lũy linh nên Cm a0 a lũy linh Điều chứng tỏ a0 lũy linh iii) ( ⇒ ) Giả sử f ước không, f = a0 + a1 x + + an xn Gọi g = b0 + b1 x + + bm xm đa thức có bậc nhỏ cho f · g = Ta có: = f g = (a0 + a1 x + + an xn )(b0 + b1 x + + bm xm ) = a0 b0 + an bm + m+n−1 ci x i ∀x ∈ R i=1 ⇒ a0 b0 = 0, ci = 0, an bm = Giả sử an g = ta có deg(an g) = deg(an ) + deg(g), deg(an · g) ≤ m−1 ⇒ mâu thuẫn ⇒ an g = deg(an ) + deg(g) = m Từ f g = 0, an g = ⇒ (a0 + a1 x + + an xn ) · g = 0, an g = ⇒ (a0 + a1 x + + an−1 xn−1 ) · g = Chứng minh tương tự ta suy an−1 g = ⇒ an−1 bm = Nếu tiếp tục thao tác ta suy an−i g = ∀i = 0, n hay an−i bm = ∀i = 0, n Như ∃bm , bm f = ( ⇐ ) Điều ngược lại hiển nhiên 1.3 Các cấu trúc vành 1.3.1 Định nghĩa Cho R vành, A ⊆ R, Khi A gọi vành R A khép kín với hai phép toán R với hai vành phép tốn lập thành vành Ta kí hiệu A ⊆ R 1.3.2 Ví dụ - Một vành ln có hai vành tầm thường R - Mọi nhóm Z có dạng mZ nên ta dễ dàng chứng minh vành Z có dạng mZ với m ∈ N Từ định nghĩa vành con, ta dễ dàng suy mệnh đề sau 1.3.3 Mệnh đề Cho R vành, ∅ = A ⊆ R Khi đó, A vành R với a, b ∈ A a − b ∈ A ab ∈ A 1.3.4 Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị, I vành vành R Khi I gọi iđêan R nếu: ∀a ∈ I, ∀x ∈ R ⇒ ax ∈ I Ta kí hiệu I R 1.3.5 Ví dụ - Trong vành R ln có hai iđêan tầm thường R - Trong vành số ngun Z, theo Ví dụ 1.3.2 vành có dạng mZ, ta dễ dàng kiểm tra chúng iđêan Như iđêan vành số nguyên Z có dạng mZ 1.3.6 Nhận xét Từ định nghĩa, ta thấy: I R⇔ φ=I⊆R a − b ∈ I , ∀a, b ∈ I, ∀x ∈ R ax ∈ I 1.3.7 Bổ đề Cho I1 I2 iđêan vành R Khi I1 ∩ I2 iđêan R Chứng minh Ta có: I1 ⊆ R, I2 ⊆ R nên I1 ∩ I2 ⊆ R ∈ I1 , ∈ I2 nên ∈ I1 ∩ I2 hay I1 ∩ I2 = φ a, b ∈ I a−b∈I Ta lại có: ∀a, b ∈ I1 ∩ I2 ⇒ a, b ∈ I1 ⇒ a − b ∈ I1 ⇒ a − b ∈ I1 ∩ I2 2 a∈I Mặt khác: ∀a ∈ I1 ∩ I2 , ∀x ∈ R ⇒ a ∈ I1 ax ∈ I ⇒ ax ∈ I1 I1 , I2 iđêan ⇒ ax ∈ I1 ∩ I2 Vậy theo Nhận xét 1.3.6 suy I1 ∩ I2 iđêan R n 1.3.8 Định lí Giả sử Ii , ∀ i = 0, n iđêan vành R, Ii i=0 iđêan R Chứng minh Sử dụng Bổ đề 1.3.7 phương pháp quy nạp ta dễ dàng n Ii iđêan R chứng minh i=0 1.3.9 Định nghĩa Cho R vành, tập S ⊆ R Khi giao tất iđêan R chứa S iđêan R chứa S Iđêan gọi iđêan sinh tập S < S > Kí hiệu: iđêan 1.3.10 Nhận xét Cho J ⊆ R, S ⊆ R Khi J = < S > ⇔ J iđêan bé R chứa S S ⊆ J, ⇔ iđêan Nếu K ⊆ R, K ⊇ S ⇒ K ⊇ J + Nếu J = < S > S gọi hệ sinh hay tập sinh J + Iđêan có hệ sinh Hệ sinh iđêan không Nếu tồn hệ sinh J gồm hữu hạn phần tử iđêan J gọi iđêan hữu hạn sinh 1.3.11 Mệnh đề Cho R vành, S = {a0 , a1 , , an } ⊂ R, đó: S = x0 a0 + x1 a1 + + xn an |xi ∈ R, ∀i = 0, n iđêan bé chứa S 17 CHƯƠNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC IĐÊAN 2.1 Một số iđêan đặc biệt 2.1.1 Định nghĩa i) Một iđêan thực I vành R gọi iđêan nguyên sơ ∀a, b ∈ R, ab ∈ I, a ∈ / I ∃n ∈ N, bn ∈ I ii) Một iđêan thực p vành R gọi iđêan nguyên tố ∀a, b ∈ R, ab ∈ p a ∈ p b ∈ p iii) Một iđêan thực M vành R gọi iđêan cực đại ∀I iđêan R , I ⊇ M I = M I = R 2.1.2 Ví dụ Trong vành số nguyên Z cho iđêan I = mZ: i) I iđêan nguyên sơ m = m = pk với p số nguyên tố k ∈ N∗ ii) I iđêan nguyên tố m = m = p với p số nguyên tố iii) I iđêan cực đại m = p với p số nguyên tố 2.1.3 Ví dụ Trong vành đa thức R[x] : i) Iđêan sinh đa thức bất khả quy R[x] iđêan nguyên tố; ii) Iđêan sinh x iđêan cực đại 2.1.4 Định nghĩa Cho R vành giao hốn có đơn vị i) spec(R) tập tất iđêan nguyên tố vànhR, tập spec(R) gọi phổ vành 18 ii) I iđêan vành R, tập V (I) = {p ∈ spec(R)|p ⊃ I} gọi đa tạp xác định iđêan I (hoặc V (I) tập đại số) iii) Nếu vành R có iđêan cực đại ta gọi R vành địa phương Nếu vành có hữu hạn iđêan cực đại ta gọi vành vành nửa địa phương 2.1.5 Ví dụ Trong vành số nguyên Z : spec(Z) = {pZ|p số nguyên tố} V (6Z) = {2Z, 3Z} 2.1.6 Mệnh đề Cho R vành giao hốn có đơn vị, I iđêan vành R Khi đó: i) I iđêan nguyên tố R/I miền nguyên; ii) I iđêan cực đại R/I trường Chứng minh i) (⇒) Giả sử I iđêan ngun tố, R vành giao hốn có đơn vị nhiều phần tử nên R/I khác không, vành giao hốn có đơn vị Ta cần chứng minh R/I không chứa ước không Với x = x + I, y = y + I ∈ R/I ta có: xy = ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = ⇔ xy ∈ I ⇔ x ∈ I y ∈ I(vì I nguyên tố) ⇔ x = y = Vậy R/I không chứa ước không hay R/I miền nguyên (⇐) Giả sử R/I miền nguyên nên R/I có nhiều phần tử hay R = I Giả sử xy ∈ I ⇒ xy = xy = xy ⇒ x = y = ⇒ x ∈ I y ∈ I ⇒ I iđêan nguyên tố ii) (⇒) Vì R vành giao hốn có đơn vị nên R/I vành giao hốn có đơn vị Vì I iđêan cực đại nên = I = R nên R/I có nhiều phần tử Vì I iđêan cực đại nên với x ∈ R, x ∈ / I B = x, I = R Ta có ∈ R nên ∃y ∈ R, a ∈ I cho = xy + a suy = xy + a = xy + a = xy Như y phần tử nghịch đảo x hay R/I trường (⇐) Giả sử I, J hai iđêan vành R, I ⊆ J, I = J suy ∃b ∈ J −I ⇒ b = ⇒ ∃c, bc = ⇒ bc + I = + I ⇒ ∃a ∈ I : bc + a = Vậy ∀x ∈ R ta có x = x · = x(bc + a) = xbc + xa ∈ J Như J = R hay I iđêan cực đại 19 2.1.7 Hệ Cho I iđêan vành R giao hốn có đơn vị, đó: i) I iđêan cực đại ⇒ I nguyên tố ⇒ I nguyên sơ ii) R miền nguyên iđêan nguyên tố Chứng minh i) Theo mệnh đề trên, ta có: I iđêan cực đại ⇒ R/I trường R/I trường suy R/I miền nguyên R/I miền nguyên suy I nguyên tố Rõ ràng I nguyên tố, theo định nghĩa suy I nguyên sơ ii) Ta có R = R/ , nên R miền nguyên R/ hiển nhiên miền nguyên Mà theo mệnh đề trên, R/ miền nguyên nguyên tố 2.1.8 Mệnh đề Trong vành giao hốn có đơn vị ln tồn iđêan cực đại Chứng minh Xét tập hợp ω gồm tất iđêan khác R Khi đó, ω với thứ tự bao hàm theo nghĩa tập hợp lập thành tập hợp thứ tự phận Vì ∈ ω nên ω = φ Giả sử: I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ dãy xích tùy ý iđêan ω Ta chứng minh dãy ω bị chặn Giả sử (Iα ) dãy iđêan ω , cho cặp α, β Iα ⊂ Iβ Iα ⊃ Iβ ∞ Ii iđêan R Mặt khác ∈ / I ∈ / Iα nên I ∈ ω Rõ ràng I = i=1 Và I giới hạn dãy nên theo bổ đề Zorn, ω có phần tử cực đại 2.1.9 Hệ Mỗi iđêan vành giao hốn R, khác R ln nằm iđêan cực đại Chứng minh Gọi I iđêan R khác R Khi R/I = Theo Mệnh đề 2.1.8 vành thương R/I có iđêan cực đại K Khi tồn iđêan M cho K = M/I Vì K cực đại R/I nên M cực đại R 2.1.10 Hệ Giả sử x phần tử không khả nghịch vành R Khi x nằm iđêan cực đại R Chứng minh Vì x khơng khả nghịch nên iđêan sinh x khác R Theo hệ suy iđêan sinh x nằm iđêan cực đại R Như x nằm iđêan cực đại R 20 2.1.11 Mệnh đề Cho R vành giao hốn có đơn vị, R vành địa phương với iđêan cực đại m phần tử x ∈ R\m khả nghịch vành R Chứng minh Giả sử phần tử x ∈ R\m khả nghịch vành R ta cần chứng minh R vành địa phương với iđêan cực đại m Giả sử I iđêan thực tuỳ ý R Ta chứng minh I ⊆ m Giả sử ngược lại I m Khi ∃x ∈ I mà x ∈ / m, nên x khả nghịch x ∈ R\m Do I = R (mâu thuẫn) Vậy I ⊆ m Bây giả sử R vành địa phương với iđêan cực đại m Khi x ∈ R\m x khơng thể khả nghịch trái lại theo hệ x ∈ m, điều mâu thuẫn 2.1.12 Mệnh đề Trong vành chính, iđêan nguyên tố khác iđêan cực đại Chứng minh Gọi = x ∈ R = x Giả sử x ⊂ y , y ∈ / x Ta có: x ⊂ y nên yz ∈ x x ∈ y ⇒ ∃z ∈ R : x = yz ⇒ y ∈ / x ⇒ z ∈ x ⇒ ∃t ∈ R : z = tx ⇒ x = yx = ytx ⇒ yt = ⇒ y = Vậy x cực đại 2.1.13 Mệnh đề Cho R vành mà phần tử x ∈ R, ∃n ∈ N cho xn = x Khi đó, iđêan nguyên tố vành cực đại Chứng minh Gọi p iđêan nguyên tố vành R, x ∈ R\p Như = x ∈ R/p Theo giả thiết ta có: x = xn ⇒ x(xn−1 − 1) = Vì p nguyên tố nên R/p miền nguyên, xn−1 − = ⇒ xn−1 = hay x có phần tử nghịc đảo xn−2 Như R/p trường hay p iđêan cực đại Nếu ∀x ∈ R, x2 = x vành R gọi vành Boolean 2.2 Các phép toán iđêan 2.2.1 Chú ý Cho I, J hai iđêan vành giao hốn R có đơn vị Khi tập hợp: I ∩J 21 I + J = {a + b|a ∈ I, b ∈ J} I : J = {a ∈ R|aJ ⊂ I} = {a ∈ R|ab ∈ I, ∀b ∈ J} iđêan vành R Thật vậy, sau chứng minh điều I ∩ J iđêan vành R, khẳng định chứng minh Chương Rõ ràng I + J ⊆ R, I, J = φ nên I + J = φ Với x, y ∈ I + J tồn a1 , a2 ∈ I; b1 , b2 ∈ J cho x = a1 + b1 , y = a2 + b2 ∈ I + J Vì I, J iđêan nên a1 − a2 ∈ I, b1 − b2 ∈ J Từ suy ra: (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) ∈ I + J hay (a1 + b1 ) − (a2 + b2 ) ∈ I + J nên x − y ∈ I + J Với r ∈ R rx = r(a1 + b1 ) = ra1 + rb1 ∈ I + J (vì I, J iđêan nên ra1 ∈ I, rb1 ∈ J ) Do I + J iđêan vành R Ta có ∀a, b ∈ I : J ∀c ∈ J ac bc ∈ I (ac − bc) ∈ I hay (a − b)c ∈ I Do a − b ∈ I : J Mặt khác, ∀r ∈ R ta có r(ac) = a(rc) ∈ I ∈ I : J, ∀r ∈ R, a ∈ I : J Vậy I : J iđêan vành R Gọi IJ iđêan R sinh tất phần tử dạng ab, a ∈ I b ∈ J Dễ thấy n bi |ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N IJ = i=1 2.2.2 Định nghĩa Cho I, J hai iđêan vành giao hoán R có đơn vị Khi đó: i) I ∩ J gọi giao hai iđêan I J ii) I + J gọi tổng hai iđêan I J iii) IJ gọi tích hai iđêan I J iv) I : J gọi thương I J 2.2.3 Ví dụ Trong vành số nguyên Z, cho hai iđêan I = mZ J = nZ i) I + J = {mx + ny|x, y ∈ Z} = dZ, d = (m, n) ước chung lớn m n ii) I ∩ J = {x|x ∈ I, x ∈ J} = k Z, k = [m, n] bội chung nhỏ m n iii) IJ = mnZ iv) I : J = {a ∈ Z|ab ∈ mZ, ∀b ∈ nZ} = {k ∈ Z|knp = mq vớip, q ∈ Z} = {x · md |d = (m, n), x ∈ Z} = md Z 22 2.2.4 Nhận xét Dựa vào định nghĩa tổng, giao, tích iđêan, ta suy tính chất sau: i) Tính chất giao hốn: Tổng, giao, tích iđêan có tính chất giao hoán ii) Luật modula: Cho I, J, K iđêan vành R, I ⊃ J I ⊃ K thì: I ∩ (J + K) = I ∩ J + I ∩ K iii) Phép nhân phân phối với phép cộng: Cho I, J, K iđêan vành R, I(J + K) = I ∩ J + I ∩ K iv) IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I + J 2.2.5 Chú ý (i) Khi I = 0, ta kí hiệu AnnR (J) := : J gọi linh hoán tử iđêan J (ii) Cho x ∈ R Khi AnnR (x) := AnnR (< x >) = {a ∈ R|ax = 0} (iii) Gọi D tập tất ước không vành R AnnR (x) \{0} D= x∈R x=0 Định lý sau thường gọi Định lí tránh nguyên tố 2.2.6 Định lí Cho vành R (i) Giả sử p1 , p2 , , pn iđêan nguyên tố I iđêan vành n R cho I ⊆ pi Khi ∃i, ≤ i ≤ n : I ⊆ pi i=1 (ii) Giả sử I1 , I2 , , In iđêan vành R p iđêan nguyên tố m vành R cho p ⊇ m Ii Khi ∃i, ≤ i ≤ m : p ⊇ Ii i=1 Ii ∃i, ≤ i ≤ m : p = Ii Đặc biệt, p = i=1 Chứng minh i) Khẳng định i) hoàn toàn với n = Giả sử khẳng định n với n = k Ta xét iđêan p1 , p2 , , pk+1 với I ⊆ pi i=j k+1 Ta giả sử ngược lại ∀j ∈ {1, 2, , k + 1} I không chứa pi i=j k+1 Chọn xj ∈ I\ pi ∀j ∈ {1, 2, , k + 1} i=j 23 n k+1 pi , điều vơ lí xj ∈ I\ Nếu ∃t cho : xt ∈ / pt suy xj ∈ / i=1 pi i=j k+1 mâu thuẫn với giả thiết I ⊆ pi i=1 k+1 Nếu xi ∈ pi ∀i, ta xét phần tử: y = xi x2 xi−1 xi+1 xn i=1 k+1 Ta có: y ∈ I y ∈ / pi (1 ≤ i ≤ k + 1) nên I không chứa pi , mâu i thuẫn Vậy buộc I ⊂ pi ii) Giả sử ngược lại ∀i ∈ {1, 2, , n}, Ii \p = φ Chọn xi ∈ Ii \p, ∀i = 1, 2, , n đặt x = x1 x2 xn , (x ∈ ∩Ii ) ⊂ p nên ∃xj ∈ p nên vơ lí Vậy Ii ⊂ p với i 2.2.7 Định nghĩa Hai iđêan I, J vành R gọi nguyên tố I + J = R 2.2.8 Bổ đề Cho I, J iđêan vành R, chúng nguyên tố Khi đó: I ∩ J = IJ Chứng minh Ta ln có (I + J)(I ∩ J) ⊆ IJ Do I J nguyên tố nên I + J = R Từ suy (I ∩ J) ⊆ IJ Mặt khác theo nhận xét IJ ⊆ (I ∩ J) Vì I ∩ J = IJ 2.2.9 Bổ đề Cho I, J, K iđêan vành R giao hốn có đơn vị Khi đó: i) I ⊆ (I : J); ii) (I : J)J ⊆ I ; iii) (I : J) : K = (I : JK) = (I : K) : J ; iv) ( i Ii : J) = i (Ii : J); v) (I : i Ji ) = i (I : Ji ) Chứng minh i) Ta có ∀x ∈ I xy ∈ I, ∀y ∈ R Do I ⊆ (I : J) ii) Ta có (I : J)J = { n i=1 xi yi |xi ∈ (I : J), yi ∈ J, n ∈ N} Vì xi ∈ (I : J) ⇒ xi yi ∈ I, ∀yi ∈ J, ∀i = 1, 2, , n nên (I : J)J ⊆ I iii) Ta có: n i=1 xi yi ∈ I Do 24 (I : J) : K = {x ∈ R|xa ∈ (I : J), ∀a ∈ K} = {x ∈ R|xab ∈ I, ∀a ∈ K, ∀b ∈ J}(∗) = {x ∈ R|(xb)a ∈ I, ∀a ∈ K, ∀b ∈ J} = {x ∈ R|(xb) ∈ (I : K), ∀b ∈ J} = (I : K) : J Mặt khác, từ (*) suy ni=1 xki ji ∈ I ⇒ x ni=1 ki ji ∈ I ⇒ x ∈ (I : JK) Do (I : J) : K ⊆ I : JK Giả sử x ∈ (I : JK) ⇒ x ni=1 ki ji ∈ I, ∀ki ∈ K, ji ∈ J ⇒ xji ki ∈ I ⇒ x ∈ (I : J) : K Suy I : JK ⊆ (I : J) : K Do I : JK = (I : J) : K iv) Với n = 2, mệnh đề tương đương với (I ∩ J) : K = (I : K) ∩ (J : K) Ta có: x ∈ (I ∩ J) : K ⇔ xK ⊂ (I ∩ J) ⇔ xK ⊂ I xK ⊂ J ⇔ x ∈ I : K x ∈ J : K ⇔ x ∈ (I : K) ∩ (J : K) Vậy mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n = k − 1, ta cần chứng minh mệnh đề với n = k Theo giả thiết quy nạp k−1 ( k−1 I1 ) : J = i=1 k Ta có ( i=1 k−1 k−1 Ii ) ∩ Ik ) : J = ( Ii ) : J = (( i=1 (Ii : J) i=1 k Ii : J) ∩ (Ii : J) = i=1 Ii : J i=1 Vậy mệnh đề với n = k hay iv) v) Với n = 2, mệnh đề trở thành: I : (J + K) = IJ ∩ IK Ta có x ∈ I : (J + K) ⇔ x(J + K) ⊂ I ⇔ xJ + xK ⊂ I ⇔ xJ ⊂ I xK ⊂ I ⇔ x ∈ (I : J) x ∈ (I : K) ⇔ x ∈ (I : J ∩ I : K) Vậy mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n = k − ta cần chứng minh mệnh đề với n = k Theo giả thiết quy nạp ta có: n I: i=1 k−1 Ji = (I : Ji ) i=1 Từ suy I:( k−1 i=1 Ji +Jk ) = (I : k−1 i=1 k−1 Ji )∩(I : Jk ) = k (I : Ji )∩(I : Jk ) = i=1 (I : Ji ) i=1 Vậy mệnh đề với n = k hay v) 2.2.10 Nhận xét Cho I iđêan vành R Tập Rad(I) xác định sau: Rad(I) = {r ∈ R|∃n ∈ N : rn ∈ I} 25 iđêan R Thật vậy: • Với x ∈ R, r ∈ Rad(I) tồn n ∈ N cho rn ∈ I , xn rn ∈ I nên (xr)n ∈ I hay xr ∈ Rad(I) • Với r1 , r2 ∈ Rad(I) tồn m, n ∈ N cho r1m ∈ I, r2n ∈ I Ta có r1k ∈ I k ≥ n r2m+n−k ∈ I k < n (r1 − r2 )m+n = m+n k=0 k (−1)m+n−k Cm+n r1k r2m+n−k ∈ I Nên r1 − r2 ∈ Rad(I) Như Rad(I) iđêan vành R 2.2.11 √ Định nghĩa Tập Rad(I) gọi iđêan I, cịn kí hiệu I 2.2.12 Định nghĩa Căn iđêan không gọi lũy linh Khi ta kí hiệu N Khi đó: N = {x ∈ R|∃n ∈ N : xn = 0} Như phần tử lũy linh phần tử lũy linh 2.2.13 Định nghĩa Tập hợp J(R) giao tất iđêan cực đại vành R gọi Jacobson vành R 2.2.14 Định lí Căn iđêan I vành giao hoán R giao tất iđêan nguyên tố vành R chứa I Chứng minh Gọi Rad(I) iđêan I , P giao tất iđêan nguyên tố vành R chứa I Giả sử p ∈ V (I), với x ∈ Rad(I), tồn n ∈ N cho xn = a ∈ I , mà a ∈ I ⊂ p nên suy x ∈ p Vậy x ∈ P hay Rad(I) ⊂ P Ngược lại, với x ∈ P , ta xét tập S = {1, x, x2 , , xn , } Giả sử x ∈ / Rad(I), ∀a ∈ I a ∈ / S nên tập ω = {J|J iđêan R, J ∩ S = φ} khác rỗng 26 Jt ∈ ω cận Nếu (Jt )t∈T dãy ω dễ dàng thấy J = t∈T dãy Do theo Bổ đề Zorn, ω có phần tử cực đại Q Vì Q ∈ ω nên Q ∩ S = φ Ta chứng minh Q iđêan nguyên tố Thật vậy, ∀a, b ∈ R\Q Q + aR Q + bR hai iđêan chứa Q, chúng khơng thuộc ω (vì Q iđêan cực đại ω ) Do tồn s, s ∈ S cho: s ∈ Q + aR, s ∈ Q + bR Khi đó, ss ∈ (Q + aR)(Q + bR) = Q + abR, suy (Q + abR) ∩ S = φ Q + abR không chứa Q hay ab ∈ / Q Vậy Q iđêan nguyên tố, x ∈ Q Điều suy Q ∩ S = φ, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng, nên x ∈ Rad(I) Do P ⊂ Rad(I) Như Rad(I) = P Định lý chứng minh 2.2.15 Hệ Căn lũy linh vành giao hốn có đơn vị giao tất iđêan nguyên tố vành Chứng minh Ta áp dụng định lí với iđêan I iđêan vành 2.2.16 Mệnh đề Cho I, J hai iđêan vành R giao hốn có đơn vị Khi V (I) = V (J) Rad(I) = Rad(J) Chứng minh Áp dụng định lí ta có: Rad(I) = p; Rad(J) = p∈V (I) p p∈V (J) (⇒) : Nếu V (I) = V (J) hiển nhiên Rad(I) = Rad(J) (⇐) : Giả sử Rad(I) = Rad(J) Ta cần chứng minh V (I) = V (J) tức chứng minh với iđêan nguyên tố R chứa I chứa J ngược lại Giả sử p ∈ Spec(R), p ⊃ I , với x ∈ J x ∈ Rad(J) mà Rad(I) = Rad(J) nên tồn n ∈ N∗ , xn ∈ I , nên xn ∈ p hay x ∈ p Vậy J ⊂ p Tương tự với p ∈ Spec(R), p ⊃ J , ta suy p ⊃ I 2.2.17 Mệnh đề Cho R vành giao hốn có đơn vị, N lũy linh vành R Khi vành thương R/N khơng có phần tử lũy linh khác khơng Chứng minh Giả sử x phần tử lũy linh vành thương R/N, ∃n ∈ N, xn = Điều suy xn − ∈ N hay xn ∈ N Do x ∈ N nên x = 27 2.2.18 Mệnh đề Cho R vành giao hốn, đó, x một phần tử Jacobson − xy phần tử khả nghịch R với y ∈ R Chứng minh (⇒) Gọi x ∈ J(R), giả sử − xy không khả nghịch, theo Hệ 2.1.13 − xy nằm iđêan cực đại M R Vì x ∈ J(R) suy x ∈ M nên ∈ M, mâu thuẫn M iđêan cực đại R Vậy − xy phải khả nghịch (⇐) Giả sử M iđêan cực đại R Gọi x phần tử vành x ∈ / M, thỏa mãn − xy khả nghịch, tức − xy ∈ / M Ta có iđêan sinh M x R Do tồn y ∈ R, m ∈ M cho m + xy = nên − xy = m ∈ M, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng nên x ∈ J(R) 2.2.19 Mệnh đề Trong vành đa thức R [x], Jacobson J(R [x]) lũy linh N Chứng minh Ta có lũy linh giao tất iđêan nguyên tố vành R [x] nên N ⊂ J(R [x]) Ta chứng minh J(R [x]) ⊂ N Thật vậy: Gọi f = a0 + a1 x + + an xn ∈ J(R [x]) suy − f g khả nghịch với g ∈ R[x] Với g = −1 + f khả nghịch nên a0 khả nghịch, a1 , , an lũy linh Chọn g = −(1 + x) thì: − gf = + (1 + x)(a0 + a1 x + + an xn ) = + a0 + (a0 + a1 )x + + (an−1 + an )xn + an xn+1 khả nghịch nên a0 + a1 lũy linh, mà a1 lũy linh nên a0 lũy linh Hay f phần tử lũy linh J(R [x]) ⊂ N Cho R vành giao hốn có đơn vị Phần tử e ∈ R gọi phần tử lũy đẳng vành e2 = e 2.2.20 Mệnh đề Cho R vành giao hốn có đơn vị cho iđêan vành không chứa lũy linh N chứa phần tử lũy đẳng khác khơng Khi N = J(R) Chứng minh Hiển nhiên N ⊆ J(R) Giả sử N = J(R) Khi theo giả thiết ∃e ∈ J(R), e2 = e = (vì J(R) iđêan khơng chứa N) Ta có e2 − e = ⇒ e(1 − e) = 0, − e phần tử khả nghịch nên e = 0, mâu thuẫn với giả thiết Như N = J(R) 28 2.2.21 Mệnh đề Cho R vành giao hốn có đơn vị, I, J iđêan R, đó: i) Rad(I) ⊃ I ; ii) Rad(Rad(I)) = Rad(I); iii) Rad(IJ) = Rad(I ∩ J) = Rad(I) ∩ Rad(J); iv) Rad(I) = R I = R; v) Rad(I + J) = Rad(Rad(I) + Rad(J)); vi) Nếu p iđêan nguyên tố ∀n ∈ N∗ , Rad(pn ) = p Chứng minh i) Ta có ∀x ∈ I x1 = x ∈ I nên x ∈ Rad(I) hay I ⊂ Rad(I) ii) Ta có: ∀x ∈ Rad(Rad(I)) ⇔ ∃n ∈ N∗ , xn ∈ Rad(I) ⇔ ∃m ∈ N, (xn )m ∈ I ⇔ ∃t = m · n ∈ N, xt ∈ I ⇔ x ∈ Rad(I) ⇔ Rad(Rad(I)) = Rad(I) iii) Ta có: ∀x ∈ Rad(IJ), ∃n ∈ N∗ , xn ∈ IJ ∀xn ∈ I ∩ J xn ∈ I xn ∈ J nên x ∈ Rad(I) x ∈ Rad(J) Do x ∈ Rad(I) ∩ Rad(J) Từ suy Rad(IJ) ⊆ Rad(I) ∩ Rad(J) Mặt khác, ∀x ∈ Rad(I) ∩ Rad(J), ∃m, n ∈ N∗ , xn ∈ I xm ∈ J nên xm+n = xm xn ∈ IJ Do x ∈ Rad(IJ) Từ ta có Rad(I) ∩ Rad(J) ⊆ Rad(IJ) Như ta chứng minh Rad(I) ∩ Rad(J) = Rad(IJ) iv) Ta có Rad(I) = = R, ∈ Rad(I), ∀n ∈ N∗ , 1n = ∈ I I = R = Ngược lại hiển nhiên n v) Nhận xét: với ∈ Rad(I), bi ∈ Rad(J) ⇒ ∃m, n ∈ N∗ , am i ∈ I, bi ∈ J Khi đó: k (ai + bi )m+n = Cm+n aki bri , k + r = m + n ta nhận thấy không đồng thời xảy k < m, r < n nên (ai + bi )m+n ∈ I + J Ta có: ∀x ∈ Rad(Rad(I) + Rad(J)) ⇔ ∃n ∈ N∗ , xn ∈ Rad(I) + Rad(J) ⇔ ∃ai ∈ Rad(I), bi ∈ Rad(J)sao choxn = + bi (1) Theo nhận xét p tồn m, p ∈ N∗ , am i ∈ I, bi ∈ J Khi đó: x ∈ Rad(Rad(I) + Rad(J)) ⇔ (xn )m+p ∈ Rad(I) + Rad(J) Từ (1) suy (xn )m+p = (ai + bi )m+p ∈ I + J 29 Như vậy: ∀x ∈ Rad(Rad(I) + Rad(J)) ⇔ x ∈ Rad(I + J) hay Rad(I + J) = Rad(Rad(I) + Rad(J)) vi) Ta chứng minh quy nạp Với n = x ∈ Rad(p) ⇔ ∃n ∈ N∗ , xn ∈ p ⇔ x ∈ p ⇔ Rad(p) = p Vậy vi) với n = 1, giả sử vi) với n = k , ta cần chứng minh vi) với n = k + Thật vậy, sử dụng ý iii) giả thiết quy nạp ta có: Rad(pk+1 ) = Rad(pk p) = Rad(pk ) ∩ Rad(p) = p ∩ p = p 2.2.22 Hệ I, J iđêan vành R, Rad(I) Rad(J) nguyên tố I J nguyên tố Chứng minh Ta có Rad(I) Rad(J) ngun tố nên Rad(I) + Rad(J) = R, đó, theo mệnh đề ta có: Rad(Rad(I) + Rad(J)) = Rad(R) = R Rad(Rad(I) + Rad(J)) = Rad(I + J) Do Rad(I + J) = R Điều kéo theo I + J = R 30 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, mà chủ yếu tài liệu [3], Khóa luận trình bày cách có hệ thống số kiến thức sở vành giao hoán iđêan vành giao hoán Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau - Trình bày lại số kết sở vành giao hoán, iđêan vành giao hoán chứng minh kết - Chứng minh chứng minh chi tiết thêm số kết nêu [3] chưa chứng minh chứng minh vắn tắt (chẳng hạn, Định lí 1.3.8, Định lí 1.5.8, Định lí 2.2.14) - Giải số tập [3] phát biểu chúng dạng mệnh đề (chẳng hạn, Mệnh đề 1.2.10, Mệnh đề 1.4.7, Bổ đề 2.2.9, Mệnh đề 2.2.21) Sau hoàn thành khóa luận, tác giả nhận thấy cịn nhiều vấn đề thú vị hy vọng tiếp tục nghiên cứu sâu Đại số giao hoán 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Tiếng Anh [3] M.F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading Mass [4] H Matsumura (1980), Commutative algebra, second edition, Benjamin, Reading Mass ... trình bày cách có hệ thống số kiến thức sở vành giao hoán iđêan vành giao hốn Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau - Trình bày lại số kết sở vành giao hoán, iđêan vành giao hoán chứng minh kết - Chứng... hợp J(R) giao tất iđêan cực đại vành R gọi Jacobson vành R 2.2.14 Định lí Căn iđêan I vành giao hoán R giao tất iđêan nguyên tố vành R chứa I Chứng minh Gọi Rad(I) iđêan I , P giao tất iđêan nguyên... Dựa vào định nghĩa tổng, giao, tích iđêan, ta suy tính chất sau: i) Tính chất giao hốn: Tổng, giao, tích iđêan có tính chất giao hốn ii) Luật modula: Cho I, J, K iđêan vành R, I ⊃ J I ⊃ K thì: