Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR không gian

TrƯờng đại học vinh Khoa toán *********** Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR - Không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khóa LUậN: PGS.TS. Tạ Khắc C Sinh viên thực hiện: Bùi Thị Mai Lớp: 46B 1 Toán Vinh, tháng 05 năm 2009 Lời nói đầu Lý thuyết corút là một phần của Tôpô học, đợc bắt đầu xây dựng cách đây 60 năm, trong khoảng thời gian đó, lý thuyết corút đã tích luỹ đợc một nội dung hết sức phong phú. Khái niệm corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên đợc nghiên cứu cho các không gian mêtric compắc. Với việc nghiên cứu chi tiết corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compắc giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc hơn nhiều kiến thức về lý thuyết tập hợp và Tôpô đại số. Mục đích của khoá luận là tìm hớng nghiên cứu này. Trong trờng hợp , ,X Y Z là các không gian Hausdorff, M - là họ tất cả các không gian mêtric. Với mục đích đó dựa vào các tài liệu tham khảo, khoá luận đợc trình bày thành các mục 1. Các kiến thức chuẩn bị. Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận. 2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các ,AR ANR không gian. Trong mục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compắc, một số tính chất đặc trng của nó. Mối liên hệ giữa ,AR ANR không gian với đa diện hình học, một số Định lý về thác triển ánh xạ, nhúng những cái compắc vào AR . 3. Kết luận 4. Tài liệu tham khảo Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Tạ Khắc C. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Tạ Khắc C ngời thầy đã tận tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong Tổ Giải tích, Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy. Cuối cùng tác giả cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 46B1-Toán đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận đợc những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 1. Các kiến thức chuẩn bị Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận. Trong suốt luận văn này chúng tôi giả thiết các không gian , ,X Y Z là 2 T - không gian và các ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.1. Cho ,X Y là các không gian Hausdosff nghĩa là 2 T - không gian. ánh xạ YXf : đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại nghịch phải XYg : sao cho YYfg : là ánh xạ đồng nhất. Định nghĩa 1.2. Giả sử Y là tập con của X . Khi đó, ánh xạ YXf : đợc gọi là ánh xạ corút (hay phép corút) nếu ánh xạ lồng XYi : là nghịch phải của f . Nghĩa là ( )f x x= với mọi điểm .Yx Định nghĩa 1.3. Tập con 0 X của không gian X đợc gọi là cái corút của X nếu tồn tại phép corút từ X lên 0 X . Định nghĩa 1.4. Tập con đóng 0 X của không gian X đợc gọi là cái corút lân cận của X , nếu 0 X là cái corút của tập con mở ,XU và . 0 UX Định nghĩa 1.5. Ta nói không gian mêtric X là cái corút tuyệt đối với các không gian mêtric MY ( M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu với mỗi đồng phôi )(: XhXh đóng Y thì ( )h X là cái corút của Y . Ta kí hiệu ).(MARX Định nghĩa 1.6. Ta nói không gian mêtric X là cái corút lân cận tuyệt đối với mọi không gian mêtric MY ( M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu với mỗi đồng phôi )(: XhXh đóng Y thì tồn tại lân cận mở U của YUXh )( và tồn tại )(: XhUr là ánh xạ corút. Ta kí hiệu ).(MANRX Định lý 1.7. (Định lý Kuratowski). Đối với mỗi không gian mêtric ),( X tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi ZXhXh )(: và ( )h X đóng trong bao lồi ( ( )).C h X Chứng minh. Ta có thể giả thiết ( , ) 1diam X < (với diam là đờng kính). Vì nếu diam 1),( > X thì đặt ),(1 ),( ),( yx yx yx + = là một mêtric và với ),( X ta có diam .1),( < X Đặt Z = {tất cả các hàm liên tục bị chặn trên X }. Đặt mêtric * trên ;,,)()(sup),(: 212121 * ZffxfxfffZ Xx = Khi đó )(sup xff = là chuẩn trên Z . Ta xây dựng đồng phôi ZXhXh )(: nh sau x X x f Z sao cho ( ) ( , ), . x f y x y y X = Khi đó đặt ( ) . x h x f= Ta chứng minh h là đồng phôi bằng cách chứng minh đẳng mêtric (tức * ( , ) ( , )). x y x y f f = Thật vậy 1 2 1 2 1 2 * ( , ) sup ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x X f f f x f x f x f x = = ),(),(),( 2121 xxxxxx = Suy ra 1 2 * 1 2 ( , ) ( , ). x x f f x x (1) Mặt khác, với mỗi Y X , ta có 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ). x x f y f y x y x y x x = Suy ra 1 2 1 2 sup ( ) ( ) ( , ). x x X f y f y x x (2) Từ (1) và (2) ta suy ra 1 2 * 1 2 ( , ) ( , ). x x x x f f = Vậy h là đồng phôi. Ta còn phải chứng minh ( )h X đóng trong bao lồi ( ( )).C h X Giả sử ( ( )).f C h X Ta đặt lim , ( ) n n x x n f f f h X = . Vì ( ( ))f C h X nên f là tổ hợp tuyến tính nào đó các phần tử từ ( )h X , nói rõ hơn, tồn tại các điểm 0 1 , , ., k a a a X và các số dơng 0 1 , , ., k sao cho 0 i k i x i f f = = với 0 1. k i i = = Không mất tính tổng quát ta giả thiết các i khác nhau và tìm đợc 0 thoả mãn 0 1 . 1k + Khi đó * ( , ) ( ) ( ) ( ) n n x n x n n f f f x f x f x = 0 0 0 1 ( ) ( , ). 1 a n n f x a x k + Bởi vì lim n x n f f = , ta suy ra 0 lim n n x a = và kết luận 0 ( ) a f f h X= . Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.8. (Định lý Dugundji). Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric ( , )X d , còn Y là không gian lồi địa phơng. Khi đó mỗi ánh xạ :f A Y có thác triển liên tục : .f X Y % Hơn thế nữa tất cả các giá trị f % có thể lấy từ bao lồi ( ( ))C f A của )(Af . Định lý 1.9. (Tính chất đặc trng của AR(M)). Để không gian mêtric X là ( )AR M điều kiện cần X là r - ảnh của tập con lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn Z nào đó và điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con lồi trong không gian tuyến tính lồi địa phơng. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử ( )X AR M ta chứng minh ( )X r Q= với Q là tập lồi nằm trong không gian định chuẩn Z . Theo Định lý Kuratowski tồn tại Q lồi Z định chuẩn sao cho ánh xạ đồng phôi : ( )h X h X trong Q lồi Z . Theo giả thiết X AR nên tồn tại ánh xạ corút : ( )r Q h X . Vậy hợp thành 1 :h r Q X là r - ánh xạ. Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ảnh của tập con lồi Q Z không gian tuyến tính lồi địa phơng, :f Q X là r - ánh xạ có nghịch phải :g X Q . Giả sử đồng phôi : ( )h X h X đóng trong không gian mêtric X . Khi đó hợp thành 1 : ( ) .gh h X Q = Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển liên tục : X Q lên toàn bộ không gian X . Khi đó ta đặt ( ) ( ( ( )))r x h f x = với mọi x X . Ta nhận đợc : ( )r X h X là phép corút. Thật vậy, với ( ) ( )y h x h X= thì ( ) ( )( ) ( ) .r y hf h x h x y = = = Suy ra )(MARX . Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.10. (Tính chất đặc trng của ANR(M)). Để không gian mêtric X là ( )ANR M điều kiện cần X là r - ảnh của một lân cận mở nằm trong tập lồi Q nằm trong không gian tuyến tính định chuẩn Z . Điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con mở nằm trong tập Q lồi của không gian tuyến tính lồi địa phơng nào đó. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử ( )X ANR M . áp dụng Định lý Kuratowski tồn tại đồng phôi : ( )h X h X đóng trong Q lồi Z định chuẩn, suy ra tồn tại : ( )r U h X là ánh xạ corút ( U là lân cận mở của ( )h X trong Q ). Do đó 1 :h r U X là r - ánh xạ. Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ảnh của tập mở U Q lồi Z không gian tuyến tính lồi địa phơng, :f U X là r - ánh xạ với nghịch phải :g X U . Xét đồng phôi : ( )h X h X X ( X là không gian mêtric tuỳ ý). Khi đó ánh xạ 1 : ( ) .gh h X U Q = Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển : .X Q Kí hiệu 1 ( ).U U = U là lân cận của ( )h X trong X . Đặt ( ) ( ( ( )))r x h f x = với mọi x U . Ta nhận đợc ánh xạ r corút U lên ( )h X . Vậy )(MANRX . Định lý 1.11. Giả sử Y là không gian mêtric, khi đó (i) Y là ( )AR M không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của không gian mêtric X , và mỗi ánh xạ :f X Y đều có thác triển liên tục : .f X Y (ii) Y là ( )ANR M không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của không gian mêtric X , mỗi ánh xạ :f X Y đều có thác triển liên tục :f U Y là lân cận U của X vào X . Định lý 1.12. (Tính phân phối của các AR(M), ANR(M) không gian). Giả sử không gian mêtric X là hợp của hai tập con đóng 1 2 ,X X của nó và 0 1 2 X X X= I , khi đó (i) Nếu 0 1 2 , , ( )X X X AR M thì ( )X AR M (ii) Nếu 0 1 2 , , ( )X X X ANR M thì ( )X ANR M (iii) Nếu 0 , , ( )X X AR M thì 1 2 , ( )X X AR M (iv) Nếu 0 , ( )X X ANR M thì 1 2 , ( ).X X ANR M Chứng minh. Để chứng minh (i) ta cần chứng minh rằng nếu X là tập con đóng của không gian mêtric Z và 0 1 2 , , ( )X X X AR M , thì X là cái corút của Z . Đặt { } 0 1 2 : ( , ) ( , )Z z Z z X z X = = { } 1 1 2 : ( , ) ( , )Z z Z z X z X = < { } 2 1 2 : ( , ) ( , ) .Z z Z z X z X = > Rõ ràng ta nhận đợc 0 1 2 ,Z Z Z Z= U U tập 0 0 X Z đóng trong 0 Z và 0 0 ( 1, 2) i X Z X i= =I . Từ đó tồn tại phép corút 0 0 0 :r Z X . Ta lại có 0i X ZU đóng trong 0i Z ZU (i = 1,2), và từ Định lý 1.11 suy ra ánh xạ 0 : i i i r X Z XU đợc xác định bởi công thức , ( ) ( ), i z r z r z = có thác triển liên tục 0 : i i i f Z Z XU . Ta đặt ( ) ( ) i r z f z= với mọi 0 ( 1, 2) i z Z Z i =U ta sẽ nhận đợc phép corút :r Z X . Ta chứng minh (ii). Chúng ta cần chứng minh rằng nếu X đóng trong không gian mêtric Z và 0 1 2 , , ( )X X X ANR M thì tồn tại trong Z lân cận U của tập X , sao cho X là cái corút của nó. Ta có 0 X đóng trong 0 Z , do đó suy ra tồn tại lân cận 0 W của 0 X trong không gian 0 Z và đóng trong 0 Z , và phép corút 0 0 0 :r W X . Đặt 0 ( ), ( ) , i r z r z z = Ta nhận đợc phép corút i r từ tập 0 WX i lên tập i X , i = 1,2. Bởi vì ( ) i X ANR M , và nhờ Định lý 1.11, suy ra tồn tại thác triển liên tục : i i i r V X của ánh xạ i r từ lân cận i V của tập 0 WX i vào 0i Z ZU . Trong i V ta sẽ tìm đợc lân cận đóng i U của tập i X trong không gian 0 i Z ZU sao cho 0 0i U Z WI . Bởi vì ,)()( 0012010121 WZUZZZZUUU = thì công thức ( ) ( ) i r z r z = với , 1, 2 i z U i = xác định phép corút r từ tập 1 2 U U U= U là lân cận của X trong Z , lên tập X . Nh vậy (ii) đợc chứng minh. Chứng minh tơng tự cho (iii) và (iv) ta suy ra Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.13. Không gian X là ( )AR M - không gian khi và chỉ khi X là ( )ANR M - không gian và corút điểm. Chứng minh. Ta đã có, mỗi AR - không gian là corút điểm vào ANR - không gian. Ta xem X là tập con đóng của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z nào đó. Vì X corút điểm nên tồn tại họ { } t f các hàm liên tục X t f X sao cho 0 f biến X vào một điểm a X , còn 1 f là ánh xạ đồng nhất. Đặt 0 ( )f x a = với mọi điểm x Q ta đợc thác triển liên tục 0 :f Q X của 0 f . p dụng Định lý (Định lý. Nếu X nếu i z X nếu 0 ,z Z nếu 0 z W nếu i z X . là tập con đóng của không gian mêtric X , và giả sử ( )Y ANR M . Xét họ ánh xạ { } t f , [ ] 0,1t với : t f X Y và giả thiết rằng 0 f có thác triển liên tục 0 :f X Y . Khi đó tồn tại họ ánh xạ liên tục { } t f với : t f X Y , [ ] 0,1t , t f là thác triển của t f ) ta nhận đợc họ thác triển liên tục { } t f với : t f Q X của t f . Nói riêng 1 :f Q X là thác triển của ánh xạ đơn vị t f và là ánh xạ corút. áp dụng Định lý 1.9 ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.14. Tích đề các 1 n n X X = = là )(MANR - không gian khi và chỉ khi mỗi ( ) n X ANR M và hầu hết ( ). n X AR M Định lý 1.15. (Định lý Hanner I). Mỗi tập con mở của )(MANR - không gian là )(MANR - không gian. Định lý 1.16. (Định lý Hanner II). Nếu không gian mêtric X là hợp đếm đ- ợc của các tập con mở i G của ( 1, 2, .)X i = là các ANR - không gian thì X là ANR - không gian. Bổ đề 1.17. Nếu X là tập con đóng của không gian Euclide n E và G là một trong những thành phần liên thông bị chặn của \ n E X , thì không tồn tại ánh xạ liên tục :f G X sao cho ( )f x x= với mỗi \x G G . Hệ quả 1.18. Mỗi r - ảnh của ( )AR M không gian là ( )AR M không gian. Chứng minh. Bởi không gian mêtric X là ( )AR M không gian thì theo Định lý 1.9 X là r - ảnh của một tập lồi Q Z với Z là không gian định chuẩn. Nghĩa là tồn tại r - ánh xạ :f Q X và khi đó ta viết ( )X f Q= . Bây giờ kí hiệu g là r - ánh xạ : ( )g X g X . Khi đó ( ) ( )g X gf Q= . Vì gf là tích hai r - ánh xạ nên nó là r - ánh xạ. Vậy ( )g X là r -ảnh của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z . Theo điều kiện đủ của Định lý 1.9 thì ( )g X là ( )AR M không gian. 2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR không gian Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa ,AR ANR không gian và một số tính chất riêng của ,AR ANR . . chất cơ bản của các AR, ANR không gian Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa ,AR ANR không gian và một số tính chất riêng của ,AR ANR . Định nghĩa 2.1. Không. khoá luận. 2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các ,AR ANR không gian. Trong mục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân