Không gian liên hợp của một số không gian quen thuộc

Mục lục Trang Mở đầu 2 Đ1. Kiến thức chuẩn bị 3 1. Khái niệm về không gian liên hợp 3 2. Không gian liên hợp thứ hai, không gian phản xạ 3 Đ2. Dạng tổng quát của các phím hàm tuyến tính 7 1. Không gian hữu hạn chiều 7 2. Không gian C 0 8 3. Không gian l 1 10 4. Không gian l p 11 5. Không gian C[0, 1] 12 6. Không gian L 1 [0, 1] 17 7. Không gian L p [0, 1] 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 1 lời nói đầu Khoá luận này nhằm trình bày có hệ thống không gian liên hợp của các không gian quen thuộc, từ đó rút ra những đặc điểm của các không gian liên hợp này và nhiều tính chất quan trọng của chúng. Khoá luận này đợc chia thành hai mục: Đ 1: Kiến thức chuẩn bị Trong mục này gồm có những nội dung chính sau: - Khái niệm về không gian liên hợp, một số tính chất đơn giản của chúng. - Không gian liên hợp thứ hai, không gian phản xạ và một số tính chất có chứng minh về không gian liên hợp thứ hai và thứ ba, Không gian phản xạ. Đ 2: Dạng tổng quát của các phiến hàm tuyến tính Mục này chủ yếu rút ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính, tính liên tục xác định trên một số không gian cụ thể, từ đó biết đợc không gian liên hợp của các không gian ấy. 1. Không gian hữu hạn chiều 2. Không gian C 0 3. Không gian l 1 4. Không gian l p 5. Không gian C[0, 1] 6. Không gian L 1 [0, 1] 7. Không gian L p [0, 1] Qua đây cho tôi đợc gửi lời cảm ơn tới thầy giáo PGS. TS Tạ Khắc C đã giúp tôi hoàn thành khóa luận này. Chắc chắn rằng khoá luận còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp. Vinh, tháng 5 năm 2007 Tác giả 2 Đ 1. Kiến thức chuẩn bị 1. Khái niệm về không gian liên hợp Nếu X là một không gian định chuẩn trên trờng số K, thì không gian L(X; K) tất cả các hàm tuyến tính liên tục xác định trên X đợc gọi là không gian liên hợp và ký hiệu là X * . Từ đó ta rút ra đợc một số tính chất đơn giản của chúng. i) Với mọi không gian định chuẩn X, không gian liên hợp X * luôn luôn là không gian Banach. ii) Nếu X là một không gian Banach, thì không gian liên hợp X * là đầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản. Chú ý: - Dãy phiếm hàm {f n }gọi là hội tụ đơn giản đến f X * , nếu x X, x cố định dãy số f n (x) hội tụ đến f(x). - Một dãy {f n } X * gọi là một dãy cauchy đối với sự hội tụ đơn giản nếu với mọi x X, f n (x) là một dãy cauchy. - Nếu mọi dãy cauchy đối với sự hội tụ đơn giản đều hội tụ đến một phần tử nào đó thi không gian X * gọi là đầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản. iii) Với mọi phần tử x của một không gian định chuẩn X tuỳ ý, ta đều có. * f X , f 1 x Sup f (x) = = 2. Không gian liên hợp thứ hai, không gian phản xạ + Không gian liên hợp X * của không gian định chuẩn X đợc gọi là không gian liên hợp thứ nhất của X. + Không gian liên hợp của X * còn đợc gọi là không gian liên hợp thứ hai của X và đợc ký hiệu X ** Tơng tự đối với X *** , X ****, + Nếu X = X ** thì không gian định chuẩn X gọi là phản xạ Tính chất 1: Tồn tại một phép đẳng cực tuyến tính của không gian định chuẩn X vào không gian hợp thứ hai X ** của nó. 3 Chứng minh Với mỗi phần tử x X , ta hãy xác định phiếm hàm trên không gian X * cho bởi công thức x % (f) = f(x) (f X * ). Phiếm hàm x % là tuyến tính, bởi vì x % (f 1 + f 2 ) = (f 1 + f 2 ) (x)) = f 1 (x) + f 2 (x) = x % (f 1 ) + x % (f 2 ). Hơn nữa, theo tính chất (iii) phần một ta có * * f X , f 1 f X , f 1 sup x(f ) sup f (x) x = = = = % , đẳng thức này chứng tỏ rằng phiếm hàm x % là bị chẵn, vậy x % X ** và x x= % . Nh vậy ta có một ánh xạ x X a x % X ** bảo toàn chuẩn, ánh xạ này là tuyến tính, bởi vì mọi f X * 1 2 1 2 ( x x ) x x + = + % % % . Thành thử ánh xạ đó là một phép đẳng cự tuyến tính của X vào X ** Tính chất này cho phép ta đồng nhất phần tử x X với phần tử x % X ** , do đó ta có thể coi X X **. Nh vậy, nếu x X thì có thể coi rằng x X ** và ta có f X * , x(f) = f(x). Tính chất 2: Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi không gian liên hợp X * hữu hạn chiều. Chứng minh Nếu dim X = n, phép chứng minh dim X * = n xem ở phần 1 của Đ 2. Giả sử đã biết dim X * = n. Thế thì ta có dim X ** = n. Nhng X X ** , nên dim X dim X ** = n . Vậy X có số chiều hữu hạn và dim X = dim X * = n. Từ tính chất này ta thấy rằng nếu dim x < thì X = X ** . Ta suy ra X là không gian phản xạ. Nh vậy, mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ. Tính chất 3 Một không gian định chuẩn là một không gian đầy đủ. 4 Chứng minh Theo tính chất (i) phần 1 thì mọi không gian định chuẩn X, không gian X * là không gian banach. Mặt khác cũng theo tính chất (ii) thì ta suy ra X ** là đầy đủ. Do X = X ** suy ra X là không gian đầy đủ. Tính chất 4 Nếu X là một không gian phản xạ là Y là một không gian con, đóng của X, thì Y là một không gian phản xạ. Chứng minh Mọi phiếm hàm f X * , nếu chỉ xét trên Y cũng là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Để phân biệt ta hãy ký hiệu phiếm hàm này là f % , nh vậy f % Y * và ta có x Y, x 1 x X, x 1 f sup f (x) sup f (x) f = = = = % . Thành thử ta có ánh xạ tuyến tính f X * * f Y % a và bất đẳng thức trên chứng tỏ ánh xạ này liên tục. Ta hãy lấy Y ** tuỳ ý và xác định một phiếm hàm x trên X * bởi x (f) = ( f % ). Rõ ràng x là một phiếm hàm tuyến tính trên X * , hơn nữa x là liên tục bởi vì x (f ) (f ) x . f x . f = % % , nh vậy x X ** = X. Ta hãy chứng tỏ rằng x Y. Quả vậy vì Y không gian con đóng của X, nên nếu lấy x Y, thì tồn tại f 0 X * sao cho f 0 (y) = 0 y Y và f 0 (x ) = 1. Khi đó 0 f 0= % , nhng theo định nghĩa của x ta có f 0 (x ) = x (f 0 ) = ( 0 f % ) = 1 mâu thuẫn vậy x Y Y ** . Ta hãy chứng minh = x . Quả vậy lấy g Y * tuỳ ý, tức là g là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Y X. Theo định lý Hanln - Banach, g có thể suy rộng thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X. Nói cách khác ta tìm đợc f X * sao cho f % = g. Ta có x (g) = x ( f % ) = f % (x ) = x (f) = ( f % ) = (g) 5 với mọi g Y * , vì vậy = x Y Y ** Y do đó Y = Y ** (đpcm) Tính chất 5 Không gian banach X là phản xạ khi và chỉ khi không gian liên hợp X * là phản xạ. Chứng minh Giả sử X là phản xạ. Thế thì (X * ) ** = X *** = (X ** ) * = X * , vậy X * là phản xạ. Ngợc lại giả sử X * là phản xạ, thế thì ta vừa mới chứng minh đợc X ** là phản xạ. Nhng X X ** và X là không gian Banach, Vậy X là không gian con đóng của X ** , theo tính chất 4 chứng tỏ X là phản xạ. Hệ quả Nếu X là không gian Banach thì a) Hoặc X = X ** = X **** = và X * = X *** = X ***** = . b) Hoặc X X ** X **** và X * X *** X ***** 6 Đ2. Dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính Mục này, sẽ chỉ ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một số không gian cụ thể, từ đó biết đợc cụ thể không gian liên hợp của các không gian ấy, các đặc điểm và tính chất của chúng. 1. Không gian hữu hạn chiều Giả sử X là một không gian định chuẩn n - chiều và {e 1 , e 2 , ,e n } là một cơ sở của X. Nh đã biết X đồng phối tuyến tính với E n (E n = R n hay C n , tuỳ theo X thực hay phức). Với phần tử u = (u 1 , u 2 , , u n ) E n ta xác định phiếm hàm f u trên X nh sau: Nếu x X và x = 1 .e 1 + + n . e n thì n u i i i 1 f (x) u = = . + Rõ ràng f u là tuyến tính, do đó f u X * . + Ngợc lại f X * , ta đều có n n n i i i i i i i 1 i 1 i 1 f (x) f e f (e ). u = = = = = = ữ , trong đó u i = f(e i ), i 1,n= , u i không phụ thuộc vào x X. Đẳng thức trên chứng tỏ với mỗi f X * , đều u E n sao cho f = f u . Từ các điều trên ta có ánh xạ u E n a f u X * là một toàn ảnh, rõ ràng nó cũng là một ánh xạ tuyến tính từ E n a X * . Ta chứng minh ánh xạ trên (từ E n X * ) là một đơn ánh. Giả sử f u = 0 tức f u = 0 x X hay n n i i i i i 1 i 1 u 0 x e = = = = . Từ đó suy ra u i = 0 i = 1, n u = 0 E n . Vậy ánh xạ trên là một song ánh tuyến tính. Thành thử X * là một không gian định chuẩn n chiều, đồng phôi tuyến tính với X. 7 Để ý rằng X * không đẳng cấu tuyến tính với X. Tuy nhiên nếu trong E n ta dùng chuẩn Ơclit và trong X cũng dùng chuẩn Ơclit tức là: n 2 1 1 n n i i 1 e . e = + + = thì X đẳng cấu với E n , X * đẳng cấu với E n và do đó X * đẳng cấu với X. Thật vậy, từ bất đẳng thức 1 1 n n n 2 2 2 2 u i i i i i 1 i 1 i 1 f (x) u u . u . x = = = = = ữ ữ , ta suy ra u f u . (1) Nhng nếu lấy 0 0 1 n n x e . C 0 1 = + + với 0 i 0 = nếu u i = 0 và 2 i i i u u 0 = nếu u i 0 ( i 1,n= ), thì ta có 1 n 2 2 0 i i 1 x u u = = = ữ và ta có: n 2 0 0 0 0 i i u u i 1 u . x u u f (x ) f . x = = = = . u u f (2) Từ (1) và (2) suy ra u f u= (Bảo toàn chuẩn suy ra đpcm) 2. Không gian C 0 + Ta nhớ lại rằng không gian C 0 gồm tất cả các dãy số hội tụ đến 0 và chuẩn của x = ( x ) C 0 đợc xác định bởi n 1 n x sup < = + Với p 1 thì l p là không gian gồm tất cả các dãy x = ( n ) n 1 , thoả mãn 1 p p n p n 1 x = = < ữ . * l là không gian gồm tất cả các dãy bị chặn x = ( n ) với chuẩn n 1 n x sup < = ., * n N * , gọi e n là dãy gồm toàn số 0. Trừ số hạng thứ n bằng1. 8 e n = (0, ,0, 1 (n) , 0, 0, ), Vậy ta có e n C 0 và e n l p (p 1). *Chứng minh đợc rằng: x = ( n ) C 0 (tơng ứng l p ) thì n n n 1 x e = = . Bây giờ sau khi đã có một số khái niệm, tính chất trên rồi ta chứng minh rằng: không gian * 0 C đẳng cấu tuyến tính với không gian l 1. Chứng minh i) Với mỗi phần tử u = (u n ) l 1 . Ta hãy xác định phiếm hàm f u trên không gian C 0 nh sau: Nếu x = ( n ) C 0 thì u n n n 1 f (x) u = = . Chuỗi ở vế phải hội tụ vì u n n n n 1 n n 1 n 1 f (x) u sup . u u . x = = = . Rõ ràng f u là tuyến tính, f u bị chặn, do đó f u * 0 C . Vì f liên tục nên x = ( n ) C 0 ta đều có n n n n n n n 1 n 1 n 1 f (x) f e f (e ) u = = = = = = ữ , trong đó u n = f(e n ) không phụ thuộc vào x. Để xét tính chất của dãy u = (u n ) cụ thể là ta sẽ chứng minh u = (u n ) l 1 . Gọi (N) N n 0 x ( ) C= (N là số tự nhiên) xác định nh sau: n n (N) n n u n N,u 0 u 0 = nếu trường hợp còn lại. Thế thì N x 1 và N N f (x ) f . x f= N n n = 1 u . Bất đẳng thức này đúng N, khi N thì ta suy ra rằng u = (u n ) l 1 và 1 u f . Nh vậy với mỗi f * 0 C , tồn tại u l 1 sao cho f = f u . 9 Mặt khác, theo lý luận ở (1) thì 1 f u . n 1 f u= thành thử ta thiết lập đợc ánh xạ u l 1 a f u * 0 C . Ta có ánh xạ này là phép đẳng cấu tuyến tính của không gian l 1 lên không gian * 0 C . 3. Không gian l 1 Không gian * 1 l đẳng cấu tuyến tính với không gian l Quả vậy với mỗi phần tử u = (u n ) l thì phiếm hàm u n n n 1 n 1 f (x) u (x ( ) l ) = = = đợc xác định trên không gian l 1 , bởi vì chuỗi ở vế phải hội tụ u n n n n 1 n n 1 n 1 f (x) u sup u . u . x = = = . Rõ ràng f u là tuyến tính và bất đẳng thức trên chứng tỏ u f u . (1) Ngợc lại lấy f * 1 l tuỳ ý, x = ( n ) l 1 ta đều có n n n n n n n 1 n 1 n 1 f (x) f e f (e ) u = = = = = = ữ trong đó: u n = f(e n ) không phụ thuộc vào x. Từ bất đẳng thức n n n 1 u f (e ) f e f= = (n = 1, 2, ). ta thấy rằng dãy u = (u n ) là bị chặn, tức là u l và n 1 n u sup u f < = . (2) Hơn nữa từ biểu thức f(x), ta thấy rằng f = f u . So sánh các bất đẳng thức (1), (2) ta đợc u f u = . Nh vậy ta thiết lập đợc một ánh xạ u l a f u * 1 l của l lên * 1 l 10