Không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô

Trờng Đại học Vinh khoa toán ---------------------- đặng thị hòa Không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán cán bộ hớng dẫn khoá luận PGS.TS Trần văn ân Vinh - 2006 1 Lời nói đầu Mục đích của khóa luận này là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại không gian, đó là không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô. Trong luận văn đã chứng minh chi tiết các kết quả trong [3], nghiên cứu các không gian đối ngẫu của các không gian C(S), ),X(L , P à , ,C,l 0 p Kothe, các hàm nguyên một biến. Với mục đích trên luận văn trình bày theo hai chơng sau CHƯƠNG I MộT Số KIếN THứC CHUẩN Bị Trong chơng I, đầu tiên chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm cơ bản của không gian vectơ tôpô chuẩn bị cho phần sau. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục. Chơng II KHôNG GIAN LIÊN HợP CủA MộT Số KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Đây là nội dung chính của luận văn, chúng tôi trình bày thành sáu phần Đ1. Không gian liên hợp. Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian liên hợp. Định lý Han - Banăc về tách biệt và các mệnh đề của nó. Đ2. Không gian đối ngẫu của không gian C(S). Phần này chúng tôi trình bày không gian C(S), chứng minh C(S) là không gian định chuẩn, khái niệm độ đo, độ đo Borel, độ đo chính quy Borel, chứng minh định lý 2.6. Đ3. Không gian đối ngẫu của không gian ),X(L , P à và )1p(l p . Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian ),X(L , P à và )1p(l p , không gian ),X(L , à , khái niệm bị chặn cốt yếu, cận trên cốt yếu. Chứng minh không gian ),X(L , P à và ),X(L , à cùng vói chuẩn của nó là không gian Banach, chứng minh định lý 3.4. Đ4. Không gian đối ngẫu của không gian 0 C . Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian 0 C . Chứng minh không gian 0 C với chuẩn của nó là không gian Banach. Chứng minh rằng đối ngẫu của không gian 0 C là 1 l ở Định lý 4.4. Đ5. Không gian đối ngẫu của không gian Kothe. Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian Kothe, chứng minh định lý 5.3. 2 Đ6. Không gian đối ngẫu của không gian các hàm nguyên một biến. Phần này chúng tôi trình bày khái niệm không gian hàm nguyên một biến A(C), khái niệm không gian liên hợp của A(C). Chứng minh định lý 6.4. Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu làm khóa luận do điều kiện thời gian và l- ợng kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiết sót. Rất mong quý thầy cô và các bạn góp ý kiến. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Văn Ân ngời đã trực tiếp hớng dẫn tận tình trong quá trình làm khóa luận. Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình quan tâm giảng dạy, tất cả các bạn bè, ngời thân đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tập nghiên cứu tại trờng. Vinh, tháng 4 năm 2006 Tác giả 3 CHƯƠNG I Một Số KIếN THứC CHUẩN Bị Đ1 Không gian vectơ tôpô 1.1.Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp K là trờng số R hay C trên tập X ta đa vào hai phép toán Phép toán cộng XXX từ yx) yx ( ì++ Phép nhân vô hớng (,x) a x ì từ K X X Tập hợp X cùng với hai phép toán trên thoả mãn tiên đề 1. (X,+) là nhóm Aben 2. (x y) x y + = + với mọi KX,yx, mọi 3. ( + à) x = x + àx với mọi K X,x mọi à , 4. 1.x = x với mọi Xx , trong đó 1 là đơn vị của K 5. (àx) = à(x) = (à)x với mọi K mọi X,x à , thì đợc gọi là một không gian véctơ trên trờng K. 1.2. Định nghĩa. Cho tập hợp X. Họ U các tập con của X thoả mãn (T 1 ) U, X U ; (T 2 ) U i U , iI thì U i U ; (T 3 ) Nếu U i U , i=1 k thì 1 k i= I U i U đợc gọi là một tôpô trên X. Tập hợp X cùng với một tôpô U trên nó đợc gọi là không gian tôpô. Ký hiệu (X, U ). 1.3. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian véctơ trên K (thực, phức). Tôpô ở trên X sao cho các phép toán 4 1. Cộng X x XX cho bởi Kyx,y,xy)(x, mọi với + 2. Nhân vô hớng K x K X cho bởi x,x),( liên tục đợc gọi là tôpô véctơ trên X. Tập hợp X cùng với tôpô véctơ ở trên nó đợc gọi là một không gian véctơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính và ký hiệu (X, ). 1.4. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Nếu U là một cơ sở lân cận (của điểm gốc) thì ta có mỗi U U (i) U là hút; (ii) tồn tại V U sao cho V + V U; (iii) tồn tại một lân cận cân W U. 1.5. Định lý [ ] ( ) 5 . Một không gian lồi địa phơng E có một cơ sở U những lân cận của điểm gốc, với các tính chất sau: C1: nếu U U, V U, thì tồn tại W U với W U V; C2: nếu U U và mọi 0 thì U U; C3: mỗi U U là tuyệt đối lồi và hút. Ngợc lại, cho một tập hợp (không rỗng) U những tập hợp con của một không gian véctơ E với các tính chất C1- C3, thì tồn tại một tôpô làm cho E trở thành một không gian lồi địa phơng với U là một cơ sở lân cận của điểm gốc. 1.6. Định nghĩa. Hàm thực p : X R từ không gian véctơ X vào R đợc gọi là nửa chuẩn trên X nếu thoả mãn điều kiện sau: 1) 0p(x) ; 2) p(x + y) p(x) + p(y); với mọi x,y X 3) K mọiX,x mọi vớip(x)x)p( = , . 5 Xx mọi K, mọi với 1.7. Định nghĩa. Cho M là một tập con hút của không gian véctơ X. Ta xác định hàm p M : X R cho bởi công thức Mx mọi với, } Mx:0xp M >= inf{)( và gọi p M là phiến hàm Mincôpki. 1.8. Định lý [ ] ( ) 5 . Cho một tập hợp Q những nửa chuẩn trên một không gian véctơ E. Tồn tại một tôpô yếu trên E, tơng thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi nửa chuẩn của Q là liên tục. Với tôpô ấy, E là một không gian lồi địa phơng, và một cơ sở lân cận đóng đợc thành lập bởi các tập hợp 1.9. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn Q, E là tách khi và chỉ khi với mỗi véctơ khác không E x , đều tồn tại một nửa chuẩn Q p với 0 > )(xp . 1.10. Định lý [ ] ( ) 5 . Không gian lồi địa phơng E là khả mêtric khi và chỉ khi nó là tách và nó có một cơ sở lân cận (của điểm gốc) đếm đợc. Tôpô của một không gian khả mêtric luôn luôn có thể xác định bởi một mêtric, bất biến đối với các phép tĩnh tiến. 6 .Q) i p 0,( (x) i p ni1 sup :x > Đ2 ánh xạ tuyến tính liên tục 2.1. Định nghĩa. Giả sử E, F là hai không gian vectơ tôpô f: E F là một ánh xạ tuyến tính liên tục nếu 1, f là ánh xạ tuyến tính; 2, f liên tục theo các tôpô đã cho trên E và F. 2.2. Định nghĩa. Ta nói f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian véctơ tôpô X, nếu ánh xạ f: X R là toán tử tuyến tính liên tục. 2.3. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Nếu E và F là những không gian véctơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F, thì f là liên tục trên E khi (và chỉ khi) f liên tục tại điểm gốc. 2.4. Hệ quả [ ] ( ) 5 . Nếu E và F là những không gian định chuẩn và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F, thì f là liên tục khi và chỉ khi tồn tại một hằng số sao cho xxf )( với mọi .Ex 2.5. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Với mỗi phần tử khác không Ea , đều tồn tại một dạng tuyến tính * Ef sao cho 0)( af . 2.6. Định lý. Nếu f là một phiến hàm tuyến tính trên một không gian véctơ tôpô, thì f là liên tục khi và chỉ khi 1 (0)f là đóng. 7 Chơng II Không gian liên hợp của một số không gian VEctơ tôpô Đ1 Không gian liên hợp 1.1. Định nghĩa. Giả sử E là một không gian vectơ tôpô trờng K. Ta gọi E = L (E, K) (Không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K ) là không gian liên hợp hay đối ngẫu của E và gọi E = L (E, K) là không gian liên hợp thứ hai của E. 1.2. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Giả sử E là một không gian tách, lồi địa phơng với đối ngẫu E . Nếu 0)( = af với mọi f E , thì 0 = a . 1.3. Định lý [ ] ( ) 5 . (Định lý Hahn-Banach về tách biệt). Giả sử E là một không gian lồi địa phơng, A và B là hai tập hợp lồi, rời nhau và A mở. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với f (A) và f (B) rời nhau ( f tách A và B). 1.4. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Nếu B là một tập hợp con lồi của một không gian lồi địa phơng, và __ Ba , thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với _____ )()( Bfaf . 1.5. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Nếu B là một tập hợp con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phơng, và __ Ba , thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f với 1)( xf với mọi Bx và 1)( > af . 1.6. Mệnh đề [ ] ( ) 5 . Giả sử E là một không gian lồi địa phơng, thực. Nếu Avà B là hai tập hợp con lồi và rời nhau của E, và A mở, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f và một hằng số sao cho > )(xf với mọi Ax và )(xf với mọi Bx . 8 Đ2 Không gian đối ngẫu của không gian C(S) 2.1. Định nghĩa. Giả sử S là không gian tôpô. Ký hiệu C(S) là không gian tất cả các hàm liên tục f : S K trên không gian Hausdorff compact với chuẩn cho bởi công thức { } f (s)f sup :s S= . 2.2. Mệnh đề [ ] ( ) 2 . Không gian C(S) là không gian định chuẩn với chuẩn cho bởi công thức { } Ss:f(s)supf = với mọi C(S).f Chứng minh. Để chứng minh không gian C(S) là không gian định chuẩn ta thử 3 điều kiện của chuẩn. 1) Với mọi )S(Cf ta có { } Ss:f(s)supf = 0 là hiển nhiên và 0f = khi và chỉ khi { } Ssf(s)sup : =0 khi và chỉ khi 0)s(f = khi và chỉ khi f(s)=0. 2) Với mọi )S(Cf, ta có { } Ssf(s)supf = : = { } sup f(s) :s S = f . 3) Với mọi C(S)gf, ta có { } Ss:g(s)f(s)supgf +=+ { } + Ss:f(s)sup { } Ss:g(s)sup = gf + . Không gian C(S) thoả mãn 3 điều kiện của chuẩn. Vậy C(S) là không gian định chuẩn. 2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một đại số những tập hợp con của một tập hợp X. Hàm số à : M [ ] ,0 gọi là một độ đo nếu 1) 0)( =à ; 2) à là - cộng tính, tức là nếu A 1 , A 2 , là một họ đếm đ ợc những tập hợp đôi một rời nhau thuộc M thì 1 1 ( ) i i i i A A à à = = = ữ U 2.4. Định nghĩa [ ] ( ) 3 . Giả sử à là độ đo trên X, à là Borel nếu mọi tập Borel là à đo đợc. 9 2.5.Định nghĩa [ ] ( ) 3 . Giả sử à là độ đo trên X, à là Borel chính quy nếu nó là độ đo Borel và đối với mọi A X tồn tại tập Borel B X sao cho A B và à(A) = à(B). Ký hiệu rca (X) là tập các độ đo Borel chính qui trên X. 2.6. Định lý [ ] ( ) 3 . Nếu S là không gian tôpô Hausdorff compact thì giữa C (S) và rca (S) không gian Banach các độ đo à Borel chính quy trên S, tồn tại một đẳng cấu đẳng cự mà trong đó những phần tử tơng ứng x * C (S) và à rca(s) thoả mãn đẳng thức: = S * C(S).f(s),d f(s)(f)x à (1) Chứng minh. 1) Ta chứng minh mỗi f C(S) khả tích đối với mỗi độ đo à Borel chính quy trên S. Thật vậy, vì f(S) compact nên có thể phủ f(S) bởi các tập mở G 1 , G 2 , , G n mà đờng kính mỗi G i nhỏ hơn > 0 cho trớc. Đặt A i = G i , A j = G j - j 1 i i 1 G j 1,2, .,n. = = U , Nếu A j thì chọn số jj A . Nếu A j = thì coi 0 j = . Vì G j mở nên )G( j 1 f cũng mở. Do vậy tập )(AfB i -1 i = thuộc miền xác định của hàm à . Hơn nữa hàm j B n 1j j af = = là à - đơn giản, ở đó j B là hàm đặc trng của B j , và { } < Ss:f(s)(s)fsup . Do đó hàm f là giới hạn hội tụ đều của dãy các hàm à - đơn giản. Vì <à s),v( nên f là hàm à - khả tích. Trong đó v( ,s) à là biền phân của độ đo à trên S Mặt khác s),v(f(s)f(s)d , S nên công thức (s)= à * S x (f) f(s)d xác định một dạng tuyến tính liên tục trên C(S), nghĩa là thuộc C(S), tơng ứng với độ đo à và .Svx * = ),( 2) Ta chứng minh .S)v(x , * == 10 . đích của khóa luận này là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại không gian, đó là không gian liên hợp của một số không gian vectơ tôpô. . xạ tuyến tính liên tục, phiếm hàm tuyến tính liên tục. Chơng II KHôNG GIAN LIÊN HợP CủA MộT Số KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Đây là nội dung chính của luận văn,