Một số tính chất của tập lồi trong không gian vectơ tôpô

phần mở đầu Tập lồi là khái niệm quan trọng trong Toán học, nó có nhiều ứng dụng trong Giải tích, Hình học . Khái niệm này đã đợc nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu. Các kết quả nghiên cứu tổng quan về khái niệm đó đã đợc hai nhà Toán học A.P. ROBERTSON và W.J. ROBERTSON trình bày trong [5]. Các tính chất hình học của tập lồi và ảnh của tập lồi, cân, tuyệt đối lồi qua một số ánh xạ nh: ánh xạ tuyến tính, phép chiếu, ánh xạ tịnh tiến, ánh xạ f: x x ., đã đợc một số giáo trình cơ sở và tài liệu tham khảo đề cập đến chẳng hạn [5], tuy vậy chúng mới đợc trình bày một cách sơ lợc. Có nhiều vấn đề đang là bài toán mở: Cấu trúc của tập lồi trong không gian vectơ tôpô nh thế nào? Khi nào thì giao của một họ tuỳ ý các tập lồi trong không gian vectơ tôpô sẽ khác rỗng. Riêng vấn đề giao của một họ hữu hạn các tập lồi trong không gian vectơ tôpô khác rỗng đã đợc trình bày trong [2] khi không gian vectơ tôpô đó có số chiều bằng 2. Tuy nhiên trong không gian vectơ tôpô có số chiều bất kỳ thì điều kiện để giao của một họ hữu hạn các tập lồi sẽ khác rỗng đang là vấn đề mở. Chúng tôi đặt ra nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trên một cách chi tiết. Luận văn này chúng tôi trình bày một số tính chất hình học của tập lồi, ảnh của tập lồi qua một số ánh xạ đã nêu ở trên. Trong luận văn này chúng tôi cũng mô tả cấu trúc bao lồi của một số tập hợp và một số tính chất của nó. Sau đó chúng tôi giải quyết bài toán khi nào thì giao của một họ hữu hạn các tập lồi trong không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều bất kỳ sẽ khác rỗng. Luận văn bao gồm 2 chơng: Chơng I: Tập lồi trong không gian vectơ tôpô Chơng này trình bày các kiến thức cơ bản phân loại các khái 1 niệm và các tính chất của chúng sẽ đuực sử dụng cho chơng 2. Nội dung chính của chơng là: Trong Đ1, chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến các vấn mà luận văn đề cập đến nh không gian vectơ, không gian tôpô, không gian véctơ tô pô, khái niệm bao lồi, ánh xạ, ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính, nửa chuẩn, tập lồi, cân, tuyệt đối lồi. Sau đó chúng tôi trình bày một số tính chất của tập lồi, cân, lồi tuyệt đối, bao lồi nh: bao đóng của tập lồi là lồi, bao lồi của tập mở là mở, bao lồi của một tập đóng là đóng. Trong Đ2, luận văn trình bày các tính chất hình học của tập lồi, cân, tuyệt đối lồi qua một số ánh xạ, mối liên hệ giữa tập lồi và nửa chuẩn nh đã nêu ở trên. tiết rõ ràng. Kết quả đạt đợc trong chơng I là: Các mệnh đề, tính chất trong này đợc chứng minh chi tiết. Trong đó mệnh đề 1.6.4 là tự phát hiện và chứng minh. Chơng II: Tập lồi trong không gian véc tơ hữu hạn chiều Trong Đ1, chúng tôi đa ra khái niệm của tập lồi trong R n , cấu trúc của tập lồi trong R 1 và tìm bao lồi của hệ điểm trong R 1 . ở Đ2, trình bày về bao lồi của hệ điểm trong R 2 ; R 3 và làm rõ cấu trúc của chúng. Trong Đ3, chúng tôi nêu một số kết quả đạt đợc của các tác giả về giao khác rỗng của họ hữu hạn các tập lồi trong R 1 ,R 2 [2], chúng tôi đã tổng quát hoá vấn đề này trong không gian vectơ tôpô n chiều ( n < ), cụ thể là R n . Đa ra đợc điều kiện để một họ hữu hạn các tập lồi trong không gian véctơ tôpô hữu hạn chiều có giao khác rỗng và đa ra đợc ví dụ ứng dụng (ví dụ 3.1.2). Sau đó chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, bổ đề nêu ra trong chơng. Kết quả chính của chơng II là: Chứng minh đợc mệnh đề (1.2.3); bổ đề (2.3.1) và định lý (2.3.2). 2 Chúng tôi hy vọng với hớng đi và một số kết quả của luận văn sẽ đợc sự tiếp tục nghiên cứu về tập lồi. Luận văn đợc hoàn thành dới sự h- ớng dẫn của Thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng thành kính tới thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội, đã tận tình chỉ bảo, hớng dẫn chu đáo, đầy trách nhiệm và lòng nhân ái đã đa ra nhiều h- ớng giải quyết giúp tôi nhanh chóng hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn thầy giáo PGS TS. Nguyễn Hữu Quang, Thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình, Thầy giáo PGS TS. Nguyễn Huỳnh Phán, Thầy giáo TS. Nguyễn Việt Hải, Thầy giáo TS. Nguyễn Văn Sơn và các thầy giáo trong khoa Toán trờng ĐH Vinh đã tận tình giảng dạy cho tôi trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn các thầy giáo,cô giáo, CBCNV của khoa Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán trờng ĐH Vinh, ban Giám đốc Sở GD - ĐT Nghệ An, ban Giám hiệu, Tổ Toán trờng THPT Lê Viết Thuật TP Vinh, tỉnh Nghệ An, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi tham gia học tập lớp cao học khoá IX này. Nhân dịp này, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè đã tạo mọi điều kiện cả vật chất lẫn tinh thần, để tôi hoàn thành khoá học. Tôi vô cùng cảm ơn đại gia đình chúng tôi đã chịu nhiều vất vả để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu khoa học. Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn tới các thế hệ học trò của tôi, đã chăm ngoan học giỏi là nguồn cổ vũ, động viên lớn lao để thầy giáo của mình có thêm nghị lực trong quá trình học tập. Vinh,ngày tháng . năm 200 Tác giả Chơng I 3 tập Lồi trong không gian vectơ tôpô Trong chơng này chúng tôi trình bày hai nội dung chính nh sau: - Nội dung thứ nhất: Chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian vectơ, không gian vectơ tôpô, tập lồi, tập cân, tuyệt đối lồi, bao đóng của tập lồi, không gian vectơ tôpô lồi địa phơng, nửa chuẩn và một số tính chất của nó. Đồng thời chúng tôi nêu và chứng minh tính chất của bao lồi của một tập. - Nội dung thứ hai: Nêu và chứng minh các tính chất ảnh của tập lồi qua một số ánh xạ( ánh xạ tuyến tính, phép chiếu, ánh xạ tịnh tiến, ánh xạ f: x x; nửa chuẩn) Đ1. các khái niệm cơ bản 1.1. Không gian vectơ Một tập hợp E trên đó xác định 2 cấu trúc (phép toán), phép cộng ký hiệu là (+) và phép nhân với một lợng vô hớng ký hiệu là (.) sao cho: x, y E thì x + y E và K thì x E( tức là E đóng với 2 phép toán( +) và (.)) với các tính chất sau: 1) x + y = y + x 2) x + ( y + z) = ( x + y) + z 3) Trong E có phân tử trung hoà ( gọi là điểm gốc) ký hiệu là 0, sao cho : 0 + x = x 4) Mọi x E đều tồn tại phần tử - x sao cho x + (-x) = 0 5) (à)x = (à x) 6) ( + à)x = x + àx 7 7) ( x + y) = x + y 4 8) 1.x = x 1.1.1. Định nghĩa. Tập hợp E cùng với 2 cấu trúc thoả mãn 8 tính chất trên gọi là không gian vectơ trên trờng số K. 1.1.2. Định nghĩa. Một tập hợp con A của E đợc gọi là không gian vectơ con của E nếu A đóng với 2 phép toán của E( Tức là x, y A thì x + y A và x A với K). Ta ký hiệu: A E và x E thì x+A = { x + y : y A } A E và B E thì A +B = { x + y : x A; y B } K và A E thì A = { x : x A } 1.2. Không gian tôpô 1.2.1. Định nghĩa. Một tập hợp E, trong đó xác định một họ những tập hợp con mở thoả mãn các tính chất: 1- ; E là tập mở 2 - Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở 3- Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. đợc gọi là không gian tôpô. Các phần tử đợc gọi là điểm. - Tập con U đợc gọi là lân cận của x, nếu tồn tại một tập hợp mở V sao cho x V U. - Gọi U x = { U: U là lân cận của x}. - Điểm x đợc gọi là điểm trong của tập con A của E nếu có một lân cận U của x chứa trong A. Tập hợp tất cả các điểm trong của A là tập mở đợc chứa trong A và gọi là phần trong của A. 5 - Tập hợp con Z của E đợc gọi là đóng nếu E \ Z là mở. Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. , E là những tập đóng. - Điểm x E đợc gọi là điểm dính của tập A nếu mọi U là lân cận của x thì U A . - Tập hợp tất cả các điểm dính của A là tập đóng chứa A và gọi là bao đóng của A; Ký hiệu là: . Từ định nghĩa trên ta dễ dàng suy ra rằng, A đóng khi và chỉ khi A = 1.2.2. Tính chất. 1- x U với mọi U U x ; 2 - Nếu U U x và V U x thì UV U x ; 3 - Nếu U U x và U V thì V U x 4- Nếu U U x , thì tồn tại V U x sao cho U U y với mọi y V Chứng minh: 1 Lấy U bất kỳ thuộc U x , vì vậy tồn tại tập mở V, sao cho x V U; 2 Vì U U x và V U x nên tồn tại V 1 , V 2 mở sao cho: x V 1 U, x V 2 V, suy ra x V 1 V 2 UV. Mà V 1 ,V 2 là những tập mở, cho nên V 1 V 2 mở. Vậy UV U x . 3 Vì U U x nên tồn tại tập mở V 1 sao cho x V 1 U. Mà U V, cho nên x V 1 U V. Vậy V U x . 4 Gọi V là phần trong của U, lấy y bất kỳ thuộc V, ta có y V 1 V. Mà V U. Vậy, y V 1 V U. Điều đó chứng tỏ U U y và V U x . 6 A A Một tập con V x của tập hợp U x các lân cận của x đợc gọi là một cơ sở lân cận của x, nếu với mỗi U U x đều tồn tại một V V x sao cho U V. 1.2.3. Định nghĩa. Cho E và F là hai không gian tôpô. Hàm f là ánh xạ từ E vào F đợc gọi là liên tục tại điểm x E, nếu với mọi lân cận V của f(x) trong F đều tồn tại một lân cận U của x trong E, sao cho y U thì f(y) V ( tức là f(U) V). Nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc E thì ta nói f liên tục trên E. 1.2.4. Định nghĩa. Cho E và F là 2 không gian véctơ trên cùng tr- ờng số K. ánh xạ f từ E vào F đợc gọi là tuyến tính nếu: 1- f(x + y) = f(x) + f(y) 2 - f(x) = f(x) Với mọi x, y E và K. Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E vào E thì f đợc gọi toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính. 1.2.5. Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trờng số K, một ánh xạ tuyến tính từ E vào trờng vô hớng K đợc gọi là một dạng tuyến tính( hay phiếm hàm tuyến tính) trên E. 1.2.6. Mệnh đề. Nếu E và F là hai không gian vectơ tôpô và f là ánh xạ tuyến tính từ E vào F, f liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc. Chứng minh: Vì f liên tục tại 0, nên nếu V là lân cận của tuỳ ý trong F thì tồn tại lân cận U trong E sao cho f(U) V. Khi đó mỗi điểm a E ( vì f là tuyến tính), ta có f( a + U) = f(a) + f(U) f(a) + V. 7 Vậy f liên tục tại a. 1.3. Tổng trực tiếp và phép chiếu 1.3.1.Định nghĩa. Ta nói không gian vectơ E đợc phân tích thành tổng trực tiếp của các không gian con E 1 , E 2 nếu mỗi phần tử x E biểu diễn đợc duy nhất dới dạng: x = x 1 + x 2 (1) trong đó x 1 E 1 và x 2 E 2 . Ký hiệu là E = 21 EE ( 2) Khi đó ta gọi E 2 là phần bù trực tiếp của E 1 và ngợc lại. Ta thấy khai triển (2) sinh ra hai toán tử đợc xác định : P 1 : E E P 2 : E E x P 1 (x) = x 1 x P 2 (x) = x 2 ( trong đó x 1 , x 2 là thành phần của x trong khai triển (1)). 1.3.2. Tính chất 1) P k ( k = 1; 2) là ánh xạ tuyến tính 2) P 1 + P 2 = I (phép đồng nhất) 3) P k 2 = P k . ( k = 1; 2) 4) P 2 P 1 = P 1 P 2 = 0 . Chứng minh: 1- Để chứng minh P k là ánh xạ tuyến tính ta xét: P k (x + ày), trong đó x, y E, còn , à thuộc trờng số K. Vì x, y E, nên ta có biểu diễn trực tiếp theo khai triển trực tiếp các không gian con x = x 1 + x 2 ; y = y 1 + y 2 trong đó x i , y i E i với mọi i. Khi đó x + ày = (x 1 + ày 1 ) + (x 2 + ày 2 ). Khi đó P k (x + ày) = (x k + ày k ) (*) Mặt khác : P k (x) = x k và P k (ày) = ày k . Vậy : 8 P k (x) + P k (ày) = x k + ày k = P k (x) + àP k (y) (**) Từ (*) và (**) ta có : P k (x + ày) = P k (x) + àP(y). Vậy P k tuyến tính. 2 2- Ta có : P 1 (x) + P 2 (x) = x 1 + x 2 = I(x). 3 3- Theo định nghĩa ta có: P k 2 (x) = P k (P k (x)) = P k (x k ) = x k = P k (x). 4 ta có : P i P j (x) =P i (P j (x)) = P i (x j ) = 0( vì i j ). 1.3.3. Định nghĩa. Toán tử tuyến tính P 1 , P 2 trong 1.3.1 đợc gọi là phép chiếu. 1.3.4. Định lý. Cho không gian vectơ E, toán tử tuyến tính P: E E là phép chiếu khi và chỉ khi P 2 = P. Chứng minh: Điều kiện cần đúng vì P là phép chiếu thì : Giả sử x E, x đợc phân tích duy nhất dới dạng: x = x 1 + x 2 ( trong đó x 1 E 1 , x 2 E 2 ). Khi đó: P(x) =P(x 1 + x 2 ) = P(x 1 ) + P(x 2 ) . Vì P là phép chiếu nên P(x 1 ) = 0 hoặc P(x 2 ) = 0, không mất tính tổng quát giả sử P(x 2 ) = 0. Vậy P(x) = P(x 1 ) = x 1 .(*) Mặt khác: P 2 (x) = P(P(x)) = P( P(x 1 ) + P(x 2 )) = P(P(x 1 )) = P(x 1 ) = x 1 (**). Từ (*) và (**) ta có P 2 = P. Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ. Vì P: E E là toán tử tuyến tính nên ta đặt V = P(E) , V' = KerP thì V và V' là những không gian con của E ( xem [3]). Ta chứng minh E = V V' và P là phép chiếu. Thật vậy: Trớc hết ta chứng minh V V' = {0}, giả sử v V V', khi đó vì v V nên tồn tại v o E để v = P(v o ), suy ra P(v) = P 2 (v o ). Mặt khác v V' nên P(v) = 0. Theo giả thiết thì P 2 (v o ) = P(v o ), mà P 2 (v o ) = P(v) = 0 và P(v o ) = v, vậy v = 0. Do đó V V' = {0}. Bây giờ chứng minh x E đều biễu diễn duy nhất dới dạng x = x 1 + x 2 , trong đó x 1 V và x 2 V'. 9 Với mọi x E, ta có : x = P(x) + (x - p(x)), đặt x 1 = P(x) và x 2 = (x - P(x)), ta có x 1 V và x 2 V' ( vì P(x 2 ) = P(x-P(x)) = P(x) - P(P(x)= P(x) - P 2 (x) = 0). Giả sử x còn biễn khác dới dạng x = x' 1 + x' 2 .trong đó x' 1 V và x' 2 V'. Khi đó: x 1 + x 2 - (x' 1 + x' 2 ) = 0, ( x 1 - x' 1 ) + ( x 2 - x' 2 ) = 0 ( x 1 - x' 1 ) = ( x' 2 - x 2 ). Mà ( x 1 - x' 1 ) V, còn ( x' 2 - x 2 )V' theo chứng minh trên V V' = {0}, vậy x 1 = x' 1 , x' 2 = x 2 . Do đó cách biểu diễn là duy nhất. Ta chứng minh P là phép chiếu. Với x bất kỳ thuộc E ta có x = x 1 + x 2 và P(x) = P(x 1 + x 2 ) = P(x 1 ) + P(x 2 ) = P(x 1 ). Mặt khác P 2 (x) = P(P(x)) = P(P(x 1 )) mà P 2 (x) = P(x), nên P(P(x 1 )) = P(x 1 ). Vậy P(x) = P(x 1 ) = x 1 . Định lý đợc chứng minh. 1.4. Không gian vectơ tô pô 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trờng số K. Một tô pô trên E đợc gọi là tơng thích với cấu trúc đại số của E trên các phép toán đại số trong E là liên tục, tức là: x + y là hàm liên tục của cặp biến x, y và x là hàm liên tục của cặp biến , x. 1.4.2. Định nghĩa. Một không gian vectơ tôpô trên K là không gian vectơ trên K cùng với một tôpô tơng thích. 1.4.3. Mệnh đề . Với mỗi a E, thì phép tịnh tiến f : f(x) = x + a là phép đồng phôi của E lên chính nó. Chứng minh: Đặt y = f(x) = x+ a, thì f 1 (y) = x = y- a. Do đó f là một song ánh của E lên chính nó. Hơn nữa f và f -1 là liên tục. Vậy f là phép đồng phôi. 10 . không gian vectơ, không gian vectơ tôpô, tập lồi, tập cân, tuyệt đối lồi, bao đóng của tập lồi, không gian vectơ tôpô lồi địa phơng, nửa chuẩn và một số. bao lồi của một số tập hợp và một số tính chất của nó. Sau đó chúng tôi giải quyết bài toán khi nào thì giao của một họ hữu hạn các tập lồi trong không gian