Không gian giả lồi địa phương và không gian bị chặn địa phương

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ---------- ---------- lê thái bình Không gian giả lồi địa phơng và không gian bị chặn địa phơng Chuyên ngành: Giải tích Khoá luận tốt nghiệp Ng ời h ớng dẫn khoa học: TS. Tạ Khắc C 2 Vinh, 2002 Mục lục Trang Mục lục 1 Mở đầu 2 Chơng I không gian giả lồi địa phơng 3 Đ 1 Các khái niệm cơ bản 3-7 1.1 Mêtric 1.2 Không gian mêtric tuyến tính 1.3 F * -không gian Đ 2 Các tính chất của tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng, không gian lồi địa phơng 8-12 Chơng II không gian bị chặn địa phơng 13 Đ 1 Các khái niệm cơ bản 13-16 1.1 Tập bị chặn 1.2 Không gian bị chặn địa phơng 1.3 Độ lõm của không gian Đ 2 Các tính chất của không gian bị chặn địa phơng. Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa phơng và không gian bị chặn địa phơng 17-30 kết luận 31 tài liệu tham khảo 32 3 phần mở đầu Cuốn luận văn này nhằm cung cấp cho bạn đọc một số tính chất của không gian mêtric tuyến tính và các tính chất đó mang tính đặc thù riêng khác với không gian định chuẩn. Từ đó chúng ta có thể thấy đợc rằng không gian mêtric tuyến tính khái quát hơn không gian định chuẩn. Ngoài ra các bạn có thể xem đây là một tài liệu tham khảo thêm khi đi vào tìm hiểu nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric tuyến tính. Luận văn gồm có những nội dung nh sau: Chơng I: Trình bày các khái niệm của không gian mêtric tuyến nh F -chuẩn, tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng, có chứng minh và ví dụ minh hoạ. Chơng II: + Trình bày các khái niệm về tập bị chặn, không gian bị chặn địa phơng và các tính chất có chứng minh. + Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa phơng và không gian bị chặn địa phơng (chỉ xét đối với không gian N (L (,, à ))). Cuối cùng chúng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Tiến sỹ Tạ Khắc C đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này. Ngời thực hiện Lê Thái Bì nh 4 Chơng I Không gian giả lồi địa phơng Trong chơng này thông qua một số khái niệm của không gian mêtric tuyến tính làm nền tảng để nghiên cứu các tính chất của tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng và không gian lồi địa phơng. Đ1. Các khái niệm cơ bản Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng (thực hoặc phức). Nếu không nói gì thêm thì các kết quả nói ra đều đợc xét trên hai trờng đó. Khi cần thiết ta sẽ chỉ rõ trờng cơ sở là trờng nào. Trong suốt cuốn luận văn này ta sẽ kí hiệu A + B = {x+y : x A, yB}. A = {x : x A }. 1.1. Định nghĩa. Hàm : XxX R thoả mãn các điều kiện (1) (x,y) 0 với mọi x,y X và (x,y) = 0 khi và chỉ khi x =y. (2) (x,y) = (y,x) với mọi x,y X. (3) (x,y) (x,z) +(z,y) , với mọi x,y,z X, đợc gọi một mêtric trên X. 1.2. Định nghĩa. Không gian tuyến tính X cùng với một mêtric trên nó đợc gọi là không gian mêtric tuyến nếu các phép toán cộng và nhân vô hớng liên tuc theo tôpô sinh bởi mêtric . + Mêtric (x,y) đợc gọi là bất biến nếu 5 (x+y, y+z) = (x,y) với mọi x,y,z X. 1.3. Định nghĩa. a) Không gian mêtric tuyến tính X với mêtric bất biến xác định trên nó đợc gọi là một F * - không gian. b) Hàm thực ||.|| : X R đợc gọi là một F- chuẩn trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau đây (i) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x=0. (ii) ||ax|| = |a| ||x|| với mọi a , |a|=1. (iii) || x+y || ||x|| + ||y|| với mọi x, y X. (iv) || a n x || 0 nếu a n 0. Nhận xét. - Giả sử (x, y) là một mêtric bất biến trên X. Đặt ||x|| = (x, 0), khi đó ||x|| là một F -chuẩn trên X. - Hai F -chuẩn là tơng đơng khi và chỉ khi hai mêtric bất biến tơng ứng là tơng đơng. 1.4. Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric tuyến tính. Tập A X đợc gọi là hình sao nếu tA A với mọi t, 0 t <1. Khi đó độ lõm của tập hợp A đợc ký hiệu bởi c (A) = inf {s >0: A+A sA }. Nếu A + A sA với mọi s > 0. Ta đặt c(A) = + . Một tập hình sao A với độ lõm hữu hạn (c(A) < + ) đợc gọi là tập giả lồi. 1.5. Định nghĩa. Một lân cận U của 0 đợc gọi là cân nếu với mọi a mà | a | 1 thì aU U . 1.6. Định nghĩa. Tập A đợc gọi là lồi nếu với mọi x, y A và a, b > 0, a,b mà a+ b = 1 thì ax + by A. Nhận xét. Một tập lồi thì giả lồi. Điều ngợc lại không đúng. 6 Ví dụ. Cho A = { (x,y)/ x < 2, y < 1} U { (x,y)/ x < 1, y < 2} ta sẽ chứng minh A là tập giả lồi nhng nó không lồi. Thật vậy với mọi m = (x,y) A thì x < 2, |y|<1 hoặc x < 1, |y| < 2. Khi đó với mọi 0 t < 1 thì tm = (tx, ty). Do tx < x, |ty| < |y| nên tm A suy ra tA A với mọi 0 t < 1. Vậy A là tập hình sao. Mặt khác nếu với mọi m, n A, m = (x 1 , y 1 ), n = (x 2 , y 2 ). Ta có m + n = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), x 1 + x 2 < x 1 + x 2 , y 1 + y 2 < y 1 + y 2 . Do đó x 1 + x 2 < 4 , y 1 + y 2 < 4. Vậy m + n 4A hay A + A 4A. Suy ra c(A) 4. Vậy A là tập giả lồi. Giả sử A là lồi thì với mọi m, n A, m = (x 1 , y 1 ), n = (x 2 , y 2 ) a + b = 1, a,b > 0. Ta có am + bn = (ax 1 + bx 2 , ay 1 + by 2 ) A. Khi đó ax 1 + bx 2 < 1 hoặc ax 1 + bx 2 < 2. Nếu ax 1 + bx 2 < 1 thì ax 1 + bx 2 < a + b hay a(1- x 1 ) + b(1-x 2 ) >0 và a(1+ x 1 ) + b(1+x 2 ) >0. (*) Nhng với những 1 < x 1 < 2 và 1 < x 2 < 2 thì (*) không thoả mãn với mọi m, n A và với mọi a, b > 0, a + b = 1. Vậy A là tập không lồi. 1.7. Định nghĩa. Không gian mêtric tuyến tính X đợc gọi là giả lồi địa phơng nếu có một cơ sở lân cận {U n } của 0 là giả lồi. + Nếu có thêm điều kiện c(U n ) 2 1/p thì chúng ta nói rằng không gian X là p lồi địa phơng. 7 1.8. Định nghĩa: Giả sử X là không gian tuyến tính trên trờng ( = R hoặc = C) Một tôpô trên E gọi là tơng thích với cấu trúc đại số nếu: 1) ánh xạ (x, y) x + y từ X ì X X là liên tục. 2) ánh xạ (, x) x từ ì X X là liên tục. Một không gian tuyến tính trên cùng với tôpô tơng thích gọi là không gian tôpô tuyến tính. 1.9. Định nghĩa. Không gian tôpô tuyến tính đợc gọi là lồi địa phơng nếu nó có một cơ sở lân cận lồi của 0. 1.10. Định nghĩa. F giả chuẩn thuần nhất gọi tắt là giả chuẩn. Vậy hàm . : X R đợc gọi là giả chuẩn nên nó thoả mãn các điều kiện sau + + .yx x + y với mọi x,y X. + xx = , với mọi , x X. + 0 x , với mọi x X. Nhận xét. Giả chuẩn không phải là chuẩn. 1.11. Định nghĩa. Không gian mêtric tuyến tính lồi địa phơng đợc gọi là B * 0 - không gian. Nếu B * 0 -không gian là đầy đủ thì đợc gọi là B 0 - không gian. Chú ý. + Nếu tôpô trong F- không gian đợc xác định bởi một dãy giả chuẩn p n - thuần nhất thì không gian đó gọi là giả lồi địa phơng. + Trong truờng hợp đặc biệt nếu các giả chuẩn đều là thuần nhất thì không gian X là lồi địa phơng. Thật vậy tập n K m 1 trong đó 8 K n = { } 1: n xx là cơ sở lân cận của 0. Ta có c (K n ) 2 p n bởi vì nếu x,y K n thì 2 <+ n yx .Vì vậy 1 2 < + Pn yx Do đó x+ y 2 P K n . Suy ra K n + K n 2 p .K n nên K n là lồi. 1.12. Định nghĩa. Tập A trong không gian mêtric tuyến tính X đợc gọi là p-lồi tuyệt đối nếu với 0<p 1 và với mọi x,y A thì ax +by A. Nhận xét. Nếu A là p - lồi tuyệt đối thì A là giả lồi. Điều ngợc lại không đúng. Độ lõm của A đợc ớc lợng bởi công thức c(A) 2 Pn . Ví dụ. {(x,y)/ |x|<1, |y| < 2} U {(x,y) / |x| < 2 , |y| < 1}, là 1 tập giả lồi nhng nó không p lồi tuyệt đối . 9 Đ2. Các tính chất của tập giả lồi, không gian giả lồi địa phơng và không gian lồi địa phơng 2.1. Định lí. Cho A là một tập mở, giả lồi khi đó ta có A + A c(A) A. (1) Chứng minh. Giả sử A + A c (A) A suy ra tồn tại x A + A và x c(A) A. Chúng ta chọn tia xác định bởi x, nghĩa là {tx : t > 0}. Vì A + A mở nên tồn tại r > 1 sao cho rx A + A. Khi đó A + A r Ac )( A. Vì x c(A) A, r Ac )( < c (A) và r > 1 nên ta đi đến mâu thuẫn vì c (A) = inf {s >0: A+A s A }. Vậy A + A c (A) A. 2.2. Định lí. Cho X là không gian giả lồi địa phơng. Khi đó tồn tại một dãy các F giả chuẩn p n thuần nhất { ||. || n } (nghĩa là || tx || n =|t Pn ||| x n ||, n = 1, 2) xác định một tôpô tơng đơng với tôpô ban đầu. Nếu X là không gian p-lồi địa phơng thì có thể gỉa thiết rằng p n = p với mọi n = 1, 2, . Chứng minh. Giả sử {U n } là cơ sở lân cận giả lồi của 0. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng U n là cân, với mọi n = 1,2,Từ định nghĩa của tập giả lồi ta có tồn tại s n > 0 sao cho U n + U n s n U n , n = 1,2, Đặt U n (2 q ) = s n q U n , (q = 0, 1, 2,). Với mỗi số hữu tỷ dơng r, r = = t si a i 2 i trong đó a i = 0 hoặc a i = 1. 10 Ta đặt U n (r) = a s U n (2 s ) + + a t U n (2 t ). Dễ thấy U n (r 1 + r 2 ) U n (r 1 ) + U n (r 2 ) và aU n (r) = U n (r) với a = 1. Hơn nữa ta có U n (2 q r) = s n q U n (r). Thật vậy U n (2 q r) = = t si a i U n (2 i+q ) = = t si a i s n i+ q U n . = s n q = t si a i s n q U n = s n q = t si a i U n (2 i ) = s n q U(r). Đặt || x n || / n = inf {r >0: x U n (r)}. Nhờ các tính chất của U n (r) ta có các tính chất của || x || / n . (1) ||x + y|| / n ||x || / n + ||y || / n . (2) ||ax || / n = ||x || / n , với mọi a, |a| = 1. (3) ||S n q x || / n = 2 q ||x || / n . Thật vậy (1) ||x || / n + ||y || / n = inf {r 1 > 0: x U n (r 1 )} + inf {r 2 >0: y U n (r 2 )}. = inf {r 1 + r 2 : x U n (r 1 ), yU n (r 2 )}. inf {r 1 + r 2 : x + y U n (r 1 ) + U n (r 2 )}. inf {r 1 + r 2 : x + y U n (r 1 + r 2 )} = ||x + y || / n . Do đó ||x + y || / n ||x || / n + ||y || / n . (2) Với |a| = 1 ta có ||ax || / n = inf {r > 0: ax U n (r)}. = inf {r > 0: ax aU n (r)}. = inf {r > 0: x U n (r)} = ||x || / n . Vậy ||ax || / n = ||x || / n với mọi a, |a| =1. (3) Ta có 2 q ||x || / n = inf {2 q r: x U n (2 q r)}. = inf {2 q r: s n q x U n (2 q r)}. . về tập bị chặn, không gian bị chặn địa phơng và các tính chất có chứng minh. + Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa phơng và không gian bị chặn địa phơng. 1.2 Không gian bị chặn địa phơng 1.3 Độ lõm của không gian Đ 2 Các tính chất của không gian bị chặn địa phơng. Mối quan hệ giữa không gian giả lồi địa