Đa tạp con trong không gian hyperbolic

Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH =======O0O======= TRẦN THỊ THANH TÂM ĐA TẠP CON TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC CHUYÊN NGHÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.10 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2008 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski . 5 1.2 Các loại véctơ và tích có hướng của n véctơ trong không gian Lorentz- Minkowski 5 1.3. Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz-Minkowski .8 1.4. Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz- Minkowski 8 1.5. Mệnh đề . 9 1.6.Nhóm các biến đổi Lorentz-Minkowski . 10 Chương II. ĐA TẠP CON TRONG KHÔNG GIAN HYPERBOLIC 2.1. Siêu mặt trong không gian Hyperbolic 11 2.1.1.Bổ đề 12 2.1.2.Mệnh đề . 13 2.1.3.Các độ cong của siêu mặt tại một điểm . 14 2.1.4.Bổ đề 16 2.1.5.Mệnh đề. 19 2.1.6.Bổ đề 21 2.1.7.Hàm độ cao cực hạn . 22 2.1.7.1.Mệnh đề 22 2.1.7.2.Mệnh đề 24 2.1.7.3.Mệnh đề 25 2 2.2.Đa tạp con trong không gian Hyperbolic 26 2.2.1.Mệnh đề . 28 2.2.2.Mệnh đề . 29 2.2.3.Hệ quả 30 2.2.4.Mệnh đề . 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 35 3 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, ánh xạ Gauss trong hình học vi phân cổ điển là một ánh xạ từ một mặt chính quy vào mặt cầu đơn vị. Có thể nói, ánh xạ này là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt đối chiều một trong R 3 hay siêu mặt trong R n thông qua các khái niệm như độ cong Gauss, độ cong trung bình hay độ cong chính. Những năm gần đây có nhiều nhà toán học rất quan tâm đến việc khảo sát các mặt trong không gian Lorentz-Minkowski, các tác giả cũng đã tiến hành xây dựng ánh xạ Gauss cho từng trường hợp và nghiên cứu các tính chất của các mặt thông qua ánh xạ Gauss vừa được xây dựng. Một số tác giả thành công trong lĩnh vực này là Shyuichi Izumiya, Romero Fuster, M. Takahashi . Trên cơ sở một số kết quả được trình bày trong hai bài báo “Singularities of hyperbolic Gauss hypebolic maps” (2001) của Shyui chi Izumiya, Dong-he Pei, Takasi Sano và “The horospherical goemetry of submanifolds in Hyperbolic space” (2004) của Shyui chi Izumiya, Dong-he Pei, M.C.Romero Fuster, M. Takahashi chúng tôi đi sâu tìm hiểu các tính chất của đa tạp con trong không gian hyperbolic theo hướng xây dựng ánh xạ Gauss tương ứng. Với những lý do trên, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài của luận văn là : “Đa tạp con trong không gian Hyperbolic”. Nội dung của luận văn được chia làm ba chương: Chương I. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski, các loại véctơ và quan hệ giữa chúng. Các 4 lọai siêu phẳng, các loại giả cầu và (n-1)-không gian, các loại n-không gian trong không gian Lorentz-Minkowski … Chương II. Đa tạp trong không gian Hyperbolic Trong chương II, chúng tôi chia làm hai mục. Nội dung của mục 2.1 là giới thiệu các khái niệm như: Độ cong Kronecker-Gauss hyperbolic, độ cong trung bình hyperbolic, độ cong Kronecker-Gauss, độ cong trung bình, điểm rốn của siêu mặt trong không gian Hyperbolic. Xây dựng công thức Weingarten-hyperbolic…để từ đó mô tả một siêu mặt trong không gian Lorentz-Minkowski dựa vào các độ cong đó. Mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về các khái niệm như: Độ cong cực hạn chính, độ cong cực hạn, hệ số cơ bản thứ hai cực hạn đối với trường véctơ pháp tuyến đơn vị. Xây dựng công thức Weingarten cực hạn… từ đó mô tả một đa tạp con trong không gian Lorentz-Minkowski dựa vào các độ cong đó. Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau Đại học- Trường Đại học Vinh- dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự hướng dẫn tận tình của Thầy. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học-Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học-Trường Đại học Vinh-đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Nhân đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập cũng như thời kỳ hoàn thành luận văn. 5 Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski, các loại véctơ và quan hệ giữa chúng. Các lọai siêu phẳng, các loại giả cầu và (n-1)-không gian, các loại n-không gian trong không gian Lorentz-Minkowski… 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski. Cho R n+1 = {(x 0 , x 1 , ., x n } /x i ∈ R , i = 0, 1, ., n} là không gian véctơ (n+1)-chiều. Với x = (x 0 , x 1 , , x n ) và y = (y 0 , y 1 , ., y n ) ∈ R n+1 ta định nghĩa lượng giả vô hướng của x và y như sau < x, y > = - x 0 y 0 + ∑ = n i ii yx 1 Ta gọi ( R n+1 , < , >) là không gian Lorentz-Minkowski (n+1)-chiều và kí hiệu R 1 1 + n thay cho ( R n+1 , < , >). Với x ∈ R 1 1 + n , độ dài của vectơ x được xác định theo lượng giả vô hướng là x = >< xx, 1.2 Các lọai véctơ và tích có hướng của n véctơ trong không gian Lorentz- Minkowski. a. Cho x ∈ R 1 1 + n , x ≠ 0. Khi đó +) x được gọi là véctơ tựa không gian nếu < x, x > > 0 +) x được gọi là véctơ tựa thời gian nếu 6 < x, x > < 0 +) x được gọi là véctơ tựa ánh sáng nếu < x, x > = 0 Hai véctơ x và y được gọi là giả trực giao với nhau nếu < x, y > = 0 Nhận xét. (i). Hai véctơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì giả trực giao với nhau (ii). Hệ gồm hai loại véctơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau (iii). Với a, b ∈ R 1 1 + n . Nếu a ≠ 0 mà < b, b > = - λ < 0 và < a, b > = 0 thì < a, a > > 0 Nói cách khác, một véctơ khác không giả trực giao với véctơ tựa thời gian thì nó là véctơ tựa không gian. Thật vậy (i). Giả sử a, b ∈ R 1 1 + n là hai véctơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính với nhau ⇒ tồn tại λ ∈ R * sao cho a = λ b. Khi đó ta có < a, b > = < λ b, b > = λ < b, b > = λ .0 = 0 hay a, b giả trực giao với nhau. (ii). Với a, b, c tương ứng là các véctơ tựa không gian, tựa thời gian và tựa ánh sáng +) Giả sử a, b ∈ R 1 1 + n là hai véctơ phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn tại λ ∈ R * sao cho a = λ b. Khi đó ta có 0< < a, a > = < λ b, λ b > = λ 2 < b, b > <0 ( Vô lý ) . Do đó, {a, b} độc lập tuyến tính. +) Tương tự ta cũng có các hệ {b, c}, {c, a} là các hệ độc lập tuyến tính (iii). Từ giả thiết ta có < b, b > = - λ ⇔ b 2 1 + .+ b 2 1 − n + b 2 n = b 2 0 – λ (1) 7 < a, b > = 0 ⇔ a 2 0 b 2 0 = (a 1 b 1 + a 2 b 2 + .+ a n b n ) 2 Từ (1) ta có b 0 ≠ 0 nên ta có: a 2 0 = ( ) 2 0 2 2211 . b bababa nn +++ ≤ 2 0 22 2 2 1 22 2 2 1 ) )( .( b bbbaaa nn ++++++ = (a 2 1 + a 2 2 + . +a 2 n ) 2 0 2 0 b b λ − Ta lại có <a, a> = - a 2 0 + a 2 1 + .+ a 2 n ≥ a 2 1 + a 2 1 + .+ a 2 n - (a 2 1 + a 2 2 + . +a 2 n ) 2 0 2 0 b b λ − ≥ ( a 2 1 + a 2 1 + . + a 2 n )(1 - 2 0 2 0 b b λ − ) = ( a 2 1 + a 2 1 + . +a 2 n ) 2 0 b λ ≥ 0 Nếu a 2 1 + . +a 2 n = 0 ⇒ a 2 0 = 0 ⇒ a = 0( vô lý) Vậy - a 2 0 + a 2 1 + .+ a 2 n > 0 ⇒ < a, a > > 0 . Do đó, a là véctơ tựa không gian. () Chú ý. Một véctơ trực giao với một véctơ tựa không gian thì chưa hẳn đã là véctơ tựa thời gian b. Với x 1 , x 2 , ., x n ∈ R 1 1 + n ta định nghĩa tích có hướng của n véctơ x 1 , x 2 , ., x n là một véctơ, kí hiệu x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n và được xác định 8 x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n = n n nn n n xxx xxx eee . . . . 10 11 1 1 0 10 − Trong đó, {e 0 , e 1 , ., e n } là cơ sở chính tắc của R 1 1 + n x i =(x i 0 , x i 1 , ., x i n ) ∈ R 1 1 + n ( ∀ i = 1, 2, ., n) Dễ thấy: +) < x, x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n > = det(x, x 1 , x 2 , ., x n ) +) x 1 ∧ x 2 ∧ . ∧ x n giả trực giao với mọi x i , ∀ i=1, 2, ., n 1.3. Các loại siêu phẳng trong không gian Lorentz-Minkowski. Với một véctơ v ∈ R 1 1 + n và một số thực c. Ta định nghĩa siêu phẳng giả trực giao với v là: HP(v, c) = { x ∈ R 1 1 + n / < x, v > = c} Khi đó, v được gọi là giả véctơ pháp tuyến của siêu phẳng HP(v, c). +) HP(v, c) là siêu phẳng tựa không gian nếu v là véctơ tựa thời gian. +) HP(v, c) là siêu phẳng tựa thời gian nếu v là véctơ tựa không gian. +) HP(v, c) là siêu phẳng tựa ánh sáng nếu v là véctơ tựa ánh sáng. 1.4. Các loại giả cầu và n-không gian trong không gian Lorentz-Minkowski. (i). Các loại giả cầu thường gặp: +) Tập H n = { x ∈ R 1 1 + n /< x, x > = -1} được gọi là siêu mặt Hyperbolic n- chiều. +)Tập S n 1 = { x ∈ R 1 1 + n / < x, x > = 1} được gọi là không gian de Sitter n- chiều. +) Tập LC a = {x ∈ R 1 1 + n / < x-a, x-a > = 0} được gọi là nón ánh sáng đóng với đỉnh a. (ii). Các loại n-không gian : 9 +) n-không gian hyperbolic tâm a ∈ R 1 1 + n , bán kính r ∈ R + , ký hiệu H n + (a,r) và được xác định H n + (a, r) = { x ∈ R 1 1 + n / < x-a, x-a > = -r, x 0 ≥ 0 } +) n-không gian de Sitter tâm a ∈ R 1 1 + n , bán kính r ∈ R + , ký hiệu S n 1 và được xác định S n 1 = { x ∈ R 1 1 + n / < x-a, x-a > = r } +) Tập LC * + = {x = (x 0 , x 1 , .,x n ) ∈ LC 0 / x 0 > 0} được gọi là nón ánh sáng tương lai tại gốc. Với x = (x 0 , x 1 , ., x n ) là một véctơ tựa ánh sáng thì x 0 ≠ 0. Thật vậy: Giả sử x 0 = 0 và x = (x 0 , x 1 , , x n ) là tựa ánh sáng ta có 0 = -x 2 0 + ∑ = n i i x 1 2 = ∑ = n i i x 1 2 ⇒ x i = 0, với ∀ i = 1, 2, ., n ⇒ x = 0 ( Điều này mâu thuẫn với định nghĩa x là véctơ tựa ánh sáng ) Vậy x 0 ≠ 0. Khi đó đặt x ̃ = (1, 0 1 x x , ., 0 x x n ) ∈ S 1 − + n = { x = (x 0 , x 1 , ., x n ) /<x, x> = 0, x 0 = 1} và gọi S 1 − + n là nón ánh sáng (n-1)-cầu. +) n-không gian hyperbolic, kí hiệu H n + (-1) được xác định H n + (-1) = { x ∈ R 1 1 + n / < x, x > = -1; x 0 ≥ 1} Rõ ràng tích vô hướng trong R 1 1 + n hạn chế trên T p H n + (-1); (với ∀ p = x(u), u ∈ U ) có tính chất song tuyến tính, xác định dương nên H n + (-1) là một đa tạp Riemann. 10