Sự tách được của các tập lồi trong không gian vectơ

1 Bộ giáo dục và đào tạo TRờng đại học vinh --------------------------- phạm anh lộc Sự tách đợc của các tập lồi trong không gian vectơ Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 1.01.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : ts. Phạm ngọc bội Vinh - 2004 mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1 - Tập hợp lồi trong không gian vectơ 4 1.1. Bao lồi và bao affine 4 1.2. Phần trong đại số và bao đóng đại số 13 1.3. Thể lồi đại số 16 1.4. Tập lồi trong không gian vectơ tôpô 19 Chơng 2 - định lý tách 23 1.1. Định lý tách trong không gian vectơ 23 1.2. Định lý tách trong không gian vectơ tôpô 29 1.3. Dạng hình học của định lý Hahn - Banach 31 1.4. Định lý tách trong không gian định chuẩn 34 1.5. Định lý tách trong R n . 37 kết luận 46 tài liệu tham khảo 2 Mở đầu A. Lịch sử vấn đề Lý thuyết tách các tập lồi đợc dùng để chứng minh nhiều sự kiện cơ bản của quy hoạch toán học, lý thuyết trò chơi và kinh tế toán. Nói riêng, nó đợc áp dụng để chứng minh các định lý đối ngẫu trong quy hoạch lồi, định lý minimax tổng quát trong lý thuyết trò chơi ma trận, để chứng minh sự tồn tại tình thế cân bằng trong các mô hình kinh tế cạnh tranh. Bài toán đặt ra là khi nào thì hai tập lồi có thể tách, tách thực sự và tách ngặt bởi một siêu phẳng. Vấn đề này đã đợc các nhà toán học nh Jan Van Tiel, Frederick A. Valentine, . nghiên cứu và đã đạt đợc các kết quả quan trọng. Có thể trình bày sơ lợc các kết quả đó nh sau : 1) Nếu A, B là hai tập lồi trong không gian vectơ V sao cho A , B i và A B i = thì tồn tại một siêu phẳng trong V tách thực sự A và B. 2) Nếu A, B là hai tập lồi trong không gian vectơ tôpô E sao cho A , int(B) và A int(B) = thì tồn tại một siêu phẳng đóng trong E tách thực sự A và B. 3) Nếu C là một thể lồi và M là tập affine trong không gian vectơ tôpô E sao cho M và M int(C) = thì tồn tại một siêu phẳng đóng trong E chứa M và tách thực sự C và M. 4) Nếu C là tập đóng, lồi, khác rỗng trong không gian định chuẩn E và a C thì tồn tại một siêu phẳng đóng trong E tách ngặt C và a. B. Bài toán đặt ra Trong luận văn này chúng tôi đặt ra vấn đề là : liệu có thể bổ sung các điều kiện để tách ngặt hai tập lồi trong không gian vectơ, không gian vectơ tôpô 3 và không gian định chuẩn hay không? Với lý do nh vậy chúng tôi đi tới quyết định chọn đề tài nghiên cứu : Sự tách đợc của các tập lồi trong không gian vectơ. Cụ thể mục tiêu nghiên cứu của luận văn là : 1) Tìm điều kiện để hai tập lồi trong không gian vectơ có thể tách ngặt bởi một siêu phẳng. 2) Tìm điều kiện để hai tập lồi trong không gian vectơ tôpô có thể tách ngặt bởi một siêu phẳng đóng. 3) Tìm điều kiện để hai tập lồi trong không gian định chuẩn có thể tách thực sự và tách ngặt bởi một siêu phẳng đóng. C. Cấu trúc luận văn Với mục tiêu nh vậy, cấu trúc của luận văn này gồm các chơng mục sau : Mở đầu Chơng 1 - Tập lồi trong không gian vectơ Trong chơng này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản liên quan đến tập lồi, cụ thể gồm các mục sau : 1.1. Bao lồi và bao affine 1.2. Phần trong đại số và bao đóng đại số 1.3. Thể lồi đại số 1.4. Tập lồi trong không gian vectơ tôpô Chơng 2 - Định lý tách Trong chơng này chúng tôi trình bày các kết quả đã có liên quan đến định lý tách và những kết quả thu đợc, cụ thể gồm các mục sau : 2.1. Định lý tách trong không gian vectơ 2.2. Định lý tách trong không gian vectơ tôpô 2.3. Dạng hình học của định lý Hahn - Banach 2.4. Định lý tách trong không gian định chuẩn 4 2.5. Định lý tách trong R n Kết luận Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo Phạm Ngọc Bội. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đối với ngời thầy hớng dẫn của mình - ngời đã đặt vấn đề, hớng dẫn và giúp đỡ tác giả đạt đợc kết quả trên. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học của khoa Toán trờng Đại học Vinh, các thầy cô giáo trong khoa đào tạo Sau đại học trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong thời gian qua. Tác giả Chơng 1 5 Tập lồi trong không gian vectơ Trong chơng này ta ký hiệu V là không gian vectơ trên R chứa nhiều hơn một điểm. 1.1. bao lồi và bao affine 1.1.1. Định nghĩa (a) Giả sử x, y V. Đoạn thẳng [x, y] là tập hợp {x + (1 - )y 0 1}. Nếu x y, phần trong (x, y) của [x, y] là tập hợp {x + (1 - )y 0 < < 1}. Tơng tự ta có thể định nghĩa [x, y) và (x, y]. (b) Giả sử A V. Tập A đợc gọi là lồi nếu [x, y] A với mọi x, y A. (c) Tổ hợp lồi (hữu hạn) của các điểm x 1 , x 2 , ., x n V là một điểm của V có thể biểu diễn dới dạng i n i i x = 1 , trong đó i 0 (i = 1, 2, ., n) và 1 1 = = n i i . 1.1.2. Mệnh đề [4] Giả sử A V. Khi đó, A là tập lồi khi và chi khi nó chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của nó. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu A là tập lồi thì nó chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của nó, nghĩa là i n i i xx = = 1 A với mọi x i A, i 0 (i = 1, 2, ., n) và 1 1 = = n i i . Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n. 6 Với n = 2, ta có x = 1 x 1 + 2 x 2 A với mọi x 1 , x 2 A, 1 , 2 0 và 1 + 2 = 1 (vì A là tập lồi). Vậy, kết luận đúng với n = 2. Giả sử kết luận đúng với n = k 2, nghĩa là i k i i xx = = 1 A với mọi x i A, i 0 (i = 1, 2, ., k) và 1 1 = = k i i . Ta cần chứng tỏ kết luận đúng với n = k + 1. Ta có thể giả thiết 0 k + 1 < 1, bởi vì nếu k + 1 = 1 thì từ 1 1 = = k i i và i 0 (i = 1, 2, ., k + 1) ta suy ra 1 = 2 = . = k = 0 và do đó x = x k + 1 A. Khi đó, ta có 1 - k + 1 = 1 + 2 + . + k > 0 và 1 1 + k i 0 (i = 1, 2, ., k). Vì 1 1 1 1 = = + k i k i nên theo giả thiết quy nạp ta có i k i k i xy = + = 1 1 1 A. Do đó, x = (1 - k + 1 )y + k + 1 x k + 1 A. 1.1.3. Mệnh đề [6] Giả sử A V. Khi đó, A là tập lồi khi và chỉ khi ( + )A = A + A với mọi 0, 0. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu A là tập lồi thì ( + )A = A + A với mọi 0, 0 (vì để chứng minh điều ngợc lại, ta chỉ cần lấy với mọi 0, 0 và + = 1). Thật vậy, với 0, 0 ta có ngay ( + )A A + A. Ngợc lại, ta có thể giả thiết + > 0 (bởi vì nếu = = 0 thì ta có ngay đ.p.c.m). Khi đó, với a A và b A, trong đó a, b A ta có cbaba )()( += + + + +=+ ( + )A, 7 trong đó bac + + + = A (vì A là tập lồi). Do đó, A + A ( + )A. Vậy, ( + )A = A + A. 1.1.4. Mệnh đề [4] (a) Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là lồi. (b) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là lồi. (c) ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là lồi. Chứng minh (a) Giả sử {A } I là họ các tập lồi của V. Đặt A = I A . Khi đó, với x, y A ta có x, y A với mọi I. Do đó, với 0 1 ta có x + (1 - )y A với mọi I (vì A là tập lồi). Từ đó suy ra, x + (1 - )y A. Vậy, A là tập lồi của V. (b) Giả sử A i V là tập lồi và i R (i = 1, 2, ., n). Đặt A = 1 A 1 + 2 A 2 + . + n A n . Khi đó, với x, y A và 0 1 (giả sử x = 1 x 1 + 2 x 2 + . + n x n , y = 1 y 1 + 2 y 2 + . + n y n , trong đó x i , y i A i (i = 1, 2, ., n)) ta có x + (1 - )y = 1 [x 1 + (1 - )y 1 ] + 2 [x 2 + (1 - )y 2 ] + . + n [x n + (1 - )y n ] A (vì A i là tập lồi nên x i + (1 - )y i A i (i =1, 2, ., n)). Vậy, A là tập lồi của V. (c) Giả sử W là không gian vectơ trên R và f : V W là ánh xạ tuyến tính từ V vào W. Giả sử A V là tập lồi. Khi đó, với x, y f(A) và 0 1 (giả sử x = f(a), y = f(b), trong đó a, b A) ta có x + (1 - )y = f(a) + (1 - )f(b) = f(a + (1 - )b) f(A) (vì A là tập lồi nên a + (1 - )b A). Vậy, f(A) là tập lồi của W. Giả sử B W là tập lồi. Khi đó, với x, y f -1 (B) ta có f(x), f(y) B. Do đó, với 0 1 ta có f(x + (1 - )y) = f(x) + (1 - )f(y) B (vì f là ánh xạ 8 tuyến tính và B là tập lồi). Từ đó suy ra, x + (1 - )y f -1 (B). Vậy, f -1 (B) là tập lồi của V. 1.1.5. Định nghĩa Giả sử A V. Bao lồi co(A) của A là tập lồi bé nhất của V chứa A. Chú ý. Giả sử A V. Khi đó, theo mệnh đề 1.1.4(a) ta có co(A) là giao tất cả các tập lồi của V chứa A. 1.1.6. Định lý [6] Giả sử A V. Khi đó, co(A) là tập tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của A. Chứng minh Giả sử B là tập tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của A. Theo định nghĩa 1.1.5 ta có co(A) là tập lồi. Mặt khác, vì A co(A) nên theo mệnh đề 1.1.2 co(A) chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của A. Do đó, B co(A). Để chứng minh bao hàm thức ngợc lại, ta chỉ cần chứng tỏ rằng B là tập lồi (vì A B). Thật vậy, với x, y B và 0 1 (giả sử = = m i ii xx 1 , = = n j jj yy 1 à , trong đó x i A, i 0 (i = 1, 2, ., m) và 1 1 = = m i i ; y j A, à j 0 (j = 1, 2, ., n) và 1 1 = = n j j à ) ta có ==== +=+=+ n j jj m i ii n j jj m i ii yxyxyx 1111 ])1[()()1()1( àà B (vì 1)1()1()1( 1111 =+=+=+ ==== àà n j j m i i n j j m i i ).Vậy, B là tập lồi của V. Từ đó suy ra, co(A) = B. 9 1.1.7. Mệnh đề [7] Nếu A, B V là các tập lồi thì co(A B) = 10 { A + (1 - )B}. Chứng minh Đặt C = 10 {A + (1 - )B}. Khi đó, với mọi a A, b B và 0 1 ta có a + (1 - )b co(A B) (vì a, b A B). Do đó, C co(A B). Để chứng minh bao hàm thức ngợc lại, ta chỉ cần chứng tỏ rằng C là tập lồi (vì A B C). Thật vậy, với x, y C và 0 1 (giả sử x = 1 a 1 + (1 - 1 )b 1 , y = 2 a 2 + (1 - 2 )b 2 , trong đó a 1 , a 2 A, b 1 , b 2 B và 0 1 , 2 1) ta xét z = x + (1 - )y. Ta có thể giả thiết 0 < < 1, 0 < 1 + (1 - ) 2 < 1 ( 0 < (1 - 1 ) + (1 - )(1 - 2 ) < 1) (vì nếu = 0 hoặc = 1 thì z = y hoặc z = x, còn nếu 1 = 2 = 0 hoặc 1 = 2 = 1 thì z = b 1 + (1 - )b 2 B hoặc z = a 1 + (1 - )a 2 A từ đó suy ra z C). Khi đó, ta có : + + + += 2 21 2 1 21 1 21 )1( )1( )1( ])1([ aaz + + + ++ 2 21 2 1 21 1 21 )1)(1()1( )1)(1( )1)(1()1( )1( )]1)(1()1([ bb + + + ++ + + + += 2121 )(1 1 )(1 )](1[)( bbaa ba )1( àà += C, trong đó = 1 , = (1 - ) 2 , 21 aaa + + + = A, 1 )(1 bb + = 2 )(1 1 b + + B và à = + . Vậy, C là tập lồi của V. 1.1.8. Định nghĩa 10