Tách các tập đóng trong không gian banach và áp dụng trong tối ưu vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HƯỜNG TÁCH CÁC TẬP ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HƯỜNG TÁCH CÁC TẬP ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Quang Huy Hà Nội, 2017 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Quang Huy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội vào hồi Ngày tháng năm 2018 CÓ THỂ TÌM HIỂU LUẬN VĂN TẠI THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Quang Huy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể q thầy giáo Khoa Tốn, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Tiên Du số - Huyện Tiên Du Tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện, giúp đỡ cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy, luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Tách tập đóng không gian Banach áp dụng tối ưu véctơ tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn trung thực rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hường Mục lục Mở đầu Chương Tách mờ tập đóng 1.1 Các khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, vi phân đối đạo hàm 1.1.1 Khái niệm nón tiếp tuyến 1.1.2 Khái niệm nón pháp tuyến 1.1.3 Khái niệm vi phân đối đạo hàm 1.2 Nguyên lý cực trị 1.3 Định lý tách mờ tập đóng Chương Áp dụng tối ưu véctơ 2.1 Các khái niệm nghiệm 2.2 Điều kiện cực trị Kết luận Tài liệu tham khảo 5 21 21 23 40 41 Mở đầu Lí chọn đề tài Các định lý tách tập lồi đóng có vai trò quan trọng giải tích hàm lý thuyết tối ưu Một dạng hữu ích quen thuộc định lý phát biểu sau: Nếu A1 A2 hai tập lồi đóng khơng gian Banach (hoặc tổng qt hơn, không gian véctơ tôpô lồi địa phương) X với hai tập compact tồn hàm tuyến tính liên tục x∗ X cho inf{ x∗ , x : x ∈ A2 } > sup { x∗ , x : x ∈ A1 } Trong năm gần có nhiều quan tâm nghiên cứu theo hướng mở rộng định lý tách cho tập đóng khơng thiết lồi (xem, chẳng hạn, [10] tài liệu tham khảo đó) Trong khơng gian Asplund theo thuật ngữ nón pháp tuyến Fréchet, Mordukhovich Shao [11] lần thiết lập nguyên lý cực trị cho hai tập đóng với điểm chung xác định hai tập Theo nghĩa đó, nguyên lý cực trị xem dạng định lý tách mờ cho hai tập đóng khơng thiết lồi Tiếc rằng, trường hợp A1 = {x} A2 tập lồi (và đóng) cho x ∈ / A2 định lý tách mờ biết cho tập đóng đưa dạng định lý tách tập lồi phát biểu Từ quan điểm lý thuyết ứng dụng, quan trọng thú vị mà cần phải tìm dạng khác cho định lý tách mờ để đồng định lý tách mờ tập đóng định lý tách tập lồi đóng cổ điển Sử dụng kỹ thuật giải tích biến phân khái niệm nón pháp tuyến, Zheng NG [17] thiết lập dạng định lý tách mờ số hữu hạn tập đóng khơng gian Banach mà đồng định lý tách lồi cổ điển định lý tách mờ biết Đề tài "Tách tập đóng khơng gian Banach áp dụng tối ưu véctơ" nhằm mục đích nghiên cứu dạng mở rộng định lý tách mờ tập đóng Zheng NG[17], áp dụng để thiết lập điều kiện cần đủ cho nghiệm Pareto xấp xỉ tốn tối ưu có ràng buộc Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết tách mờ tập đóng khơng gian Banach áp dụng tối ưu véctơ hay tối ưu đa mục tiêu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lý tách lồi cổ điển; định lý tách mờ Mordukhovich đồng tác giả; định lý hình chiếu xấp xỉ; nguyên lý cựu trị; dạng mở rộng định lý tách mờ Zheng NG[17] đồng định lý tách lồi cổ điển, định lý tách mờ tập đóng định lý hình chiếu xấp xỉ; kỹ thuật giải tích biến phân để thiết lập dạng mở rộng định lý tách mờ Áp dụng để thiết lập điều kiện cần đủ cho nghiện Pareto xấp xỉ toán tối ưu véctơ có ràng buộc Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Nón pháp tuyến; nguyên lý cực trị không gian Banach; định lý tách mờ tập lồi đóng; điều kiện cần đủ tối ưu + Phạm vi nghiên cứu: Giải tích biến phân tối ưu véctơ Phương pháp đối tượng nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu Giải tích hàm, Giải tích biến phân Tối ưu véctơ Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hóa kết tách lồi cổ điển, tách mờ tập đóng, định lý hình chiếu xấp xỉ dạng mở rộng định lý tách mờ tập đóng Áp dụng kết tách mờ tập đóng để thiết lập điều kiện tối ưu tối ưu véctơ Chương Tách mờ tập đóng Trong chương này, trước tiên nhắc lại khái niệm quen thuộc nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, vi phân đối đạo hàm Tiếp theo trình bày định lý tách mờ, định lý hình chiếu xấp xỉ, mở rộng nguyên lý cựu trị Mordukhovich đồng tác giả Kết quan trọng chương dạng mở rộng định lý tách mờ Zheng NG [17] đồng định lý tách lồi cổ điển, định lý tách mờ tập đóng định lý hình chiếu xấp xỉ biết 1.1 1.1.1 Các khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, vi phân đối đạo hàm Khái niệm nón tiếp tuyến Ta ký hiệu BX , X hình cầu đơn vị mặt cầu đơn vị B(x, r) ký hiệu hình cầu mở với tâm x bán kính r Cho A tập đóng X a điểm thuộc A Ta ký hiệu Tc (A, a) T (A, a) nón tiếp tuyến Clarke nón tiếp liên A a, định nghĩa sau A Tc (A, a) := {v ∈ X : ∀an → a ∀tn → 0+ ∃vn → v cho an + tn ∈ A ∀n ∈ N} T (A, a) := v ∈ X : ∃tn → 0+ → v cho a + tn ∈ A ∀n ∈ N , A x → a nghĩa x → a x ∈ A 1.1.2 Khái niệm nón pháp tuyến Nón pháp tuyến Clarke Nc (A, a) A a định nghĩa Nc (A, a) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , h ≤ ∀h ∈ Tc (A, a)} , 28 Trong mục này, sở kết tách mờ đạt được, ta xét vấn đề tương ứng cho toán tối ưu đa mục tiêu (2.1) Để làm điều này, trước tiên ta cung cấp quy tắc nhân Lagrange cho ε−nghiệm Pareto yếu (2.1) Định lý 2.2.1 Cho ε > (x, y ) ε−nghiệm Pareto yếu (2.1) Lấy y¯i ∈ Φi (¯ x) ∩ Ki (i = 1, , m) Khi đó, ∀λ > 0, ∃xi ∈ B (x, λ) , yi ∈ Φi (xi ) ∩ B (y i , λ) , xm+1 ∈ A ∩ B (x, λ) , c∗i ∈ Ki+ , ε ε x∗i ∈ Dc∗ Φi (xi , yi ) c∗i + BYi∗ + BX ∗ (0 ≤ i ≤ m) , λ λ x∗m+1 ∈ Nc (A, xm+1 ) + λε BX ∗ cho ε − < λ m i=0 m+1 x∗i = i=0 ε (||x∗i || + ||c∗i ||) < 1+ λ (2.10) Chứng minh: Vì (x, y ) ε−nghiệm Pareto yếu (2.1) nên ∃e ∈ Y0 ||e|| < ε cho (4.6) thỏa mãn Trang bị khơng gian m tích X × Yi chuẩn sau i=0 m || (x, y0 , , ym ) || := max ||x||, max ||yi || 0≤i≤m ∀ (x, y0 , , ym ) ∈ X× Yi i=0 lấy m Ai := Yi : (x, yi ) ∈ Gr (Φi ) (i = 0, 1, , m), (x, y0 , , ym ) ∈ X × i=0 m Am+1 := A × (y + e − K0 ) × (y i − Ki ) i=1 m+1 Ai = ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại ∃x ∈ A Ta khẳng định i=0 y ∈ Φi (x) (i = 0, 1, , m) cho y0 ∈ (y + e − K0 ) yi ∈ y i − Ki ⊂ −Ki (i = 0, 1, , m) 29 m Ta suy x ∈ A ∩ i=1 Φ−1 i (−Ki ) = Z, y0 ∈ Φ0 (Z) ∩ (y + e − K0 ) , m+1 Ai = ∅ khẳng định mâu thuẫn với (2.6) Điều suy i=0 chứng minh Lấy a0 = a1 = · · · = am = (x, y , y , , y m ) am+1 = (x, y + e, y , , y m ) Khi max ||ai − am+1 || = ||e|| < ε ≤ γ∞ (A0 , A1 , , Am+1 ) + ε 0≤i≤m Bởi Định lý 1.3.1 nên tồn = (xi , yi,0 , , yi,m ) ∈ Ai ∗ ∗ x∗i , yi,0 , , yi,m ∈ (X × Y0 , , Ym+1 )∗ cho m+1 d ∗ ∗ x∗i , yi,0 , , yi,m , Nc (Ai , ) < i=0 max 0≤i≤m+1 ε , λ (2.11) − = max {max{ xi − x , max yi,k − y k }, 0≤i≤m 0≤k≤m max{ xm+1 − x , ym+1,0 − y − e , max ym+1,k − y k }} < λ, 1≤k≤m (2.12) m+1 m ||x∗i || + i=0 ∗ ||yi,k || =1 (2.13) k=0 m+1 ∗ ∗ x∗i , yi,0 , , yi,m = (2.14) i=0 Từ định nghĩa Ai ta có m Ki+ Nc (Am+1 , am+1 ) ⊂ Nc (A, xm+1 ) × i=0 ∗ Nc (Ai , ) = {(x∗ , y0∗ , , ym ) : (x∗ , yi∗ ) ∈ Nc (Gr (Φi ) , (xi , yi,i )) yk∗ = ∀k = i} với (0 ≤ i ≤ m) Điều (2.11) suy tồn (x∗i , yi∗ ) ∈ Nc (Gr (Φi ) , (xi , yi,i )) (0 ≤ i ≤ m) , (2.15) 30 m x∗m+1 ∈ Nc (A, xm+1 ) (c∗0 , , c∗m ) Kk+ ∈ (2.16) k=0 cho m+1 m ||x∗i − i=0 m m x∗i || + ||yi∗ − ∗ ||yi,k || + ∗ yi,i || + i=0 ∗ ||ym+1,k − c∗k || < i=0 i,k=0,k=i ε λ (2.17) Ta suy từ (2.14) m −yk∗ = c∗k + ∗ yk,k − yk∗ + ∗ ym+1,k − c∗k + i=0,i=k ε ∗ yi,k ∈ c∗k + BYk∗ , ≤ k ≤ m λ Bởi (2.14)-(2.17) ta có ε ε x∗k ∈ Dc∗ Φk (xk , yk,k ) c∗k + BYk∗ + BX ∗ , k = 0, 1, , m λ λ x∗m+1 ε ∈ Nc (A, xm+1 ) + BX ∗ λ m+1 x∗i = i=0 Ta phải chứng minh bất đẳng thức (2.10) Để làm m điều này, lưu ý từ (2.14) x∗i = −x∗m+1 i=0 m+1 m ||x∗i || ||x∗i || ≤2 i=0 (2.18) i=0 ∗ ∗ Tương tự, (2.14) nên ta có −yk,k = ym+1,k + ∗ yi,k suy i=0,i=k m+1 m ∗ ||yk,k || m ∗ ||ym+1,k || ≤ k=0 ∗ ||yi,k || + k=0 i,k=0,i=k Do m+1 m ∗ ||yi,k || i=0 k=0 m ≤ ∗ ||ym+1,k || k=0 m ∗ ||yi,k || + i,k=0,i=k m ≤2 k=0 ∗ ||ym+1,k || m + ∗ ||yk,k || k=0 m + i,k=0,i=k ∗ ||yi,k || (2.19) 31 Cộng vế với bất đẳng thức (2.18) (2.19) sử dụng (2.13) ta suy   m m m ||x∗i || ≤ 2 ∗ ||ym+1,k || + i=0 ∗  ||yi,k || , + i,k=0,i=k k=0 ≤ m + ||c∗i ||) ∗ ||ym+1,k || + i=0 m i=0 ∗ ||yi,k − c∗i || + i,k=0,i=k k=0 (||x∗i || + ||c∗i ||) + < m m (||x∗i || ε λ (xem (2.17)) Vì bất đẳng thức thứ (2.10) thỏa mãn Hơn nữa, từ (2.13) (2.17) ta nhận thấy m m ||x∗i || i=0 + ∗ ||ym+1,i || ∗ ||c∗i − ym+1,i || < ≤ i=0 ε λ Áp dung bất đẳng thức tam giác, ta thấy bất đẳng thức thứ hai (2.10) thỏa mãn Định lý chứng minh Định lý 2.2.2 Cho Φ0 bị chặn tập chấp nhận Z nón thứ tự K0 giả sử K0 có đáy bị chặn Khi hai khẳng định sau đúng: (i) ∀ε > 0, ∃x ∈ Z y ∈ Φ0 (x) cho (x, y ) nghiệm ε−nghiệm Pareto (2.1) ∃x0 ∈ B (x, ε), y0 ∈ Φ0 (x0 ) ∩ B (y , ε) , xi ∈ B (x, ε) yi ∈ Φi (xi ) ∩ (−Ki + εBYi ) (1 ≤ i ≤ m), a ∈ A ∩ B (x, ε) c∗i ∈ Ki+ thỏa mãn tính chất m ||c∗i || = ∈ Dc∗ Φi (xi , yi ) c∗i + εBYi∗ + Nc (A, a) + εBX ∗ i=‘0 (ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ Z y ∈ Φ0 (x) cho (x, y ) nghiệm ε−nghiệm Pareto (2.1) ∃x0 ∈ B (x, ε), y0 ∈ Φ0 (x0 ) ∩ B (y , ε), xi ∈ B (x, ε) yi ∈ Φi (xi ) ∩ (−Ki + εBYi ) (1 ≤ i ≤ m), a ∈ A ∩ B (x, ε) x∗i ∈ Dc∗ φi (xi , yi ) εBYi∗ a∗ ∈ Nc (A, a) + εBX ∗ 32 thỏa mãn tính chất m m x∗i ∗ ||x∗i || + ||a∗ || = + a = i=0 i=0 Chứng minh: Bởi Mệnh đề 2.2.2 nên với n ∈ N ∃xn ∈ Z y n ∈ Φ0 (xn ) cho (xn , y n ) n12 −nghiệm Pareto (2.1) Từ Định lý 2.3 (áp dụng với ε = n12 λ = n1 ) suy ∃x0 (n) ∈ B xn , n1 , y0 (n) ∈ Φ0 (x0 (n))∩B y n , n1 , xi (n) ∈ B xn , n1 yi (n) ∈ Φi (xi (n))∩ −Ki + n1 BYi , (1 ≤ i ≤ m) , xm+1 (n) ∈ A ∩ B xn , n1 , c∗i (n) ∈ Ki+ , + BX ∗ , ≤ i ≤ m n (2.20) x∗i (n) ∈ Dc∗ F (xi (n) , yi (n)) c∗i (n) + BYi∗ n x∗m+1 (n) ∈ Nc (A, xm+1 (n)) + BX ∗ n (2.21) cho m+1 x∗i (n) = + i=0 1 > max ||x∗i (n) || + ||c∗i (n) || > − (2.22) n 0≤i≤m n m Với số tự nhiên n, lấy rn := ||c∗i (n) || i=0 Trước tiên ta xét trường hợp {rn } không hội tụ tới Trong trường hợp này, khơng tính tổng qt, ta giả sử rn ≥ r với r số dương với n ∈ N (nếu cần thiết ta lấy dãy con) Đặt c∗i (n) := c∗i (n) rn Khi c∗i (n) ∈ Ki+ , m ||c∗i (n) || = ta suy i=0 từ (2.20)-(2.22) m Dc∗ F (xi (n) , yi (n)) c∗i (n) + 0∈ i=0 + Nc (A, xm+1 (n)) + BY ∗ nr i m+2 BX ∗ nr Điều suy (i) thỏa mãn ∀n ∈ N 33 Bây ta giả sử rn → Trong trường hợp này, (2.22) nên m+1 ln := ||x∗i (n) || ≥ i=0 với n đủ lớn Ta suy từ (2.20)-(2.22) x∗i (n) ∈ Dc∗ F (xi (n) , yi (n)) ln rn + ln nln BYi∗ + BX ∗ , ≤ i ≤ m, nln x∗m+1 (n) ∈ Nc (A, xm+1 (n)) + BX ∗ , ln nln m+1 i=0 x∗i (n) = ln m+1 i=0 x∗i (n) = ln Vì (ii) thỏa mãn Định lý chứng minh Trong trường hợp không gian Asplund, tương tự chứng minh Định lý 2.2.1 2.2.2 ta chứng minh Định lý 2.2.3 2.2.4 (với Định lý 1.3.3 thay Định lý 1.3.1) Định lý 2.2.3 Cho X, Y1 , , Ym không gian Asplund Cho ε > (x, y ) ε−nghiệm Pareto (2.1) Lấy y i ∈ Φi (x) ∩ −Ki (i = 1, , m) Khi đó, với λ > 0, tồn xi ∈ B (x, λ) , yi ∈ Φi (xi ) ∩ B (y i , λ) , xm+1 ∈ A ∩ B (x, λ) , c∗i ∈ Ki+ , ε ε x∗i ∈ D∗ Φi (xi , yi ) c∗i + BYi∗ + BX ∗ , ≤ i ≤ m λ λ ε x∗m+1 ∈ N (A, xm+1 ) + BX ∗ λ cho m+1 x∗i i=0 ε = − < λ m i=0 ε ( x∗i + c∗i ) < 1+ λ Định lý 2.2.4 Cho X, Y1 , , Ym không gian Asplund Lấy Φ0 bị chặn tập Z nón thứ tự K0 , giả sử K0 có đáy bị chặn Khi đó, khẳng định sau (i) ∀ε > 0, ∃x ∈ Z y ∈ Φ0 (x) cho (x, y ) ε−nghiệm Pareto (2.1) ∃ x0 ∈ B (x, ε) , y0 ∈ Φ0 (x0 ) ∩ B (y o , ε) , xi ∈ B (x, ε) 34 yi ∈ Φi (xi ) ∩ (−Ki + εBYi ) (1 ≤ i ≤ m) , a ∈ A ∩ B (x, ε) c∗i ∈ Ki+ thỏa mãn m m c∗i D∗ Φi (xi , yi ) c∗i + εBYi∗ + N (A, a) + εBX ∗ = ∈ i=0 i=0 (ii) ∀ε > 0, ∃x ∈ Z y ∈ Φ0 (x) cho (x, y ) ε−nghiệm Parteto (2.1) ∃ x0 ∈ B (x, ε) , y0 ∈ Φ0 (x0 )∩B (y o , ε) , xi ∈ B (x, ε) yi ∈ Φi (xi ) ∩ (−Ki + εBYi ) (1 ≤ i ≤ m) , a ∈ A ∩ B (x, ε) x∗i ∈ D∗ Φi (xi , yi ) εBYi∗ a∗ ∈ N (A, a) + εBX ∗ thỏa mãn m m x∗i ∗ x∗i + a∗ = + a = i=0 i=0 Dưới giả thiết Lipschitz ta có kết sau Định lý 2.2.5 Cho X, Y1 , , Ym không gian Asplund Lấy Φ0 bị chặn tập chấp nhận Z nón thứ tự K0 Giả sử K0 có đáy bị chặn Φi Lipschitz Khi khẳng định (i) Định lý 2.2.4 thỏa mãn Chứng minh: Lấy L > số Lipschitz chung cho Φi Khi đó, [14, Định lý 3.2], ta có x∗ : x∗ ∈ D∗ Φi (xi , yi ) (yi∗ ) ≤ L yi∗ sup (2.23) với (xi , yi ) ∈ Gr (φi ) , yi∗ ∈ Yi∗ Bởi Định lý 2.2.4, ta cần khẳng định (ii) Định lý 2.2.4 không thỏa mãn với ε ∈ 0, 3(m+1)L Lấy xi ∈ X, yi ∈ Φi (xi ) , a ∈ A, x∗i ∈ D∗ φi (xi , yi ) a∗ ∈ Nc (A, a) + ∗ 3(m+1)L BX m chứng tỏ m thỏa mãn , x∗i + a∗ = Ta phải i=0 ||x∗i || + ||a∗ || = Bởi (2.23), ta có i=0 x∗i ≤ L ∗ 3(m+1)L BYi 1 = (m + 1) L (m + 1) 35 Do m ||x∗i || i=0 Vì ≤ a∗ = m i=0 m i=0 x∗i ≤ ||x∗i || + ||a∗ || ≤ Định lý chứng minh Nhận xét: Lấy f : X → R ∪ {+∞} hàm thường nửa liên tục dưới, xác định F (x) = [f (x) , +∞) ; G (x) = {f (x)} ∀x ∈ X Nhắc lại (xem, chẳng hạn, [10]) tính chất sau biết: (i) Nếu (x∗ , −λ) ∈ N (Gr (F ) , (x, t)) λ ≥ (ii) Nếu λ > (x∗ , −λ) ∈ N (Gr (F ) , (x, t)) t = f (x) D∗ F (x, f (x)) (λ) = λ∂f (x) (iii) Với (x, t) ∈ Gr (F ) , D∗ F (x, t) (0) = D∗ F (x, f (x)) (0) = ∂ ∞ f (x) (iv) Nếu f Lipschitz địa ∂ ∞ f (x) = {0} (v) Với λ = 0, D∗ G (x, f (x)) (λ) = ∂ (λf ) (x) (vi) D∗ G (x, f (x)) (0) = ∂ ∞ f (x) Lấy φi : X → R hàm nửa liên tục i = (0, 1, , m), Φi (x) = [φi (x) , +∞) , ≤ i ≤ n Φi (x) = {φi (x)} , n < i ≤ m Trong trường hợp Y0 = Y1 = = Ym = R, K0 = K1 = = Kn = R+ Kn+1 = = Km = {0}, ta thấy (2.1) quy tốn tối ưu có ràng buộc số thơng thường Vì vậy, trường hợp đặc biệt này, đối đạo hàm xuất Định lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 trình bày theo thuật ngữ đối đạo hàm Fréchet Φi Đặc biệt, kết Định lý 2.2.5 cho ta khẳng định trở kết đạt Mordukhovich Wang mà đề cập Chương Nhận xét: Lấy G : X → 2Y1 × ×Ym cho G (x) := Φ1 (x) × × Φm (x) ∀x ∈ X 36 K := K1 × × Km Khi đó, Bài tốn tối ưu véctơ (2.1) viết lại sau: K0 − Φ0 (x) G (x) ∩ −K = ∅ x ∈ A (2.24) Ta dễ dàng thấy tập chất nhận (2.1) (2.24) đồng Do (x, y ) ε−nghiệm Pareto (tương ứng, ε−nghiệm Pareto yếu ) (2.1) ε−nghiệm Pareto (tương ứng, ε− nghiệm Pareto yếu ) (2.24) Lưu ý m (*) ∗ D∗ Φi (xi , yi ) (yi∗ ) ⊂ D∗ G (x, (y1 , , ym )) (y1∗ , , ym ) i=1 với x ∈ X, yi ∈ Φi (x), yi∗ ∈ Yi∗ (i = 1, , m) Tuy nhiên, kể trường hợp đặc biệt Φi (x) = [φi (x) , +∞) , ≤ i ≤ n Φi (x) = {φi (x)} , n < i ≤ m thiết lập bao hàm ngược (*) Bởi vì, với đối đạo hàm nón pháp tuyến Clarke, mối m quan hệ ∗ ) D∗ Φi (xi , yi ) (yi∗ ) D∗ G (x, (y1 , , ym )) (y1∗ , , ym i=1 phức tạp chưa biết bao hàm (∗ ) sau m (∗ ) ∗ ) Dc∗ Φi (xi , yi ) (yi∗ ) ⊂ Dc∗ G (x, (y1 , ym )) (y1∗ , , ym i=1 Vì vậy, chưa thể thiết lập Định lý 2.2.1-2.2.5 thuật ngữ điều kiện cần điều kiện đủ cho ε−nghiệm Pareto (hoặc ε−nghiệm Pareto yếu ) (2.24) Tiếc Định lý 2.2.1-2.2.5 không bao hàm kết điều kiện cần điều kiện đủ kết đạt Chou, Ng, Pang đề cập đến Chương (bởi ε−cực tiểu φ A xuất kết họ "ε−tới hạn" φ A) Phần lại chương này, ta xét toán (là trường hợp đặc biệt (2.1)) sau: K0 − Φ0 (x) với ràng buộc x ∈ A (2.25) Φ0 : X → Y0 hàm đơn trị A tập đóng khác rỗng X Khơng có xuất hàm ràng buộc cho phép ta thiết lập 37 bao hàm thức chặt mở rộng kết cho toán tối ưu mục tiêu tương ứng Chou, Ng, Pang [3] Với ε > 0, ta nói x ∈ A ε−nghiệm Pareto (2.25) diam ((Φ0 (A) + K0 ) ∩ (Φ0 (x) − K0 )) < ε Kí hiêu epiK0 (Φ0 ) epi-graph Φ0 nón K0 xác định epiK0 (Φ0 ) := {(x, y) ∈ X × Y0 : y ∈ Φ0 (x) + K0 } Phỏng theo công thức vi phân (CF) hàm đơn trị, ta định − →X ∗ sau: với y ∗ ∈ Y0∗ , nghĩa đối đạo hàm Dc∗ Φ0 (x) : Y0∗ → Dc∗ Φ0 (x) (y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Nc (epiK0 (Φ0 ) , (x, Φ0 (x)))} Lưu ý Tc epiK0 (Φ0 ) , (x, Φ0 (x)) = Tc epiK0 (Φ0 ) , (x, Φ0 (x)) + {0} × K0 dễ dàng kiểm tra dom (Dc∗ Φ0 (x)) ⊂ K0+ Bổ đề 2.2.1 Lấy x ∈ X y ∗ ∈ K0+ Giả sử Φ0 : X → Y0 hàm Lipschtiz địa phương Khi đó, ∂c (y ∗ ◦ Φ0 ) (x) ⊂ De∗ Φ0 (x) (y ∗ ) Chứng minh: Khẳng định hiển nhiên y ∗ = Tiếp theo, ta giả sử y ∗ ∈ K0+ \ {0} Khi đó, tồn c0 ∈ K0 cho y ∗ , c0 > Đặt S := {(u, y ∗ , c0 ) : (u, v) ∈ Tc (epiK0 (Φ0 (x)))} Do (CF) nên ta cần chứng tỏ S ∈ Tc (epi (y ∗ ◦ Φ0 ) (x) , (x, y ∗ , Φ0 (x) )) Thật vây, lấy (u, r) ∈ S Khi đó, ∃v ∈ Y0 cho (u, v) ∈ Tc (epiK0 (Φ0 ) , (x, Φ0 (x))) r = y ∗ , v (2.26) 38 Lấy tùy ý dãy {(xn , tn )} ⊂ epi (y ∗ ◦ Φ0 ) hội tụ tới (x, y ∗ , Φ0 (x) ) {sn } ⊂ R+ hội tụ tới Rõ ràng tn − y ∗ , Φ0 (xn ) xn , Φ0 (xn ) + c0 y ∗ , c0 dãy epiK0 (Φ0 ) hội tụ tới (x, Φ0 (x)) Do tồn dãy {(un , )} hội tụ tới (u, v) cho tn − y ∗ , Φ0 (xn ) xn , Φ0 (xn ) + c0 + sn (un , ) ∈ epiK0 (Φ0 ) ∀n ∈ N y ∗ , c0 Điều suy (xn , tn ) + sn (un , y ∗ , ) ∈ epi (y ∗ ◦ Φ0 ) ∀n ∈ N Vì (un , y ∗ , ) → (u, r) nên (u, r) ∈ Tc (epi (y ∗ ◦ Φ0 ) , (x, y ∗ , Φ0 (x) )) Vì (4.26) thỏa mãn Bổ đề chứng minh Trong trường hợp đặc biệt (Y0 , K0 ) = (R, R+ ), định lý sau cho ta khẳng định trở lại kết biết Chou, Ng Pang [3] Với trường hợp véctơ, ta cần điều kiện int K0+ = ∅ Điều kiện tương đương với nón K0 có đáy bị chặn Trong trường hợp {c ∈ C : y ∗ , c = 1} đáy bị chặn C với y ∗ ∈ int (C + ) Định lý 2.2.6 Lấy y ∗ ∈ int K0+ giả sử Φ0 : X → Y0 hàm Lipschitz địa phương cho Φ0 bị chặn A nón K0 Khi đó, với ε > 0, tồn xε ∈ A cho xε ε−nghiệm Pareto (2.25) d (0, De∗ Φ0 (xε ) (y ∗ ) + Nc (A, xε )) < ε (2.27) Chứng minh: Đặt Θ = {c ∈ K0 : y ∗ , c = 1} Khi Θ đáy bị chặn K0 Vì Φ0 bị chặn A nón K0 nên y ∗ ◦ Φ0 bị chặn A Bởi Bổ đề 2.2.1 kết Chou, Ng, Pang [3] nên tồn xε ∈ A cho ε (2.28) y ∗ , Φ0 (xε ) < inf y ∗ , Φ0 (xε ) + x∈A M +1 39 (2.27) thỏa mãn, M = supθ∈Θ θ Ta phải chứng tỏ xε ε− nghiệm Pareto (2.25) Ta cần chứng minh (Φ0 (A) + K0 ) ∩ (Φ0 (xε ) − K0 ) ⊂ − 0, ε Θ + Φ0 (xε ) M +1 (2.29) (vì diam 0, Mε+1 Θ < ε) Thật vậy, lấy y = Φ0 (xε ) − tθ≥K0 Φ0 (a) với t ∈ [0, +∞) , θ ∈ Θ a ∈ A y ∗ ∈ int K0+ nên từ (2.28) ta có t = y ∗ , tθ ≤ y ∗ , Φ0 (xε ) − Φ0 (a) < ε M +1 Vì khẳng định (2.29) thỏa mãn Định lý chứng minh Kết luận Với việc áp dụng định lý tách cho hữu hạn tập đóng kết biết Mordukhovich Wang [14] Chou, Ng Pang [3] mở rộng kết từ toán tối ưu mục tiêu sang toán tối ưu đa mục tiêu/bài toán tối ưu véctơ; cụ thể thiết lập điều kiện cần cực trị điều kiện đủ cực trị cho nghiệm Pareto xấp xỉ toán tối ưu véctơ 40 Kết luận Luận văn trình bày số khái niệm kết sau: Các khái niệm nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, vi phân đối đạo hàm Các khái niệm nghiệm tối ưu véctơ Các định lý tách mờ, định lý hình chiếu xấp xỉ, mở rộng nguyên lý cựu trị Mordukhovich đồng tác giả Các kết mở rộng định lý tách mờ đồng định lý tách lồi cổ điển, định lý tách mờ tập đóng định lý hình chiếu xấp xỉ biết Các điều kiện cần cực trị điều kiện đủ cực trị cho nghiệm Pareto xấp xỉ toán tối ưu véctơ Một vấn đề quan trọng đặt cách tự nhiên cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng kết luận văn cho toán tối ưu (bao gồm tối ưu đơn trị tối ưu véctơ) với tập ràng buộc giao vô hạn tập đóng (trong hữu hạn chiều vơ hạn chiều) 41 Tài liệu tham khảo [1] T Q BAO AND B S MORDUKHOVICH, Variational principles for set-valued mappings with applications to multiobjective optimization, Control Cybernet., 36 (2007), pp 531–562 [2] T Q BAO AND B S MORDUKHOVICH, Relative Pareto minimizers for multiobjective problems: Existence and optimality conditions, Math Program., 122 (2010), pp 301–347 [3] C.-C CHOU, K.-F NG, AND J.-S PANG, Minimizing and stationary sequences of constrained optimization problems, SIAM J Control Optim., 36 (1998), pp 1908–1936 ¨ [4] A GOTZ AND J JAHN, The Lagrange multiplier rule in set-valued optimization, SIAM J Optim., 10 (1999), pp 331–344 [5] A GOPFERT, H RIAHI, C TAMME, AND C ZALINESCU, Variational Methods in Partially Ordered Spaces, Springer-Verlag, New York, 2003 [6] C GUTIÉRREZ, B JIMENEZ, AND V NOVO, A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems, SIAM J Optim., 17 (2006), pp 688–710 [7] J JAHN, Vector Optimization: Theory, Applications and Extensions, Springer-Verlag, New York, 2004 [8] G JAMESON, Ordered Linear Spaces, Springer-Verlag, New York, 1970 [9] D T LUC, Theory of Vector Optimization, Springer-Verlag, New York, 1989 [10] B S MORDUKHOVICH, Variational Analysis and Generalized Differentiation, Springer-Verlag, New York, 2006 [11] B S MORDUKHOVICH AND Y SHAO, Extremal characterization of Asplund spaces, Proc Amer Math Soc., 124 (1996), pp 197–205 [12] B S MORDUKHOVICH AND Y SHAO, Nonsmooth sequential analysis in Asplund spaces, Trans Amer Math Soc., 348 (1996), pp 1235–1280 42 [13] B S MODUKHOVICH, J S TREIMAN, AND Q J ZHU, An extended extremal principle with applications to multiobjective optimization, SIAM J Optim., 14 (2003), pp 359–379 [14] B S MORDUKHOVICH AND B WANG, Necessary suboptimality and optimality conditions via variational principles, SIAM J Control Optim., 41 (2002), pp 623–640 [15] X Y ZHENG AND K F NG, The Lagrange multiplier rule for multifunctions in Banach spaces, SIAM J Optim., 17 (2006), pp 1154–1175 [16] X Y ZHENG AND K F NG, Linear regularity for a collection of subsmooth sets in Banach spaces, SIAM J Optim., 19 (2008), pp 62–76 [17] X Y ZHENG AND K F NG, A unified separation theorem for closed sets in a Banach space and optimality conditions for vector optimization., SIAM J Optim 21 (2011), no 3, pp 886–911 ... định lý tách lồi cổ điển định lý tách mờ biết 3 Đề tài "Tách tập đóng khơng gian Banach áp dụng tối ưu véctơ" nhằm mục đích nghiên cứu dạng mở rộng định lý tách mờ tập đóng Zheng NG[17], áp dụng. .. phân Tối ưu véctơ 4 Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống hóa kết tách lồi cổ điển, tách mờ tập đóng, định lý hình chiếu xấp xỉ dạng mở rộng định lý tách mờ tập đóng Áp dụng kết tách mờ tập đóng. .. xấp xỉ tốn tối ưu có ràng buộc Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết tách mờ tập đóng khơng gian Banach áp dụng tối ưu véctơ hay tối ưu đa mục tiêu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lý tách lồi