dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 Một số kí hiệu 5 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Dưới vi phân của hàm lồi 23 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức . . . . . . . . . . . 49 3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm - trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học, Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này. Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012 Đào Văn Phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi. Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân là một trong những khái niệm cơ bản. Có thể xem dưới vi phân như là một mở rộng của khái niệm đạo hàm. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các môn toán ứng dụng. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach. Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vào việc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu R đường thẳng thực R n không gian Euclid n - chiều R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng f : D → R ánh xạ đi từ D vào R δ (x|D) hàm chỉ của tập D E ∗ không gian liên hợp của E int A phần trong của A A bao đóng của A domf miền hữu hiệu của f epif trên đồ thị của f f  (x) đạo hàm Fréchet của f tại x f  G (x) đạo hàm Gâteaux của f tại x f  (x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x ∂f(x) dưới vi phân của f tại x ||.|| chuẩn trong không gian Banach |x| trị tuyệt đối của số x x ∗ , x giá trị của x ∗ tại x K A nón lồi sinh bởi A N A (¯x) nón pháp của A tại ¯x affA bao lồi affine của A coA bao lồi của A f ≤ g f(x) ≤ g(x) với mọi x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banach cùng với những tính chất đặc trưng của nó. Những kiến thức trình bày trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8]. 1.1 Không gian Banach Cho E là một không gian vectơ trên trường số R . Định nghĩa 1.1. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong E là một ánh xạ đi từ E vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ E ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ R và mọi x ∈ E; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E. Một không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ E, đặt ρ(x, y) = ||x − y|| Khi đó, ρ là một metric trên E. Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn .. Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E: ρ(x, y) = ||x − y||, là một không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach. Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gian Banach được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kí hiệu bởi .. Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn ..Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x ∗ : E → R là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E. Nếu x ∗ ∈ E ∗ và x ∈ E thì giá trị của x ∗ tại x sẽ được kí hiệu là x ∗ , x, nghĩa là x ∗ , x = x ∗ (x). Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực. Ta gọi không gian này là không gian liên hợp của E và được kí hiệu là E ∗ . Không gian liên hợp của E ∗ gọi là không gian liên hợp thư hai của E và kí hiệu là E ∗∗ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Định lí 1.1. Không gian liên hợp E ∗ của E với chuẩn xác định bởi x ∗  = sup{x ∗ , y : y ∈ E, y = 0} là một không gian Banach. Tôpô τ M sinh bởi metric của không gian định chuẩn E ∗ nêu trong định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E ∗ . Định nghĩa 1.4. Tôpô τ Y trong E ∗ gọi là tôpô yếu nếu hệ thống các lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng {x ∗ ∈ E ∗ : x ∗∗ i , x ∗  < ε, i = 1, , k}, trong đó x ∗∗ i ∈ E ∗∗ với i =, , k và ε > 0. Định nghĩa 1.5. Tôpô τ ∗ trong E ∗ gọi là tôpô yếu* nếu hệ thống các lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng {x ∗ ∈ E ∗ : x ∗ , x i  < ε, i = 1, , k}, trong đó x i ∈ E với i = 1, , k. Định nghĩa 1.6. Tập A ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu trong E gọi là tập đóng (compact, bị chặn) yếu. Tập A đóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E ∗ của E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) . 1.2 Tập lồi Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Định nghĩa 1.7. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu ∀x 1 , x 2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx 1 + (1 − λ) x 2 ∈ A. Ví dụ 1.1. Cả không gian E là tập lồi. Tập A = ∅ là tập lồi. Mệnh đề 1.2. Giả A α ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kì. Khi đó A =  α∈I A α cũng lồi. Mệnh đề 1.3. Giả sử tập A i ⊂ E lồi, λ i ∈ R (i = 1, 2, , m). Khi đó λ 1 A 1 + + λ m A m cũng là tập lồi. Mệnh đề 1.4. Giả sử E i là không gian Banach, tập A i ⊂ E i lồi (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích Đềcác A 1 × × A m là tập lồi trong E 1 × × E m . Mệnh đề 1.5. Giả sử E 1 , E 2 là các không gian Banach, T : E 1 → E 2 là toán tử tuyến tính. Khi đó, a) A ⊂ E 1 lồi thì T (A) lồi; b) B ⊂ E 2 lồi thì nghịch ảnh T −1 (B) của B là tập lồi. Định nghĩa 1.8. Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x 1 , , x m thuộc E, nếu ∃λ i ≥ 0 (i = 1, 2, , m) , m  i=1 λ i = 1 sao cho x = m  i=1 λ i x i . Định lí 1.2. Giả sử tập A ⊂ E lồi; x 1 , , x m ∈ A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 , , x m . Định nghĩa 1.9. Giả sử A ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, kí hiệu là coA. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... một số tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi cùng với một số ví dụ minh họa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương 2 Dưới vi phân của hàm lồi Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach E Những nội dung trong chương này chủ yếu lấy từ [2], [5], [6], [7], [8] 2.1 Định nghĩa và ví dụ Trong mục này ta luôn giả... một không gian con tuyến tính của E , V ∩ A = ∅ Khi đó, tồn tại siêu phẳng đóng chứa V và không cắt A Hệ quả 1.8 Giả sử A là một tập con lồi mở trong không gian Banach E , f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con tuyến tính V ⊂ E; V ∩ A = ∅ và Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E suy rộng f , và f (x) > 0 (∀x ∈ V ∩ A) Định lí 1.21 Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian Banach E và. .. qua điểm 0 trong E Khi đó, hoặc là H đóng, hoặc là H trù mật trong E Mệnh đề 1.11 Giả sử A là một tập lồi mở trong không gian Banach E , H là một không gian con tuyến tính của E , H ∩ A = ∅ Khi đó, i) Hoặc H là một siêu phẳng qua 0; ii) Hoặc là tồn tại x0 ∈ H sao cho không gian con tuyến tính gây / lên bởi H và x0 không cắt A Định lí 1.20 Giả sử A là một tập con lồi mở trong không gian Banach E ,... R Định nghĩa 2.1 Phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ E , nếu ¯ f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x (∀x ∈ E) Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm afin ϕ(x) = f (¯) + x∗ , x − x ; x ¯ x∈E có đồ thị là siêu phẳng nằm dưới epif và tựa vào epif tại điểm (¯, f (¯)) x x Định nghĩa 2.2 Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x và được kí hiệu là ∂f (x)... ∈ E ∗ tách ngặt A và x0 / Hệ quả 1.9 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E Khi đó coA trùng với giao của tất cả các không gian chứa A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Hệ quả 1.10 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E lồi Khi đó, bao đóng A của A theo tôpô mạnh là đóng theo tôpô yếu của E Hệ quả 1.11 Giả sử E là một không gian Banach, A ⊂ E , x0...10 Định lí 1.3 coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A Hệ quả 1.1 Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A Định nghĩa 1.10 Giả sử A ⊂ E Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA Mệnh đề 1.6 Giả A ⊂ E lồi Khi đó, i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi; ii) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A, thì {λx1 + (1 − λ)x2 : 0... 1.16 Giả sử f1 , , fm là các hàm lồi chính thường trên E m Khi đó, ⊕ fi là hàm lồi trên E i=1 Định nghĩa 1.29 a) Bao đóng của hàm f , kí hiệu là f , được xác định như sau: epif = epif b) Bao lồi và bao đóng của hàm f , kí hiệu là cof và cof , được xác định như sau: epi(cof ) = co(epif ), epi(cof ) = co(epif ) 1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi Định lí 1.17 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên E Khi... Chúng ta gọi f (x0 ) là vi phân Fréchet (hoặc đạo hàm Fréchet) của f Từ thời điểm này, chúng ta sẽ luôn giả thiết các hàm xét đến là liên tục Như vậy đạo hàm Gâteaux và Fréchet sẽ là những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào R , nghĩa là chúng thuộc E ∗ Định lí 2.6 Cho f là hàm lồi trên E Khi đó: i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm Gâteaux tại x là x∗ và f khả dưới vi phân tại x, thì ∂f (x)... về hàm lồi Định lí 1.14 Giả sử f1 , , fm là các hàm lồi chính thường trên E Khi đó, tổng f1 + + fm là một hàm lồi Định lí 1.15 Hàm f là tập lồi trong E×R và f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F } Khi đó f là hàm lồi trên E Định nghĩa 1.28 Giả sử f1 , , fm là các hàm chính thường trên E Tổng chập infimal của f1 , , fm được xác định như sau: m f (x) = inf f1 (x1 ) + + fm (xm ) : xi ∈ E, xi = x , i=1 m và. .. ∀λ ∈ R) Dễ thấy, tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi Ví dụ 1.4 Tập A = E là tập affine, không gian véc tơ con A của E là tập affine Định nghĩa 1.16 Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không x∗ từ E vào R và số α ∈ R sao cho H = {x ∈ E : x∗ , x = α} Khi đó ta nói H xác định bởi x∗ và α, và vi t là H(x∗ , α) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại . cơ bản về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach. Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vào vi c nghiên cứu bài toán tối ưu lồi. Số hóa bởi. của khái niệm đạo hàm. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong. trong các môn toán ứng dụng. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối