Luận văn một số kết quả về điểm bất động của hàm chỉnh trong không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG MỸ NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG MỸ NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 02 Chun ngành: Tốn Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội, năm 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ Tốn học chun ngành Tốn giải tích hồn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán phòng Sau đại học, giảng viên chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tổ chức giảng dạy để em hồn thành khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài người ln tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ, động viên em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ tạo điều kiện tốt để em tập trung nghiên cứu hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến nhà khoa học, quý thầy cô bạn bè, đồng nghiệp để luận văn em hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Dương Mỹ Ngọc LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số kết điểm bất động hàm chỉnh hình khơng gian Banach ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Dương Mỹ Ngọc Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Không gian metric 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Sự hội tụ không gian metric Không gian Banach 11 1.2.1 Một số khái niệm 11 1.2.2 Một số ví dụ 12 HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH 15 2.1 Ánh xạ đa tuyến tính khơng gian Banach 15 2.2 Đa thức không gian Banach 27 2.3 Chuỗi lũy thừa không gian Banach 31 2.4 Hàm chỉnh hình 36 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG 41 3.1 Một số định lý điểm bất động hàm chỉnh hình 3.2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động không 41 gian Banach 47 3.2.1 Ảnh số tuyến tính 47 3.2.2 Ảnh số chỉnh hình 48 3.2.3 Định lý Cartan 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động chuyên ngành giải tích hàm lĩnh vực Toán học Lý thuyết hình thành từ năm đầu kỷ XX Ngay từ năm đầu hình thành phát triển, lý thuyết đem lại nhiều ứng dụng thực tế, ta kể đến vấn đề như: lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi nhiều lĩnh vực khác vật lý Khởi đầu lý thuyết bắt nguồn từ “Nguyên lí điểm bất động Brouwer” vào năm 1912 Nguồn gốc kết này, ta tham khảo tài liệu [6] dịch sang ngôn ngữ tiếng việt sau Định lý(Điểm bất động Brouwer) Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng đơn vị khơng gian Rn vào có điểm bất động nhất, tức tồn x ∈ Rn cho f (x) = x” Đến năm 1922, giới toán học nhận kết mang tính đột phá lĩnh vực từ cơng trình nhà tốn học Banach Qua việc xây dựng khơng gian metric, ông đạt kết mang tính kinh điển gọi “Nguyên lý ánh xạ co Banach” Trong tài liệu tham khảo [2] nguyên lý trình bày sau “Ánh xạ co từ khơng gian metric đầy vào có điểm bất động nhất” Tiếp theo, ta kể đến số kết lĩnh vực sang số lớp không gian khác nhà toán học A Tarski [20], E Rakotch [19] lý thuyết quan tâm để đưa nhiều ứng dụng vấn đề thực tiễn khác Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết điểm bất động hàm chỉnh hình khơng gian Banach định hướng TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài “Một số kết điểm bất động hàm chỉnh hình khơng gian Banach ứng dụng” để hoàn thành luận văn tốt Thạc sỹ chuyên ngành Tốn giải tích Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hàm chỉnh hình khơng gian Banach Nghiên cứu số kết điểm bất động hàm chỉnh hình khơng gian Banach Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hàm chỉnh hình không gian Bnaach số kết điểm bất động không gian số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng thầy hướng dẫn Dự kiến đóng góp đề tài Luận văn hồn thành sở với trình bày vấn đề sau: • Hệ thống số kiến thức vể không gian metric, không gian Banach hàm chỉnh hình khơng gian Banach • Giới thiệu số kết nguyên lý điểm bất động không gian Banach số ứng dụng kết Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn ta thống sử dụng ký hiệu sau: K để trường số thực trường số phức C; N để tập hợp tất số tự nhiên; N∗ để tập hợp số nguyên dương 1.1 1.1.1 Không gian metric Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X = ∅ Một metric hay khoảng cách X ánh xạ d : X × X → R thoả mãn ba tiên đề sau: (i) d(x, y) 0; với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y (ii) d(x, y) = d(y, x); với x, y ∈ X (tiên đề đối xứng) (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); với x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Tập hợp X với metric d xác định gọi khơng 46 ¯ nên theo giả thiết tồn ε > δ > cho liên tục tới D h(x) − x ≥ ε; với x ∈ D d(x, ∂D) = inf { x − y : y ∈ ∂D} < δ Lại D bị chặn nên có số M cho x ≤ M ; với x ∈ D Nếu với x ∈ D mà h (gt (x)) − gt (x) = (1 − t) [h (gt (x)) − x] h (gt (x)) − gt (x) ≤ 2(1 − t)M < ε; với việc chọn t đủ gần cho 2(1 − t)M < ε Tuy nhiên, d (gt (x), ∂D) < δ; với x ∈ D đó, ε ≤ h (gt (x)) − gt (x) Từ điều mâu thuẫn trên, ta nhận Bε (ft (y)) ⊆ D; với x ∈ D 47 3.2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động không gian Banach 3.2.1 Ảnh số tuyến tính Khái niệm ảnh số mở rộng từ tốn tử khơng gian Hilbert tới tốn tử khơng gian Banach phức tùy ý X nhà toán học G Lumer [18] Để đưa dạng tương đương khái niệm ơng định nghĩa J(x) = { ∈ X ∗ : = (x) = 1} ; với x ∈ X x = Ở đây, ta lưu ý J(x) khác rỗng theo Định lý Hahn-Banach Gọi Q(x) tập khác rỗng J(x) với x ∈ X x = Bây giờ, cho A ∈ L(X) Xác định ảnh số A V (A) = { (Ax) : ∈ J(x), x = 1} ; W (A) = { (Ax) : ∈ Q(x), x = 1} Rõ ràng W (A) ⊆ V (A) Nếu Q(x) lấy J(x) với x ∈ X x = W (A) = V (A) Trong trường hợp X không gian Hilbert, Định lý biểu diễn Riesz qua phiếm hàm (y) = (y, x) tập hợp Q(x) J(x) trùng Do W (A) = V (A) = {(Ax, x) : x = 1, x ∈ H} Bởi trường hợp tổng qt, khơng có tốn tử liên hợp A ∈ L(X) xác định toán tử Hermitian V (A) thực Về vấn đề ảnh số 48 tính chất quan trọng khái niệm này, ta tham khảo (Bonsall and Ducan [3, 4] ) Ở đây, xin giới thiệu kết lĩnh vực sau Định lý 3.2.1 Cho A ∈ L(X) Khi (i) V (A) liên thơng; (ii) A tốn tử Hermitian eitA = với số thực t; (iii) ¯c¯oσ(A) ⊆ V (A); (iv) |V (A)| ≤ A ≤ e |V (A)| ; I + tA − (v) sup ReW (A) = lim+ t→0 t Trong định lý trên, ký hiệu ¯co¯(A) dùng để bao lồi đóng tập hợp A số e số tốt (iv) Cũng vậy, S tập tập hợp số phức ta đặt |S| = sup {|λ| : λ ∈ S} ; sup ReS = sup{Reλ : λ ∈ S} Từ kết G Lumer [18] từ (v) Định lý 3.2.1 ta suy bao lồi đóng W (A) V (A) mà không cần cách chọn Q Đặc biệt, ta có |W (A)| = |V (A)| 3.2.2 Ảnh số chỉnh hình Trước hết, ta xét hàm chỉnh hình h : B → X liên tục hình cầu mở đơn vị B khơng gian Banach X Khi hàm h có ¯ Hơn nữa, h bị chặn B nên thác triển liên tục tới B h = sup { h(x) : x ∈ B} 49 hữu hạn Tương tự với công thức (3.1) công thức (3.2), ta xác định ảnh số h công thức V (h) = { (h(x)) : ∈ J(x), x = 1} ; W (h) = { (h(x)) : ∈ Q(x), x = 1} Mối quan hệ ảnh số phản ánh qua kết sau Định lý 3.2.2 ([13]) Ta có khẳng định I + th − (i) sup ReW (h) = lim+ ; t→0 t (ii) Nếu Pn đa thức bậc n > Pn n ≤ n n − |W (Pn )| Như [13] hệ (i) từ Định lý 3.2.2 bao lồi đóng W (h) V (h) trùng không thiết vào việc chọn Q Cũng số (ii) định lý tốt Theo [13] mở rộng ảnh số tới hàm xác định miền tổng quát Cho D miền lồi chứa điểm gốc X Với x ∈ ∂D, đặt J(x) = { ∈ X ∗ : (x) = 1, Re(y) ≤ 1}; với y ∈ D Từ [8, Corally 6, p.449] ta thấy J(x) khác rỗng Cho Q(x) tập khác rỗng J(x) với x ∈ ∂D Nếu h : D → X có 50 ¯ ta định nghĩa thác triển liên tục tới D V (h) = { (h(x)) : ∈ J(x), x ∈ ∂D} ; W (h) = { (h(x)) : ∈ Q(x), x ∈ ∂D} Hay nói cách khác, xét hàm hs (x) = h(sx); < s < ¯ nên ta xác định Hàm hs ln có thác triển liên tục tới D L(h) = lim sup ReW (hs ) s→1− ¯ Như Nếu h liên tục D h có thác triển liên tục lên D trường hợp W (h) xác định L(h) = sup ReW (hs ) Bổ đề 3.2.3 [13, Lemma 2] Giả sử h : D → X hàm chỉnh hình ¯ bị chặn miền chặt D Khi hs liên tục D với s thỏa mãn < s < Bổ đề 3.2.3 mấu chốt cho việc mở rộng Định lý Earle-Hamilton Trong phần lại, ta ln giả thiết miền D tập bị chặn lồi Bổ đề 3.2.4 [14] Cho g : D → X chỉnh hình bị chặn miền nằm chặt D Nếu L(g) < phương trình g(x) = có nghiệm x ∈ D Chứng minh Phép chứng minh bổ đề thay đổi phép chứng minh (i) Định lý 3.2.2 Trong phép chứng minh Định lý 3.1.2 ta dễ dàng thấy sD miền chặt nằm D với 51 s mà < s < Khi đó, theo giả thiết theo Bổ đề 3.2.3 ta giả sử g bị chặn liên tục RD với R > sup ReW (g) < Cho p phiếm hàm Minkowski D nghĩa p(x) = inf{r > : x ∈ rD} Thế p(x + y) ≤ p(x) + p(y) p(tx) = tp(x); với x, y ∈ X t ≥ Cũng D = {x ∈ X : p(x) < 1} có số M > cho p(x) ≤ M x ; với x ∈ X D chứa hình cầu quanh điểm gốc Ta xác định w(r, R) = sup Re (g(x)) x : ∈Q , r ≤ p(x) < R ; p(x) p(x) với < r < Bởi g liên tục RD ta chọn số R > số r với < r < cho w(r, R) < x Nếu r ≤ p(x) < R ∈ Q p(x) p ((I − tg)(x)) ≥ Re ((I − tg)(x)) = p(x) − tRe (g(x)) p(x) (3.4) ≥ p(x)[1 − tw(r, R)]; với t ≥ Khơng khó khăn để chứng tỏ tồn số r mà < r < 52 số δ > cho r ≤ P ((I + tg)(x)) < R; r ≤ p(x) < < t < δ Do đó, bất đẳng thức thỏa mãn, từ công thức (3.4) ta suy p ((I + tg)(x)) [1 − tw(r, R)] ≤ p ((I − tg)(I + tg)(x)) Do (I − tg)(I + tg)(x) = x + t[g(x) − g(x + tg(x))] Bởi g liên tục RD nên với ε > có số δ > cho p (g(x) − g(x + tg(x))) < ε; p(x) < < t < δ Thế p ((I + tg)(x)) ≤ + tε ; − tw(r, R) (3.5) r ≤ p(x) < < t < δ Theo nguyên lý cực đại [16, p.115], bất đẳng thức (3.5) thỏa mãn p(x) < < t < δ Chọn ε > với ε < −w(r, R) cố định t với < t < δ Khi đó, vế phải cơng thức (3.5) số nhỏ Điều suy I + tg ảnh xạ chỉnh hình từ D vào kD với số k mà < k < Khi đó, theo Định lý Earle-Hamilton I + tg có điểm bất động D Vì phương trình g(x) = có nghiệm x ∈ D 53 Định lý 3.2.5 ([14]) Cho h : D → X chỉnh hình bị chặn miền nằm chặt D Nếu L(h) < h điểm bất động D Chứng minh Định lý chứng minh từ Bổ đề 3.2.4 với g = h − I L(g) = L(h) − < Định lý 3.2.5 mở rộng Định lý điểm bất động Earle-Hamilton (cho miền xét) khơng khó để L(h) < h ánh xạ D nằm chặt bên D Định lý 3.2.6 Cho h : D → X chỉnh hình bị chặn miền nằm chặt D giả sử L(h) < ∞ cho số cách chọn Q Khi đó, lim− sup ReW (hs ) tồn cho tất cách s→1 chọn Q Chứng minh Giả sử L(h) < M Cho g = h − M I L(g) < sup ReW (gs ) = sup ReW (hs ) − sM Theo Bổ đề 3.2.4 (I + tg)(D) ⊆ kD t > < k < Do đó, x ∈ ∂D ∈ J(x) s + tRe (gs (x)) = Re (I + tg)(sx) ≤ k; Khi lim sup ReV (gs ) < s→1− nên lim sup ReV (hs ) < M s→1− 54 Như lim sup ReV (hs ) ≤ lim sup ReW (hs ) s→1− t→1− Bởi sup ReW (hs ) ≤ sup ReV (hs ) < s < nên tuân theo giới hạn điều kiện Do đó, lim sup ReW (hs ) tồn cho cách chọn Q s→1− Định lý 3.2.7 Giả sử X chiều hữa hạn (., ) tích X Gọi D miền bị chặn X chứa điểm gốc g : D → X ¯ Nếu hàm chỉnh hình thác triển liên tục tới D Re (g(x), x) < 0; với x ∈ D phương trình g(x) = có nghiệm x D 3.2.3 Định lý Cartan Trong phần này, ta sử dụng ảnh số để có dạng biến thể định lý Cartan cho hình cầu đơn vị mở khơng gian Banach phức Một biến thể định lý ánh xạ từ B vào hình cầu đóng đơn vị Y Định lý 3.2.8 ([14]) Cho h : B → X hàm chỉnh hình với h(0) = Dh(0) = I L(h) xác định với Q = J Khi x h(x) − x ≤ (L(h) − 1) (1 − x )2 với x ∈ B Đặc biệt, h = I L(h) ≤ Hệ 3.2.9 Nếu h : B → X hàm chỉnh hình L(h) < ∞ 55 Q = J h bị chặn Br (0) với < r < Chứng minh Theo Định lý Taylor tồn số r > cho ∞ h(x) = Pn (x) n=1 x ∈ Br (0) Giả sử M > L(h) Ta có hàm f (λ) chỉnh hình đĩa đơn vị mở ∆ mặt phẳng phức thỏa mãn với λ ∈ ∆ Ta xác định g(λ) = − f (λ) M −1 lưu ý Reg(λ) ≥ với λ ∈ ∆ Hơn ∞ an λn g(λ) = + n=1 (Pn+1 (x)) sn an = ; với n = 1, 2, 3, 1−M Bởi |an | ≤ với số nguyên dương n nên |V (Pn )| ≤ 2(M − 1); với n = 2, 3, 4, n Áp dụng Định lý 3.2.2(ii) bất đẳng thức n n − ≤ 2n với n ≥ 2, ta nhận Pn ≤ 4n(M − 1); với n = 2, 3, Do đó, chuỗi lũy thừa cho h có bán kính đơn vị hội tụ h 56 B Vì ∞ h(x) − x ≤ Pn n=2 x n ∞ ≤ 4(M − 1) n x n n=2 x ≤ 4(M − 1) (1 − x )2 với x ∈ B Bất đẳng thức thỏa mãn M > L(h) tùy ý 57 KẾT LUẬN Luận văn trình bày giải vấn đề sau Trình bày cách hệ thống kiến thức không gian metric khơng gian Banach Hình thành khái niệm hàm chỉnh hình khơng gian Banach qua việc xây dựng ánh xạ đa tuyến tính đa thức khơng gian Banach Giới thiệu số kết gần vấn đề điểm bất động ánh xạ chỉnh hình khơng gian Banach Từ kết này, chúng tơi trình bày ứng dụng vấn đề: Ảnh số tuyến tính; Ảnh số chỉnh hình; Định lý Cartan không gian Banach 58 Tài liệu tham khảo [1] L Aizenberg, S Reich, D Shoikhet (1996), One-sided estimates for the exis- tence of null points of holomorphic mappings in Banach spaces, J Math Anal Appl 203, 38 − 54 [2] S Banach (1922), Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fund Math 3, 133 − 181 [3] F F Bonsall and J Duncan (1972), Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras, London Math Soc Lect Note Series 2, Cambridge Univ Pess, Cambridge [4] F F Bonsall and J Duncan (1973), Numerical Ranges II, London Math Soc Lect Note Series 10, Cambridge Univ Pess, Cambridge [5] M Budzynska (2003), Local uniform linear convexity with respect to the Kobayashi distance, Abstr Appl Anal, no.6, 367 − 373 [6] L E J Brouwer (1911), Uber Abbildungen von Manigfaltigkeiten, Math Ann 71, 97 − 115 58 59 [7] S Dineen (1981), Complex Analysis in Locally Convex Spaces, North -Holland, Amsterdam-New York [8] S Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford Mathematical Monographs, Oxford [9] S Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite-dimensional Spaces, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag London, Ltd., London [10] N Dunford and J T Schwartz (1957), Linear Operators, Part I, Wiley, New York [11] C J Earle and R S Hamilton (1970), A fixed point theorem for holomorphic mappings, Global Analysis, Proc Symp Pure Math., Vol 16, Amer Math Soc., Providence, R I., 61 − 65 [12] K Goebel and S Reich (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry and Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker [13] L A Harris (1971), The numerical range of holomorphic functions in Banach spaces, Am J Math [14] L A Harris, S Reich and D Shoikhet (2000), Dissipative holomorphic functions, Bloch radii, and the Schwarz lemma, J Anal Math 82, 221 − 232 [15] L A Harris (1977), On the size of balls covered by analytic transformations, Monatshefte Math 83, − 23 [16] E Hille and R S Phillips (1957), Functional Analysis and SemiGroups, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol AMS, Providence 60 [17] Jorge Mujica (1985), Complex Analysis in Banach Spaces, NorthHolland [18] G Lumer (1961), Semi-inner-product spaces, Trans Amer Math Soc 100, 29 − 43 [19] E Rakotch (1962), A note on contractive mappings, Proc Amer Math, Soc., 13, 459 − 465 [20] A Tarski (1955), A lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and It’s Applicatinons, Pacific J Math, 5, 285 − 359 ... Hàm chỉnh hình 36 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG 41 3.1 Một số định lý điểm bất động hàm chỉnh hình 3.2 Một. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG MỸ NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số: 60 46... tài Luận văn hồn thành sở với trình bày vấn đề sau: • Hệ thống số kiến thức vể không gian metric, không gian Banach hàm chỉnh hình khơng gian Banach • Giới thiệu số kết nguyên lý điểm bất động không