Toán tử chiếu suy rộng trên không gian banach và ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI ON TRNG TON T CHIU SUY RNG TRấN KHễNG GIAN BANACH V NG DNG LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc PGS. TS. Nguyn Nng Tõm H Ni - 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS. TS. Nguyn Nng Tõm, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc tp. Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, ng nghip THPT Súc Sn, gia ỡnh v bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi on Trng Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS. TS. Nguyn Nng Tõm, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Toỏn t chiu suy rng trờn khụng gian Banach v ng dng c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi on Trng Mc lc M u . Chng 1. 1.1. Mt s kin thc chun b 3 Khụng gian Banach 1.1. Khỏi nim khụng gian 1. Toỏn t tuyn tớnh, toỏn t , 1.1. Khụng gian liờn hp, tụpụ yu v Khụng gian Banach 1.1 nh x a 2. 1. Khụng gian Hilbert 2. nh x i ngu chun húa 1.3 Bt ng thc bin phõn Chng Toỏn t chiu suy rng v ng dng 2.1 Toỏn t chiu trờn khụng gian Hilbert 2.2 Toỏn t chiu suy rng trờn khụng gian Banach 2.2. Toỏn t chiu metric P khụng 1. Toỏn t chiu suy rng TT khụng K 2. 2.2 Toỏn t chiu suy rng nK khụng Toỏn t chiu suy rng trờn khụng gian Banach phn x, li cht v trn 2. ng dng vo nghiờn cu s tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn Kt lun Ti liu tham kho 5 M u 1. Lớ chn ti Toỏn t chiu PR ' H K, ú H l mt khụng gian Hilbert v K l mt li úng ca H, ó c s dng nhiu lnh vc ca toỏn hc, nh: Lý thuyt ti u, lý thuyt im bt ng, quy hoch phi tuyn, lý thuyt trũ chi, bt ng thc bin phõn, v cỏc bi toỏn bự (xem [1J v nhng ti liu dn ú). Nm 1994, Alber [3] ó a cỏc toỏn t chiu suy rng 7K : B* > K v K : B ằ K xột B l cỏc khụng gian Banach li u v trn, õy B* l khụng gian i ngu ca B. Trong [5] Alber ó a mt s ng dng ca toỏn t chiu K , l K vo gii bt ng thc bin phõn v bi toỏn tỡm giao ca Von-Neumann khụng gian Banach. Nhiu tỏc gi ó quan tõm nghiờn cu nhng toỏn t chiu suy rng v ng dng ca chỳng. Nhng nghiờn cu ú cú th tỡm thy [0J v cỏc ti liu dn ú. Sau hc nhng kin thc chng trỡnh o to Thc s Toỏn gii tớch, vi mong mun hiu bit sõu hn v nhng kin thc ó hc, mi quan h v ng dng ca chỳng, tụi ó chn ti nghiờn cu Toỏn t chiu suy rng trờn khụng gian Banach v ng dng thc hin lun tt nghip thc s ca mỡnh. 2. Mc ớch, nhim v, i tng v phm vi nghiờn cu Mc ớch ca ti ny l tỡm hiu, kho sỏt v nm vng c nhng tớnh cht ca cỏc toỏn t chiu trờn khụng gian Banach v nhng ng dng ca chỳng. Thu thp ti liu qua cỏc bi bỏo ó c ng v sỏch ó in, c v phõn tớch, so sỏnh v tng hp cú mt tng quan v phộp chiu v phộp chiu suy rng. Tỡm nhng vớ d minh v mt s ng dng cỏc bi toỏn bt ng thc bin phõn. 3. i tng v phm vi nghiờn cu Phộp chiu metric trờn khụng gian Hilbert v suy rng ca nú trờn khụng gian Banach phn x. Mt s ng dng vo Lý thuyt ti u v bt ng thc bin phõn. 4. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch hm v gii tớch bin phõn. 5. úng gúp ca ti Trỡnh by tng quan v cỏc toỏn t chiu suy rng v mt s ng dng gii bt ng thc bin phõn. Chng Mt s kin thc chun b Chng ny chỳng tụi trỡnh by nhng khỏi nim c bn v khụng gian Banach thc, Hilbert thc v mt s kin thc cú liờn quan khỏc, xem nh l cụng c s dựng n chng sau. Chng minh cỏc kt qu ny cú th tỡm [IJ, [2J v [3j 1.1. Khụng gian Banach 1.1.1. Khỏi nim khụng gian Banach nh ngha 1.1. Cho X l khụng gian tuyn tớnh trờn M cựng vi mt ỏnh x t X vo s thc R, kớ hiu l ||.|| v c l chun, tha tiờn sau: 1) IMI > (Vx e X)\ ||a;|| = ^ X = 0; 2) ||Az|| = |A|||a;|| (Va; e X,VA G M); 3) \\x + y\\ < II^I + ll/ll (V^,y G X). S II^ gi l chun ca vộc-t X . Ta cng kớ hiu khụng gian nh chun X. nh ngha 1.2. Khụng gian tuyn tớnh thc cựng vi mt chun xỏc nh X c gi l mt khụng gian nh chun thc. nh ngha 1.3. Dy { x n } khụng gian nh chun X c gi l hi t n XQ e X nu: lim \\x n - EoII = 0; n-Ơ0o kớ hiu: xn > XQ hoc lim xn = XQ n>00 nh ngha 1.4. Dóy {xn} khụng gian nh chun X c gi l dóy Cauchy nu lim II x m II = 0. 71,171>00 nh ngha 1.5. Khụng gian nh chun X gi l khụng gian Banach nu mi dóy c bn X u hi t. 1.1.2. Toỏn t tuyn tớnh, toỏn t compact Gi s X v X' l hai khụng gian tuyn tớnh trờn M ỏnh x: / : X > X'. nh ngha 1.6. / c gi l mt ỏnh x tuyn tớnh, hoc toỏn t tuyn tớnh, hay gi tt l toỏn t, nu \/x G x,\/y X',Vqớ,/3 R, f{ax + Py) = af(x) + Pf(y). Sau õy ta thng gi / l toỏn t tuyn tớnh. nh ngha 1.7. Toỏn t tuyn tớnh f : X > X' c gi l b chn nu 3k > 0, Vx G X, 11/0*011 < k\\x\\. (1.1) nh lý 1.1. Gi s X v X' hai khụng gian nh chun f : X ằ X' l mt toỏn t tuyn tớnh thỡ cỏc mnh sau õy tng ng (i) f l liờn tc u; (ii) f l liờn tc ; (Ui) f liờn tc ti im G X; Nhn xột 1.1. a) i vi cỏc toỏn t tuyn tớnh, cc khỏi nim liờn tc v b chn l tng ng. b) T (1.1) suy 11/0*011 sup II < +ooxX,x^O nh ngha 1.8. Gi s X v X' cỏc khụng gian nh chun trờn R. Kớ hiu J ( X , X ' ) l khụng gian cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t X vo X'. C ( X , X I ) l khụng gian vộc-t ca M - khụng gian vộc-t C ( X , X ' ) tt c cỏc ỏnh x tuyn tớnh t X vo X'. Vi mi f C ( X , X ' ) , t 11/11 = inf { k : ||/(z)|| < k ||z|| ,Vx e X} nh ngha 1.9. Cho khụng gian metric M = (X, d). Tp K c X gi l compact khụng gian M, nu mi dóy vụ hn cỏc phn t thuc K u cha dóy hi t ti phn t thuc K. Tp K gi l compact tng i khụng gian M, nu mi dy vụ hn cỏc phn t thuc K u cha dy hi t ti phn t thuc X. nh ngha 1.10. Gi s X v X' l cỏc khụng gian nh chun. nh x (toỏn t) tuyn tớnh f : X > X' c gi l toỏn t compact nu nh f(B ) ca hỡnh cu n v B X l compact tng i X'. Nu / l toỏn t compact thỡ 11/11 = sup ||/(z)| = sup {\\y\\ : y f { B ) \ < 00, J XÊB ^ vy / liờn tc. Toỏn t compact núi chung l cht ch hn toỏn t liờn tc. Do ú toỏn t compact cũn c gi l toỏn t hon ton liờn tc. nh lý 1.2. Nu f toỏn t tuyn tớnh t khụng gian nh chun X vo khụng gian nh chun X' thỡ cỏc mnh sau õy l tng ng: a) f compact; b) Nu A l b chn X thỡ f ( A ) l compact tng i X'; c) Nu {a;n} l dóy b chn X thỡ tn ti dy { x n K } d ó y i f { x n K ) } hi t X' nh ngha 1.11. Toỏn t tuyn tớnh A : X > X' c gi hu hn chiu, nu nim giỏ tr ca toỏn t A l mt khụng gian hu hn chiu ca Y. nh lý 1.3. Gi s X: X' l cỏc khụng gian nh chun; A , B : X > X' l toỏn t compact. Khi ú, vi mi s Qớ, /3 toỏn t aA + l compact. nh lý 1.4. Gi s X l khụng gian nh chun, X' l khụng gian Banach, An e C ( X , X ' ) ( n = 1,2, .) l d ó y toỏn t compact, hi t C ( X , X ' ) n toỏn t A G C { X , X ' ) , tc l: lim IIA n - A\\ = 0. nƠ 00 Khi ú A l toỏn t compact. 1.1.3. Khụng gian liờn hp, tụpụ yu v tụpụ yu* nh ngha 1.12. Gi s X l mt khụng gian nh chun trờn M. Ta gi X* = Ê(X,R) l khụng gian liờn hp ca X v gi X** = Ê(X*,M) l khụng gian liờn hp th hai ca X. Xột ỏnh x : X ằ X** xỏc nh bi < p ( x ) ( f ) = /() vi mi X G 1, /. Gi s I, I/ I, a, ò M ta cú yj(aa; + /%)(/) = f { a x + ò y ) = a f { x ) + /3/(y) = (o^(z))(/) + ( ò < p ( y ) ) ( f ) vi mi f G X * , vy y? l ỏnh x tuyn tớnh. Mt khỏc ( )(/)1 = \ f i ) \ < ll/IMNI vi mi / e X* x nờn lb(s)|| = sup ) ) \ < INI 11/11=1 Vi mi X Ê X , x ^ tn ti / X * vi 1/1 = v f ( x ) = ||||. Do ú \ p ( x ) ( f ) \ = \ f ( x ) \ = ||x||, ngha l || X* l tuyn tớnh v tha 11 cho U ( f i , / 2,f n , X , e ) , õy 71__ _ U { f i , f , - J n , x , Ê ) = u ( f i , X , e) i=l = {2/ C B ( \ \ x - x \ \ /2i). nh lý c chng minh. Nu ||ổ|| , ||ớỡ|| v ỏT2|| b chn u bi R thỡ Cl < R v c2 < 4R v ta cú 11^2 i l l < 2Rg1(8LR~1). õy l mi liờn h rt quan trng gia phim hm 1^2(2;, Ê) v phim hm V\{ X 10 = llổ yl|2 m c ch di õy. nh lý 2.6. Cỏc bt ng thc 8C B (\\x - Ê11 /4(7) < v2( x , < 42ps(4 11* - Ê11 /C) (2.20 ỳng \/x, Ê G 5, ú Chng minh. Ta bt u chng minh bt ng thc v trỏi. Gi s X v y l phn t ca B. Ta cú \ \ ( x + y)/2\\ - ||x||2 > (J x , y - x } + 2R\5B{\\y - x\\ /4R ) . S dng ng thc (J x , x ) = ||a:||2, ta c ( J x , y ) < \\{x + y ) / \ \ - 2R\B{\\x - y\\ / A R ) . Hm khụng gim g g B { s ) / Ê kộo theo B { E / ) < B { s ) . Do ú, v { x , y ) = w2 - x , y ) + ll/ll2 > |M|2 + \\y\\2 - 2-'||x + ớ/ll2 + iR2M\\x + y\\ /iR,) > 2R\SB(\\x - /ll / R i ) + iRB{\\x - /ll /4R0 >8i 2R\B*{\\Jx - J y \ \ B m / R ) , ú B * l li u. T (2.21) ta cú I J x - Jy\\B. ||z - yII > 2R\B*(\\Jx - J y \ \ B , / R ) . (2.21 Vỡ g B '(ố) = B*(e)/e, c lng g B - ( \ \ J x - J y \ \ B , / R ) < ||x - y \ \ (2.22) rừ rng l ỳng. Hn na, P B ( T ) = sup {er/2 - [...]... vi khụng gian con (:r) ca X** Vi quan im nh vy, t nay v sau ta luụn xem X l khụng gian con ca khụng gian X** Khụng gian nh chun X c gi l khụng gian phn x nu X X** (tc l ỏnh x nhỳng l mt song ỏnh t X lờn X**, iu ny xy ra khi v ch khi $ ( B ' ) = B'** Vỡ khụng gian X** luụn luụn l khụng gian Banach, nờn mt khụng gian phn x phi l khụng gian Banach nh lý di õy cho thy khi no mt khụng gian Banach l phn... 2 x\\ h < C\f 2.2 Toỏn t chiu suy rng trờn khụng gian Banach 2.2.1 Toỏn t chiu metric P K trong khụng gian Banach Mc ny chỳng tụi nghiờn cu mt s tớnh cht ca toỏn t chiu metric m rng t toỏn t chiu metric trong khụng gian Hilbert sang khụng gian Banach, õy cng mụ t chi tit nhng tớnh cht liờn tc u ca toỏn t chiu metric trong khụng gian Banach nh ngha 2.4 Cho B khụng gian Banach li u v trn u v K l tp... (J8) J l toỏn t liờn tc trong khụng gian Banach trn; (Jg) J l toỏn t liờn tc u trờn mi tp b chn trong khụng gian Banach trn u; (Jio) J l toỏn t ng nht trong cỏc khụng gian Hilbert, tc l, J = IH 1.4 Bt ng thc bin phõn Gi s i ngu B l khụng gian Banach li u v trn u, B * l khụng ca ||-||s , ||'||B, , II'11# l cỏc chun trong khụng gian Banach gian B, B * v trong khụng gian Hilbert H Kớ hiu cp i ngu ca B... nim v khụng gian Banach, khụng gian Hilbert, cỏc khỏi nim c bn ca gii tớch a tr, ỏnh x i ngu chun húa, v bi toỏn bt ng thc s nghiờn cu chng sau Chng 2 Toỏn t chiu suy rng v ng dng Trong chng ny phn u chỳng tụi trỡnh by toỏn t chiu metric P trờn khụng gian Hilbert, v toỏn t chiu metric trờn khụng gian Banach li u, tip theo chỳng tụi trỡnh by toỏn t suy rng ca toỏn t chiu ú sang khụng gian Banach phn... khụng gian li u thỡ vi 1 on thng nm trong hỡnh cu n v thỡ trung im ca on thng ú nm trong hỡnh cu cú bỏn kớnh 1 ụ vi >0 nh lý 1.8 Mi khụng gian Banach li u l khụng gian phn x nh lý 1.9 Nu X l khụng gian Banach li u v (x n) c X v xn ^ X yu trong tụpụ ( X , X * ) v lim sup ||a:n|| < ||a;|| thỡ xn > X mnh 71>00 Cho X l khụng gian Banach v Sx = {x G X : II2;II = 1} l mt cu n v nh ngha 1.18 (Khụng gian Banach. .. (x*,x) thay cho x * ( x ) Ngha l (x * , x ) = x*(x) 1.1.4 Khụng gian Banach phn x Trong mc ny, ta xột trng hp X l mt khụng gian nh chun v X* l khụng gian liờn hp ca nú Ta ó bit X* cng l mt khụng gian nh chun, hn na l khụng gian Banach, vi chun c xỏc nh bi ||x*|| = sup{|(a;,a;*)| : ||a;|| < 1} ,x* G X* 1 Khụng gian nh chun X* cng cú khụng gian liờn hp gm cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc X** trờn nú m ta... v { y n } hi t n X v y trong H Khi ú, lim ( x n ỡ y n ) = ( x , y ) nh ngha 1.32 Khụng gian tin Hibert H y c gi l mt khụng gian Hilbert nh ngha 1.33 Mi khụng gian tuyn tớnh con úng ca khụng gian Hilbert H l khụng gian Hilbert con ca khụng gian H nh lý 1.12 (F.Riesz) Mi phim hm tuyn tớnh liờn tc trong khụng gian Hilbert H u cú th biu din duy nht di dng: f(x) = (X, a), Va: G H, vi a l mt phn t no... gi, ta mụ t tớnh cht ca tớnh liờn tc u ca toỏn t PK trong khụng gian Banach B Nh li rng, toỏn t chiu metric trong khụng gian Banach khụng cú m rng trong trng hp tng quỏt Trong khi ú nú cú tớnh liờn tc u trờn mi tp hp b chn da vo nhng nh lý sau nh lý 2.4 Gi s B l khụng gian Banach li u v trn u Nu B { Z ) l mụun ca tớnh li trong khụng gian B, Pb{j ) l mụun ca tớnh trn, v g 1 ^ ) l hm ngc ca b { s... Banach trn u) Cho Banach gi l trn u nu vi mi Ê > 0 tn ti > X l khụng gian 0 sao cho V x , y X, ||a:|| = 1, \\y\\ < thỡ \\x + y II + \\x - y\\ < 2 + Ê II//II Modun ca tớnh trn l hm Px xỏc nh vi \/t bi - ớ \\x + y\\ + \\x - y\\ II II _ 1 II II _A P x { t ) = sup 1 : ||z|| = 1, ||x|| = t f nh lý 1.10 Mi khụng gian Banach trn u l khụng phn x nh lý 1.11 Mi khụng gian Banach l trn u nu... ừf|| = inf ||x Ê11 (2-9) Di cỏc gi thit ca ta v khụng gian Banach B thỡ toỏn t chiu P K hon ton xỏc nh, tc l cú duy nht hỡnh chiu X vi mi X G B, phn t X gi l xp x tt nht ca X Mt cõu hi t nhiờn ny sinh l liu nh lớ trờn cũn ỳng khi ta xột trong khụng gian Banach li u v trn u? nh lớ di õy s tr li cho cõu hi ny nh lý 2.2 Cho A toỏn t tựy ý t khụng gian Banach B vo B*,a > 0 l s c nh bt kỡ, f G B* Khi ú, im . khảo Mục lục Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng Toán tử chiếu trên không gian Hilbert Toán tử chiếu suy rộng TT K trong không Toán tử chiếu suy rộng nK. trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2 0 1 4 Tác giả Đoàn Trường Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 ĐOÀN TRƯỜNG TOÁN TỬ CHIẾU SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: